LÍMITES DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 1.1 Idea de Aproximación Sea 𝑥0 un punto fijo en la recta numérica tal como se indica Cuando un número desconocido 𝑥 se aproxima a 𝑥0 , lo puede hacer por valores mayores o menores que 𝑥0 . Por la izquierda de 𝑥0 (menores que 𝑥0 ) Por la derecha de 𝑥0 (mayores que 𝑥0 ) En este caso se dice que 𝑥 se aproxima a 𝑥0 por la izquierda, por tanto se simboliza como: 𝑥 → 𝑥0− Expresión que se lee: “𝑥 es menor que 𝑥0 , pero cercano a él” En este otro caso se dice que 𝑥 se aproxima a 𝑥0 por la derecha, por tanto se simboliza como: 𝑥 → 𝑥0+ Expresión que se lee: “𝑥 es mayor que 𝑥0 , pero cercano a él” En los siguientes ejemplos analizaremos que sucede con las imágenes 𝑓(𝑥) cuando las preimágenes 𝑥 varían. Ejemplos 1) Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, si asignamos valores a 𝑥 cercanos a 1, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)? Solución Por la izquierda Por la derecha 0.90 0.95 0.98 0.99 1.01 1.02 1.05 1.10 𝒙 1 3.01 3.02 3.08 3.10 𝒇(𝒙) 2.90 2.95 2.98 2.99 Página 2 Intuitivamente podemos darnos cuenta que al aproximarse los valores de 𝑥 al valor 1, se tiene que las imágenes 𝑓(𝑥) se aproximan al valor 3. Esto se simboliza denotando: “cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟑” NOTA Debemos tener presente que estamos aproximando, por ello no hacemos hincapié que para 𝒙 =Página 𝟏 se obtenga 𝒇(𝒙) = 𝟑. 3 2) Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, si asignamos valores a 𝑥 cercanos a 2, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)? Solución Por la izquierda Por la derecha 𝒙 1.7 1.8 1.9 1.99 2 2.01 2.10 2.20 2.30 𝒇(𝒙) 3) Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −1 𝑥−1 , si asignamos valores cercanos a 𝑥 cercanos a 1, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)? Solución La función considerada puede simplificarse usando la diferencia de cuadrados: 𝑥 2 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −1 𝑥−1 = (𝑥−1)(𝑥+1) 𝑥−1 = 𝑥 + 1, por tanto se tiene que: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 1 Por la derecha Por la izquierda 𝒙 𝒇(𝒙) 0.90 1.90 0.95 1.95 0.98 1.98 0.99 1.99 1 1.01 2.01 1.02 2.02 1.05 2.08 1.10 2.10 “cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟐” 4) Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −9 𝑥+3 𝑓(𝑥)? Solución Por la izquierda 𝒙 2.7 2.8 2.9 𝒇(𝒙) , si asignamos valores cercanos a 𝑥 cercanos a 3, ¿qué sucede con 2.99 3 Por la derecha 3.10 3.20 3.30 3.01 Página 4 1.2 Noción intuitiva de Límite Para el ejemplo 1) de aproximación: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, tenemos: “cuando 𝒙 se aproxima a 1, se tiene que 𝒇(𝒙) se aproxima a 3”, Simbolizando: “cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟑” Y se escribe como: lim 𝑓(𝑥) = 3 𝑥→1 que se lee: “El límite de 𝑓 cuando 𝑥 se aproxima a 1, es 3” Luego 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) nos indica: 𝑥→1 “valor límite de 𝒇(𝒙)” Para el ejemplo 3) de aproximación: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −1 𝑥−1 , tenemos: “cuando 𝒙 se aproxima a 1, se tiene que 𝒇(𝒙) se aproxima a 2”, Simbolizando: “cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟐” Y se escribe como: 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 2 𝑥→1 que se lee: “El límite de 𝑓 cuando 𝑥 se aproxima a 1, es 2” Observación 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 𝒔𝒆 𝒍𝒆𝒆 "𝒆𝒍 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒇(𝒙) 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 𝒔𝒆 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂 𝒂 𝒙𝟎 𝒆𝒔 𝑳" 𝒙→𝒙𝟎