Función de Transferencia

2.4
Función de Transferencia
PALABRAS CLAVE Y TEMAS
Función de Transferencia
Respuesta Impulsional
OBJETIVOS
•
•
•
¿Qué es la Función de Transferencia?
Utilidad
Respuesta impulsional
1
T2.4 Función de Transferencia
Función de Transferencia
Para un sistema lineal de parámetros constantes, la Función de
Transferencia se define como el cociente entre la Transformada Laplace de la
señal de salida Y(s) y la Transformada de Laplace de la señal de entrada U(s),
suponiendo todas las condiciones iniciales nulas.
O sea, si el sistema viene dado por la ecuación diferencial:
an y n (t ) + an −1 y n −1 (t ) + .. + a1 y& (t ) + a0 y (t ) = bmu m (t ) + bm −1u m −1 (t ) + .. + b1u& (t ) + b0u (t )
en donde u(t) es la entrada e y(t) es la salida.
la Función de Transferencia del sistema, G(s), será:
m
Y ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + ... + b1s + b0 N ( s )
G (s) =
=
=
=
n
n −1
U ( s ) an s + an −1s + ... + a1s + a0 D ( s )
i
b
s
∑i
∑a s
j
0
2
T2.4 Función de Transferencia
=
0
n
j
Utilidades
¾ Ventajas de la Función de Transferencia:
• Es una representación compacta de un sistema lineal como
cociente de polinomios en s.
• Permite predecir la forma de las señales sin necesidad de resolver
la ecuación diferencial
• Tiene una interpretación inmediata en la frecuencia: s=jw
• Es una propiedad del sistema: independiente de la magnitud y la
naturaleza de la señal de entrada.
• Si se desconoce la ecuación diferencial que describe el sistema,
se puede obtener su Función de Transferencia de forma
experimental, excitando al sistema con entradas conocidas y
estudiando su respuesta.
3
T2.4 Función de Transferencia
Polos y Ceros
¾ Las raíces del polinomio del numerador N(s) son los ceros del sistema (zi).
¾ Las raíces del polinomio del denominador D(s) son los polos del sistema (pj).
¾ El orden del sistema se corresponde con el grado del polinomio del
denominador D(s)
Ejemplo 1: sistema de primer orden
Ejemplo 2: sistema de segundo orden
G(s) =
K
τ s +1
ωn 2
G( s) = 2
s + 2ξωn s + ωn 2
4
T2.4 Función de Transferencia
Respuesta impulsional
La respuesta impulsional de un sistema es la salida que
se obtiene al aplicarle como entrada un impulso.
Puede obtenerse fácilmente a partir de la Función de
Transferencia:
Si la entrada del sistema es el impulso unitario: X ( s) = 1
Y (s) = G(s) ×1
→
y(t ) = g (t )
• Es decir, la respuesta impulsional del sistema es la
equivalencia en el tiempo de la Función de Transferencia
(T. de Laplace inversa).
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• g(t) se denomina Función Ponderatriz.
T2.4 Función de Transferencia