Poliedros Regulares Convexos

Poliedros Regulares
Convexos
Características y relaciones entre ellos
AUTOR: Begoña Soler de Dios1
Máster en Profesor de Educación Secundaria Esp. Matemáticas
Universidad de Valencia
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Modelización (Geometría)
Noviembre 2013
Poliedros Regulares
Convexos
1. ¿Qué son los poliedros regulares?
Un poliedro regular, como su propio nombre indica, es un poliedro cuyas caras son polígonos
regulares de lados iguales y del mismo tamaño (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono…).
Utilizando esta definición, hay un total de nueve polígonos regulares, cinco convexos también
llamados sólidos Platónicos (en los que se centra este trabajo) y cuatro cóncavos también
llamados sólidos de Kepler-Poinsot.
Es decir, tenemos cinco polígonos regulares convexos de los que tenemos que explicar sus
características y establecer relaciones entre ellos.
Pero… ¿Por qué cinco? Si se
pueden inscribir infinitos polígonos
regulares en un círculo ¿por qué hay
solamente cinco poliedros regulares
que se pueden inscribir en una
esfera?
La respuesta del porqué hay solamente cinco la encontramos en la construcción de los
vértices.
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En un vértice de un poliedro regular confluyen un número fijo de caras poligonales, ¿cuántas
pueden ser como mínimo para que se forme un poliedro? Tres. Si considerásemos solamente
dos, en lugar de un vértice lo que se originaria sería dos caras pegadas. Y ¿cuántas pueden ser
como máximo? Hay un número, pero depende del polígono que utilicemos.
En el caso de caras triangulares, para formar un vértice con tres caras pondríamos los
triángulos equiláteros como se indica en la siguiente figura, haciendo los pliegues
correspondientes y juntando los lados azudes se formaría el vértice. Este método también se
puede aplicar en el caso de cuatro y cinco triángulos.
3.
4.
5.
¿Puede haber sólidos con caras de triángulo equilátero y vértices de orden seis? No existen
ya que se completaría todo el plano y no quedaría hueco para unir. Por lo tanto en un vértice
sólo se pueden construir tres, cuatro y cinco triángulos equiláteros.
6.
Utilizando cuadrados como caras y aplicando el mismo procedimiento que en las caras
triangulares se observa que solamente pueden utilizarse tres para formar un vértice. Si
cogemos cuatro se completa el plano y no se podrá formar un vértice.
3.
4.
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Dando un paso más y utilizando pentágonos para formar vértices observamos lo mismo que
utilizando cuadrados, podemos hacer confluir solamente tres, quedando en este caso un
pequeño hueco para unirlos y que por lo tanto un cuarto se montaría encima del primero.
3.
Finalmente, si utilizamos hexágonos, solamente con tres ya se completa el plano y no nos deja
sitio para juntar los lados azules y formar el vértice. ¿Por qué no se pueden construir
poliedros regulares que tengan por caras a los polígonos regulares de siete lados o más?
Evidentemente con polígonos de más lados tampoco podríamos formar más vértices ya que las
caras se montarían unas encima de otras.
3.
Es decir, solamente podemos hacer construcciones en las que confluyan el vértice de tres,
cuatro y cinco triángulos equiláteros, tres cuadrados o tres pentágonos. Por lo tanto, con este
razonamiento, ya utilizado por Euclides en “Los Elementos” se demuestra que solamente
existen cinco poliedros regulares convexos. Es decir, de vértices generados por tres triángulos
sale el tetraedro, con cuatro triángulos el octaedro, con cinco triángulos el icosaedro, con tres
cuadrados el hexaedro o cubo y con tres pentágonos el dodecaedro.
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2. Los poliedros regulares convexos y sus características:
A partir de los resultados en el apartado anterior podemos deducir que:
a) Las caras de un poliedro regular convexo deberán ser iguales y polígonos regulares.
b) Para que pueda formarse el vértice de un poliedro hace falta, al menos tres caras.
c) La suma de los ángulos de las caras concurrentes en el vértice del ángulo poliedro
debe ser siempre menor que 360°.
Es interesante también introducir el teorema de Euler para comprobar si las características de
cada poliedro que obtenemos son ciertas. Este teorema relaciona el número de aristas, caras y
vértices que existen en un poliedro regular convexo, su enunciado es el siguiente:
En todo poliedro regular convexo la suma de número de caras y el número de vértices es
igual al número de aristas más dos.
 TETRAEDRO
El tetraedro, como su propio nombre indica, está formado
por cuatro caras. ¿Cómo son sus caras? Sus caras son
triángulos equiláteros, por lo tanto, para que pueda
formarse deben encontrarse tres de ellas en cada vértice.
Si se juntan tres caras en cada vértice, ¿cuántos vértices
tendremos? Tendremos cuatro vértices, igual al número
de caras del poliedro. Situando uno de los triángulos
como base del poliedro, obtendremos los tres vértices del
triángulo de la base y a estos hay que añadir el vértice del
ápice en el que se juntarán las caras. Destacar que en
cada cara tendremos tres vértices. ¿Cuántas aristas tendremos? Al juntarse tres caras en cada
vértice y tener cada una dos lados (sin tener en cuenta el lado de la base) de los cuales
contamos solamente uno ya que al juntarse las caras se comparten aristas, obtenemos tres
aristas por cada vértice. Es decir, del ápice saldrán tres aristas, cada una de ellas terminará en
cada uno de los vértices de la base del poliedro de los cuales saldrán dos aristas más que al
compartirse solamente contaremos una de ellas por lo que obtendremos tres aristas, que
serán los lados del triángulo de la base, es decir, tendremos seis aristas. Las comprobaciones
de estos resultados se pueden hacer de forma visual y utilizando la fórmula de Euler.
¿Cómo podemos construir un desarrollo para el tetraedro? Teniendo en cuenta que tiene
cuatro caras que son triángulos equiláteros. Por lo tanto, ¿en qué características del poliedro
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nos basamos para construir diferentes desarrollos del mismo tetraedro? En el número de
caras, en sus aristas y en el hecho de que en cada vértice se juntan tres caras del poliedro.
 CUBO
El cubo está formado por seis caras. ¿Cómo son sus caras?
El cubo o hexaedro tiene seis caras cuadradas
congruentes. Por lo tanto, para que pueda formarse deben
encontrarse tres de ellas en cada vértice, es decir, el cubo
son seis cuadrados unidos de tres en tres. Si se juntan tres
caras en cada vértice, ¿cuántos vértices tiene? Tendremos
ocho vértices, cuatro vértices en cada cara. ¿Cuántas
aristas tendremos? Doce. Cuatro correspondientes a la
unión de lados de la base con sus caras laterales, cuatro
que saldrán de cada vértice de la base y cuatro
correspondientes a la unión de los lados de la cara que cierra la figura con las caras laterales.
Las comprobaciones de estos resultados se pueden hacer de forma visual y utilizando la
fórmula de Euler.
¿Cómo podemos construir un desarrollo para el cubo? Teniendo en cuenta que tiene seis
caras que son cuadrados. Por lo tanto, ¿en qué características del poliedro nos basamos para
construir diferentes desarrollos del mismo cubo? En el número de caras, en sus aristas y en el
hecho de que en cada vértice se juntan tres caras del poliedro.
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 OCTAEDRO
El octaedro está formado por ocho caras. ¿Cómo son
sus caras? El octaedro tiene ocho caras que son
triángulos equiláteros congruentes. Por lo tanto, para
que pueda formarse deben encontrarse cuatro
triángulos en cada vértice, es decir, el octaedro son
ocho triángulos equiláteros unidos de cuatro en
cuatro. Si se juntan cuatro caras en cada vértice,
¿cuántos vértices tiene? Tendremos seis vértices, tres
vértices en cada cara. ¿Cuántas aristas tendremos?
Doce. Cogiendo el octaedro desde uno de sus vértices
podemos contar que al juntarse en él cuatro caras
saldrán cuatro aristas, estos cuatro triángulos se juntarán con cuatro triángulos más agrupados
en otro vértice (tendremos cuatro aristas más) y de la unión de los ocho triángulos saldrán
cuatro aristas más, una por cada unión de los triángulos. Las comprobaciones de estos
resultados se pueden hacer de forma visual y utilizando la fórmula de Euler.
¿Cómo podemos construir un desarrollo para el octaedro? Teniendo en cuenta que tiene
ocho caras que son triángulos equiláteros. Por lo tanto, ¿en qué características del poliedro
nos basamos para construir diferentes desarrollos del mismo octaedro? En el número de
caras, en sus aristas y en el hecho de que en cada vértice se juntan cuatro caras del poliedro.
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 DODECAEDRO
El dodecaedro está formado por doce caras. ¿Cómo
son sus caras? El dodecaedro tiene doce caras que
son pentágonos regulares congruentes. Por lo tanto,
para que pueda formarse deben encontrarse tres
pentágonos regulares en cada vértice, es decir, el
dodecaedro son doce pentágonos regulares unidos
de tres en tres. Si se juntan tres caras en cada vértice,
¿cuántos vértices tiene? Tendremos veinte vértices,
cinco vértices en cada cara. ¿Cuántas aristas
tendremos? Treinta. Apoyando el dodecaedro en una
de sus caras de cada uno de sus lados saldrá una cara
nueva obtendremos cinco aristas correspondientes a la unión de las caras con la base y a partir
de cada vértice saldrá una arista más que corresponderá a la unión de las caras. Juntando esta
configuración con una igual formamos el dodecaedro por lo que tendremos diez aristas más a
las que se tendrá que añadir diez más debido a la unión de ambos. Las comprobaciones de
estos resultados se pueden hacer de forma visual y utilizando la fórmula de Euler.
¿Cómo podemos construir un desarrollo para el dodecaedro? Teniendo en cuenta que tiene
doce caras que son pentágonos regulares. Por lo tanto, ¿en qué características del poliedro
nos basamos para construir diferentes desarrollos del mismo dodecaedro? En el número de
caras, en sus aristas y en el hecho de que en cada vértice se juntan tres caras del poliedro.
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 ICOSAEDRO
El icosaedro está formado por veinte caras.
¿Cómo son sus caras? El icosaedro tiene veinte
caras que son triángulos equiláteros congruentes.
Por lo tanto, para que pueda formarse deben
encontrarse cinco triángulos equiláteros unidos
de cinco en cinco, es decir, el icosaedro son veinte
triángulos equiláteros unidos de cinco en cinco. Si
se juntan cinco caras en cada vértice, ¿cuántos
vértices tiene? Tendremos doce vértices, tres
vértices en cada cara. ¿Cuántas aristas
tendremos? Treinta. Cogiendo uno de sus vértices
de él saldrán cinco caras por lo que tendremos
cinco aristas, de cada uno de estos cinco
triángulos saldrá otro, por lo que tendremos cinco aristas más debidas a la unión de los
primeros triángulos con los segundos. Uniendo esta configuración con una igual sumamos diez
aristas más y además le añadimos otras diez debidas a la unión de ambas configuraciones para
formar el poliedro. Las comprobaciones de estos resultados se pueden hacer de forma visual y
utilizando la fórmula de Euler.
¿Cómo podemos construir un desarrollo para el icosaedro? Teniendo en cuenta que tiene
veinte caras que son triángulos equiláteros. Por lo tanto, ¿en qué características del poliedro
nos basamos para construir diferentes desarrollos del mismo icosaedro? En el número de
caras, en sus aristas y en el hecho de que en cada vértice se juntan cinco caras del poliedro.
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Pero… ¿tienen más
características en común
además de tener caras
iguales y regulares?
Otra de las características que tienen en común este tipo de objetos son sus simetrías. Si los
observamos bien podemos decir que tienen todos los tipos de simetrías que existen en el
espacio: simetría puntual, simetría axial y simetría de plano.
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TABLA RESUMEN:
TETRAEDRO
CUBO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
Nº
CARAS
Nº
VÉRTICES
Nº
ARISTAS
ORDEN DE LOS
VÉRTICES
Nº DE LADOS DE
LAS CARAS
4
6
8
12
20
4
8
6
20
12
6
12
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30
3
3
4
3
5
3
4
3
5
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3. Relaciones entre los poliedros regulares convexos:
En este apartado estudiaremos las relaciones que se establecen entre los distintos poliedros
regulares convexos.
Empezamos comparando el número de aristas con el número de caras. A simple vista se puede
observar que hay dos seis que cuadran y dos pares de doce que también. Es decir, podemos
enunciar que el número de caras del cubo y el de aristas del tetraedro es el mismo, seis.
También podemos decir que con las aristas del cubo y las caras del dodecaedro sucede lo
mismo, son el mismo número, doce y que también coinciden el número de aristas del octaedro
con el número de caras del dodecaedro. Es decir, tenemos relaciones entre el tetraedro y el
cubo (T-C), entre el cubo y el dodecaedro (C-D) y entre el octaedro y el dodecaedro (O-D).
TETRAEDRO
CUBO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
Nº
CARAS
Nº
VÉRTICES
Nº
ARISTAS
ORDEN DE LOS
VÉRTICES
Nº DE LADOS DE
LAS CARAS
4
6
8
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20
4
8
6
20
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6
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Relación T-C:
Para realizar esta inscripción nos basamos en el hecho de que
coincide el número de aristas del tetraedro con el número de caras
del cubo. Los vértices del tetraedro serán vértices alternos del
cubo. De esto modo, sobre cada cara del cubo encontraremos una
arista del tetraedro (poliedro inscrito) de forma que
corresponderán a las diagonales de las caras del cubo (poliedro
circunscrito) y por lo tanto obtendremos el mismo número de
aristas del tetraedro que caras del cubo. En este caso las caras del
tetraedro corresponderán a los cuatro vértices opuestos del cubo a
los que tienen vértices del tetraedro.
Relación C-D: Podríamos describir la relación D-C pero se ve más claro en este caso.
En este caso nos basaremos en que coincide el número de
aristas del cubo con el número de caras del dodecaedro.
Situaremos los cuatro pares de vértices opuestos del cubo sobre
cuatro pares de vértices opuestos del dodecaedro. Como en el
caso anterior, las aristas del cubo corresponderán a diagonales
de caras del dodecaedro, habiendo una diagonal en cada cara y
juntándose de tres en tres como es propio del cubo. Finalmente,
las caras del cubo corresponderán a los tres pares de aristas del
dodecaedro que forman rectángulos perpendiculares entre sí.
Relación O-D: Podríamos describir la relación D-O pero se ve más claro en este caso.
Ahora tendremos en cuenta que coinciden el número de aristas
del octaedro con el número de caras del dodecaedro. Esta
figura no tendrá un patrón análogo a la anterior ya que las
aristas del octaedro (poliedro inscrito) no coincidirán con las
diagonales de las caras del dodecaedro (poliedro circunscrito).
En este caso situaremos los seis vértices del octaedro sobre la
mitad de uno de los lados de cada cara del poliedro, observar
que cada uno de los vértices será común en dos caras. Es decir,
las caras del octaedro corresponderán (a la altura de su centro)
con los vértices del dodecaedro.
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Buscando más relaciones llegamos a las siguientes:
TETRAEDRO
CUBO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
Nº
CARAS
Nº
VÉRTICES
Nº
ARISTAS
ORDEN DE LOS
VÉRTICES
Nº DE LADOS DE
LAS CARAS
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6
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3
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4
3
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Nos preguntamos, ¿cómo están relacionados el cubo y el octaedro? El número de caras del
octaedro es igual al número de vértices del cubo y el número de caras del cubo es igual al
número de vértices del octaedro. Tienen también el mismo número de aristas y añadir que
cada uno de los vértices del cubo es de orden tres, el mismo número que lados tienen los
polígonos que forman las caras del octaedro (triángulos equiláteros) y que en cada uno de los
vértices del octaedro es de orden cuatro, el mismo número que lados tienen los polígonos que
forman las caras del cubo (cuadrados). ¿Cómo están relacionados pues el dodecaedro y el
icosaedro? Estos dos poliedros están relacionados de forma análoga al cubo y al octaedro. El
número de caras del dodecaedro es igual al número de vértices de icosaedro y a la inversa y
también tienen el mismo número de aristas. Finalmente, en cada vértice del icosaedro se
juntan cinco caras, es decir, cinco aristas, que es el mismo número que lados tienen las caras
que forman el dodecaedro (pentágonos regulares). Lo mismo sucede en el caso contrarío
siendo el orden de los vértices y el número de lados tres. ¿Qué sucede con el tetraedro? Este
poliedro se relaciona con él mismo, siendo iguales el número de caras y de vértices y el orden
de los vértices con el número de lados que presenta cada cara del tetraedro.
Por lo tanto podemos decir que el tetraedro se relaciona consigo miso, el octaedro y el cubo
entre ambos (C-O) y el dodecaedro con el icosaedro (D-I) también entre ambos
intercambiando el número de caras y vértices, presentando el mismo número de aristas y
teniendo el orden de los vértices de uno de ellos igual al número de lados de las caras del otro
y a la inversa.
Estos tipos de relaciones se llaman relaciones de dualidad, siendo el cubo y el octaedro duales,
el dodecaedro y el icosaedro duales también y el tetraedro dual de sí mismo. ¿Cómo se van a
corresponder los elementos de ambos poliedros? ¿Los podemos inscribir?
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Relación T-T:
Relación C-O:
Relación D-I:
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Es decir, los poliedros regulares duales o recíprocos están relacionados de manera que se
pueden construir modelos inscribiéndolos. Ayudándonos de las figuras, que nos ayudan a
establecer enunciados más generales, podemos sacar las siguientes descripciones de los
poliedros duales:
-Respecto a las aristas: En cada arista del poliedro inscrito aparece una del circunscrito
y se cruzan perpendicularmente, pasando también el eje de rotación que pasa por los puntos
medios de las aristas del poliedro inscrito por los puntos medios de las aristas del poliedro
circunscrito.
-Respecto a las caras: Si contamos el número de lados de las caras de un poliedro
veremos que coincide con el orden de los vértices del otro.
-Respecto a los vértices: Los vértices del poliedro inscrito se sitúan en centros de caras
del poliedro circunscrito mientras que los vértices del poliedro circunscrito se corresponden
con caras del poliedro inscrito.
I para finalizar comparamos el número de aristas con el número de vértices:
TETRAEDRO
CUBO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
Nº
CARAS
Nº
VÉRTICES
Nº
ARISTAS
ORDEN DE LOS
VÉRTICES
Nº DE LADOS DE
LAS CARAS
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30
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3
5
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El número de aristas del tetraedro es igual al número de vértices del octaedro. Esto es posible
de observar si inscribiéndolos situamos cada vértice del octaedro en la mitad de cada una de
las aristas del tetraedro. Se puede hacer la representación inversa pero se ve más clara la
relación en este caso.
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Mientras que el número de aristas del cubo y del octaedro es igual al número de vértices del
icosaedro. Inscribiéndolos se pueden observar estas relaciones.
Referencias:
Weisstein, Eric W. “Regular Polyedron”
http://linux.ajusco.upn.mx/~transpatricio/gregoria/GregoriaWebSite/
http://centros5.pntic.mec.es
Poliedros Regulares. Proyecto Estalmat. Castilla y León
http://www.redalyc.org
http://www.diversocracia.org/
Doménech Romá, “Poliedros Regulares”
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