Derivación de series dodecafónicas

Derivación de series dodecafónicas
El «método de composición con doce sonidos» creado por Arnold Schönberg hacia 1920,
y que se conoce habitualmente como dodecafonía, se basa en el concepto de serie. Una
serie es una ordenación determinada de las doce notas de la escala cromática. Según el
propio Schönberg,
La serie básica oficia a la manera de un motivo. Esto explica por qué tal
serie ha de ser ideada nueva para cada pieza. Este ha de ser el primer pensamiento creador. No importa demasiado el que la serie aparezca o no en la
composición de manera inmediata como tema o melodía, el que tenga o no
tal carácter en el aspecto del ritmo, frase o construcción, expresión, etc.1
Una vez elegida la serie básica2 se le aplican tres procedimientos tomados del contrapunto antiguo: transporte, inversión y retrogradación. Con ello se consigue un total de
48 series, que constituirán el material sonoro de la composición. La serie básica y sus
transportes se identifican con la letra P (primaria); las inversiones con la letra I y las
retrogradaciones con la letra R; cuando se aplican ambos procedimientos, retrogradación e inversión, se identifica con las dos letras, RI. Los distintos transportes se indican
añadiendo un número que indica el intervalo de transporte medido en semitonos ascendentes: así, una serie invertida transportada un cuarta justa (5 semitonos), se identifica
como «I5»; la serie básica se identifica como «P0».
Derivación de series: método tradicional
Para ilustrar el método de derivación partimos de la siguiente serie, utilizada por Anton
Webern en sus Variaciones op. 27 para piano:
P₀
¯
G
¯ 2¯ 2¯
¯
¯
¯ 2¯ 4¯
4¯
¯
¯
Partiendo de la serie básica (P0) podemos derivar las demás aplicando los procedimientos
sucesivamente.
Transporte
Consiste en transportar cada nota de la serie el número de semitonos indicado. Para
facilitar la tarea podemos pensar en intervalos tonales: 5 semitonos = 4.ª justa; 7 st = 5.ª
justa; 4 st = 3.ª mayor, etc.
1
Arnold Schönberg, Composition with Twelve Tones. Traducción de Juan J. Esteve en El estilo y la idea,
ed. Taurus, Madrid, 1963, pp. 142-188.
2
El total posible de series es el número de permutaciones de doce elementos, es decir, el factorial de
12 (12!), exactamente 479.001.600 permutaciones.
1
Por ejemplo, a partir de la serie básica indicada, la serie P4 se forma transportando cada
nota cuatro semitonos:
P₄
¯
G 4¯
¯
¯
¯ 4¯
¯ 2¯ 6¯ 2¯
¯ 4¯
Retrogradación
Consiste en ordenar la serie de fin a principio, es decir, leerla de derecha a izquierda. Por
ejemplo, la serie R4 es la P4 leída al revés:
R₄
G 2¯
¯
¯ 4¯ 6¯ 4¯
¯ 2¯
¯
¯
¯ 4¯
Inversión
Consiste en hacer descendentes los intervalos ascendentes y viceversa, manteniendo
igual el número de semitonos de cada intervalo. Por ejemplo, la serie I4 se forma invirtiendo los intervalos de la P4:
I₄
G 4¯ 6¯
¯
¯
¯ 2¯
¯ 4¯ 6¯ 4¯
¯ 2¯
Retrogradación invertida (o inversión retrogradada)
Consiste en aplicar los dos procedimientos sucesivamente. El resultado es igual si se
aplica primero la retrogradación y luego la inversión que si se hace al revés.
Por ejemplo, la serie RI4 se obtiene retrogradando la I4:
¯ 4¯
RI₄
G 4¯
¯ 2¯ 6¯ 2¯
¯
¯
¯
¯ 4¯
Derivación de series: método numérico
Un método más directo (y posiblemente más fácil) de derivación de series se basa en
considerar la serie como una secuencia de intervalos en lugar de una secuencia de notas.
Cada intervalo se expresa por el número de semitonos que abarca, con el signo + si es
2
ascendente y el signo − si es descendente; así, cada serie se expresa por un conjunto de
once números enteros. La serie básica indicada anteriormente sería esta:
P₀
¯ 2¯ 2¯
¯
¯
¯
G
¯ 2¯ 4¯
¯
¯
+1
+1
+4
4¯
+1
−4
+2
−3
+2
−6
+1
−4
Transporte
Para derivar cualquier serie P, comenzamos transportando la primera nota y a continuación sumamos o restamos el número de semitonos de cada intervalo. Por ejemplo, la
serie P6 sería la siguiente:
P₆
G 2¯ 6¯
¯ 4¯ 4¯
¯
+1
−4
+2
−3
+2
¯ 4¯
¯
−6
+1
+1
¯
¯ 4¯
−4
+1
+4
Inversión
Dado que los signos + y − indican la dirección del intervalo, las inversiones se calculan
cambiando el signo de cada número. La serie I3, por ejemplo, la calculamos transportando tres semitonos la nota inicial y sumando o restando semitonos con el signo cambiado:
I₃
4¯ 6 ¯ 4¯
G ¯ 4¯ 2¯ 2¯ 6¯ 6¯
−1
+4
−2
+3
−2
+6
−1
−1
¯
+4
¯
¯
−1
−4
Retrogradación
La retrogradación se obtiene invirtiendo el orden de los intervalos, es decir, leyendo
de derecha a izquierda; pero teniendo en cuenta que al retrogradar cada intervalo se
invierte su dirección, por lo que hay que cambiar también los signos.
Para obtener la serie R5 comenzamos por la nota final transportada cinco semitonos y
luego sumamos o restamos semitonos en orden inverso y con el signo cambiado:
R₅
G ¯
¯
−4
¯ 2¯
−1
+4
¯
¯ 2¯ 4¯ 2¯
¯
+6
−2
−1
¯ 4¯
−1
−1
3
+3
−2
+4
Retrogradación invertida
Como en el caso anterior, los números se leen de derecha a izquierda, pero ahora sin
cambiar los signos.
Para calcular la nota inicial hay que tener en cuenta la inversión, sumando el transporte
(en semitonos) a la inversión del intervalo entre la primera y la última nota (también
en semitonos). Por ejemplo, la serie P0 empieza en mi y termina en si; el intervalo es -5
(cinco semitonos descendentes); invertimos el signo (+5) y le sumamos el transporte (7),
lo que da un resultado de 12 (la octava). Por tanto la nota inicial será mi.
La serie RI7 comenzaría en esta nota y se obtiene sumando y restando semitonos en
orden inverso:
RI₇
G ¯ 4¯
+4
¯
+1
¯ 4¯
−4
+1
¯
4¯ 4¯
+1
−6
+2
4
¯
−3
¯ 2¯ 6¯
+2
−4
+1