el rigor en las matemáticas

CAPÍTULO 22
EL RIGOR EN LAS
MATEMÁTICAS
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EL RIGOR EN LAS MATEMÁTICAS
Durante el siglo XIX, se dio un proceso de rigorización que buscaba esclarecer algunos conceptos y definirlos de una mejor manera. Por ejemplo, las nociones de función, derivada, continuidad, integral. También
se buscaba dar un tratamiento más consistente a las series, puesto que
durante el siglo XVIII no se ponía mucho cuidado de si estas eran convergentes o divergentes; de hecho, se llegaba a contradicciones importantes. Uno de los ejemplos son las representaciones de las funciones
por medio de series trigonométricas, que habían incurrido en algunas
confusiones.
Este proceso de establecer un mayor rigor en los conceptos y métodos
del Cálculo va a introducirse en la historia de las matemáticas del siglo
XIX dentro de un período en el que se desarrollaron nuevas geometrías
y se potenció la abstracción en el álgebra. Puede decirse que sería un
período en el que iban a perder su asidero propiedades tan importantes
de los sistemas numéricos conocidos como la conmutatividad, o una
geometría que daba cuenta de manera natural de representar nuestras
percepciones de la realidad exterior, la euclidiana, y también se iba a
expandir un nuevo carácter de las matemáticas.
No se puede decir, sin embargo, que existió una relación directa entre la
creación de geometrías no euclidianas o las nuevas álgebras y la aritmetización que se dio en ese siglo. Más bien, algunos historiadores de las
matemáticas consideran que sobre todo pesó el desencanto que generó
la dificultad de fundamentar el análisis en la geometría euclidiana, fue
lo que volcó los ojos hacia a la aritmética.
Fue un punto relevante para la afirmación de la deducción y el rigor
lógicos como fundamento de las matemáticas o criterio de validación
dentro de estas comunidades científicas. Ya en la Grecia Antigua el criterio de la demostración había alcanzado el sentido de prescripción que
posteriormente buscaría la mayor parte de matemáticos. Sin embargo,
muchas veces la lógica que se desarrollaba dejaba espacios a la intuición y a una visión sensibles del mundo externo. En el nuevo escenario
vamos a encontrar la búsqueda por nuevos criterios basados en la aritmética, el álgebra, la lógica abstracta de manera dominante. Esta será
una realidad para las matemáticas a partir de ese momento.
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22.1: Bolzano y Cauchy
Uno de lo asuntos que debió ser revisado fue el concepto de función,
debido a la emersión de una gran cantidad y variedad de funciones en la
actividad de las matemáticos de la época. Para Gauss, por ejemplo, una
función era una expresión cerrada analítica y finita, aunque habló de las
series hipergeométricas como funciones, pero sin total convicción que se
trataba de funciones. Lagrange había usado las series de potencias como
funciones y con ello ofreció un concepto más amplio. Lo mismo sucedía
con Lacroix, quien afirmaba: ‘‘Toda cantidad cuyo valor depende de una
o varias otras es llamada una función de estas últimas, ya sea que uno
conozca o no por medio de qué operaciones es necesario de las últimas
a la primera cantidad’’. Fourier amplió el debate, afirmando que no se
requería una representación analítica para una función.
En todo esto pesó el hecho de que aparecían cada vez más y más funciones que no se comportaban como las algebraicas. Y emergían las
preguntas acerca de cómo se debían reconsiderar las nociones de variable, continuidad, derivabilidad, etc. en ese nuevo escenario.
22.1
Bolzano y Cauchy
Varios matemáticos, de maneras diferentes, enfrentaron esta tarea de
fundamentar los puntos vulnerables que se encontraban en el desarrollo del cálculo e integrar las nuevas realidades matemáticas que habían
emergido. Entre los más notables: Bolzano, Cauchy, Abel y Dirichlet.
Weierstrass fue más lejos en la definición del nuevo paradigma del rigor; puede, incluso, decirse que el cálculo junto con los procesos de
rigor y fundamento que este matemático le daría, constituyen el corazón
del análisis matemático.
Bolzano
Bernhard Bolzano (1 781 - 1 848), matemático, filósofo y cura de Bohemia, estableció con claridad su opinión de que los infinitesimales no
existían, al igual que tampoco los números infinitamente grandes. Debe
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EL RIGOR EN LAS MATEMÁTICAS
recordarse, que tanto los infinitesimales como los números infinitamente grandes fueron usados por Euler y muchos otros matemáticos durante
el siglo XVIII.
22.1. Bolzano, estampilla.
Bolzano en 1 834 había inventado una función continua en un intervalo
que no tenía derivada en ningún punto de ese intervalo. Ese resultado
no fue conocido en su época. De hecho, se le atribuye a Weierstrass el
primer ejemplo de ese tipo. Y esto sucedió con otros resultados. Por
ejemplo, el criterio de convergencia de una serie que señala: si para
cada p la diferencia Sn − Sn+p tiende a 0, cuando n tiende a ∞, la serie
converge. Bolzano lo conocía pero se le atribuye a Cauchy.
En el año 1 817, Bolzano ofreció una definición de continuidad muy
rigurosa:
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22.1: Bolzano y Cauchy
f(x) es continua en un intervalo si para toda x en el intervalo, la diferencia f (x + w) − f (x) puede hacerse tan pequeña como uno quiera
tomando w suficientemente pequeña.
Se trata de una definición casi semejante a la que nosotros usamos normalmente. Esta obra, sin embargo, no fue muy conocida durante la vida
de Bolzano. De hecho, este trabajo fue redescubierto por Hermann Hankel (1 839 - 1 873).
Cauchy
Ahora bien, el trabajo realmente relevante para la comunidad matemática de la época fue dado por el matemático francés Augustin Cauchy
(1 789 - 1 857), quien se suele comparar a Euler en su prolífica producción matemática. Su obra en torno a esta fundamentación se sintetizó en
tres trabajos: Cours d’analyse de l’École Polytechnique (1 821), Résumé des leçons sur le calcul infinitesimal (1 823), y Leçons sur le calcul
différentiel (1 829).
El objetivo de este matemático era establecer una separación de la idea
de límite y con relación a su origen geométrico, físico o intuitivo. En
esa dirección, se concentró en tres nociones: variable, función y límite. Por ejemplo, en su trabajo trató de dar cuenta de la naturaleza de
los números irracionales, ofreciendo la idea de que un número irracional era simplemente el límite de varias fracciones racionales que se le
acercaban. Se dio cuenta, sin embargo, tiempo después, que la definición debía ser más precisa desde un punto de vista lógico puesto que, en
esa definición, asumía la existencia de los irracionales previamente a su
construcción por medio de límites.
Cauchy no estaba de acuerdo con el enfoque que desarrolló Lagrange
por medio de series de potencias. Su planteamiento estaba más cercano
al de d’Alembert, que partía del concepto de límite.
El asunto de los infinitesimales, lo sancionó usando el concepto de variable:
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EL RIGOR EN LAS MATEMÁTICAS
‘‘Una cantidad variable se vuelve infinitamente pequeña cuando su valor
numérico decrece indefinidamente de tal manera que converge al límite
cero’’.
No obstante, hay discusión acerca de hasta dónde usó los infinitesimales
y hasta dónde adoptó el rigor que luego se le atribuiría a Weierstrass.
Con base en la noción de variable, Cauchy definió el límite:
‘‘Cuando los sucesivos valores que tome una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo de manera que terminan por diferir de él
en tan poco como queramos, este último valor se llama el límite de todos
los demás’’.
Por otro lado, la derivada de la función f (x) con respecto a x la define
más o menos de la siguiente manera:
‘‘si ∆x = i un incremento de x, se considera la razón
∆y
f (x + i) − f(x)
=
∆x
i
y define la derivada f 0 (x) al límite de esta razón cuando i tiende a cero’’.
En este tratamiento, la diferencial, que habían usado primordialmente
Leibniz y muchos otros matemáticos, posee aquí un carácter secundario.
La diferencial la define como dy = f 0 (x)dx.
¿Cómo define la continuidad? Para Cauchy, una función f (x) es continua entre ciertos límites dados de x, si entre estos límites al darse un
incremento infinitamente pequeño i de x, siempre se obtiene un incremento infinitamente pequeño
f (x + i) − f(x)
de la función. En esencia ésta es la misma aproximación que había seguido Bolzano, y la misma que utilizamos hoy en día. Puede afirmarse,
sin lugar a dudas, que ni Newton ni Leibniz habían sido tan precisos y
claros en la concepción de los procesos infinitesimales, que son el corazón del cálculo.
22.1: Bolzano y Cauchy
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22.2. Portada del libro Cours d’analyse de l’École Polytechnique (1 821).
Pero, hay que subrayar, hubo que esperar a que pasaran decenas y decenas de años para que se diera esta precisión. En ese período, no se puede
olvidar, se dio un extraordinario desarrollo de las matemáticas, del cálculo específicamente. Es decir, los procesos en busca de un mayor rigor y
precisión son importantes en las matemáticas, pero de la misma manera
no se pueden sobrevalorar.
A pesar de los mayores niveles de precisión así como de un tratamiento
del infinitesimal, por medio de las nociones de variable y de límite, no
puede negarse, con plena certeza, la creencia tanto en este matemático
como en otros más en los números infinitamente pequeños y también
en los infinitamente grandes. De hecho, la noción de ‘‘variable’’ que
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EL RIGOR EN LAS MATEMÁTICAS
usaba Cauchy no era la que hoy usamos, que es más bien un resultado
de Weierstrass.
En ocasiones, los infinitesimales fueron concebidos con un halo cuasi
mágico, a veces, incluso, como realidades físicas. Con base en la formulación del límite, los conceptos de derivada, continuidad e integral
serían transformados.
El ‘‘rigor’’ que encontramos en Cauchy no era, a pesar de todo, el que
encontramos en los textos actuales de matemáticas. Por ejemplo, su referencia al infinitesimal utilizaba frases como ‘‘se vuelve infinitamente
pequeño’’ o ‘‘decrece indefinidamente’’ que, a pesar de que las podamos usar coloquial e introductoriamente en el estudio del Cálculo, no
reúnen los requisitos de precisión y claridad lógicas establecidos por las
comunidades matemáticas.
Por otra parte, Cauchy retomó la noción de integral como límite de sumas, con un contenido digamos geométrico, algo que se había perdido
al haberse subrayado durante todo el siglo XVIII la integral por medio
de la antidiferenciación. Es decir:
Sea
Sn = (x1 − a)f (a) + (x2 − x1 )f(x1 ) + ... + (b − xn−1 )f (xn−1 ),
para una partición en el intervalo [a,b]. El límite de las sumas cuando
las (xi − xi−1 ) decrecen indefinidamente es la integral definida en el
intervalo dado. O sea, más o menos:
Zb
f (x)dx = lim Sn .
n→∞
a
Producto de esta tarea se han dado importantes generalizaciones y aplicaciones del concepto de integral.
Vayamos a la derivada. d’Alembert afirmaba que la derivada se debía
basar en el límite de la razón de las diferencias de variables dependientes
∆y
e independientes: ∆x
. Este es un primer punto.
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22.2: Weierstrass
Sin embargo, fue Bolzano (1 817) quien definió la derivada por primera
vez como un límite: la cantidad f 0 (x) a la que la razón
f(x + ∆x) − f (x)
∆x
se aproxima indefinidamente cuando ∆x se acerca a 0 a través de valores
positivos y negativos.
Bolzano sabía que f 0 (x) no era un cociente de ceros o una razón de cantidades que se ‘‘evanecen’’, sino un número al que se aproxima la razón
dy
que señalamos arriba. Ahora bien, el mismo Euler había descrito dx
como un cociente de ceros, y otros matemáticos, como Lacroix, siguieron
sus pasos. La precisión que hizo Bolzano era significativa.
¿Qué hizo Cauchy? En esencia, definió la derivada como Bolzano. Los
siguientes matemáticos sustituyeron estas expresiones en las definiciones por formulaciones más precisas. A pesar de estos trabajos de Bolzano y Cauchy, tanto Cauchy como la mayoría de los matemáticos de
esa época pensaron que una función continua (salvo en puntos aislados
como x = 0 para y = x1 ) tenía que ser derivable (lo que es falso). No
obstante, Bolzano sí se percató de la diferencia entre continuidad y derivabilidad; más aun, como ya lo dijimos: dio un ejemplo famoso de
función continua no derivable en ningún punto. Luego, en los años que
siguieron, se ofrecieron muchos ejemplos de funciones continuas no derivables.
De esta manera, se fue precisando el concepto de función y ofreciendo
a la comunidad matemática múltiples posibilidades en su construcción
y sus aplicaciones.
22.2
Weierstrass
En la búsqueda por dar un fundamento al cálculo a través de la aritmetización, en particular desprenderse de la influencia geométrica e intuitiva, fue el matemático Weierstrass quien recorrió más camino. Por
ejemplo, no compartía las frases que hemos consignado de Cauchy ni
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EL RIGOR EN LAS MATEMÁTICAS
tampoco la expresión ‘‘una variable se acerca a un límite’’, porque sugieren tiempo y movimiento (algo intuitivo). Para Weierstrass, una variable era simplemente una letra que servía para designar a cualquiera
de un conjunto de valores que se le puede dar a la letra. Entonces, una
variable continua es una tal que si x0 es cualquier valor del conjunto de
valores de la variable y δ es cualquier número positivo, existen otros
valores de la variable en el intervalo
(x0 − δ, x0 + δ).
A diferencia de los términos que Cauchy y Bolzano usaban en sus definiciones de continuidad y límite de una función, ofreció las definiciones
hoy aceptadas. El límite de una función f (x) en x0 lo definió, según
consignó H. E. Heine (1 821 - 1 881), su discípulo, como:
‘‘Si, dado cualquier ε, existe un η 0 tal que para 0 < η < η 0 , la diferencia
f(x0 ± η) − L es menor en valor absoluto que ε, entonces se dice que
L es el límite de una función f (x) para x = x0 .’’
Aquí no hay referencia a puntos que se mueven en curvas o infintesimales, solamente números reales, operaciones de suma y resta y la relación
de orden ‘‘<’’.
La continuidad, en lenguaje moderno, se puede poner así:
f(x) es continua en x = xo si dado ε > 0, existe un δ tal que para todo
x en el intervalo
| x − x0 |< δ,
=⇒| f (x) − f (x0 ) |< ε.
La función f (x) tiene límite L en x = x0 , si dado ² > 0, existe un δ tal
que para todo x en el intervalo
| x − x0 |< δ,
=⇒| f(x) − L |< ε.
Entonces términos o las frases ‘‘infinitesimal’’, ‘‘variable que se acerca’’,
o ‘‘tan pequeña como uno quiera’’, que aparecían en Cauchy, desaparecen en una formulación más precisa que no refiere a la geometría o a la
intuición empírica. Precisamente, aquí es donde nacen los ‘‘famosos’’ ε
22.3: Aritmetización del análisis
621
y δ que encontramos en buena parte de los libros de cálculo en nuestras
universidades.
Heine fue quien definió la continuidad uniforme para funciones de una
o varias variables; de hecho, también demostró que si una función es
continua en un intervalo real cerrado y acotado es uniformemente continua.
Estos trabajos en los fundamentos lógicos del cálculo diferencial e integral, empujaron también hacia nuevos criterios en la construcción matemática. Es decir, criterios para la validación de las construcciones matemáticas realizadas por los científicos dedicados a esta disciplina. Esa
dirección, sin embargo, enfatizó una separación de las nociones de la
geometría intuitiva ligadas al movimiento físico, y un énfasis en los
conceptos de función, variable, límite, con un carácter esencialmente
aritmético y lógico.
22.3
Aritmetización del análisis
Uno de los temas fundamentales en el proceso de fundamentación del
cálculo fue la construcción o la validación de los números reales. Para
ello, varios matemáticos se orientaron a ofrecer diferentes definiciones y
construcciones de estos números, donde por supuesto lo decisivo giraba
alrededor de los irracionales. En esa dirección, hicieron importantes
aportes Weierstrass, Richard Dedekind (1 831 - 1 916), Georg Cantor
(1 845 - 1 918), Charles Méray (1 835 - 1 911) y tiempo después el
filósofo británico Bertrand Russell (1 872 - 1 970).
Méray y Weierstrass
Méray y Weierstrass propusieron definiciones que utilizaban la noción
de convergencia y pretendían evitar el ‘‘error lógico’’ de Cauchy. Recordemos que este matemático había definido los reales como el límite
de sucesiones convergentes de números racionales, pero el concepto de
límite había sido construido asumiendo la existencia de los números reales, lo que lógicamente era incorrecto.
622
EL RIGOR EN LAS MATEMÁTICAS
Méray en su libro Nouveau preçis d’analyse infinitésimale, 1 872, decía que el límite de una sucesión convergente determinaba ya fuera un
número racional o un número que llamó ‘‘ficticio’’, y los ‘‘ficticios’’ pueden ordenarse: son los irracionales. Ahora bien, Méray no era claro en
cuanto a si la sucesión era el número.
Expliquemos mejor este asunto. Empezamos por el concepto de sucesión.
Una sucesión de numeros racionales (an ) es un conjunto ordenado de
números
a1 , a2 , a3 , . . . an , . . .
También se puede ver como una función
g : N −→ Q
n 7→ an
o
g(n) = an .
[N el conjunto de números naturales, y Q el de los racionales.]
Por ejemplo, g(n) =
1
n2
nos ofrece una sucesión.
Ahora bien, una sucesión es convergente si existe un A tal que
lim an = A.
n→∞
Usando lenguaje de límites, tenemos que
1
=0
n→∞ n2
lim
es decir, ( n12 ) converge a 0.
Precisamente, un criterio para determinar la convergencia de una sucesión es el ‘‘de Cauchy’’ (o ‘‘Bolzano-Cauchy’’). ¿Cuál es? En esencia:
si la diferencia entre los términos se va haciendo cada vez más pequeña,
entonces la sucesión converge. Con precisión:
22.3: Aritmetización del análisis
623
‘‘Si la distancia entre an+p y an se hace tan pequeña como uno quiera
para un n suficientemente grande, entonces la sucesión converge’’.
Puesto de otra manera, y volvemos con los ε:
dado un ² > 0 arbitrario, se obtiene que, a partir de cierto n suficientemente grande:
| an+p − an |< ε.
Para Méray y Weierstrass, las sucesiones que cumplían con el criterio de
Cauchy (sin hacer referencia previa a los números que convergían) eran
los números reales. Este es un método de construcción. Un ejemplo,
como an = n12 define una sucesión (an ) que cumple el criterio de Cauchy,
entonces la sucesión es el número real. Así tenemos
1
= 0.
n→∞ n2
lim
Es un medio para definir el 0.
Pero hay asuntos complejos aquí. Uno de ellos: puede haber diferentes
sucesiones que convergen a 0. Eso no es relevante.
La teoría de Weierstrass es, por supuesto, más compleja. Más que sucesiones ordenadas de números racionales, lo que se usa son conjuntos de
racionales. Pero, por ahí van los ‘‘tiros’’.
Debe decirse que Weierstrass no publicó sus resultados sobre la aritmetización, y se conocen, más bien, por medio de sus discípulos Ferdinand
Lindemann y Eduard Heine.
Dedekind
Richard Dedekind ofreció otra construcción de los números reales: el
método de las ‘‘cortaduras’’. En esencia, hacía lo siguiente para definir
‘‘con lógica’’ los números reales.
Divídase el conjunto de los números racionales en clases disjuntas A y
B, tales que todos los números de A sean menores que todos los números
de B.
624
EL RIGOR EN LAS MATEMÁTICAS
Dedekind consideró entonces los números en los que se hacía el corte:
‘‘la cortadura’’, y estableció que solo existía un número real que producía
esa ‘‘cortadura’’.
Si, además, A contiene a su máximo, o B a su mínimo, la cortadura
define un número racional.
Pero si ni A contiene a su máximo ni B un mínimo, entonces se define
un número irracional. Un ejemplo:
Consideremos esta ‘‘cortadura’’:
A = {a ∈ Q / a2 < 5}
y
B = {b ∈ Q/b2 > 5}.
Esta ‘‘cortadura’’ define un número que no está en A como máximo ni
en B como mínimo.
√ Podemos concluir sin problema que esta cortadura
define el número 5.
Resulta interesante mencionar que la definición de número irracional
dada por Dedekind posee una gran similitud con la teoría de Eudoxo
que aparece en el Libro V de los Elementos de Euclides. De hecho, esto
lo consigna Ferreirós:
‘‘La teoría de las proporciones de Eudoxo guarda una profunda relación
con la teoría de los números irracionales de Dedekind, como indicará
Rudolf Lipschitz y como se ha venido repitiendo desde entonces.’’ [Ferreirós, José: ‘‘ Introducción’’ a Dedekind, Richard: ¿Qué son y para
qué sirven los números ?, p. 7]
La construcción dada por Dedekind se inscribía, por supuesto, también
en los planes de fundamentación; bien lo recoge Ferreirós:
‘‘El hecho de que todos los temas anteriores se anuden en la obra de
Dedekind muestra ya suficientemente que nos encontramos frente a un
enorme esfuerzo de sistematización, un gran intento de reducir la matemática a bases rigurosas y unitarias. En efecto, la teoría expuesta en
Continuidad y números irracionales puede verse como colofón de una
serie de esfuerzos encaminados a fundamentar el análisis sobre la noción de límite, y esta noción directamente sobre la aritmética; además,
de las teorías del número irracional publicadas en los años 1 870 es la
más consciente conjuntista. Pero Dedekind se preocupó también por
22.4: Rigor: una perspectiva histórica
625
hacer posible un desarrollo riguroso de todo el sistema numérico, como acreditan sus afirmaciones publicadas y diversos manuscritos. Con
ello pretendía obtener un nuevo fundamento para la aritmética y el álgebra, coherente con sus investigaciones más sofisticadas en el campo de
la teoría de números algebraicos y del álgebra en general.’’ [Ferreirós,
José: ‘‘ Introducción’’ a Dedekind, Richard: ¿Qué son y para qué sirven
los números ?, p. 13]
Bertrand Russell, tiempo después, propuso que se identificase como
número real no aquel que corta
√ los conjuntos, sino un conjunto de racionales. Por ejemplo, definir 5 como el conjunto A, antes construido.
Cantor
Georg Cantor continuó la obra de Weierstrass en los fundamentos de las
matemáticas. Para Cantor, por ejemplo, ‘‘toda sucesión regular define
un número; la clase de todos los números así definidos es el sistema de
los números reales’’. De hecho, con algunas simplificaciones por Heine
se dio una aproximación distinta a la construcción de los reales: que se
conoce como Heine-Cantor, y que fue publicado en ‘‘Die Elemente der
Funktionenlehre ’’ del Journal de Crelle, 1 872.
Para Dedekind y también para Weierstrass está presente una referencia
al continuo y, entonces, al infinito.
Podemos decir que la noción de continuo real implica un proceso matemático (mental si se quiere) cualitativamente diferente al que se manifiesta en la aritmética.
22.4
Rigor: una perspectiva histórica
En buena medida, el corazón de los procesos de aritmetización y rigorización de las matemáticas durante el siglo XIX se encontraba en la búsqueda por eliminar la referencia geométrica e intuitiva que había predominado, y subrayar el papel de la aritmética y la lógica en la construcción y validación de las matemáticas. Era importante ofrecer fundamentos lógicos y nociones más precisas en el edificio de las matemáticas, a
626
EL RIGOR EN LAS MATEMÁTICAS
potenciar sus fundamentos, sin embargo a veces se aprecia un distanciamiento de estos mecanismos de fundamentación de aquellos conceptos
e ideas que dieron origen al cálculo.
Para algunos, el corazón de la construcción matemática se encuentra
exactamente en esas dimensiones lógicas y formales, en un divorcio
muy drástico con las nociones derivadas de la intuición, la geometría
visual, la apelación al mundo empírico, que ‘‘contaminaron’’ los orígenes de las matemáticas. No está claro, sin embargo, que la construcción
matemática pueda restringirse a esas dimensiones lógicas y que se pueda
desprender de la intuición.
La aritmetización del análisis y la fundamentación del cálculo deben sumergirse dentro de un escenario que ofreció la evolución específica de
nuevas matemáticas durante el siglo XIX. Es el mismo contexto del álgebra abstracta, de la emersión de las geometrías no euclidianas, y de un
nuevo carácter en estas disciplinas. En esa dirección avanzó un proceso
de formalización y axiomatización de las matemáticas en la que participarían varios importantes matemáticos. En particular, debe consignarse
la obra de Peano que jugó un papel importante en la potenciación de las
caraterísticas de algunos de los métodos abstractos en las matemáticas
modernas, como señala Bell:
‘‘ Los orígenes del método abstracto y de la manera crítica de abordar las
matemáticas parece que están situados concretamente pocos años después de 1 880. No atrajeron mucho la atención hasta que en 1889 Hilbert
publicó su obra sobre los fundamentos de la geometría y hasta que, por
aquella misma época, señaló la importancia básica que tenía para todas
las matemáticas el demostrar la consecuencia de la aritmética común.
Pero parece atribuirse el impulso inicial a Peano (italiano, 1 858 - 1 932)
con sus postulados de la aritmética (1 889). Siguiendo el programa euclidiano, Peano emprendió la tarea de reducir la aritmética común de un
conjunto explícitamente enunciado de postulados tan libres de hipótesis implícitas como pudo hacerlos. El método postulacional es el origen
22.4: Rigor: una perspectiva histórica
627
del moderno movimiento crítico y de la tendencia hacia la abstracción.’’
[Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 278]
Con los propósitos de desgeometrizar el cálculo, potenciar la deducción
lógica en los fundamentos, se planteó un reduccionismo de conceptos.
Por ejemplo, la reducción de los números irracionales a nociones aritméticas. Se quiera o no, este proceso implicó nuevos niveles de abstracción y, lo que a veces no suele reconocerse, la introducción de supuestos
teóricos sobre la existencia y la naturaleza de las entidades matemáticas. Estos supuestos a veces expresados de una manera explícita y a
veces presentes de una manera implícita. Debe decirse, que esta actitud reduccionista, que buscaba la unidad en la diversidad matemática,
obligaba a un replanteamiento sobre la naturaleza de las matemáticas e
incluso sobre todo el conocimiento. Es por eso mismo que a finales del
siglo XIX y en la primera mitad del siglo XX se dio un proceso de discusión filosófica y matemática sobre los fundamentos últimos de estas
disciplinas.
Durante el XIX se dio un énfasis en la aritmética y el álgebra, por encima
de la geometría. Esto fue así tanto por las inconsistencias del Cálculo
(en la defniciones, en las series, etc.) y también como una respuesta al
impacto producido por las geometrías no euclidianas. Para la mayoría
de los matemáticos, la geometría euclidiana se aceptó ‘‘acríticamente’’
por haber asumido la intuición como punto de referencia. La emersión
de geometrías no euclidianas se leyó como el reclamo por eliminar la
intuición.
El énfasis en procesos demostrativos algebraicos y aritméticos respondió tanto a las necesidades conceptuales propiamente de las matemáticas
como a las necesidades de la comunidad matemática (incluso psicológicas). Hasta cierto punto, cierto temor, incertidumbre e inseguridad en
los matemáticos, los de carne y hueso, fue factor central de esta evolución. Como siempre, en la ciencia y las matemáticas en particular, los
criterios que se aceptan responden, también, a las percepciones (incluso
temores y rivalidades) de la comunidad practicantes.
Ya volveremos sobre esta temática, que plantea una reflexión más bien
filosófica.
628
22.5
EL RIGOR EN LAS MATEMÁTICAS
Biografías
22.6: Síntesis, análisis, investigación
22.6
629
Síntesis, análisis, investigación
1. Diga cuáles fueron las nociones en las que se concentró Cauchy para
desarrollar su programa de rigorización en el análisis.
2. ¿Cuál era el objetivo fundamental de Cauchy al formular su noción
de límite?
3. ¿Cuál enfoque prefirió Cauchy: el de d’Alembert o el de Lagrange?
¿Por qué?
4. Diga si es falsa o verdadera la siguiente afirmación: Cauchy pensaba
que toda función continua era derivable.
5. Explique las semejanzas y diferencias entre las nociones de
‘‘variable’’ y de ‘‘convergencia de una sucesión’’ que tenían Cauchy
y Weierstrass.
6. Defina
√
3 usando el métodeo de las cortaduras de Dedekind.
7. Describa brevemente lo que significa la ‘‘aritmetización del análisis’’.
8. Estudie el siguiente texto de Morris Kline.
‘‘La rigorización de las matemáticas pudo haber llenado una necesidad del siglo XIX, pero también nos enseña algo del desarrollo de
la materia. La estructura lógica fundada recientemente garantizó de
manera presumible la solidez de las matemáticas; pero la geometría
era algo decorativo. Ningún teorema de la aritmética, el álgebra, o la
geometría euclidiana fue cambiado como consecuencia, y los teoremas del análisis solamente tuvieron que ser formulados más cuidadosamente. De hecho, todo lo que hicieron las estructuras axiomáticas
y el rigor fue verificar lo que los matemáticos ya sabían. Así, los
axiomas tuvieron que ceder ante los teoremas existentes más que determinarlos. Todo esto significa que la matemática descansa no sobre
la lógica sino sobre las sólidas intuiciones. El rigor, como ha señalado Jacques Hadamard, sanciona meramente las conquistas de la intuición; o, como ha dicho Hermann Weyl: la lógica es la higiene que
630
EL RIGOR EN LAS MATEMÁTICAS
usan los matemáticos para mantener sus ideas fuertes y saludables.’’
[Morris Kline: Mathematics: The Loss of Certainty , 1 982]
Explique y comente las ideas que expresa el autor.