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MATRIZ INVERSA
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Otra matriz cuadrada B de orden n se dice que es la matriz inversa de A si se
cumple que A ⋅ B = B ⋅ A = I n . Se escribe entonces B = A−1 .
Si A y B son dos matrices cuadradas tales que A ⋅ B = I , automáticamente se cumple B ⋅ A = I .
A−1 inversa de A ⇔ A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I
Las matrices cuadradas que tienen inversa se llaman matrices regulares o invertibles.
Las matrices cuadradas que no tienen matriz inversa se llaman matrices singulares.
Una matriz cuadrada A de orden n tiene inversa ⇔ R ( A ) = n
Propiedades
Si A y B son matrices regulares, se cumple:
−1
= B −1 ⋅ A −1
3)
(A )
−1
=
1 −1
⋅A
k
4)
(A )
1)
( A⋅ B)
2)
( k ⋅ A)
−1 −1
t −1
5) I −1 = I
=A
= ( A −1 )
t
Ejemplos
1.
⎛1 3⎞
Calcula, si existe, la matriz inversa de la matriz A = ⎜
⎟.
⎝2 7⎠
−2 a − 6 c = − 2
−2b − 6d = 0
⎛a b⎞
A−1 = ⎜
⎟
y
2
a
+
7
c
=
0
2b + 7 d = 1
⎝c d⎠
c = −2
d = 1
A ⋅ A −1 = I
a −6 =1 y b + 3 = 0
⎛1 3⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛1 0⎞
⎜ 2 7⎟⋅⎜ c d ⎟ = ⎜0 1⎟
a = 7 y b = −3
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
Soluciones de los dos sistemas:
⎛ a + 3c b + 3d ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
⎜ 2a + 7c 2b + 7 d ⎟ = ⎜ 0 1 ⎟
a = 7 c = −2 y b = −3 d = 1
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛ 7 −3 ⎞
Obtenemos 4 ecuaciones que, agrupadas de dos
A−1 = ⎜
⎟
⎝ −2 1 ⎠
en dos, serían dos sistemas de ecuaciones que se
diferencian en los términos independientes.
Comprobación
a + 3c = 1⎫
b + 3d = 0 ⎫
⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 7 −3 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
y
A ⋅ A−1 = ⎜
⎟ ⋅⎜
⎟=⎜
⎟=I
2a + 7c = 0 ⎬⎭
2b + 7d = 1⎬⎭
⎝ 2 7 ⎠ ⎝ −2 1⎠ ⎝ 0 1 ⎠
Los resolvemos simultáneamente.
Nota: Siempre que calcules la matriz inversa haz la
comprobación
2.
⎛1 3⎞
Determina la matriz inversa de la matriz B = ⎜
⎟ , si existe.
⎝ 2 6⎠
−2 a − 6 c = − 2
−2b − 6d = 0
⎛a b⎞
B −1 = ⎜
⎟
y
2
a
+
6
c
=
0
2b + 6d = 1
c
d
⎝
⎠
=
−
0
c
2
0d = 1
−1
B⋅B = I
S. Incompatible
y S. Incompatible
⎛ 1 3⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛1 0⎞
⎜ 2 6⎟ ⋅⎜ c d ⎟ = ⎜0 1⎟
Ninguno de los dos sistemas tiene solución y,
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
por lo tanto:
⎛ a + 3c b + 3d ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
⎜ 2a + 6c 2b + 6d ⎟ = ⎜ 0 1 ⎟
B no tiene inversa
⎝
⎠ ⎝
⎠
B es singular
Tenemos las 4 ecuaciones y separando los dos
sistemas de.
a + 3c = 1⎫
b + 3d = 0 ⎫
y
2a + 6c = 0 ⎬⎭
2b + 6d = 1⎬⎭
Los resolvemos simultáneamente.
Cálculo de la matriz inversa mediante el método de Gauss-Jordan
Para hallar por este método la matriz inversa de A, colocaremos a la derecha de A la matriz identidad del mismo
orden ( A | I ) . A la matriz obtenida le aplicaremos transformaciones elementales por filas hasta obtener una matriz
de la forma ( I | B ) , donde B será la matriz inversa de A, o sea, A−1 = B .
Si al realizar el proceso de transformación alguna de las fila de A se anula, entonces A no tiene inversa.
Con este método estamos resolviendo simultáneamente n sistemas de ecuaciones para obtener los elementos de A−1 .
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas – GBG
1
Ejemplos
1) Calcula la matriz inversa de la
⎛1 3⎞
matriz A = ⎜
⎟.
⎝2 7⎠
⎛ 1 3 1 0⎞
⎜ 2 7 0 1⎟ F − 2 F
⎝
⎠ 2
1
⎛ 1 3 1 0 ⎞ F1 − 3F2
⎜
⎟
⎝ 0 1 −2 1⎠
⎛ 1 0 7 −3 ⎞
⎜ 0 1 −2 1 ⎟
⎝
⎠
2) Halla la inversa de la matriz
⎛ 3 6⎞
A=⎜
⎟
⎝ 2 5⎠
⎛ 3 6 1 0⎞
⎜ 2 5 0 1 ⎟ 3F − 2 F
⎝
⎠
2
1
⎛ 3 6 1 0 ⎞ F1 − 2 F2
⎜ 0 3 −2 3 ⎟
⎝
⎠
⎛ 3 0 5 −6 ⎞ 13 F1
⎜ 0 3 −2 3 ⎟ 1 F
⎝
⎠ 3 2
⎛1 0
⎜0 1
⎝
⎛ 7 −3 ⎞
A =⎜
⎟
⎝ −2 1 ⎠
−1
5
3
−2
3
−2 ⎞
1⎟⎠
3) Halla la matriz inversa de la
⎛1 3⎞
matriz A = ⎜
⎟.
⎝ 2 6⎠
⎛ 1 3 1 0⎞
⎜ 2 6 0 1⎟ F − 2 F
⎝
⎠ 2
1
⎛ 1 3 1 0⎞
⎜ 0 0 −2 1⎟
⎝
⎠
Se ha anulado una de las filas de A,
por lo tanto,
A no tiene inversa
⎛ 5 −2 ⎞
A−1 = ⎜ −32
⎟
⎝ 3 1⎠
Comprobación:
⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 7 −3 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
A ⋅ A−1 = ⎜
⎟⋅⎜
⎟=⎜
⎟=I
⎝ 2 7 ⎠ ⎝ −2 1⎠ ⎝ 0 1 ⎠
1 ⎛ 5 −6 ⎞
A −1 = ⎜
⎟
3 ⎝ −2 3 ⎠
Comprobación:
1 ⎛ 5 −6 ⎞ ⎛ 3 6 ⎞
A−1 ⋅ A = ⎜
⎟⋅⎜
⎟=
3 ⎝ −2 3 ⎠ ⎝ 2 5 ⎠
1 ⎛ 3 0⎞ ⎛ 1 0⎞
= ⎜
⎟=⎜
⎟=I
3 ⎝ 0 3 ⎠ ⎝ 0 1⎠
c.q.c.
⎛ 1 3 −1⎞
4) Calcular la matriz inversa de A = ⎜ 2 −1 1⎟ por el método de Gauss-Jordan.
⎜
⎟
⎝ 1 −1 0 ⎠
⎛ 1 3 −1 1 0 0 ⎞ F1 ↔ F3
⎜ 2 −1 1 0 1 0 ⎟
⎜
⎟
⎝ 1 −1 0 0 0 1⎠
⎛ 5 0 0 1 1 2⎞
⎜ 0 5 0 1 1 −3 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 −5 1 −4 7 ⎠
⎛ 1 −1 0 0 0 1⎞
⎜ 2 −1 1 0 1 0 ⎟ F − 2 F
1
⎜
⎟ 2
⎝ 1 3 −1 1 0 0 ⎠ F3 − F1
⎛1 0 0
⎜
⎜0 1 0
⎜0 0 1
⎝
⎛ 1 −1 0 0 0 1⎞
⎜ 0 1 1 0 1 −2 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 4 −1 1 0 −1⎠ F3 − 4 F2
1
5
1
5
−1
5
1
5
1
5
4
5
2
5
−3
5
−7
5
1
5
1
5
1
−5
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
F1
F2
F3
Comprobación:
⎛ 1 1 2 ⎞ ⎛ 1 3 −1⎞
1
A − 1 ⋅ A = ⎜ 1 1 −3 ⎟ ⋅ ⎜ 2 − 1 1 ⎟ =
5 ⎜ − 1 4 −7 ⎟ ⎜ 1 −1 0 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
5
0
0
1
0
0
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
= ⎜0 5 0⎟ = ⎜0 1 0⎟ = I
5 ⎜0 0 5⎟ ⎜0 0 1⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
Por lo tanto,
⎛ 15
⎜
A = ⎜ 15
⎜ −51
⎝
−1
1
5
1
5
4
5
2
5
−3
5
−7
5
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛ 1 −1 0 0 0 1⎞
⎜ 0 1 1 0 1 −2 ⎟ 5 F + F
2
3
⎜
⎟
⎝ 0 0 −5 1 −4 7 ⎠
o bien,
⎛ 1 −1 0 0 0 1⎞ 5F1 + F2
⎜ 0 5 0 1 1 −3 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 −5 1 −4 7 ⎠
⎛ 1 1 2⎞
1
A−1 = ⎜ 1 1 −3 ⎟
5 ⎜ −1 4 −7 ⎟
⎝
⎠
c.q.c.
Ejercicios
1. Calcula, si existe, la matriz inversa de:
⎛ 3 1⎞
a) A = ⎜
⎟
⎝5 2⎠
2.
⎛ 6 8⎞
b) B = ⎜
⎟
⎝ −3 −4 ⎠
⎛ −4 −2 ⎞
c) C = ⎜
⎟
⎝ 3 2⎠
⎛ 5 2⎞
d) D = ⎜
⎟
⎝ 10 4 ⎠
⎛ 2 1⎞
e) E = ⎜
⎟
⎝ 1 2⎠
Halla las inversas de las siguientes matrices:
⎛ −3 1⎞
a) A = ⎜
⎟
⎝ −5 2 ⎠
⎛ 0
⎛ 4 1 6⎞
⎛ −1 2 1 ⎞
⎛ 0 1 −2 ⎞
⎜ 0
b) B = ⎜ 0 −2 1⎟ c) C = ⎜ 1 0 1⎟ d) D = ⎜ 6 −1 5 ⎟ e) E = ⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎜ −1
⎝ 1 1 1⎠
⎝ −2 4 1⎠
⎝ 2 −1 3 ⎠
⎝ 1
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas – GBG
0
1
0
0
1
1
0
1
1⎞
0⎟
⎟
1⎟
1⎟⎠
2
Soluciones
1.
2.
⎛ 2 −1⎞
a) A−1 = ⎜
⎟
⎝ −5 3 ⎠
b) No existe B −1
d) No existe D −1
1 ⎛ 2 −1⎞
e) E −1 = ⎜
⎟
3 ⎝ −1 2 ⎠
⎛ −2 1⎞
a) A−1 = ⎜
⎟
⎝ −5 3 ⎠
d) No existe D
−1
⎛ −3 5
b) B −1 = ⎜ 1 −2
⎜
⎝ 2 −3
⎛ −1 0
⎜ −2 1
−1
e) E = ⎜
⎜⎜ 2 0
⎝ −1 0
1 ⎛ − 2 −2 ⎞
c) C −1 = ⎜
⎟
2 ⎝ 3 4⎠
13 ⎞
−4 ⎟
⎟
−8 ⎠
0
1
−1
1
⎛ −4 2 2 ⎞
1
c) C = ⎜ −3 1 2 ⎟
2 ⎜ 4 0 −2 ⎟
⎝
⎠
1⎞
1⎟
⎟
−1 ⎟
1⎟⎠
I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas – GBG
3