Ejercicios complementarios 2

PROBLEMAS DE ELASTICIDAD
Y
RESISTENCIA DE MATERIALES
Complementarios 2
1. Para el estado de tensiones definido en la figura, se
200
pide:
a) Valores de las tensiones pricipales.
b) Representación del círculo de Mohr tridimensional,
acotando sobre el mismo los valores de las tensiones
principales.
c) Valor de la máxima tensión tangencial.
d) Determinar si los siguientes valores (σ,τ)
800
corresponden o no a dicho estado de tensiones:
400
300
d.1) σ=0; τ=150
d.2) σ=300; τ=500
d.3) σ=800; τ=700
Nota: Las unidades de todas las tensiones que aparecen en este enunciado son Kg/cm2.
2. La figura representa un estado plano de deformaciones correspondiente a un estado
de tensiones en equilibrio. Como estado plano, las únicas deformaciones posibles
(lineales y angulares) son las del plano X-Y. Las tensiones que aparecen en la figura son
datos (en Kg/cm2), si bien no son las únicas existentes en el estado de tensiones.
Se pide:
a) Valores de las tensiones principales.
b) Representación del círculo de Mohr tridimensional, acotando sobre el mismo los
valores de las tensiones principales y el valor de la máxima tensión tangencial.
c) Deformaciones (lineales y angulares) referidas a los ejes X-Y-Z y referidas a los ejes
principales.
Características del material:
Módulo de elasticidad: 2’5.105 Kg/cm2
Coeficiente de Poisson: 0’20
Y
200
Z
800
300
X
3 . La placa de la figura está sometida a un estado plano de tensiones. Las componentes
de los desplazamientos (u,v) de sus puntos (x,y) vienen dados por:
u=
ay
400 b
v=
xy
400 b
Y
Se pide:
a) Expresión de las deformaciones unitarias:
a
εx , εy , γxy
b) Ley de variación de la tensión normal y la
tensión tangencial en el borde AB. Representar
el resultado gráficamente, de manera que se
pueda apreciar si dichas tensiones son variables
o constantes, su dirección y sentido, etc.
B
C
b
O
A
X
4. Sea un estado plano de tensiones con σx=σ, σy=0, τxy=τ.
Comprobar que, de la aplicación del criterio de Von Mises, resulta:
σeqiv= σ2 + 3τ 2
5. En la viga horizontal de la figura, se pide:
a) Reacciones en los apoyos.
b) Representación gráfica de las leyes de momentos flectores, esfuerzos cortantes y
esfuerzos normales, acotando los valores más característicos.
Datos:
P
P
P = 4000 Kg
Carga repartida: 800 Kg/m
1’5a
a = 2’20 m.
2a
a
a
2a
2a
6. La estructura de la figura está constituida por dos vigas horizontales, con un apoyo
cada una, unidas entre sí mediante dos bielas a 45º. Se pide:
a) Esfuerzo a que queda sometida cada
biela (especificar tracción o compresión)
b) Representación gráfica de las leyes de
momentos flectores, esfuerzos cortantes y
esfuerzos normales en cada una de las
a
vigas,
acotando
los
valores
más
característicos.
Datos:
a = 1’40 m.
q = 1200 Kg/m. (igual en las dos vigas)
a
a
7. En la estructura representada, se pide:
a) Reacciones en los apoyos.
b) Representación gráfica de las leyes de momentos flectores, esfuerzos cortantes y
esfuerzos normales, acotando los valores más característicos.
Datos:
P = 4000 Kg
P
Carga repartida: 8000 Kg. en total
P
P
a = 2’20 m .
1
P
P
2
a
2a
a
a
2a
a
8. En la estructura representada se pide:
Representación gráfica de las leyes de variación del esfuerzo normal, el esfuerzo
cortante y el momento flector, acotando los valores más característicos.
Datos: P = 1500 Kg. Q = 4000 Kg. q = 1200Kg/m.
1.80
2.50
q
1.70
P
1.70
3
4
Q
2.50
9. Deseamos comprobar las tensiones de la viga representada en la figura.
L = 4’00 m. qo = 320 Kg/m.
a) Para el cálculo de σx se va a utilizar la
expresión:
My
M
z
σx = − z y +
Iy
Iz
L
Se pide:
a.1) Dibujar los ejes Y-Z sobre la sección, indicando los
sentidos positivos.
a.2) Valores de My y Mz , y dibujarlos sobre los ejes
considerando su signo.
a.3) Valores de Iy e Iz .
qo
A
A
q
Perfil
L 200x20
vista A-A
b) Sobre un dibujo de la sección a escala (se puede prescindir de pequeños detalles
geométricos) dibujar la fibra neutra y señalar la posición de los puntos más
desfavorables.
10. Un elemento resistente está formado por dos chapas soldadas, resultando la sección
de la figura. Dicho elemento está sometido a una fuerza de tracción excéntrica de 3.000
Kg. cuya recta de acción pasa por el punto P (ver figura). Se pide:
120
a) Determinación del centro de gravedad G de la
sección y del momento flector a que está sometida la
42
pieza (además de a una fuerza de tracción).
b) Momentos de inercia y producto de inercia de la
6
sección respecto a los ejes horizontal y vertical que
pasan por G.
G
c) Expresión de la tensión normal σx en los distintos
puntos de la sección en función de sus coordenadas.
d) Representación de la fibra neutra (línea de tensión 120
normal cero) sobre la sección y determinación del
punto más desfavorable.
6
e) Valor de la máxima tensión normal en la pieza.
Indicación: Nótese que los ejes
no son los
ejes principales de inercia de la sección.
30
P
11. Para la viga de la figura, se pide:
a) Representación gráfica de las leyes de variación del momento flector y el esfuerzo
cortante, acotando los valores más característicos.
b) Dimensionado de la sección con perfil IPN.
Otra solución para dicha viga puede consistir en un perfil más pequeño
suplementado, donde sea necesario, con dos platabandas soldadas al mismo, como se
indica en la figura. Para los apartados c), d) y e) se considerará el perfil IPN
inmediatamente anterior al obtenido en b), suplementado con platabandas.
c) Comprobar si esta solución es válida para la viga propuesta.
d) Intervalo teórico de la viga en que es necesario poner las platabandas. Expresar la
solución en un dibujo acotado.
e) Tensión rasante (τ) que se produce en la soldadura como consecuencia de el esfuerzo
cortante (tómese el valor máximo).
P1
P3
M
P2
a
a
a
a
L
Datos
P1 = 700 Kg
L=2’60m
P2 = 1400 Kg
σadm=1400 Kg/cm2
P3 = 2100 Kg
M = 1820 Kg.m
Sección de las platabandas: 60×6 (mm)
Cordones de soldadura: cada 300 mm; longitud útil = 30 mm; garganta = 4 mm.
12. En la viga de la figura:
a) Dimensionar la sección con dos UPN dispuestos como se indica en la figura.
b) Otra solución a estudiar es el dimensionado con perfiles del tamaño inmediatamente
anterior (de la misma serie) al obtenido en a), suplementados con dos platabandas
donde sea necesario. Las platabandas se unen a los planos superior e inferior de los
perfiles mediante cordones discontinuos de soldadura.
b.1) Acotar y situar sobre una figura el intervalo teórico de la viga donde son
necesarias las platabandas (dar las cotas en número entero de cm.).
b.2) Comprobar si es correcta la dimensión b×e para las platabandas, siendo:
b = 25 mm.
e = espesor de la platabanda = espesor de los perfiles en el punto medio del ala.
c) Calcular la tensión tangencial máxima que se produce en el plano de la garganta de
las soldaduras.
Datos:
σadm = 1730 Kg/cm2; q = 500 Kg/m; L = 8’00 m.
Soldaduras: paso = 600 mm.; longitud útil = 30 mm.; garganta = 5 mm.
b
q
L
soldaduras
13. La barra de la figura está empotrada en A, y sometida a los momentos M que se
indican.
Se pide:
Dimensionar la barra con sección circular (dar el diámetro necesario en número
entero de mm) aplicando el criterio de Von Mises, de forma que el coeficiente de
seguridad sea 1´60.
El material es acero, de límite elástico 2600 Kg/cm2, módulo de elasticidad
2´1.106 Kg/cm2 y coeficiente de Poisson 0´30.
AB=BC=CD= 2 m
M=10 m.Kg
y
M
A
D
B
C
z
M
M
x
14. La barra acodada de la figura se encuentra en aquilibrio sometida a dos fuerzas F,
perpendiculares a su plano, y a dos pares M. Se pide:
a) Representación gráfica de las leyes de variación del momento flector y el momento
torsor, acotando los valores más característicos. Se deberán poner letras, ejes o
cualquier tipo de referencia que permita identificar claramente la solución (planos en
que se encuentran los diagramas, signos, etc).
b) Identificación de las posibles secciones más desfavorables a efectos de dimensionado
de la sección de la varilla.
c) Dimensionado de la varilla con sección circular (dar el diámetro en número entero de
mm.), considerando el momento flector y el momento torsor, para τadm = 350 Kg/cm2.
d) En el apartado anterior ¿por qué no se ha tenido en cuenta la τ producida por el
esfuerzo cortante?
e) Para cada una de las secciones del apartado b), con el diámetro obtenido en c), y
considerando el momento flector, el momento torsor y el esfuerzo cortante, determinar
la τmax que se produce en cada uno de los puntos A, B, C y D.
Indicación para c) y e): Recuérdese que la τmax no se produce necesariamente en el
plano de la sección de la barra.
F
L
A
M
D
M
F
Datos: F = 60 Kg ; M = 9 Kg.m ; L = 300 mm
C
B
L
L
15. Una barra recta de 750 mm de longitud, empotrada en ambos extremos, con sección
cuadrada, está sometida en su punto medio a una carga axial de 5000 Kg. y a un par de
torsión de 25 Kg.m. Se pide:
Dimensionado de la barra (dar el lado en número entero de mm.). σadm = 1200 Kg/cm2.
16. En la viga de la figura (simétrica con carga antisimétrica), se pide:
a) Estructura equivalente que resulta de cortar por el plano de simetría, con las cargas
correspondientes. Redúzcase previamente la carga horizontal al punto B.
b) Momento flector en A (o en C).
D P
c) Giro en B.
d) Flecha en D.
EIz es dato
q
q
L/2
C
A
B
b
L
L
P
17. Hallar la flecha en el punto A.
P = 2500 Kg. a = 1’80 m. b = 0’90 m. Momentos de inercia
de las secciones: barras verticales Iv = 1100 cm4
barras horizontales Ih = 2750 cm4
A
a
P
a
18. La viga de la figura tiene sección constante. Se pide:
a) Resolver la hiperestaticidad y trazar los diagramas de esfuerzos cortantes y
momentos flectores, acotando los valores más característicos.
b) Dimensionar la sección con perfil IPN.
c) Dibujar la elástica a estima (defínase lo mejor posible en base al diagrama de
momentos flectores y a las condiciones de contorno).
d) Flecha en el punto A.
e) Dimensionar de nuevo la sección, también con perfil IPN, de forma que la flecha en
A sea, como máximo, el 60% de la obtenida en d).
Datos:
a = 4’00 m , b = 1’20 m
B q A
C
D
q = 600 Kg/m
σadm = 1400 Kg/cm2.
a
a
b
19. En la estructura representada, se pide:
Representación gráfica de las leyes de momentos flectores, esfuerzos cortantes y
esfuerzos normales, acotando los valores más característicos.
6´50 m
Datos: P = 4000 Kg. El momento de
inercia Iz de la sección es constante en
1´95
1´95
toda la estructura.
P
P
Indicación: Utilícese el formulario de
vigas.
3’90
20. La barra mostrada en la figura ABC, está empotrada en B y apoyada en una
articulación sin posibilidad de desplazamientos, A; en la zona central tiene soldado un
apéndice o tramo C-D, y en el extremo D hay aplicada una carga P.
Valores de las cargas: P = 5 ton.; carga uniformemente repartida: 20 ton. en
total.
Se pide:
a) Determinar las reacciones en A y B. ( Se recomienda utilizar un sistema de
ejes X-Y paralelo y perpendicular a la directriz).
b) Dibujar los diagramas de esfuerzos cortantes, normales (o axiales) y de
momentos flectores, acotando los valores más característicos.
B
q
D
6m
C
P
A
2m
=
=
8m
21. La estructura representada, ABC, está situada en el plano horizontal; el ángulo que
forman las barras AB y BC (en B) es de 90º; A y C son empotramientos.
Se pide el valor de la flecha en B en los casos:
a) AB y BC se unen (en B) mediante una articulación esférica.
b) AB y BC se unen (en B) mediante una unión rígida, de forma que ABC constituye un
solo cuerpo.
Datos:
P = 200 Kg; AB=BC= 1,60 m.
P
Sección de las barras: circular, diámetro = 46mm. A
C
6
2
Módulo de elasticidad: 2,1.10 Kg/cm . Coeficiente
de Poisson: 0,30.
B
x
z
Indicaciones: Obsérvese que el apartado a) es notablemente más sencillo que el b). Para la
resolución de este último téngase en cuenta que hay flexión y torsión en las barras, y que
los giros en B han de ser iguales para ambas, tanto en el eje x como en el z.
L/2
L/2
22. En la estructura representada, se pide :
a) Esfuerzo normal en el tirante.
b) Solicitaciones en la esquina A (momentos flectores,
esfuerzos cortantes y esfuerzos normales). Indicar los
resultados en una figura como la que se adjunta, con
los valores y sentidos de dichas solicitaciones.
Datos:
P = 4000 Kg
L = 4’00 m
m.d.i. de la sección (igual en las tres barras) I = 1500 cm4
sección del tirante: 1’5 cm2
P
A
L
tirante
L
23. Representar el diagrama de cuerpo libre de cada una
de las barras AB y BC, expresando los valores de las
cargas y de las reacciones.
P = 3000 Kg. a = 1’00 m. Momentos de inercia:
IAB = 572 cm4. IBC = 286 cm4.
Sección del tirante = 2’0 cm2
a
a
tirante
a
B
A
P
2a
C
24. La figura representa distintas posibilidades de una barra sometida a compresión.
Para cada caso, y sobre la propia figura de este enunciado, dibujar la deformada
correspondiente a la situación de pandeo, y escribir el valor de la longitud libre de
pandeo en función de la longitud total de la barra L.
Indicación: Téngase en cuenta que, en algún caso, la deformada puede ser rectilínea y
que, en todos los casos, el punto medio puede tener desplazamiento transversal.
25. La columna representada está formada por dos perfiles IPE 140 soldados por las
alas. Se pide:
a) De las dos disposiciones
siguientes ¿cuál consideras
más adecuada?
x
z
y
x
z
z
y
y
b) Carga crítica de pandeo
c) Carga admisible según el
criterio del coeficiente ω.
z
26. Se va a construir una estructura
como la representada en la figura con
los perfiles HEB que se indican. En A
hay un empotramiento, en B una
articulación, que une las dos barras de
que consta la estructura, y en C un
apoyo móvil. Los perfiles están
colocados de forma que el eje XX de
la sección queda perpendicular al
plano ABC. El movimiento lateral de
la estructura está limitado, de manera
que el posible pandeo, cuando
proceda considerarlo, sólo se produce
dentro del plano ABC.
Se pide: Comprobar la estructura para
P = 15000 Kg. con σadm = 1700
Kg/cm2 (ténganse en cuenta las dos
barras, AB y BC)
Longitud de la columna: 7’00 m
y
B
HEB 100
HEB 300
1’80 m
C
A
3’20 m
X
X
P
27. La figura representa la sección de un elemento estructural. Está constituida por dos
UPN200 soldados en cajón, con dos platabandas de 160×10 mm soldadas a las caras
exteriores de los UPN. Se supone que las soldaduras son suficientes, sin que constituyan
limitación a la capacidad resistente de dicho elemento.
Se desea saber cuál de las dos disposiciones, la I o la II, es Y
más conveniente para resistir:
I
I
a) Un momento flector Mz.
Z
b) Un efecto de pandeo en el plano XY.
Razónense las respuestas, realizando los cálculos necesarios. X
28. En la estructura representada, la viga superior está formada por un perfil HEB200,
la inferior por un HEB180, y la barra vertical por un HEB120. No existe ningún
impedimento para posibles deformaciones de la estructura en la dirección perpendicular
a su plano.
Se pide:
B
a) Máximo valor que puede alcanzar
HEB200
una carga vertical aplicada en A.
b) Idem en B. (Nótese la diferencia
entre los dos casos: ahora la barra
a
HEB120
vertical trabaja a compresión).
Datos:
HEB180
a = 2.20 m
2
A
σadmisible = 1700 Kg/cm .
NOTAS:
• Se entiende que los perfiles están
a
a
colocados de forma que la
estructura pueda soportar la
máxima carga.
• Se puede despreciar la
deformación longitudinal de AB.
29. Se trata de dimensionar el pilar AB de la estructura representada, con perfil HEB.
Se pide:
a) ¿Cuál de las dos disposiciones representadas consideras más conveniente para el
perfil? ¿por qué?
b) Elección del perfil HEB adecuado.
X
X
Datos:
A: empotramiento; B: articulación;
Z
Z
C: apoyo móvil.
P
El movimiento de la estructura está
C
B
limitado, de forma que sólo es
posible el pandeo en el plano de la
figura, XY.
Y
P = 160.000 Kg; a = 5,50 m.
a
σadm = 1730 Kg/cm2
X
Acero A 42
A
a
a
30. Descripción de la estructura:
Dos pilares, BF y DG, empotrados en F y G, y con articulaciones en B y D.
Viga horizontal ABCDE apoyada sobre los pilares a través de las dos articulaciones, en
B y D, y con dos ligaduras, en A y E, que impiden posibles movimientos laterales.
Con excepción de los dos empotramientos, el conjunto de la estructura no dispone de
ninguna ligadura que impida posibles movimientos en dirección perpendicular al plano
de la figura.
Cargas:
Carga repartida, en toda la viga: 1000 Kg/m.
Cargas puntuales: P = 4000 Kg. (BC = CD)
Material a emplear:
Se desea construir la viga con perfil IPN y los pilares con perfil HEB.
Acero A42. σadm = 1600 Kg/cm2. E = 2’1.106 Kg/cm2
P
P
C
B
A
P
E
D
Y
Y
5.75
X
Z
F
2.50
X
Z
G
2.50
7.00
Se pide:
1. Diseño de la viga.
a) Dibujo de los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores, acotando los
valores más característicos.
b) Elección del perfil IPN adecuado, de forma que se cumplan las dos condiciones
siguientes:
- la impuesta por σadm
- flecha máxima ≤ 15 mm. (sin considerar la deformación de los pilares)
2. Diseño de los pilares.
a) ¿Cuál de las dos disposiciones representadas consideras más conveniente? ¿por qué?
b) Elección del perfil HEB adecuado.
X
Z
X
Z