Evaluación de funciones trascendentes. Desarrollo en serie de Taylor (Maclaurin) de las funciones exponencial, seno y coseno. exp(x) = ∞ xj j=0 sen(x) = ∞ j! , (−1)j x2j+1 , (−∞ < x < +∞) (2j + 1)! (−1)j x2j , (2j)! j=0 cos(x) = ∞ j=0 (−∞ < x < +∞) (−∞ < x < +∞) En estos ejercicios se trata de calcular valores aproximados de las funciones mencionadas usando los correspondientes desarrollos en series de potencias, truncadas módulo un ideal (xm ) para un entero positivo m. Ejercicios. Definir procedimientos expo, seno y coseno que admitan, cada uno de ellos, como argumento un número real x y devuelvan, respectivamente, (expo x) la suma n xj j=0 (seno x) la suma n j! , (−1)j x2j+1 , (2j + 1)! (−1)j x2j , (2j)! j=0 (coseno x) la suma n j=0 para un n adecuado, dependiente de la precisión. Notas: • Para el procedimiento expo exprésese el número real x en la forma x = E(x) + D(x), con E(x) ∈ Z (un entero) y 0 ≤ D(x) < 1 y téngase en cuenta que exp(x) = exp(E(x) + D(x)) = eE(x) exp(D(x)) Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 4 de marzo de 2005 1 El factor eE(x) se calcula como una potencia de exponente entero (positivo, negativo o nulo) tomando como valores aproximados, e = 2.71828182845905 y e−1 = 0.367879441171442; úsese para calcular eE(x) la versión iterativa del procedimiento potencia rapida convenientemente modificada a fin de que admita exponentes negativos. El factor eD(x) se calcula mediante la correspondiente serie de potencias truncada. Defı́nanse, consecuentemente, procedimientos parte entera y parte decimal que computen, respectivamente, E(x) y D(x). • Para los procedimientos seno y coseno téngase en cuenta: – La periodicidad de las funciones sen y cos: Si x es un número real, 0 ≤ x < 2π, entonces sen(x + 2kπ) = sen(x), para todo entero k cos(x + 2kπ) = cos(x), para todo entero k Defı́nase un procedimiento auxiliar, digamos primer giro, que reduzca su argumento al primer giro en el sentido comentado. – Las reducciones al primer cuadrante de las funciones sen y cos con los signos adecuados. • Deberán exponerse todas las consideraciones teóricas, algorı́tmicas y de programación pertinentes. • Comparar los resultados obtenidos con los correspodientes a las primitivas exp, sin y cos de Scheme. ¿Cómo podrı́an calcularse las respectivas “funciones inversas” logaritmo neperiano, arcoseno y arcocoseno? Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 4 de marzo de 2005 2