Dinámica

Física 2º Bach.
Tema: Dinámica
DEPARTAMENTO DE
FÍSICA E QUÍMICA
07/11/05
Nombre:
Problemas
[3 PUNTOS / UNO]
1. Un avión vuela en picado formando un ángulo de 37,0º por debajo de la horizontal. Cuando está a una altura de 6,00 km y lleva una velocidad de 450 km/h deja caer una bomba. Se pide:
a) La componente Lz perpendicular al plano de la trayectoria del momento cinético respecto al punto donde se suelta la bomba en el instante en que la bomba llega al suelo.
b) El trabajo de la fuerza peso desde que se soltó la bomba hasta el instante en que su velocidad forma un
ángulo de 53,0º con la horizontal.
2. En una pista de rizar el rizo de 2,00 m de radio.
a) ¿Cuál ha de ser como mínimo la velocidad que lleve en el punto más bajo de la pista un cuerpo de
4,00 kg que pretende rizar el rizo?
b) ¿Cuál será la fuerza que el cuerpo ejerce sobre la pista cuando está en el punto más alto de su trayectoria? ¿Y en el punto más bajo?
Cuestiones

i 5 j  k
 y
1. Dados los vectores A=2
 sean perpendiculares.
y B
[1 PUNTO / UNA]

 =i j −a k
 , halla el valor de a para que los vectores A
B
2. Si sobre un cuerpo actúa una sola fuerza conocida, ¿puede decirse en qué dirección se moverá el cuerpo a
partir de esta única información?
3. Supongamos que una fuerza neta actúa sobre una partícula, pero no realiza trabajo ¿Puede la partícula
moverse en línea recta?
4. Si el momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero con respecto a un punto que
se toma como origen, el momento angular respecto al mismo punto ¿debe ser nulo?
Soluciones
1. Un avión vuela en picado formando un ángulo de 37,0º por debajo de la horizontal. Cuando está a una altura de 6,00 km y lleva una velocidad de 450 km/h deja caer una bomba. Se pide:
a) La componente Lz perpendicular al plano de la trayectoria del momento cinético respecto al punto donde
se suelta la bomba en el instante en que la bomba llega al suelo.
b) El trabajo de la fuerza peso desde que se soltó la bomba hasta el instante en que su velocidad forma un
ángulo de 53,0º con la horizontal. ↑
Solución:
Datos:
velocidad inicial:
módulo:
dirección:
altura inicial:
aceleración de la gravedad:
v0 = 450 km/h = 125 m/s
φ = -37,0º
h = 6,00 km = 6,00×103 m
g = - 9,81 m/s2
Incógnitas:
componente Lz del momento cinético respecto al punto donde se suelta la bomba en el instante en que la
bomba llega al suelo:
Lz
trabajo del peso desde que se soltó la bomba hasta que la dirección de la velocidad sea φ' = -53,0º:
W
Ecuaciones:
ecuación de movimiento bajo aceleración constante:
velocidad:
momento cinético respecto a un punto O que se toma como origen:
trabajo del peso (fuerza conservativa):
energía potencial del peso:
r = r0 + v0 t + ½ a t2
v = dr / dt
LO = r × mv
WCONS = - ∆Ep
Ep = m g h
Cálculos:
a) S.R.: Si se coloca el origen de coordenadas en el punto O donde la bomba abandona el avión. Se toma
como eje X+ el horizontal en el sentido de avance de la bomba, y el eje Y+ el vertical hacia arriba, los datos
anteriores dan lugar a los siguientes vectores:
posición inicial:
r0 = (0, 0)
velocidad inicial:
v0 = v0 (cos φ i + sen φ j) = 125 (cos(-37,0º) i + sen(-37,0º) j) = 99,8 i – 75,2 j (m/s)
aceleración:
a = -9,81 j m/s2
La ecuación de movimiento queda:
r(t) = (99,8 i – 75,2 j) t + ½ (-9,81) j t2 (m)
r(t) = 99,8 t i + (-75,2 t – 4,91 t2) j (m)
Cuando el objeto choca contra el suelo, la coordenada y valdrá -6,00×103 m
-75,2 ta – 4,91 ta2 = - 6,00×103
ta = 28,1 s
El vector de posición en ese instante es:
ra = 2,81×103 i – 6,00×103 j (m)
Derivando la ecuación de movimiento se obtiene la expresión del vector velocidad:
v = dr / dt = d(99,8 t i + (-75,2 t – 4,91 t2) j) / dt = 99,8 i + (-75,2 – 9,81 t) j (m/s)
El vector velocidad en el instante del impacto contra el suelo:
va = 99,8 i – 351 j (m/s)
La componente Lz del momento cinético respecto al punto de lanzamiento:
Lz = x·mvy – y·mvx = m (2,81 ×103 · (-351) – (-6,00×103) · 99,8) = -3,9×105 m [kg·m2·s-1]
en función de la masa m de la bomba.
b) Cuando forma un ángulo de -53,0º con la horizontal la relación entre las componentes de la velocidad es:
v
vx
vy / vx = tg -53,0 = -1,33
-75,2 – 9,81 t = -1,33 · 99,8
φ
tb = 5,84 s
vy
Sustituyendo en la ecuación de movimiento, queda
rb = (5,82×102 , -606) [m]
3
es decir, a una altura de 6,00×10 – 606 = 5,39×103 m
El trabajo de la fuerza peso entre el punto inicial y éste es:
WPESO = -(m g hFIN – m g hINI) = m g (hINI – hFIN) = m · 9,81 · 606 = 5,95×103 m [J]
en función de la masa m de la bomba. El trabajo es positivo porque la fuerza peso favorece la caída de la
bomba.
También podría haberse calculado el trabajo de la fuerza peso (suponiendo que es la única que actúa) a partir de el teorema de las fuerza resultante (o de las fuerzas vivas):
W ∑F = ∆Ec
Cuando la velocidad forma un ángulo de -53º con la horizontal, el cuadrado del valor de la velocidad es:
vb2 = vx2 + vy2 = 99,82 + (1,33 · 99,8)2 = 2,75×104 m2/s2
W ∑F = ∆Ec = ½ m (2,75 ×104 – 1252) = 5,95×103 m [J]
en función de la masa m de la bomba.
2. En una pista de rizar el rizo de 2,00 m de radio.
a) ¿Cuál ha de ser como mínimo la velocidad que lleve en el punto más bajo de la pista un cuerpo de 4,00 kg
que pretende rizar el rizo?
b) ¿Cuál será la fuerza que el cuerpo ejerce sobre la pista cuando está en el punto más alto de su trayectoria?
¿Y en el punto más bajo? ↑
Solución:
Datos:
radio del rizo:
aceleración de la gravedad:
masa:
R = 2,00 m
g = 9,81 m/s2
m = 4,00 kg
Incógnitas:
velocidad mínima en el punto más bajo. vB
fuerza que el cuerpo ejerce sobre la pista en el punto más alto:
fuerza que el cuerpo ejerce sobre la pista en el punto más alto:
Ecuaciones:
aceleración normal en un movimiento circular:
2ª ley de Newton de la Dinámica:
conservación de la energía mecánica:
energía cinética:
energía potencial:
FA
FB
aN = v2 / R
∑F = m a
(Ec + EP)A = (Ec + EP)B
Ec = ½ mv2
Ep = m g h
Cálculos:
NA
En el punto A, la fuerzas que actúan sobre el objeto, (el peso mg y la fuerza NA que la pista ejermg
ce sobre él) tienen el mismo sentido. La resultante, dirigida hacia el centro de la circunferencia
será;
mg + NA = m vA2 / R
Para que el objeto alcance el punto A más alto sin despegarse, la fuerza que debe ejercer él sobre la pista (y
la pista sobre él) ha de ser mayor que cero, aunque en el límite se puede suponer que vale prácticamente cero.
mg = m vA2 / R
La velocidad mínima que debe llevar el objeto en el punto más alto debe ser:
vA = (R g)1/2 = 4,43 m/s
Como la fuerza que ejerce la pista sobre el objeto no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento en todos los puntos, la energía mecánica entre los puntos A más alto y B más bajo se conserva.
½ mvA2 + mghA = ½ mvB2 + mghB
½ m R g + mg 2 R = ½ mvB2 + 0
vB = (5 R g)1/2 = 9,90 m/s
b) Por la 3ª ley de Newton (principio de acción y reacción) la fuerza que ejerce el cuerpo sobre
NB
la pista es del mismo valor y dirección, pero de sentido contrario a la fuerza N que hace la pista
sobre el cuerpo. La fuerza en el punto más alto es prácticamente cero.
En el punto más bajo, la fuerza que ejerce la pista sobre el objeto es de sentido contrario al peso
mg
NB – mg = m vB2 / R
NB = mg + m vB2 / R = mg + 5 mg = 6 mg = 235 N
La fuerza que ejerce el cuerpo sobre la pista en el punto más bajo vale 235 N y está dirigida hacia el suelo.
Cuestiones

i 5 j  k
 y
1. Dados los vectores A=2

B sean perpendiculares. ↑
 =i j −a k
 , halla el valor de a para que los vectores A
 y
B
Solución:
Si dos vectores A y B son perpendiculares, su producto escalar da cero.
A ┴ B ⇒ A · B = │A││B│ cos φ = 0
Con los datos del ejercicio:
A · B = 2 · 1 + 5 · 1 + 1 · (-a) = 7 – a = 0
a=7
2. Si sobre un cuerpo actúa una sola fuerza conocida, ¿puede decirse en qué dirección se moverá el cuerpo a
partir de esta única información? ↑
Solución:
No. La dirección del movimiento viene dada por la velocidad. Si el cuerpo estaba en reposo, se moverá en la
dirección de la única fuerza que actúa, pero si estaba moviéndose, la dirección del movimiento a partir del
instante en el que actúa la fuerza depende de la nueva dirección de la velocidad como resultado de la aceleración que produce la fuerza. Por ejemplo, un objeto que se desplaza en dirección horizontal por la superficie de una mesa, al llegar al borde, «siente» la acción del peso y se mueve en una trayectoria parabólica.
Para un objeto en reposo, acción de la fuerza peso provoca una «caída libre» vertical.
3. Supongamos que una fuerza neta actúa sobre una partícula, pero no realiza trabajo ¿Puede la partícula
moverse en línea recta? ↑
Solución:
No. Si una fuerza neta no realiza trabajo, quiere decir que en todos los puntos de la trayectoria es perpendicular a la trayectoria. Esto sólo es posible en una trayectoria circular completa o parcial, como en el movimiento de un péndulo.
4. Si el momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero con respecto a un punto que
se toma como origen, el momento angular respecto al mismo punto ¿debe ser nulo? ↑
Solución:
No. Sólo tiene que ser constante.
La derivada con respecto al tiempo del momento angular respecto a un punto O que se toma como origen es
 O d r
dL
d
p
 =
 =M


r ×

r ×∑ F
r ×∑ F
=
×
p 
=
p 
v ×

O ,∑ F
dt
dt
dt 

0
igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre cuerpo con respecto a ese mismo punto.
Si el momento de la resultante de las fuerzas es cero con respecto a un punto O, el momento angular respecto
al mismo punto es constante. (La derivada de una constante es cero).