Universidad Alonso de Ojeda - Prof. Ronny Altuve

República Bolivariana de Venezuela
Universidad Alonso de Ojeda
Vicerrectorado Académico
Facultad de Ciencias Administrativas
Administración Mención Gerencia y Mercadeo
UNIDAD I
FUNDAMENTOS BÁSICOS
Elaborado por: Ing. Ronny Altuve
Ciudad Ojeda, Mayo 2016
Universidad Alonso de Ojeda
Vicerrectorado Académico
Facultad de Ciencias Administrativas
Unidad Curricular: Matemática I
ÁLGEBRA
Es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general
posible.
El concepto de la cantidad en álgebra es mucho más amplio que en aritmética. En aritmética
las cantidades se representan por números y éstos expresan valores determinados. Así, 20
expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que éste habrá que escribir
un número distinto de 20.
En álgebra, para la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las
cuales pueden representar todos los valores. Así, “a” representa el valor que nosotros le
asignemos, y por tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a nuestra elección,
aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor
determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que
le hemos asignado.
NOTACIÓN ALGEBRAICA
Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades son los números y las letras.
Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.
Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o
desconocidas.
Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…
Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.
Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas;
por ejemplo: a’, a”, a’’’, que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de
subíndices; por ejemplo, a₁, a₂, a₃, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.
SIGNOS DEL ÁLGEBRA
Los signos empleados en álgebra son de tres clases: signos de operación, signos de relación y
signos de agrupación.
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SIGNOS DE OPERACIÓN
En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en aritmética: suma,
resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, que se indican con los signos
siguientes:
El signo de la suma es +, que se lee más.
El signo de la resta es – , que se lee menos.
El signo de la multiplicación se denota con un punto entre los factores. También se indica la
multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Entre factores literales o entre un factor
numérico y uno literal el signo de la multiplicación suele omitirse. Así abc equivale a a x b x c;
5xy equivale a 5 x X x y.
El signo de la división es ÷, que se lee dividido entre.
El signo de la elevación a potencia es el exponente, que es un número pequeño colocado
arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada base,
se toma como factor. Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad.
El signo de Raíz es √, llamado signo radical, y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se
le extrae la raíz.
SIGNOS DE RELACIÓN
Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los
principales son:
=, que se lee igual a
>, Que se lee mayor que.
<, Que se lee menor que.
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario, el paréntesis angular o corchete y las
llaves. Estos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así (a + b)c
indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c; [a – b]m indica que la
diferencia de a y b debe multiplicarse por m; {a + b} ÷ {c – d} indica que la suma de a y b debe
dividirse entre la diferencia de c y d.
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SÍMBOLOS MÁS COMUNES
Los signos y símbolos son utilizados en el álgebra — y en general en teoría de conjuntos y
álgebra de conjuntos — con los que se constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras
son llamadas variables, ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va
variando. Aquí algunos ejemplos:
Simbología de Conjuntos
Símbolo
{}
∈
∉
∪
∩
Φ
⊆
⊂
⊄
>
<
≥
≤
=
≠
…
⇔
∧
∨
Descripción
Conjunto
Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.
No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.
Unión de conjuntos
Intersección de conjuntos.
Conjunto Vacío
Subconjunto deSubconjunto propio deNo es subconjunto propio deMayor que.
Menor que.
Mayor o igual que.
Menor o igual que.
Igualdad
No es igual a.
El conjunto continúa
Si y solo sí.
Y
O
CONJUNTOS NUMÉRICOS
a)
Los Números Naturales (N): Con los números naturales contamos los elementos
de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un
elemento en un conjunto (ordinal). El conjunto de los números naturales está formado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Observaciones:
La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
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La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre
cuando el minuendo es mayor que sustraendo.
7−1=6єN
3 − 5 = - 2 N
El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando
la división es exacta.
6:2=3єN
2 : 6 N
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado
por varios factores iguales.
La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es
exacta.
b)
Los números enteros (Z): Los números enteros son del tipo:
Z = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Observaciones:
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la
división es exacta.
6:2
Z
2 : 6 Z
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural.
La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la raíz es
exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.
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c)
Los Números Racionales (Q): Se llama número racional a todo número que puede
representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.
Observaciones:
Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números
racionales; pero los números decimales ilimitados no.
La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números racionales es otro número
racional.
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz
es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.
d)
Los Números Irracionales (I): Un número es irracional si posee infinitas cifras
decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número
irracional más conocido es π, que se define como la relación entre la longitud de la
circunferencia y su diámetro.
π= 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la
fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
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e)
Los Números Reales (R): El conjunto formado por los números racionales e
irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por R.
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de
índice par y radicando negativo y la división por cero.
Operaciones Básicas con Fracciones
Número mixto
Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo denominador y el
numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del
número mixto.
𝑎
𝑏 𝑎∙𝑐+𝑏
=
𝑐
𝑐
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Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de
medios.
𝑎 𝑐
=
𝑏 𝑑
𝑠𝑖
𝑎∙𝑑 =𝑏∙𝑐
Reducción de fracciones a común denominador
1)
Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los
denominadores.
2)
Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores,
multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
Suma y resta de fracciones
1)
Con el mismo denominador: Se suman o se restan los numeradores y se mantiene
el denominador.
𝑎 𝑐 𝑎+𝑐
+ =
𝑏 b
𝑏
2)
ó
𝑎 𝑐 𝑎−𝑐
− =
𝑏 𝑏
𝑏
Con distinto denominador: En primer lugar se reducen los denominadores a
común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes
obtenidas.
𝑎 𝑐 𝑎∙𝑑+𝑏∙𝑐
+ =
𝑏 d
𝑏∙𝑑
ó
𝑎 𝑐 𝑎∙𝑑−𝑏∙𝑐
− =
𝑏 d
𝑏∙𝑑
Multiplicación de fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene:
a) Por numerador el producto de los numeradores
b) Por denominador el producto de los denominadores
𝑎 𝑐 𝑎∙𝑐
∙ =
𝑏 d 𝑏∙𝑑
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División de fracciones
El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:
a) Por numerador el producto de los extremos
b) Por denominador el producto de los medios
𝑎 𝑐 𝑎∙𝑑
: =
𝑏 d 𝑏∙𝑐
POTENCIACIÓN
Potencia de una expresión algebraica es la misma expresión o el resultado de tomarla como
factor dos o más veces.
La primera potencia de una expresión es la misma expresión. Así (2𝑎)1 = 2𝑎.
La segunda potencia o cuadrado de una expresión es el resultado de tomarla como factor dos
veces. Así, (2𝑎)2 = 2𝑎 ∙ 2𝑎 = 4𝑎2 .
El cubo de una expresión es el resultado de tomarla como factor tres veces.
Así, (2𝑎)3 = 2𝑎 ∙ 2𝑎 ∙ 2𝑎 = 8𝑎3
Signo de las Potencias
Cualquier potencia de una cantidad positiva evidentemente es positiva, porque equivale a un
producto en que todos los factores son positivos. En cuanto a las potencias de una cantidad
negativa, se debe tomar en cuenta que:
1) Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva.
2) Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa.
Operaciones con Potencias
Producto de potencias con igual base
El producto de potencias con igual base es igual a otra potencia que tiene la misma base y
cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores.
𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
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División de potencias con igual base
El cociente de dos potencias de igual base es igual a otra potencia que tiene la misma base y
cuyo exponente es la diferencia entre los exponentes del dividendo y el divisor.
𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
Potencia de una Potencia
La potencia de una potencia de igual base es igual a otra potencia que tiene la misma base y
cuyo exponente es el producto de los exponentes.
(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛
Potencia de un Producto
La potencia de un producto es el producto de las potencias.
(𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = (𝑎)𝑛 ∙ (𝑏)𝑛
Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias.
(𝑎: 𝑏)𝑛 = (𝑎)𝑛 : (𝑏)𝑛
Exponente Cero
Todo número diferente de cero que sea elevado a la cero es igual a 1.
(𝑎)0 = 1
Exponente Uno
Todo número que sea elevado a la 1 es igual a sí mismo.
(𝑎)1 = 𝑎
POLINOMIOS
Las expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y
constantes, vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta o suma, reciben el
nombre de polinomios.
Operaciones Básicas con polinomios
Suma de polinomios
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La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones
algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).
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Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)
2. Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
3. Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3
Resta de polinomios
Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno
de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Es evidente, de esta definición,
que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo.
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
Multiplicación de polinomios
Es una operación que tiene por objeto, dadas las cantidades llamadas multiplicando y
multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del
multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad
positiva. El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto.
Observaciones:
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El orden de los factores no altera el producto. Esta propiedad, demostrada en aritmética, se
cumple también en álgebra.
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Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo.
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el
producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo
polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se
multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
División de polinomios
Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de
los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). De esta definición, se deduce que el
cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo.
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Resolver la división de polinomios:
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8
Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los
lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del
polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el
resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
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Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede
continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
División por Ruffini
Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve
para hacer la división, llamado regla de Ruffini.
Resolver por la regla de Ruffini la división:
(x4 −3x2 +2) : (x −3)
1. Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con
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ceros.
2. Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
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3. Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiendiente del divisor.
4. Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
5. Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.
6. Sumamos los dos coeficientes.
7Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8. El último número obtenido, 56, es el resto.
9. El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos
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coeficientes son los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18
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DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Factores
Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que
multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión. De otro modo, descomponer en
factores o factorar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus
factores.
Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces, se deben seguir los siguientes pasos, cuando
sean posibles:
1)
Factor común de un polinomio: Extraer factor común a un polinomio, consiste en
aplicar la propiedad distributiva.
𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 ∙ 𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
Una raíz del polinomio será siempre x = 0
2)
Igualdad notable
a.
Diferencia de cuadrados: Una diferencia de cuadrados es igual a suma por
diferencia.
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏)
b.
Trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un
binomio al cuadrado.
𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 ± 𝑏)2
c.
Trinomio de segundo grado: Para descomponer en factores el trinomio de
segundo grado𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las
soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑥1 ) ∙ (𝑥 − 𝑥2 )
d.
Suma o diferencia de Cubos perfectos:
𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
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Factorización de un polinomio de grado superior a dos
Se utiliza el teorema del resto y la regla de Ruffini.
Procedimiento:
 Se define como valor numérico de p(x) para x = a al valor que resulta de sustituir x por
el valor a y realizar las operaciones indicadas. Se representa por p(a).
 Cuando p(a) = 0 se dice que el valor a, que se ha sustituido, es una raíz del polinomio.
 Teorema del resto: cuando se divide un polinomio p(x) por (x –a), el resto que se
obtiene en dicha división coincide con p(a), valor numérico del polinomio para x = a.
PRODUCTOS NOTABLES
Se le llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas cuyo resultado
puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
Cuadrado de una Suma
Elevar al cuadrado (a + b) equivale a multiplicar este binomio por sí mismo y se tiene que:
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
Luego, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad
más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
Cuadrado de una Diferencia
Elevar (a – b) al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma; teniéndose que:
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
Luego, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda cantidad más el cuadrado de
la segunda cantidad.
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
Sea el producto:
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2
Luego, la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del
minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.
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Cubo de un Binomio
Elevando (a + b) al cubo, tendremos:
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
Lo que nos dice que el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera
cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera
por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.
Elevando (a – b) al cubo, se tiene:
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3
Luego, el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad
menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el
cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda.
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