Conversion of Kinetic Energy operator from Cartesian to spherical polar Co-ordinates x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cosθ ( r= x +y +z 2 2 cosθ = tan φ = ) 2 12 z ( x2 + y2 + z 2 ) 12 y x ∂r ∂x = rx = sin θ cos φ ∂r ∂y = ry = sin θ sin φ ∂r ∂z = rz = cosθ sec φ dφ = dy x 2 dφ dx =− dφ dz =0 y cos 2 φ x2 − sin θ dθ = − ydx x2 ⇒ dφ dy = cos 2 φ x = cos φ r sin θ φ = − rsin sin θ dz r − z 2 dz r3 ⇒ dθ dz dθ dy = yz r 3 sin θ = dθ dx = zx 3 r sin θ = cosθrcos φ − zxd3 x − r θ r sin θ cos θ sin φ 1 + r cos = − r sin 3 θ 2 r 2 yzdy r3 1 + cos θ = − sin θ = − r sin r sin θ r θ 2 ∂ ∂x φ = sin θ cos φ ∂∂r + cosθrcosφ ∂∂θ − rsin sin θ ∂ ∂y φ = sin θ sin φ ∂∂r + cosθrsin φ ∂∂θ + rcos sin θ ∂ ∂z = cosθ ∂∂r − sinr θ ∂2 ∂x 2 φ = sin θ cos φ ∂∂r + cosθrcos φ ∂∂θ − rsin sin θ ( = sin 2 θ cos 2 φ + cos 2 − sin θ cos2θ cos ∂2 ∂r 2 θ cos 2 φ ∂ cos θ sin θ cos + ∂r r r 2 − sin θ cos2θ cos φ ∂ ∂θ 2 r ∂2 ∂φ∂r 2 φ ∂2 ∂θ∂r + cos2θ sin 2 r φ ∂2 ∂r ∂θ r = sin θ sin φ − sin θ cos2θ sin 2 + cosθ sinrθ sin 2 r 2 + cosr ∂2 ∂r 2 φ ∂ ∂θ − cos θ sin θ sin 2 φ ∂ ∂θ r2 + sin θ cosrθ sin φ ∂2 ∂θ∂r φ ∂ + cos 2 2 φ ∂2 ∂r ∂θ 2 = ( cosθ ∂∂r − sinr θ = cos θ sin 2 θ ∂ + r ∂r ∂2 ∂r 2 − + ∂ ∂θ r sin θ cos 2 θ sin 2 φ ∂ 2 ∂θ 2 r2 θ sin φ cos φ ∂ ∂φ r 2 sin 2 θ − ∂ ∂r + cosθrsin φ cos φ sin φ ∂ r 2 sin 2 θ ∂φ + cosθ 2sin φ cosφ + cosθ 2sin φ cosφ r sin θ + − r sin θ ∂2 ∂φ∂θ cosθ sin θ ∂ 2 ∂r ∂θ r sin 2 θ ∂ 2 r 2 ∂θ 2 φ − rsin sin θ ∂ ∂φ ∂2 ∂θ∂φ ∂2 ∂r ∂φ )( cosθ ∂∂r − sinr θ ∂∂θ ) cos θ sin θ ∂ ∂θ r2 cos θ sin θ ∂ 2 ∂θ∂r r − cosθ 2cosφ sin φ − cosφrsin φ )(sin θ sin φ 2 ∂ ∂θ sin 2 φ ∂ 2 r 2 sin 2 θ ∂φ 2 + ∂ ∂θ + cosθ 2sin θ r ∂ ∂θ φ + rcos sin θ cos 2 φ ∂ 2 r 2 sin 2 θ ∂φ 2 r φ ∂ r sin θ ∂θ 2 + 2 − cos ∂r r ∂ r sin θ ∂φ φ ∂ sin θ cos φ ∂ − sin θ cos + 2 r ∂φ ∂r ∂φ θ sin 2 φ ∂ + sin φrcosφ ∂∂φ∂r + cos2θ cos ∂r 2 + ∂ ∂φ ∂ ∂φ + cosθrcosφ ∂2 ∂φ∂θ r sin θ + cosφ 2sin φ ∂ ∂r φ + sin2 φ cos 2 cos θ ∂ sin 2 θ ∂φ − cosθ 2sin φ cosφ 2 ( 2 θ cos 2 φ ∂ 2 ∂θ 2 r2 + cosθ sin2φ cos φ φ ∂ r sin θ ∂θ + sin θ cosrθ cos 2 ∂ ∂φ )( sinθ cosφ ∂ ∂φ + cos φ = sin θ sin φ ∂∂r + cosθrsin φ ∂∂θ + rcos sin θ 2 ∂2 ∂z 2 φ ∂ ∂θ 2 r + sinr φ ∂∂r − sin φrcosφ ∂2 ∂y 2 ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂2 ∂θ∂φ ∂ ∂φ ) ) ∇2 ≡ ∂2 ∂x 2 + ∂2 ∂y 2 + ∂2 ∂z 2 = ≡ ∂2 ∂r 2 + 2r ∂∂r + 1 r2 ⎡ 1 ⎢⎣ sin θ ≡ ∂2 ∂r 2 + 2r ∂∂r + 1 r2 Λ2 ∂2 ∂r 2 ∂ ∂θ + 2r ∂∂r + cos θ ∂ r 2 sin θ ∂θ ( sin θ ∂∂θ ) + + 1 ∂2 r 2 ∂θ 2 ∂2 ⎤ 1 sin 2 θ ∂φ 2 ⎥ ⎦ + ∂2 1 r 2 sin 2 θ ∂φ 2