Ecuaciones generales de los flujos ideales

FISICA II 2011
TEMA 4
APENDICE TEMA MECANICA DE LOS FLUIDOS
Ecuaciones generales de los flujos ideales
Cuando se pueden despreciar los efectos de las viscosidades, la ecuación de movimiento
toma la forma conocida como ecuación de Euler:
dw
∇P
= g−
(4.1)
dt
ρ
Donde w representa la velocidad, t el tiempo, g la aceleración de la gravedad, P la
presión y ρ la densidad del fluido
No es sencillo establecer, en un flujo dado, cuándo y dónde se pueden ignorar los
términos viscosos; se trata de una cuestión que se deberá aclarar en cada caso particular.
Por ahora, supondremos a priori que la (4.1) determina el flujo en una importante
cantidad de casos, especialmente cuando los fluidos involucrados son gases.
Para completar la descripción del flujo tenemos que agregar la ecuación de
conservación de la masa que la podemos expresar de la siguiente manera:
1 dρ
= −∇ w
ρ dt
(4.2)
y la ecuación de la energía, en la cual siguiendo el criterio de la (4.1) vamos también a
despreciar los efectos de las viscosidades. Si además podemos ignorar la conducción
del calor, en consecuencia estamos considerando transformaciones adiabáticas, la
ecuación de la energía se reduce a la forma sencilla, donde u indica la energía interna
por unidad de masa.
du
P
P dρ
= − ∇ w = 2
(4.3)
dt
ρ
ρ dt
Antes de comenzar el análisis del sistema de ecuaciones, es importante examinar el
problema de cómo complementarlas para determinar enteramente el flujo. Se trata de
un sistema de cinco ecuaciones (una ecuación vectorial más dos ecuaciones escalares)
en el que figuran seis funciones incógnitas del flujo: las tres componentes del vector w y
los tres escalares P, ρ y u. Para cerrar el sistema necesitamos pues otra relación
independiente más entre P, ρ y u. Esta relación es la ecuación de estado
P = P (ρ,u)
(4.4)
que es una propiedad del medio. Existe una forma particular de la (4.4): la ecuación
de estado de los gases perfectos, que podemos escribir en la forma P = (γ −1).ρu.
No debemos confundir la ecuación de la energía (4.3) con la ecuación de estado. Si
bien ambas involucran a las mismas variables, la (4.3) establece cómo varía la energía,
y por lo tanto depende del tipo de transformaciones que se están considerando; por
ejemplo, la forma (4.3) dice que la energía interna puede variar solamente por el trabajo
de la presión. En cambio, la ecuación de estado establece una relación entre P, ρ y u
que vale siempre, independientemente de las transformaciones admitidas.
Casos particulares de flujos ideales
Para determinar el flujo de un fluido ideal se tienen, entonces, seis ecuaciones y seis
incógnitas (w, P, ρ y u). Esta situación, que es la más general, muchas veces se
simplifica considerablemente. Siendo de particular interés los casos siguientes:
Flujo incompresible: cuando el flujo se puede considerar incompresible (∇⋅w = 0, o sea
ρ = cte.) u es constante (pues no hay trabajo de la presión sobre los elementos del
fluido); en estas condiciones, la ecuación de movimiento mantiene la misma forma, pero
ahora ρ no es una variable sino un parámetro; quedan las cuatro variables (w, P) y la
ecuación de Euler más la ecuación ∇⋅w = 0 (que es la forma particular que toma la
ecuación de conservación de la masa), alcanzan para determinarlas.
Flujo irrotacional: otra simplificación común es suponer que el flujo es irrotacional,
es decir que ∇ × w = 0. Veremos más adelante que esto reduce el sistema a dos
ecuaciones.
Flujo incompresible e irrotacional: finalmente, el uso combinado de las condiciones
∇⋅w = 0 y ∇ × w = 0 reduce el sistema a una única ecuación escalar.
Formas de la Ecuación de Euler para flujos barotrópicos
Una característica destacable de la ecuación (4.1) es que bajo una gran variedad de
condiciones el segundo miembro se puede escribir como un gradiente. Cuando la fuerza
de volumen es la gravedad y también en otros casos de interés práctico, el término g
tiene la forma
g = −∇ϕ
(4.5)
ϕ está asociado con las fuerzas de volumen, −∇ϕ es la aceleración que producen
dichas fuerzas.
En cuanto al término ∇P/ρ para que se lo pueda escribir como el gradiente de un
potencial, se tiene que cumplir la condición:
 ∇P
 = 0
∇ × 
 ρ 
(4.6)
Para ver qué implica esta última ecuación, usamos la identidad vectorial
y obtenemos
∇ × (α A) =α∇ × A + (∇α ) × A
(4.7)
 ∇P 1
1
1
 = ∇ × ( ∇ P ) − 2 ( ∇ ρ ) × ( ∇ P ) = − 2 ( ∇ ρ ) × ( ∇ P ) (4.8)
∇ × 
ρ
ρ
 ρ  ρ
Por lo tanto, para que ∇P /ρ se pueda escribir como el gradiente es preciso que los
gradientes de P y de ρ sean paralelos en todo punto del fluido, esto es, que las
superficies sobre las cuales P = cte. (llamadas isobaras) coincidan con las superficies
sobre las que ρ = cte. (denominadas isoesteras). En ese caso se tiene que ρ = f (P) . Un
flujo en el cual esto se cumple se denomina barotrópico. A continuación vemos casos
de este tipo.
Caso de flujo incompresible con densidad uniforme
Este es un caso trivial de flujo barotrópico en el cual el gradiente de la densidad es
idénticamente nulo. Entonces la ecuación de Euler se puede escribir como

dw
∇P
P
= g−
= − ∇  ϕ + 
dt
ρ
ρ 

(4.9)
Si se toma el rotor de ambos miembros se encuentra que ∇ × (dw / dt) = 0. Esto no se
traduce en consecuencias inmediatas sobre el campo w, pero implica que derivada total
de la vorticosidad ω = ∇ × w es nula pues ∇ × (dw / dt) = d(∇ × w) / dt = dω / dt = 0 .
Usando una conocida relación vectorial, podemos escribir la derivada convectiva:
(w ⋅∇)w como (w ⋅∇)w = ∇ (w2 / 2) + (∇ × w) × w = ∇ (w2 / 2) +ω × w
(4.10)
y por lo tanto la (4.9) tiene la forma:
 w2
∂w
P
+ ∇ 
+ ϕ +  + ω × w = 0
(4.11)
∂t
ρ 
 2
Esta es una expresión muy interesante de la ecuación de movimiento, que da lugar a tres
formas simplificadas muy usadas que consideraremos a continuación.
Caso de un flujo incompresible estacionario (∂u /∂t = 0).
Tomando el producto escalar de la (4.11) por w, obtenemos
 w2
P
w  ∇ 
+ ϕ +  = 0
(4.12)
ρ 
 2
lo que muestra que a lo largo de una línea de corriente se cumple que
 w2
P

+ ϕ +  = cte .
(4.13)
ρ 
 2
Esta ecuación se conoce como ecuación de Bernoulli y expresa una integral primera de
la ecuación del movimiento para flujos invíscidos, incompresibles y estacionarios.
Flujo incompresible irrotacional (ω = ∇ × w = 0)
En este caso el campo de velocidad se puede derivar de un potencial φ, esto es
w = ∇φ (4.14)
y entonces la ec. (4.11) se puede escribir en la forma
 ∂ φ w2
P
∇ 
+
+ ϕ +  = 0
2
ρ 
 ∂t
de donde obtenemos la integral primera
(4.15)
 ∂ φ w2
P

+
+ ϕ +  = f ( t ) (4.16)
2
ρ 
 ∂t
donde f (t) es una función arbitraria del tiempo. La existencia de esta integral es
importante pues simplifica el problema de encontrar soluciones no estacionarias de la
ecuación de Euler.
Caso de flujo incompresible irrotacional y estacionario (∇ × w = 0 y ∂w /∂t = 0)
En este caso la (4.15) se reduce a
 w2
P
∇ 
+ ϕ +  = 0 (4.17)
ρ 
 2
Donde inmediatamente se desprende que
 w2
P

+ ϕ +  = cte .
ρ 
 2
(4.18)
en todo punto del flujo.
La (4.18) es una forma muy importante de la ecuación de Bernoulli que se usa
frecuentemente para muchos casos de flujos incompresibles, no viscosos e
irrotacionales.
Caso de Flujo compresible barotrópico
Cuando el flujo es compresible, pero no hay conducción de calor (adiabático) y por lo
tanto será isoentrópico (es decir la entropía tiene el mismo valor en todo punto) o bien
es estacionario, el término ∇p /ρ se puede escribir en la forma ∇h donde
h = u + P /ρ
donde h es la entalpía por unidad de masa.
(4.19)
Naturalmente, en un flujo gobernado por la ecuación de Euler, la derivada total de la
entropía es nula si no hay conducción de calor. En efecto, en este caso se tiene
du = −Pdv
(pues la variación de la energía interna por unidad de masa se debe exclusivamente al
trabajo reversible de la presión) y por lo tanto
TdS = du + Pdv = 0
(4.20)
En consecuencia, si el flujo es isoentrópico en un cierto instante, mantendrá siempre
esta condición.
Volvamos ahora a la entalpía y calculemos su derivada total para un flujo sin
conducción de calor gobernado por la ecuación de Euler. La unidad de masa ocupa el
volumen v = 1/ρ, luego h = u + pv y entonces
dh du
dv
dP
dP
=
+ P
+ v
= v
dt
dt
dt
dt
dt
Expresando las derivadas totales en la forma
(4.21)
d / dt = ∂ /∂t + w ⋅∇, queda:
∂h
1 ∂P

+ w∇ h = 
+ w ∇ P
∂t
ρ  ∂t

(4.22)
o sea
 1

∂h 1 ∂P
−
= w   ∇ P − ∇ h 
∂t ρ ∂t
 ρ

(4.23)
El primer miembro de esta ecuación es (recordemos que h = u + p /ρ = u + pv)
∂h
∂P ∂u
∂v
− v
=
+ P
∂t
∂t
∂t
∂t
(4.24)
y claramente es nulo si el flujo es estacionario, o bien si es isoentrópico, pues en tal
caso du = − Pdv tanto si se trata de variaciones convectivas o locales.
Por lo tanto, cuando se cumple una u otra de estas condiciones, la (4.23) nos dice que
1
∇ P = ∇ h (4.25)
ρ
y por consiguiente, la integral del movimiento (4.13) o (4.16) hallada para flujos
incompresibles con densidad uniforme existe también para flujos compresibles, pero
con la función entalpía h = u + P /ρ , en lugar del cociente P/ρ que aparecía para el
caso de flujos incompresibles.
Tomar nota que tanto P/ρ para fluidos incompresibles como h para fluidos compresibles
(bajo las condiciones señaladas), cumplen el rol de un potencial por unidad de masa, del
mismo modo que ϕ. Naturalmente, ϕ está asociado con las fuerzas de volumen, pues
−∇ϕ es la aceleración que producen dichas fuerzas. En cambio P/ρ (para fluidos
incompresibles) y h (para fluidos compresibles, pero sólo cuando el flujo es
estacionario o bien isoentrópico) están asociadas con las fuerzas de superficie, y
representan un potencial por unidad de masa cuyo gradiente (en ambos casos) produce
una aceleración igual a − (∇P) /ρ.
BIBLIOGRAFIA
Mataix, C. Mecánica de los Fluidos. Editorial ICAI, Madrid.1985
Gratton, J. Mecánica de los Fluidos. Editorial Universidad de Buenos Aires.2002