10 = zyx rqp cba z y x c b a r q p B cz by ax rc qb pa c b a A − − − = +

IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2015
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Opción A
a
b c
p q r = 10 . Calcular, de manera razonada, aplicando las propiedades
x y z
Ejercicio A.1- Se sabe qué
adecuadas, el valor de los siguientes determinantes:
2a
2b
2c
3p
A= a+ p
b+q
c+r
− x+a − y+b − z +c
2a
2b
A= a+ p
2c
b+q
− x+a − y+b − z +c
= 2⋅
a
b
c
a
b
c
2b
2c
a
b
c
− x+a − y+b − z+c
= 2⋅
a
b
c
p
q
r
2a
2b
2c
p
q
r
+
− x+a − y+b − z+c
+ 2⋅
a
b
c
p
q
r
= 2⋅0 + 2⋅
a
b
c
p
q
r
b
c
a
b
c
= 2⋅ p q r + 2⋅ p
q
r = 2⋅0 + 2⋅ p
q
r =
a
a
b
−x −y −z
b c
a
b
c
3p
3q
3r
p
q
r
p
q
B = 2a
2b
2c = 3 ⋅ 2 a
2b
2c = 3 ⋅ 2 ⋅ a
b
=
− x+a − y+b − z+c
a
− x+a − y+b − z+c
b c
=
− x+a − y+b − z +c
− x+a − y+b − z +c
a
3r
B = 2a 2b 2c
−x −y −z
2a
c+r =
3q
−x −y −z
c
= 2⋅ p
q
r = 2 ⋅ (− 1) ⋅ p q r = 2 ⋅ (− 1) ⋅ 10 = −20
−x −y −z
x y z
−x −y −z
a
b
= (− 6 ) ⋅ (− 1) ⋅ p q
x
y
−x −y −z
r
p
c = 3 ⋅ 2 ⋅ (− 1) ⋅ a
−x −y −z
x
q
r
b
c =
y
z
c
r = 6 ⋅ 10 = 60
z
1
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2015
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Ejercicio A.2.a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(-1 , 2 , 3) y es paralelo a los vectores
a (-1 , -2 , -3) y b (1 , 3 , 5)
b) Calcular el valor de m para que el plano calculado en el apartado anterior y el plano
sean perpendiculares
mx − y + 5 z = 8
a) El plano π es generado por los dos vectores y por el vector PG, siendo G el punto genérico del plano, los
tres son coplanarios y el volumen del paralelepípedo (calculado hallando su producto mixto) que forman es
nulo y la ecuación pedida del plano

a = (− 1 , − 2 , − 3)
x +1 y − 2 z − 3

b = (1 , 3 , 5)
⇒ π ≡ −1
−2
−3 = 0 ⇒

 PG = ( x , y , z ) − (− 1 , 2 , 3) = ( x + 1 , y − 2 , z − 3)
1
3
5

− 10 ( x + 1) − 3 ( y − 2 ) − 3 ( z − 3) + 2 ( z − 3) + 9 ( x + 1) + 5 ( y − 2 ) = 0 ⇒ − ( x + 1) + 2 ( y − 2 ) − ( z − 3) = 0 ⇒
π ≡ x − 2y + z + 2 = 0
b) Si dos planos son perpendiculares lo son sus vectores directores y, por ello, su producto escalar es nulo
 vπ = (1 , − 2 , 1)
⇒ vπ ⊥ v plano ⇒ vπ ⋅ v plano = 0 ⇒ (1 , − 2 , 1) ⋅ (m , − 1 , 5) = 0 ⇒ m + 2 + 5 = 0 ⇒

v plano = (m , − 1 , 5)
m + 7 = 0 ⇒ m = −7
Ejercicio A.3 Dado el polinomio P ( x ) = x + ax + bx + c .
a) Determinar los coeficientes a, b y c sabiendo que tiene extremos relativos en x = -1 y en
x = 1 y que además pasa por el origen de coordenadas.
b) Estudiar la naturaleza de ambos extremos relativos (si son máximos o mínimos) y realizar un dibujo
aproximado del polinomio.
3
2
a)

P(0 ) = 0 ⇒ 0 3 + a ⋅ 0 2 + b ⋅ 0 + c = 0 ⇒ c = 0

2
P' ( x ) = 3 x 2 + 2ax + b ⇒  P' (− 1) = 0 ⇒ 3 ⋅ (− 1) + 2a ⋅ (− 1) + b = 0 ⇒ 3 − 2a + b = 0 ⇒ 2a − b = 3 ⇒
 P' (1) = 0 ⇒ 3 ⋅ 12 + 2a ⋅ 1 + b = 0 ⇒ 3 + 2a + b = 0 ⇒ 2a + b = −3

4 a = 0 ⇒ a = 0 ⇒ 2 ⋅ 0 − b = 3 ⇒ −b = 3 ⇒ b = −3 ⇒ P ( x ) = x 3 − 3 x
b)
 P ' ' (− 1) = 6 ⋅ (− 1) = −6 < 0 ⇒ Máximo relativo
P' (x ) = 3x 2 − 3 ⇒ P' ' (x ) = 6 x ⇒ 
 P' ' (1) = 6 ⋅ 1 = 6 > 0 ⇒ Mínimo relativo
2
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2015
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Ejercicio A.3 de la opción A
b) Continuación
Y
X
Ejercicio A.4.- Dibujar la región encerrada entre las parábolas
calcular el área de dicho recinto.
f (x ) = x 2 − 2 x + 1 y g (x ) = − x 2 + 5 y
Y
X
 2
x=0

− x + 2 x = 0 ⇒ (− x + 2 ) x = 0 ⇒ 

− x + 2 = 0 ⇒ x = 2
Puntos de corte con OX ⇒ y = 0 ⇒ 
x=0
 x 2 − 10 x = 0 ⇒ (x − 10 ) x = 0 ⇒ 

 x − 10 = 0 ⇒ x = 10
3
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2015
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Ejercicio A.4 de la opción A
(
)
Puntos de corte entre funciones ⇒ x 2 − 2 x + 1 = − x 2 + 5 ⇒ 2 x 2 − 2 x − 4 = 0 ⇒ 2 x 2 − x − 2 = 0
1+ 3

x=
=2

1
±
9
2
x 2 − x − 2 = 0 ⇒ ∆ = (− 1) − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 2 ) = 9 ≥ 0 ⇒ x =
⇒
1− 3
2 ⋅1
x =
= −1
2

2
∫ (− x
2
A=
−1
[
2
)
2
(
)
+ 5 dx − ∫ x 2 − 2 x + 1 dx =
−1
] [
]
∫ (− 2 x
2
−1
2
)
[ ]
1
+ 2 x + 4 dx = (− 2 ) ⋅ ⋅ x 3
3
2
−1
[ ]
1
+ 2 ⋅ ⋅ x2
2
2
−1
+ 4 ⋅ [x ]−1
2
2
2
3
2
A = − ⋅ 2 3 − (− 1) + 2 2 − (− 1) + 4 ⋅ [2 − (− 1)] = − ⋅ (8 + 1) + (4 − 1) + 4 ⋅ 3 = −6 + 3 + 12 = 9 u 2
3
3
Ejercicio A.5.- Con los dígitos 2 y 3. ¿Cuántos números distintos de 5 cifras se pueden formar?
El número de valores distintos es
CR25 = 2 5 = 32
4
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2015
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Opción B
 x + y − z = −4

Ejercicio B.1.- Dado el sistema de ecuaciones lineales 3 x + ay + z = a − 1
 2 x + ay = −2

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema en el caso o casos de indeterminación.
c) ¿Existe algún valor de a tal que el sistema no tenga solución?. Razona la respuesta
a)
1 1 −1
A= 3 a
2 a
1
1
−1
1 = 4 a +1
0 = (− 1) ⋅
0
0
2
a
4 a +1
2
a
= 4a − 2a − 2 = 2a − 2 = 2 ⋅ (a − 1) ⇒
Si A = 0 ⇒ 2 ⋅ (a − 1) = 0 ⇒ a = 1
∀a ∈ ℜ − {1} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incógnitas ⇒ Sist. Compatible Deter min ado
Si a = 1
 1 1 −1 − 4  1 1 − 1 − 4  1 1 − 1 − 4

 
 

 3 1 1 0  ≡  4 2 0 − 4 ≡  0 0 0 0  ⇒
 2 1 0 − 2  2 1 0 − 2  2 1 0 − 2

 
 

rang ( A) = rang ( A / B ) = 2 < Número de incógnitas ⇒ Sistema Compatible In det er min ado
b)
Si a = 1
1 1 −1 − 4


 0 0 0 0  ⇒ 2 x + y = −2 ⇒ y = −2 − 2 x ⇒ x − 2 − 2 x − z = −4 ⇒ z = − x + 2
 2 1 0 − 2


Solución ⇒ ( x , y , z ) = (λ , − 2 − 2λ , 2 − λ )
c) No hay ningún valor de a que haga el sistema Incompatible
5
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2015
Juan Carlos Alonso Gianonatti
v (1 , 2 , 3) y pasa por el punto
P’, siendo P’ el punto simétrico del punto P(0 , -2 , 0) respecto al plano π : x + 3 y + z = 5
Ejercicio B.2.- Encontrar la recta que tiene como vector director el vector
Hallaremos una recta r perpendicular al plano que pase por el punto P, debido a ello su vector director es el
del plano
Se hallará el punto Q, de intersección del plano π con la recta r, que es el punto medio entre P y su
simétrico P’, este y el vector dado determinan la recta s que se pide.
 x=λ

v r = vπ = (1 , 3 , 1) ⇒ r :  y = −2 + 3λ ⇒ Inter sec ción ⇒ λ + 3 ⋅ (− 2 + 3λ ) + λ = 5 ⇒ 2λ − 6 + 9λ = 5 ⇒
 z=λ

0 + xP'

1=
⇒ xP' = 2

2
x =1

 − 2 + y

P'
11λ = 11 ⇒ λ = 1 ⇒ Q  y = −2 + 3 ⋅ 1 ⇒ Q(1 , 1 , 1) ⇒ 1 =
⇒ −2 + y P ' = 2 ⇒ y P ' = 4 ⇒
2


z =1
0 + z P'


1=
⇒ z P' = 2

2
 x = 2+µ

P' (2 , 4 , 2 ) ⇒ s :  y = 4 + 2 µ
 z = 2 + 3µ

(
)
Ejercicio B.3.- Sea f ( x ) = 3 x − 2 x e
a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f.
b) Calcula los extremos relativos de f. (máximos y mínimos)
a)
(
2
)
x
(
)
(
)
f ' ( x ) = (3 − 4 x ) e x + 3 x − 2 x 2 e x = 3 − 4 x + 3 x − 2 x 2 e x = 3 − x − 2 x 2 e x ⇒
 x = 1
− 1 ± 25
3⇒
⇒
2⋅2
 x = − 2
3
3


3 − x − 2 x 2 e x = (− 1) ( x − 1) ⋅  x +  e x ⇒ Crecimiento ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ (− 1) ( x − 1) ⋅  x +  e x > 0 ⇒
2
2


 − 1 < 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ
 x −1 > 0 ⇒ x > 1

x + 3 > 0 ⇒ x > − 3

2
2
 e x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ

3
−∞
−
1
∞
2
3 − x − 2 x 2 = 0 ⇒ 2 x 2 + x − 3 = 0 ⇒ ∆ = 12 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 3) = 1 + 24 = 25 ≥ 0 ⇒ x =
(
)
1<0
(-)
(-)
(-)
3
x> −
2
(-)
(+)
(+)
x>1
x
e >0
Solución
(-)
(+)
(-)
(-)
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
6
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2015
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Ejercicio B.3 de la opción B
Creciente ∀x ∈ ℜ / −
3

< −  ∪ ( x > 1)
2

3
< x <1
2
Decreciente ∀x ∈ ℜ /  x
b)
9 18
2
−
−
3


−
3
 3
 3
 3
2
4 = − 9 e de
2
Mínimo relativo x = − ⇒ f  −  = 3 ⋅  −  − 2 ⋅  −   e =
2
e2
e e
 2    2 
 2  
decrecimiento pasa a crecimiento
Máximo relativo
(
)
x = 1 ⇒ f (1) = 3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 12 e1 = e de crecimiento pasa a decrecimiento
e
Ejercicio B.4.- Calcular la siguiente integral definida
∫x
2
ln ( x ) dx
1
x3
x 3 dx x 3
1 2
x3
1 x3 x3
∫ x ln (x ) dx = 3 ⋅ ln (x ) − ∫ 3 ⋅ x = 3 ⋅ ln (x ) − 3 ∫ x dx = 3 ⋅ ln (x ) − 3 ⋅ 3 = 3
2
1

ln ( x ) − 3  + K


e
1  3
1 
1  3
1 3 
1  1  3  1   1 
∫1 x ln (x ) dx = 3  x ln (x ) − 3  = 3 e ln (e ) − 3  − 1 ln (1) − 3  = 3 e 1 − 3  − 0 − 3 
1
e
2
e
2
∫ x ln (x ) dx =
1
(
)
1  2e 3 1  1 3
+  = 2e + 1

3 3
3 9
Ejercicio B.5.- Escribimos en orden creciente 250 múltiplos seguidos del 5 comenzando por el 50. Ahora
suprimimos los 90 primeros números. ¿Cuánto vale la suma de los restantes números?
a 250 = a1 + (n − 1) d = 50 + (250 − 1) 5 = 50 + 249 ⋅ 5 = 1295 ⇒ S1− 250 =
S1− 250 = 1345 ⋅ 125 = 168125
a 90 = a1 + (n − 1) d = 50 + (90 − 1) 5 = 50 + 89 ⋅ 5 = 495 ⇒ S1−90 =
(a1 + a 250 ) n (50 + 1295) 250
=
2
2
(a1 + a90 ) n (50 + 495) 90
=
= 24525
2
2
Diferencia = 168125 − 24525 = 143600
7