Topos - Editorial UD
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Planimetría Planimetría Mario Arturo Rincón Villalba Wilson Ernesto Vargas Vargas Carlos Javier González Vergara Dirección Sección de Publicaciones Rubén Eliécer Carvajalino C. Dirección Ecoe Ediciones Álvaro Carvajal Coordinación editorial Matilde Salazar Ospina Irina Florián O. César Leonardo Trujillo Rodríguez Coordinación editorial Andrea del Pilar Sierra Corrección de estilo Karen Grisales © Universidad Distrital Francisco José de Caldas © Ecoe ediciones Ltda. © Centro de Investigaciones y Desarrollo Científico © Mario Arturo Rincón Villalba Wilson Ernesto Vargas Vargas Carlos Javier González Vergara ISBN: 978-958-872-352-5 Primera edición: julio de 2012 Reimpresión: Septiembre de 2015 Rincón Villalba, Mario Arturo Planimetría / Mario Arturo Rincón Villalba, Wilson Ernesto Vargas Vargas, Carlos Javier González Vergara. -- 1a. ed. -Bogotá : Universidad Distrital Francisco José de Caldas : Ecoe Ediciones, 2012. 284p. – (Colección tierra y vida) Incluye bibliografía ISBN 978-958-44-6733-1 1. Levantamiento de planos 2. Topografía I. Vargas Vargas, Wilson Ernesto II. González Vergara, Carlos Javier III. Título IV. Serie CDD: 526.9 ed. 20 CO-BoBN– a814933 Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia Diagramación Oscar J. Arcos Sección de Publicaciones Editorial UD Carrera 19 No. 33 -39. Teléfono: 3239300 ext. 6206 Correo electrónico: [email protected] Ecoe Ediciones Ltda. Carrera 19 N° 63C-32 Pbx: 2481449 – Bogotá D.C. www.ecoeediciones.com Todos los derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo escrito del Fondo de Publicaciones de la Universidad Distrital. Hecho en Colombia. Contenido Presentación Introducción 21 25 Topografía 25 Tipos de levantamientos 25 Funciones del profesional en topografía 26 Geodesia 26 Planimetría y altimetría 26 Mediciones en topografía 26 Unidades de medida 27 Redondeo de números 29 Cifras significativas 29 Exactitud y precisión 29 Medición con cinta Materialización de puntos Errores y equivocaciones Errores en mediciones con cinta Precisión de mediciones con cinta Levantamiento con cinta 30 32 32 32 33 37 Definición 37 Aplicaciones 37 Conceptos básicos Medición con cinta Determinación de ángulos con cinta Medición de perpendiculares con cinta 37 37 38 39 Área por figuras geométricas 39 Metodología En campo En oficina 44 44 44 Ejemplo práctico Cartera de campo Carteras de cálculo Cálculo de ángulos Corrección de ángulos Cálculo de áreas Cálculo de áreas 45 45 47 47 47 48 48 Ejercicios planteados 50 Levantamiento con cinta y brújula 57 Definición 57 Aplicaciones 57 Conceptos básicos Ángulo Azimut y rumbo Brújula Declinación magnética Inclinación magnética Atracción local 57 57 58 60 60 61 61 Metodología En campo En oficina 61 61 62 Ejemplo práctico Cartera de campo Carteras de cálculo Ajustar los ángulos internos Determinar la atracción local de todas las líneas Cálculo de áreas por figuras geométricas 63 63 65 66 66 69 Ejercicios planteados Ajuste de ángulos y azimutes Determinación atracción local Cálculo de área por figuras geométricas 69 71 72 73 Levantamiento por radiación 79 Definición 79 Aplicaciones 80 Conceptos básicos 80 Coordenadas polares 80 Coordenadas rectangulares 81 Paso de coordenadas polares a rectangulares 82 Paso de coordenadas rectangulares a polares 83 Metodología En campo En oficina 85 85 86 Ejemplo práctico 87 Cartera de campo 87 Carteras de cálculo 88 Cálculo de proyecciones 88 Cálculo de coordenadas 89 Cálculo de área 89 Ejercicio planteado Cálculo de área por coordenadas Levantamiento por doble radiación 90 93 97 Definición 97 Aplicaciones Conceptos básicos Ley de senos 97 97 97 Metodología En campo En oficina 98 98 99 Ejemplo práctico Cartera de campo Carteras de cálculo Cálculo de distancias desde (A) a cada punto Cálculo de coordenadas de los detalles Cálculo de dimensiones del terreno y direcciones –Azimutes– entre los puntos Cálculo de áreas por coordenadas 101 101 103 103 103 Ejercicio planteado Cálculo de distancias Cartera de cálculos de coordenadas Cálculo de área por coordenadas 105 107 108 109 104 104 Poligonales 113 Definición Aplicaciones 113 113 Metodología 113 Tipo de poligonales 114 Poligonales Abiertas Poligonales cerradas Poligonal punto a punto Métodos para realizar poligonales Por ceros atrás Por azimut directo Por deflexiones 114 114 115 117 117 119 120 Medición de ángulos Método de directo e inverso 122 122 Método de reiteración Método por repetición Levantamiento poligonal abierta Método ceros atrás 123 124 127 Definición 127 Metodología En campo En oficina 127 127 128 Ejemplo práctico Cartera de campo Carteras de cálculo Cálculo de azimut de partida Cálculo de los azimutes de las líneas de la poligonal Cálculo de las proyecciones de la poligonal Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal Cálculo de las coordenadas de los detalles Cálculo de área por coordenadas 129 129 131 131 131 132 132 133 134 Ejercicios Planteados Levantamiento poligonal cerrada Método ceros atrás 135 141 Aplicaciones 141 Conceptos básicos 141 Error en ángulo Error máximo Error en distancia 141 141 142 Metodología En campo 143 143 En oficina 144 Ejercicio práctico Cálculo y ajuste de los ángulos de la poligonal Cálculo del Azimut Inicial Cálculo de las proyecciones Corrección de las Proyecciones Datos estadísticos de la poligonal Cálculo de detalles 144 146 146 147 148 151 151 Ejercicio planteado Cálculo de los detalles Cálculo de las áreas Levantamiento poligonal punto a punto. Método ceros atrás 152 154 155 159 Definición 159 Metodología En campo 160 160 En oficina 160 Ejemplo práctico Cartera de campo Carteras de cálculo Cálculo de azimut de partida Cálculo de azimut de llegada Cálculo de los ángulos ficticios del polígono cerrado Ajuste de los ángulos observados Cálculo de los azimutes de la líneas de la poligonal Cálculo de las proyecciones de la poligonal 161 161 162 162 163 163 166 166 167 Ajuste de las proyecciones de la poligonal Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal Cálculo de las coordenadas de los detalles Cálculo de área por coordenadas Ejercicios planteados Levantamiento poligonal cerrada Método azimut directo 167 168 169 169 170 179 Definición 179 Aplicaciones 179 Conceptos básicos Error en azimut Error máximo Corrección de azimutes Error en distancia Precisión (P) 179 179 179 180 180 180 Metodología 181 En campo 181 Ejercicio práctico Cálculo de la poligonal Cálculo y ajuste de los azimutes de la poligonal Cálculo de azimut inicial Error en azimut Cálculo de proyecciones Corrección de Proyecciones Cálculo de coordenadas Datos estadísticos de la poligonal Cálculo de detalles 182 183 183 183 184 184 185 185 186 187 Ejercicio planteado Cálculo de área por coordenadas 188 192 Levantamiento poligonal Punto a punto. Método azimut directo 195 Definición 195 Metodología 196 En campo En oficina 196 196 Ejemplo práctico Cartera de campo Carteras de cálculo Corrección de los azimutes Cálculo de las proyecciones de la poligonal Ajuste de las proyecciones de la poligonal Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal Cálculo de las coordenadas de los detalles Cálculo de área por coordenadas 197 197 198 198 198 199 200 200 201 Ejercicio Planteado Levantamiento poligonal abierta Método deflexiones 202 209 Definición 209 Metodología En campo En oficina 210 210 210 Ejemplo práctico Cartera de campo Carteras de cálculo Cálculo de azimut de partida Cálculo de los azimutes de las líneas de la poligonal Cálculo de las proyecciones de la poligonal Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal Cálculo de las coordenadas de los detalles y áreas Ejercicio planteado 211 211 212 212 213 213 214 214 215 Levantamiento poligonal cerrada Método deflexiones 221 Definición 221 Aplicaciones 221 Conceptos básicos Ángulo de deflexión Error en ángulos de deflexión Error en distancia Precisión (P) 221 221 221 222 222 Metodología En campo En oficina 222 222 223 Ejercicio práctico Cálculo de la poligonal Cálculo y corrección de los ángulos de deflexión Cálculo de azimut inicial Cálculo de azimutes de la poligonal Cálculo de proyecciones Corrección de proyecciones Cálculo de coordenadas Datos estadísticos de la poligonal Cálculo de detalles 224 226 226 226 227 227 228 229 229 230 Ejercicio planteado 231 Replanteo 237 Definición 237 Aplicaciones Tipos de trabajos topográficos en una construcción 237 238 Conceptos básicos Replanteo de control horizontal Replanteo de control vertical De alineación vertical 239 239 239 239 Puntos de referencia para la construcción –puntos de control– 239 Metodología 239 Ejercicio práctico 240 Cálculo de áreas 247 Definición 247 Métodos de cálculo Figuras geométricas Utilizando malla de puntos Utilizando papel milimetrado Por coordenadas Utilizando planímetro 247 248 250 252 253 255 Dibujo topográfico 259 Definición 259 Proyecciones empleadas en los planos 260 Formatos y plegado de planos Sistema DIN Sistema ASA El pliego 260 260 261 262 Rotulación a mano Letras mayúsculas y minúsculas verticales Letras mayúsculas y minúsculas inclinadas Reglas generales Líneas de guía Centrado del texto Ejemplo letras verticales Ejemplo letras inclinadas 263 263 263 263 264 264 265 265 Registros de trabajo en campo Croquis a pulso 265 267 Escala Escalas gráficas Dimensiones de la escala gráfica 268 269 270 Realización del plano de levantamientos topográficos con cinta y con cinta y brújula 270 Cuando es por triángulos Cuando se ha trazado un polígono 271 271 Realización de un plano por coordenadas Bibliografía 273 281 Presentación Presentación E ste texto fue elaborado como resultado de la docencia e investigación realizada por los autores en el área de TOPOGRAFÍA Y VÍAS. Este documento reúne los conceptos teóricos y prácticos en el área de planimetría. Dentro del mismo se realiza la descripción de los diferentes métodos para la realización de levantamientos topográficos planimetritos y se detalla el desarrollo de dichos procesos, determinando en cada uno de ellos las bases teóricas, aplicaciones y especificaciones. Para esto se desarrolló un ejemplo de cada caso. Además, se plantean ejercicios para cada capítulo que complementan el desarrollo de los temas. Con el fin de que el libro pueda ser implementado como guía práctica y de evaluación, por los docentes de topografía en diferentes centros de educación técnica o superior, se ha adaptado el desarrollo de los ejercicios planteados de forma encadenada al número de identificación del estudiante, logrando de esta manera garantizar el desarrollo individual de los ejercicios. Por lo anterior, los datos iniciales de cada ejercicio se ciñen a las letras A, B, C y D, las cuales están vinculadas con el número de identificación del estudiante. Nombre del Estudiante: ________________________________________________ Código del Estudiante: _______________________________________ Documento de Identidad A B C D 21 Introducción Introducción Topografía S i se analiza la palabra topografía desglosándola del griego, Topos “topo” –lugar– y Graphe “grafía” –descripción–. “Topografía” significaría, “ciencia que se encarga de la descripción de la tierra”. Una definición más acertada es la siguiente: es la ciencia por medio de la cual se establecen las posiciones de puntos situados sobre la superficie terrestre, encima de ella y debajo de ella; para lo cual se realizan mediciones de distancias, ángulos y elevaciones. El desarrollo de esas actividades se conoce como levantamiento topográfico; este tiene como principales objetivos realizar la representación grafica de diferentes terrenos y objetos, y el cálculo de áreas y de volúmenes. Los levantamientos proporcionan información detallada de la ubicación y elevaciones de los diferentes elementos encontrados sean naturales o artificiales. En topografía, la tierra se toma como una proyección. Para la realización de cálculos se tienen las siguientes hipótesis: la línea más corta entre dos puntos de la superficie terrestre es una línea recta, las direcciones de la plomada en dos o más puntos de la superficie terrestre son paralelas (realmente se dirige hacia el centro de esta), se tomarán superficies de referencia imaginarias y serán planas. La topografía está basada esencialmente en la geometría plana, geometría del espacio, trigonometría y matemáticas en general. Tipos de levantamientos Levantamientos topográficos, de control, catastrales, urbanos, hidrográficos, de rutas, de construcción, de minas, solares, industriales, por satélite, judiciales, fotogramétricos, sísmicos, de energía y en general levantamientos según obra a construirse. 25 Planimetría Funciones del profesional en topografía Localización de objetos, localización de los límites de terrenos –sean de índole público o privado–, elaboración de planos, replanteo –localización en terreno de diseños generados en planos–, replanteo y localización de viaductos, control planimétrico y altimétrico de obras, participación en procesos cartográficos, aplicaciones en proyectos ambientales, diseño y construcción de diferentes obras de ingeniería. Geodesia Esta ciencia tiene finalidades muy similares a la topografía; pero en la geodesia se tiene en cuenta la curvatura terrestre –la forma geométrica a la cual se asemeja la forma de la tierra es una elipse en revolución girando sobre su semieje menor “elipsoide”–, por lo anterior el grado de precisión de la geodesia es mayor que el de topografía. Planimetría y altimetría La topografía se divide en dos ramas: planimetría y altimetría. La planimetría no considera las diferencias de nivel y todos los elementos los proyecta a un plano horizontal. La altimetría si considera las diferencias de nivel o relieve de los terrenos y de los elementos artificiales o construidos por el hombre. Mediciones en topografía Las principales medidas que se realizan en topografía son: • Distancias horizontales –son las medidas principales o base en la planimetría temática estudiada en el curso de topografía 1–, medidas verticales –necesarias para establecer las diferencias de nivel y medidas inclinadas– y mediciones directas –entre dos puntos de la superficie terrestre– • Ángulos horizontales – medidos en planos horizontales– y verticales – medidos en planos verticales– 26 Introducción Figura 0.1: Medición de Distancias Unidades de medida Son las relativas a longitud, área, volumen y ángulo. Sistema inglés: la unidad de longitud es el pie. Se usa en Estados Unidos, Liberia y Birmania. Sistema métrico: la unidad de longitud es el metro. Se utiliza en el resto del mundo, por lo que es conocido como el Sistema Internacional de Unidades (SI). En el sistema métrico se utiliza el metro y todas sus subdivisiones y múltiplos – mm, dm, Dm, Hm, Km, Mm–. 27 Planimetría Relaciones de equivalencia 1 yarda = 3 pies 1 pie = 0.3048006 metros. 1 pulgada = 2.54 centímetros 1 metro = 39.37 pulgadas 1 pértiga = 16.5 pies 1 vara = aproximadamente 33 pulgadas 1 cadena de gunter = 66 pies = 100 eslabones 1 milla = 5280 pies = 80 cadenas de gunter 1 braza = 6 pies 1 milla náutica = 6076.10 pies 1 acre = 43560 pies Área: En el sistema ingles se utiliza el pie cuadrado y las yardas cuadradas, en áreas grandes se usa el acre que tiene 43560 pies cuadrados, también se utiliza el arpent = 0.85 acres. En el sistema métrico las áreas se especifican mediante el metro cuadrado, en áreas grandes se utiliza la hectárea equivalente a 10000 metros cuadrados o la fanegada que equivale a 6400 metros cuadrados. Volumen: En el sistema inglés se utiliza el pie cúbico, la yarda cúbica y el acre-pie equivalente a 43560 pies cúbicos. En el sistema métrico el volumen se expresa en metros cúbicos. Angular: La unidad de ángulo utilizada en topografía es el grado (°), definido como 1/360 del ángulo central de una circunferencia, 1 grado = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos. Un Radián es el ángulo subtendido por un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio del círculo. 2p Radianes = 360°, 1 Rad. 57° 17’ 44.8” y 0.01745 = 1° También se ha utilizado aunque muy poco el gon que es equivalente al grado centesimal, donde la circunferencia se divide en 400 grados centesimales, 100 minutos centesimales son iguales a 1 grado centesimal y 100 segundos centesimales con iguales a 1 minuto centesimal. 28 Introducción Redondeo de números Redondear en topografía es el proceso de suprimir uno o más dígitos para que la respuesta solo contenga aquellos que sean significativos o necesarios en cálculos subsecuentes. 1. Cuando el número a eliminar sea menor que 5 se escribe el número sin este dígito: 43.65749 redondeado a tres decimales será 43.657. Este procedimiento se conoce como truncar número. 2. Cuando el número a eliminar es igual a 5 se usará el siguiente número par para el dígito precedente: 32.3775 será 32.378; así 32.3785, al ser redondeado, también será 32.378. Esto se conoce como aproximar número. 3. Cuando el díigito a eliminar sea mayor que 5 se escribirá el número con el dígito procedente aumentado en una unidad. Así 45,6786 será 45.679. Esto se conoce como aproximar número. En Colombia cuando se desarrolla un proyecto topográfico, las distancias se miden al milímetro (tres cifras decimales midiendo en metros) y los ángulos al segundo. Cifras significativas Dígitos positivos seguros más uno que es un dígito redondeado o estimativo, lo que en cierta medida lo hace cuestionable. Por ejemplo, una distancia que se midió con una cinta cuya graduación más pequeña es de 0.002 metros y está registrada como 23.468 se dice que tiene cinco cifras significativas, los cuatro primeros dígitos son seguros y el último es redondeado, ó sea, cuestionable. Es indispensable que las medidas se tomen con el número correcto de cifras significativas de acuerdo a la precisión que se desee alcanzar. Exactitud y precisión Exactitud es el grado de perfección o absoluta aproximación al valor verdadero de una medición. Precisión es el grado de refinamiento o consistencia con la que se mide una determinada cantidad varias veces. Sería la cercanía entre una medición y otra; si se miden varias veces y los valores obtenidos son muy cercanos entre si se dice que la precisión es alta. En topografía se puede hablar de precisión más no de exactitud pues nunca se 29 Planimetría podrá conocer la medida exacta de una magnitud, siempre habrá errores al realizar dicha medida o medidas. Medición con cinta Las distancias que se marcan en los planos son horizontales. Entonces en terreno se deben medir horizontales o con datos auxiliares convertirlas a horizontales. a. En terreno horizontal: se coloca la cinta paralela al terreno y se efectúa la medida; si la cinta no alcanza para medir la distancia entre dos puntos se alinean desde los dos puntos a medir y se ponen puntos intermedios para dividir la distancia en franjas e ir midiendo dichas franjas hasta alcanzar la distancia total (los puntos intermedios se materializan con piquetes o estacas si es en zona blanda y para zona dura se pintan marcas en forma de cruz o por medio de puntillas). El alineamiento de los puntos intermedios puede hacerse a ojo utilizando jalones o con hilo y plomada o también puede emplearse el teodolito con lo que será más preciso. Se debe tensionar la cinta y realizar la medición varias veces para su comprobación. b. En terrenos inclinados e irregulares: se debe medir por tramos poniendo la cinta horizontal. Se hace más práctico y se obtienen mejores resultados si se va midiendo de arriba hacia abajo donde la persona de arriba coloca el cero sobre el punto y la persona de abajo sostiene la cinta horizontal y se lee en ella con el hilo plomeado sobre el punto. 30 Introducción Figura 0.2: Medición en terreno plano Figura 0.3: Medición en terreno inclinado 31 Planimetría Materialización de puntos a. En zona blanda: los puntos se deben materializar con estaca y puntilla, se determina el sitio del punto, se quita la cobertura vegetal haciendo un cuadrado de unos 15 por 15 centímetros; teniendo en cuenta que el punto quede aproximadamente en la mitad de dicho cuadrado, se clava la estaca con la tira de plástico, se clava la puntilla en la estaca y luego se pinta la estaca. b. En zona dura: los puntos se materializan con puntilla si van a ser puntos que tienen una duración alta y teniendo en cuenta que sea permitido; si son solo puntos para realizar una labor y después se pueden perder, se marcan con pintura o crayola según el caso. Errores y equivocaciones Los errores que se pueden cometer realizando diferentes labores en topografía tienen diferentes fuentes como son: Errores personales: ningún ser humano tiene sentidos perfectos de vista y tacto. Errores instrumentales: no existen equipos o instrumentos que hayan sido construidos de manera perfecta. Errores naturales: son ocasionados por temperatura, viento, humedad, variaciones magnéticas entre otras. Los errores pueden ser: los errores sistemáticos que son acumulativos y permanecen de igual signo e igual magnitud; por ejemplo, una cinta mal patronada. Los errores accidentales cuyo valor, magnitud y dirección son causas accidentales. Errores en mediciones con cinta Cinta mal patronada, cinta no horizontal, alineamiento imperfecto, cinta no recta, variación en la tensión, mala comunicación entre el cadenero y el anotador, catenaria. En cualquier tipo de medida que se esté realizando se recomienda hacer una estimación a ojo para verificar que la medida se parezca a la realidad; también es recomendable medir varias veces para realizar comprobación. En mediciones con cinta si se realizan varias mediciones el valor más probable será el promedio de dichas mediciones o media aritmética. 32 Introducción Precisión de mediciones con cinta Para determinar la precisión en medidas realizadas con cinta se deben tener en cuenta las siguientes definiciones: Error residual (v): es la diferencia entre el valor de una observación y el valor de la media (promedio). Por lo cual cada observación tiene un error residual. La suma de todos los errores residuales de las observaciones con su respectivo signo debe ser igual a cero. Error probable (r): es un error tal, que la posibilidad de cometer un error que determine una cantidad mayor a la real es igual a la posibilidad de cometer un error que determine una cantidad menor a la real. r = ±0.6745* ∑ v2 n −1 (0.1) Donde r = error probable v = error residual n = número de observaciones o medidas Error probable de la media (ro) r0 = ±0.6745* ∑ v2 n *(n − 1) (0.2) Donde ro = error probable v = error residual n = número de observaciones o medidas El valor más aproximado será la media ± el error probable de la media. Precisión (P): la precisión se calcula con los valores de la media y el error probable de la media. 1 rO = P X− (0.3) 33 Planimetría Donde: P = Precisión ro = Error probable _ X = Media o promedio. La precisión requerida en mediciones con cinta en terrenos irregulares debe ser mayor a 5000. Ejercicio: 1 27.726 -0.0113 0.00012769 2 27.732 -0.0053 0.00002809 X 27.7373 Error Residual (v) Error Residual al Cuadrado (v2) Distancia 3 27.736 -0.0013 0.00000169 4 27.740 0.0027 0.00000729 0.00007569 5 27.746 0.0087 6 27.748 0.0107 0.00011449 7 27.733 -0.0043 0.00001849 ∑= 0.000 ∑v2= 0.00037343 ro = 0.002 P = 13868. La distancia sería: 27.737 +- 0.002 34 Media _ No Levantamiento con Cinta Levantamiento con cinta Definición E s el levantamiento topográfico (planimétrico) de un terreno, utilizando únicamente la cinta y equipo menor; con el fin de determinar el área total del terreno y de los diferentes elementos que lo componen y poder realizar los planos correspondientes. El levantamiento con cinta es un levantamiento tradicional que se emplea desde cuando aún no se habían inventado los instrumentos para medir ángulos. Aplicaciones El levantamiento con cinta se utiliza cuando se requiere de un levantamiento topográfico y no se tienen más elementos que los ya mencionados. Se debe aclarar que este tipo de levantamientos no tienen mucha precisión y que depende directamente de la calidad de las medidas que se tomen. Se emplea para levantamientos de baja extensión, arquitectónicos, ya que para levantamientos de grandes extensiones proporciona baja precisión y el trabajo en campo se torna largo y dispendioso. Conceptos básicos La medida de distancias horizontales es uno de los principales componentes de los trabajos planimétricos ya que las distancias que se marcan en los diferentes planos son horizontales. Estas medidas se pueden realizar de forma directa o indirecta; aunque se obtienen mejores resultados si se hacen de forma directa. Medición con cinta La medición con cinta depende del tipo de terreno y de los obstáculos que se encuentren en dicho proceso. 37 Planimetría Realizando mediciones con cinta se pueden presentar diferentes tipos de errores como los mencionados en el capítulo anterior. Errores personales: ningún ser humano tiene sentidos perfectos de vista y tacto. Determinación de ángulos con cinta Se requiere medir el ángulo que se forma en el vértice A, sobre el alineamiento AB y desde A se mide una distancia R (puede ser cualquier distancia que depende de cada necesidad y del tipo de terreno; entre más grande sea esa distancia se pueden obtener mejores resultados), se marca el punto y esa misma distancia R se mide sobre el alineamiento AC; también se marca el punto, luego se mide la distancia entre los dos puntos, distancia que para el caso se llamará C. Figura 1.1: Medición de Ángulos con Cinta B R C/2 /2 C A R C Con los datos obtenidos en campo se procede a calcular el ángulo de la siguiente manera: C Sen = 2 2 R α α 2 38 ⎡C ⎤ = Sen −1 ⎢ ⎥ ⎣ 2R ⎦ Sen α 2 = ⎡ C 2R ⎛ C ⎞⎤ ⎝ 2 R ⎟⎠ ⎥⎦ α = 2* ⎢ Sen −1 ⎜ ⎣ (1.1) Levantamiento con cinta Donde: α = ángulo C = cuerda R = radio Medición de perpendiculares con cinta I. Se va a determinar una perpendicular en un punto (p) del alineamiento AB, se mide una distancia X hacia un lado y se materializa, se mide esa misma distancia X hacia el otro lado y se materializa desde los dos puntos materializados se miden radios iguales que sean mayores X y el encuentro de los radios marcará el punto para trazar la perpendicular al punto inicial. II. Caso contrario al anterior; se quiere proyectar un punto (p) que caiga perpendicular al alineamiento AB: desde el punto se mide una distancia D que coincida a un lado del alineamiento AB, se hace lo mismo hacia el otro lado del alineamiento y en la mitad de esos dos puntos estará el punto para que se forme la perpendicular. III. Medidas 3 y 4 en los catetos y medida de 5 en la hipotenusa (múltiplos o submúltiplos de esos valores) garantizan un ángulo recto. Se deben tener tres personas formando el triángulo con la cinta tensionada y otra que garantice que uno de los catetos esté sobre el alineamiento. Figura 1.2: Medición de perpendiculares con cinta p D D A р x x B A 5 x/2 x/2 X 4 B 3 Área por figuras geométricas Consiste en dividir el terreno en figuras geométricas, a las que se les miden los lados y los ángulos para calcular sus áreas y así al realizar la sumatoria de áreas, se determina el área total. La figura que más se utiliza es el triángulo debido a la facilidad de cálculo de su área por diferentes metodologías. Se debe tratar de que las figuras geométricas se ajusten de la mejor manera a la forma del terreno. 39 Planimetría A continuación se describen algunas fórmulas para calcular el área de algunas figuras geométricas muy útiles en topografía. Cuadrado 1 1 A=l*l 1 1 Rectángulo h A=b*h b Círculo A = π * r2 r 40 Levantamiento con cinta Triángulo Casos frecuentes a b a H α b B A= B*H 2 A= c a * b * senα 2 A = ( S ( S − a )( S − b)( S − c)) S= a+b+c 2 Donde: A = Área en m2 del triángulo a, b, c son los lados del triangulo α = Ángulo formado entre los lados a y b Caso especial Se conocen los siguientes datos: dos ángulos y el lado entre ellos. φ = 180 − (α + β ) b c = senβ senφ senα = h= h b :::::: :::::: b= c.senβ senφ b h = bsenα csenβ senα senφ c*h Area = 2 a h c 2 senβ senα Area = 2 senφ c 41 Planimetría Trapecio A= b1 b1 + b2 *h 2 Donde: A = área en m2 del trapecio b1 = base mayor b2 = base menor h = altura b2 h Fórmula de los trapecios Se tiene una zona o terreno dividida por cierto número de trapecios todos con la misma h. AT = Área Total AT = A1 + A2 + A3 + A4 A1 = h *(a + b) 2 AT = 42 A2 = h *(b + c) 2 h (a + 2b + 2c + 2d + e) 2 A3 = AT = h( h *(c + d ) 2 d c b a e A1 A2 A2 A2 h h h h A4 = a+e + b + c + d) 2 h *(d + e) 2 Levantamiento con cinta Fórmula de Simpson Δ1 Y1 Δ2 Y2 h Y3 h Área Total = área del trapecio + área del segmento de parábola ÁreaTrapecio = Y1 + Y3 * 2h , que al multiplicar y dividir por 3 queda: 2 AreaTrapecio = h (3Y1 + 3Y3 ) 3 (1) (2) El área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triángulo; con las mismas bases y vértices. Area Δ1 = (Y2 − Y1 ) * h 2 Area Δ 2 = (Y2 − Y3 ) * h 2 AreaΔ = AreaΔ1 + AreaΔ2 h h Area Δ = (Y2 − Y1 ) * + (Y2 − Y3 ) * 2 2 Area Δ = h (2Y2 − Y1 − Y3 ) 2 43 Planimetría Luego el área del segmento de parábola es: 4 ⎡h 2h ⎤ h (2Y2 − Y1 − Y3 ) ⎥ = (2Y2 − Y1 − Y3 ) = (4Y2 − 2Y1 − 2Y3 ) 3 ⎢⎣ 2 ⎦ 3 3 (3) Al reemplazar (2) y (3) en (1) se tendrá: Area.Total = h (Y1 + Y3 + 4Y2 )` 3 Generalizando: h Area.Total = (Y1 + Yn + 2Yimpares + 4Ypares ) 3 Metodología En campo Si el terreno tiene forma regular se divide en figuras geométricas, con el fin de que en campo se midan sus ángulos y dimensiones necesarias para poder calcular el área y realizar la representación correspondiente en un plano. Si el terreno no tiene una forma regular –este caso es el que más se presenta–, se traza un polígono que abarque la mayor parte del terreno o que siga de manera mas cercana la forma del terreno –en campo se materializan los vértices de dicho polígono–, lo que este por fuera o por dentro del terreno se toma por el método de izquierdas o derechas que consiste en medir las distancias –líneas perpendiculares– desde los puntos del terreno al polígono trazado. Se recomienda medir las distancias varias veces para corroborar que las medidas están adecuadamente realizadas. Para calcular el área total del terreno se calcula el área del polígono y las áreas que se generaron con las perpendiculares, se sumarán o restarán según sea el caso En oficina Según los datos obtenidos en campo, se calcula el área del polígono; para lo cual se deben promediar las distancias –se recomienda medir las distancias varias veces para corroborar que las medidas están adecuadamente realizadas– y corregir los ángulos de 44 Levantamiento con cinta acuerdo a la sumatoria teórica del polígono efectuado. Luego, de acuerdo a las figuras geométricas que se formaron en la toma de izquierdas y derechas, se realiza el cálculo de cada una de ellas, para que finalmente se pueda determinar el área total del terreno sumando o restando las áreas individuales al área del polígono según el caso. Ejemplo práctico Cartera de campo Av. Troncal D.1 D.2 Z. Verde 3 1 Z. Dura D.4 4 Z. Anden 2 8 5 6 7 D.5 D.3 45 Planimetría Levantamiento topográfico con cinta Fecha: Lugar: Comisión: Topógrafo: Anotador: Auxiliares: Equipo: Cinta métrica No. . . Radio D.1 D.5 10.000 Cuerda Distancias 49.316 49.310 13.140 D.2 D.2 10.000 67.619 67-621 D.1 15.000 67.618 67.616 24.668 D.3 D.3 15.000 42.208 42.222 D.2 8.000 42.205 42.213 6.519 D.4 D.4 8.000 42.933 42.930 D.3 10.000 42.927 42.930 17.646 D.5 D.5 10.000 43.588 43.585 D.4 11.000 43.586 43.588 D.1 11.000 49.317 49.315 Derecha Observaciones 11.485 Levantamiento topográfico con cinta . . D.1 D.2 D.2 46 Distancia Izquierda 1 33.402 11.438 Circunferencia 2 42.477 23.934 Al. D.4 3 56.677 4.118 Z. dura 3 0.000 11.691 Z. verde 4 10.000 11.258 Z. verde 5 20.000 12.210 Z. verde 6 30.000 11.499 Z. verde D.3 7 31.724 11.961 Z. verde 8 13.544 31.961 Al D.4 Levantamiento con cinta Carteras de cálculo Cálculo de ángulos Fórmula ⎡ Tabla 1.1 Cálculo de ángulos ⎛ C ⎞⎤ ⎝ 2 R ⎟⎠ ⎥⎦ α = 2* ⎢ Sen −1 ⎜ ⎣ Ángulo No Valor 1 82º 08’ 35” 2 110º 37’ 29” 3 48º 05’ 17” 4 123º 50’ 32” 5 62º 56’ 21” • Los ángulos se aproximan al segundo El ángulo cuatro es externo del polígono; el interno será el congruente 360 - 123º 50 32” = 236º 09 28” Corrección de ángulos Tabla 1.2 Corrección de ángulos Angulo No Valor Corrección 1 82º 08’ 35” 0º 00’ 34” Ángulo Corregido 82º 0909” 2 110º 37’ 29” 0º 00’ 34” 110º 38 03” 3 48º 05’ 17” 0º 00’ 34” 48º 05 51” 4 236º 09’ 28” 0º 00’ 34” 236º 10 02” 5 62º 56’ 21” 0º 00’ 34” 62º 56 55” El ángulo 4 corregido será 360 - 236º 10’ 02” = 123º 49’ 58” ∑ Teórica = (n-2)* 180= 540° La sumatoria teórica de los ángulos internos de un polígono = (n-2)*180 donde n es el numero de ángulos. La explicación de esta fórmula está en que si se divide en triángulos un polígono se van a formar siempre (n-2) triángulos y la sumatoria de los ángulos internos de un triangulo es igual a 180°. Por lo anterior, la sumatoria teórica de los ángulos externos de un polígono es 360n – ((n-2)*180)) = (n+2)*180 ∑ Observada = 539º 57’ 10” Error = ∑ Teórica - ∑ Observada = 0º 02’ 50” Error máximo permisible 10’ por ángulo (para este ejemplo 0º 50’ 00” Corrección = Error / n = 0º00’ 34” 47 Planimetría Cálculo de áreas Promedio de distancias Tabla 1.3 Promedio de distancias Δ ◙ 1 2 67.619 2 3 42.212 Distancia 3 4 42.930 4 5 43.587 5 1 49.315 Cálculo de áreas Área total del terreno = área polígono Figura 1.3 Cálculo de área b D1 D2 2 h D4 b D5 48 b 3 1 a 4 a D3 Levantamiento con cinta Tabla 1.4 Cálculo de área del polígono No Figura Elementos Resultado (m 2 ) Fórmula 1 D5-D1 = 49.415 Triángulo D5-D4 = 43.587 A = (a*b*sen)/2 =62º 5655” 2 D1-D2= 67.619 Triángulo h = 23.934 A = b*h/2 3 D3-D2 = 42.212 Triángulo D3-D4 = 42.930 674.380 957.168 809.197 =48º 05 51” A = (a*b*sen)/2 4 Triángulo D4-D3 = 42.930 D4-D5 = 43.587 =123º 49 58” A = (a*b*sen)/2 777.167 Total 3217.912 Área de zona dura Tabla 1.5 Cálculo del área de la zona dura No Elementos Resultado (m 2 ) Fórmula 1 Triángulo b = 10.942 h = 4.118 A = (b*h)/2 22.530 2 Trapecios unidos con igual (h) h = 10.000 a = 11.691 b = 11.258 c = 12.210 d = 11.499 A = (a+2b+2c+d)*h/2 350.630 3 Trapecio b1= 11.499 b2 = 11.961 A = (b1+b2)*h/2 20.223 h = 1.724 4 Triángulo b = 10.488 h = 11.961 A =(b*h)/2 62.723 5 Círculo r = 11.438 A = ∏*r 411.008 Total 867.114 Área de anden = igual al triángulo (4) = 777.167 m2 Área de zona verde = área total – área zona dura – área anden Area ZV = 3217.912m2 – 867.114m2 – 777.167m2 = 1573.631m2 La realización del plano se explica en el capítulo 15 “Dibujo topográfico” 49 Planimetría Ejercicios planteados D.1 2 4 D.2 1 3 5 6 12 11 D.4 7 9 8 10 D.3 Convenciones Zona verde Escaleras 50 Levantamiento con cinta Levantamiento topográfico con cinta Fecha: Lugar: Comisión: Topógrafo: Anotador: Auxiliares: Equipo: Cinta métrica No. 2 . . Distancia Radio D.1 D.4 7.624 3.000 D.2 9.472 3.000 D.1 9.470 3.000 D.3 10.049 3.000 D.2 10.047 3.000 D.4 9.942 3.000 D.3 9.945 3.000 D.1 7.627 8.000 Cuerda Observaciones 4.2A8 D.2 4.17B D.3 3.5C7 D.4 4.890 Detalles . . D.1 D.2 Distancia Radio Cuerda Observaciones 1 1.824 1.4AB Limite 2 2.8CD 0.874 Límite 3 4.25B 1.67A Límite 4 5.9C3 0.7D2 Límite 5 7.34A 1.22B Límite 51 Planimetría Cálculo y ajuste de los ángulos DELTA PUNTO RADIO ÁNGULO CORRECCIÓN ÁNG. CORR. 52 CUERDA Levantamiento con cinta Cálculo del área por figuras geométricas No. FIGURA ELEMENTOS FÓRMULA RESULTADO ÁREA PARCIAL ÁREA TOTAL 53 Planimetría Cálculo del área por figuras geométricas No. FIGURA ELEMENTOS FÓRMULA RESULTADO ÁREA PARCIAL ÁREA TOTAL 54 Levantamiento con cinta y brújula Levantamiento con cinta y brújula Definición E ste levantamiento es utilizado para levantamientos de poca extensión, similar al levantamiento con cinta. La diferencia es que los ángulos son tomados con apoyo de la brújula. Aplicaciones Levantamientos catastrales, levantamientos preliminares. Conceptos básicos Ángulo Por definición un ángulo es la abertura entre dos líneas que se cortan, este ángulo está compuesto por línea de referencia, sentido y amplitud, según como se indica en la gráfica 2.1 Figura 2.1: Elementos de un ángulo Línea de Referencia S e nt i d Ampli o tu d 57 Planimetría En topografía estos elementos corresponden a: 4. Línea de referencia: es la norte que puede ser de tres tipos: real, magnética y arbitraria 5. Sentido: regularmente se toma el sentido de las manecillas del reloj. 6. Amplitud: es el valor angular que en este caso se puede tomar como rumbo o azimut. Azimut y rumbo En Topografía se considera la nomenclatura de los cuadrantes de la siguiente manera, ya que el cero está en sentido hacia la norte, ver Figura 2.2 Figura 2.2: Numeración de los cuadrantes N IV III I II Rumbo: es el ángulo comprendido entre cada uno de los cuatro cuadrantes, medido desde la línea Norte-Sur, el valor angular está entre 0º y 90º y la nomenclatura corresponde a letras del cuadrante y en el centro el valor del ángulo, colocando primero la letra de la dirección Norte o Sur y luego la de Este–Oeste. 58 Levantamiento con cinta y brújula Figura 2.3: Rumbo N θ W θ IV I III II θ E θ S Para el primer cuadrante el rumbo sería N θ E, para el segundo S θ E, para el tercero S θ W y para el cuarto N θ W. Azimut: es una dirección medida partir de la línea norte, su valor esta entre 0º y 360º, la nomenclatura corresponde solo el valor angular. Figura 2.4: Azimut 0° N θ θ θ 270° IV I III II 90° θ 180° 59 Planimetría Brújula Es un instrumento utilizado por muchos profesionales para encontrar direcciones por medio de los polos magnéticos, antes del teodolito los topógrafos la utilizaban para medir ángulos. La brújula consta básicamente de una caja con un círculo graduado para medir rumbos magnéticos o azimutes magnéticos. La cual contiene una aguja de acero magnetizada montada sobre un pivote, la aguja de la brújula se alinea con el norte magnético. Para medir una dirección con la brújula se instala la brújula en un extremo de la línea, se libera el seguro de la aguja y se dirige la visual hacia el otro extremo de la línea; antes de tomar la lectura se debe verificar que la brújula se encuentre nivelada. La brújula se usa para levantamientos de poca precisión o para verificar levantamientos ya realizados. Figura 2.5: Brújula Fuente: elaboración propia Declinación magnética Es el ángulo que forma el meridiano magnético con el meridiano verdadero. Para cada punto de la tierra tiene un valor diferente y variable ya que el norte magnético varía inexplicablemente por cambios en los campos magnéticos de la tierra. Varía 60 Levantamiento con cinta y brújula en una dirección y luego en otra, en un periodo de 160 años realiza el ciclo completo conocido como variación secular. También existen variaciones anuales y variaciones diarias que son cambios despreciables teniendo en cuenta la precisión de las lecturas de la brújula. La declinación puede ser E o W de acuerdo hacia dónde se desvie la aguja con respecto a los polos geográficos de la tierra. Inclinación magnética Debido a la atracción que ejercen los polos sobre la aguja, esta tiende a inclinarse y no mantenerse horizontal. Dicho grado de inclinación es la inclinación magnética. Las brújulas corrigen esa inclinación por medo de contrapesos que son bobinas de alambre de cobre que se ubican en el otro extremo de polo, según el hemisferio donde se encuentre el aparato. Si se está en el hemisferio norte el contrapeso estará en el extremo sur de la aguja. Atracción local La dirección que toma la aguja se ve alterada por otras fuerzas magnéticas diferentes al campo magnético terrestre –objetos metálicos, de hierro, acero, corrientes eléctricas y otros metales–, si esas fuerzas son muy grandes no será posible utilizar la brújula adecuadamente. Todas las direcciones tomadas desde un mismo punto estarán afectadas por la misma atracción local. Para eliminar la atracción local se toman las direcciones con la brújula de una línea en cada extremo y la diferencia en valores de azimut debe ser 180º. Metodología En campo • Reconocimiento del terreno: como primer paso se debe recocer la totalidad del terreno y hacer el gráfico correspondiente, actividad que se convierte en la principal del trabajo, ya que este gráfico servirá de base para todo el proceso del levantamiento, tanto en campo como en oficina. • Trazo del polígono base: se debe trazar y materializar un polígono que inscriba la mayor parte del terreno a levantar. Para minimizar la toma de detalles se debe trazar utilizando la mayor cantidad de linderos del terreno. 61 Planimetría • Toma de azimut y distancias del polígono: con el polígono materializado siguiendo el mismo procedimiento descrito en el capítulo anterior se miden cada una de las distancias del polígono, y con ayuda de la brújula se toman los azimutes o rumbos, de acuerdo al tipo de brújula, armándose sobre cada uno de los deltas y visar los deltas anterior y siguiente, la visual se puede dar con los jalones y cerca a la brújula evitar equipos o elementos que puedan generar campo magnético. • Toma de detalles: los detalles adicionales, ya sea para completar el área total o para georreferenciar detalles puntuales, como árboles, postes, entre otros, se toman por el método de izquierdas y derechas, metodología descrita en el capítulo anterior. En oficina • Cálculo y ajuste de los ángulos internos: con base en los azimutes se determinan los ángulos internos, y de acuerdo a la sumatoria teórica se determina el error y la corrección para cada ángulo asignándole el mismo peso a cada ángulo. • Determinación de la atracción local: con base en los azimutes tomados en campo, y determinando los azimutes calculados, se determina la atracción que es la diferencia entre los azimutes de campo y los calculados. • Ajuste de los azimutes del polígono: con base en la línea de menor atracción local y los ángulos internos corregidos, se determinan los azimutes corregidos o ajustados de las demás líneas del polígono. • Área por figuras geométricas: con base en el polígono ajustado y los datos de izquierdas y derechas determinar las áreas parciales y las áreas totales. 62 Levantamiento con cinta y brújula Ejemplo práctico Cartera de campo ida Aven Circunvalar 4 2 Z. verde 3 5 N 1 Z. dura D.1. D.2. 8 10 7 D.3. 9 6 0,5 D.4. Entrada parqueadero 63 Planimetría Levantamiento topográfico con cinta Fecha: Lugar: Comisión: Topógrafo: Anotador: Auxiliares: Instrumento: . D.1 D.2 D.3 Cinta No. . Distancia Azimut 225 D.5 42.560 D.2 60.000 93 D.1 60.000 270 D.3 31.135 138 D.2 31.130 320 D.4 30.693 252 D.4 D.3 30.685 76 D.5 81.658 272 D.5 D.4 81.640 91 D.1 42.565 43 Observaciones Levantamiento topográfico con cinta y brújula . . D.1 D.2 D.2 D.4 10 64 Distancia Izquierda Derecha Observaciones 1 10.569 12.201 Lindero 2 20.569 13.913 Lindero 3 30.569 15.900 Lindero 4 40.569 16.422 Lindero 5 50.569 10.565 Lindero 6 51.920 33.789 7 7.205 8.388 Borde 8 7.205 15.032 Centro 9 15.898 10.496 Z. dura 72.446 7.34A Al. V. D.4 D.3 D.5 10.496 Z. dura Límite
