Circuitos Digitales I Universidad de los Llanos Laboratorio 2

Circuitos Digitales I
Laboratorio 2: Algebra de Boole
Universidad de los Llanos
Ingeniería Electrónica
Objetivo de la práctica:
Comprobar en el laboratorio el diseño optimizado de un circuito utilizando el álgebra de Boole; reportando las ventajas que se
obtienen con la simplificación de las funciones booleanas.
Introducción
Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos
de distribución y computadoras. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está
formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que
son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como
funciones de boole.
Se intentara dar una definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las funciones booleanas, haciendo una correlación con
las fórmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas canónicas de las funciones booleanas, que son útiles para varios
propósitos.
Álgebra Booleana
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador
binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador
booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana



El símbolo "·" representa la operación lógica AND., por lo tanto A·B representa la operación lógica AND entre las variables A y
B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.
El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la
suma de A y B.
El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, se utilizara el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por
ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.
Leyes fundamentales
1.
2.
3.
4.
5.
6.
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable
del sistema, y este resultado es único.
A + A'B = A + B (Ley de Absorción)
7. A · (A’+ B)= A·B (Ley de Absorción)
A' · (A + B') = A'B' (Ley de Absorción)
8. A’· (A + B)= A’·B (Ley de Absorción)
AB + AB' = A (Ley de Absorción)
9. (A+ B) · (A +B’)= A (Ley de Absorción)
(A' + B') · (A' + B) = A' (Ley de Absorción)
10. A·B= (X’+Y’)’ (ley generalizada de DeMorgan)
(A’)’= A (Ley de involución)
11. A+B=(X’·Y’)’ (ley generalizada de DeMorgan)
Principio de dualidad
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el
intercambio de los operadores unión con los de intersección, y de los 1 con los 0.
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Adición
Producto
LEYES
1
A + A' = 1
A • A' = 0
Ley Complemento
2
A+0=A
A•1=A
Ley Identidad
3
A+1=1
A•0=0
Maximilidad de 1 y 0
4
A+A=A
A•A=A
Ley de Idempotencia
5
A+B=B+A
A•B=B•A
Ley conmutativa
6
A + (B + C) = (A + B) + C
A • (B • C) = (A • B) • C
Ley Asociativa
7
A +(B • C) = (A + B) • (A + C) A • (B + C) = A • B + A • C Ley Distributiva
8
A+A•B=A
A • (A + B) = A
Ley de Absorción
9
(A + B)' = A' • B'
(A • B)' = A' + B'
Ley de DeMorgan
Álgebra Booleana y circuitos electrónicos
La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre
las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un
circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir
nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas homónimas
Circuitos Combinacionales
Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas básicas (AND, OR, NOT), algunas entradas y un juego
de salidas, como cada salida corresponde a una función lógica individual, un circuito combinacional a menudo implementa varias
funciones booleanas diferentes, es muy importante recordar éste echo, cada salida representa una función booleana diferente.
Una función booleana es una aplicación de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de
álgebra de Boole. Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o no.
Representemos el voto de cada uno por Xi. La función devolverá sí (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso
contrario devolverá 0.
Si X1 vota 1, X2 vota 0, X3 vota 0 y X4 vota 1 la función booleana devolverá 0.
El número posible de casos es 2n.
Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son:
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A
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
VOTOS
B
C
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
D
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
RESULTADO
Y
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms) iguales a 1. En nuestro ejemplo la
función booleana será: f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD Simplificando utilizando Algebra de Boole:
f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD
= ABC(D+D’) + ABC'D + AB'CD + A'BCD
= ABC(1) + ABC'D + AB'CD + A'BCD
= ABC + ABC'D + AB'CD + A'BCD
= ABC + ABC’D + CD(AB’+ A’B)
= ABC + ABC’D + CD(A B)
= AB(C+C’D) + CD(A B)
= AB((C+C’)(C+D)) + CD(A B)
= AB((1)(C+D)) + CD(A B)
= AB(C+D) + CD(A B)
Factorización
Ley Complemento
Ley Identidad
Factorizacion
Función OR-Exclusiva
Factorizazcion
Ley Distributiva
Ley Complemento
Ley Identidad
Por lo tanto La función simplificada f(A,B,C,D) = AB(C+D) + CD(A B) va ha requerir de menos compuertas (CI’s) que la función
original. A continuación se muestra el circuito resultante de la simplificación con el algebra de Boole para el ejemplo anterior:
A B C D
0V 0V 0V 0V
F
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Realizando la simulación en CircuitMaker se puede verificar la tabla de verdad derivada del ejemplo propuesto anteriormente.
MATERIALES







C.I’s. 74LS08 “AND”, 74LS32 “OR”, 74LS04 “NOT”.
Dipsiwtch.
Resistencias.
Fuente.
Multimetro.
Generador de señales (función PULSE)
Protoboard y cable.
PROCEDIMIENTO
1.
Simplificar la siguiente función usando algebra de Boole indicando paso a paso la ley utilizada para la simplificación y realizar
el montaje del circuito.
F(A,B,C,D)= [AB(C+(BD)’) + (AB)’] CD
2. De los siguientes circuitos indicar cuales son iguales y realizar el montaje para los que son iguales :
A B C D
0V 0V 0V 0V
(CD+B')A + A'B'C
A1 B1 C1 D2
0V 0V 0V 0V
CD'B'+ AB'
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A2 B2 C2 D4
0V 0V 0V 0V
AB'+ ACD'+ AB'C
A3 B3 C3 D6
0V 0V 0V 0V
AB'+ ACD'
3. Para los circuitos anteriores demuestre utilizando algebra de Boole por que son o no son iguales enunciando las leyes
utilizadas en la simplificación.
4. ¿Encontró alguna diferencia en la señal de salida de los 4 circuitos anteriores?
5. Si implementara alguno de los cuatro circuitos anteriores, ¿cuál utilizaría? y ¿por qué?
6. ¿Qué ventajas se obtiene al utilizar el álgebra de Boole?