El conjunto Rn
Es el conjunto de las n-adas formadas por el producto cartesiano
RxRxR….xR, donde R es el conjunto de los números reales. Así pues,
n
dos elementos X y Y de R serán iguales si y solo si tienen idénticas
componentes respectivamente.
Sean
X=(x1, x2, x3,…, xn), y Y= (y1, y2, y3,…, yn), Rn:
X=Y
x1=y1, x2=y2, x3=y3,…, xn=yn.
n
Operaciones que se definen en el conjunto R :
Una operación interna: Suma
Una operación externa: Multiplicación por un escalar
SUMA
Llamaremos suma de X y Y R a:
n
X+Y
(x1+y1,
x2+y2, x3+y3,…, xn+yn)
n
Es una operación interna dado que opera sobre dos elementos de R .
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Sea X R y R, entonces:
n
X
(x1, x2, x3,…, xn)
n
Es una operación externa dado que el escalar no pertenece a R . El escalar
pertenece al cuerpo de los números reales.
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Espacio vectorial
Dado un conjunto V en el cual se han definido dos operaciones, una
interna (+) y otra externa (.) con operadores en el cuerpo R. Se dice que
.
la terna (V, +, ) es un espacio vectorial sobre el cuerpo R, si solo si, se
cumplen las siguientes propiedades:
Para la operación interna Suma
Propiedad
1 Asociativa
Existencia de
2 Elemento
Neutro
x, y, z V ( x y) z x ( y z)
V
x V ,
Existencia de
3 Elemento
Simétrico
x V , x' V
Propiedad
4 Conmutativa
x, y V
x
x
x
x x' x' x
x y
y x
(Estas cuatro propiedades le confieren a Rn la estructura de grupo conmutativo o
abeliano: (Rn, +) es un grupo abeliano.)
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Para el Producto por Escalares
Propiedad
Distributiva1
Propiedad
6
Distributiva2
Propiedad
7
Asociativa
Elemento
8
Neutro
5
x, y V R .( x y) .x . y
x V , R ( ) x .x .x
x V , R .( .x) ( . ).x
V
x V ,
.x
x
n
Estas ocho propiedades le confieren a R la estructura de espacio
vectorial sobre el cuerpo de los números reales R. Los elementos de V
se llaman entonces vectores.
El elemento = (0, 0,…, 0), es el neutro con respecto a la suma, y se
denomina vector nulo.
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Espacio euclídeo
Un espacio euclídeo es un espacio vectorial en donde se ha definido una
operación denominada producto escalar de dos vectores. También
denominada producto interno o producto punto.
Sean X=(x1, x2, x3,…, xn), y Y= (y1, y2, y3,…, yn) Rn, se define producto
interno X.Y al número real (x1y1 + x2y2 +…+ xnyn), expresado mediante la
siguiente expresión:
n
X .Y =
xiyi
i=1
A la pareja (V, ) se le llama un espacio euclídeo.
La notación < X, Y > también representa al producto escalar de dos
vectores.
Propiedades del producto escalar
Positividad:
X. X 0,
X. X = 0 X = Θ (vector nulo).
Propiedad Asociativa mixta
X.Y = ( X.Y)
y
X.Y = ( X.Y)
Propiedad distributiva respecto de la suma.
X. (Y+Z) = X.Y + X. Z
y
(X + Y). Z = X. Z + Y. Z
Propiedad conmutativa:
X.Y = Y. X
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NORMA EN R
n
n
En un espacio vectorial euclidiano se define la función norma en R de la
siguiente manera:
1/2
n
Sea X un vector de R se denomina norma de X al número real (X.X)
Lo que se expresa así,
||X|| = (X.X)1/2
Propiedades fundamentales de la norma
Positividad
||X|| 0 , (||X|| = 0
X = Θ)
Propiedad escalar
||X|| || ||X|| , ( R)
Propiedad triangular
|| X + Y || || X || + || Y ||
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Espacio métrico
Un conjunto A se convierte en un espacio métrico cuando en él se define
n
una función distancia en R con las propiedades de separación, simetría
y triangular.
d:
AxA R
Distancia en Rn
Dados dos vectores X, Y R
real positivo:
n
llamaremos distancia de X a Y al número
d(X, Y) = || X-Y ||
X Y X Y
x1 y1 2 x2 y2 2 ... xn yn 2
Propiedades fundamentales de la distancia
Separación:
d(X, Y) = 0 X = Y
Simetría:
d(X, Y) = d(Y, X)
Triangular:
d(X, Z) d(X, Y) + d(Y, Z)
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Definición de función vectorial
Dado un conjunto A subconjunto de
R n,
y el espacio vectorial
Rm
denominado conjunto de llegada. Se denomina función o aplicación de A
en
Rm a la
correspondencia matemática denotada por:
Que cumple con las siguientes dos condiciones:
1. Condición de existencia: Todos los elementos de A están
relacionados con algún elemento del conjunto de llegada, es decir,
X A, Y R m \ Y f ( X)
2. Condición de unicidad: Cada elemento de A esta relacionado con un
único elemento del conjunto de llegada, es decir, si
Y1 f ( X1 ) y Y2 f ( X1 )
Y1 Y2
Dominio de f
El dominio de
f
es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los
elementos para los cuales la función está definida. Se denota por
definido por:
Df
X Rn
\ Y f ( X) R m
Df
y está
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Componentes de una función vectorial
La representación
indica una función f cuyo dominio está
n
m
en R y que toma valores en R .
Si m = 1 Función de valor real o simplemente Función real
f(X) = Y
f (x1, x2,…, xn) = (y1, y2,…, ym)
f
x1
x2
xn
=
y1
y2
ym
A Rn se le denomina espacio del dominio y a Rm espacio de valores de la
función.
Se denomina Rango de f al conjunto formado por las imágenes f(X), esto es:
Rf= {f(X)}
Cada componente yi de la imagen viene dada por una función real de las
variables x1, x2,…, xn.
f
x1
x2
xn
=
y1
y2
y1 = f1(x1, x2,…, xn)
ym
:
yi = fi (x1, x2,…, xn)
:
ym = fm (x1, x2,…, xn)
Para cada
componente
yi
Hay una
Función real
fi.
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