P A C

PRONAFCAP
A
HERRAMIENTAS
Componente:
Matemática
GRUPO A
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ
PRONAFCAP
EQUIPO RESPONSABLE
Capacitadores: Mirna Antonio, Zelmira Cárdenas, José Luis Morón, Itala Navarro, Rosa María
Vilchez, Florencia Suca, Celia Quenaya, Rosa Mónica Rodríguez, Javier Alvarez, Carlos
Andrade, Manuel Durand, Alex Molina, Carlos Ramos, Carlos Vera, Cecilia Zevallos
Especialistas compiladores:
EQUIPO DE CAPACITADORES DEL
COMPONENTE MATEMÁTICA
Impresión:
CISE-PUCP
Pontificia Universidad Católica del Perú
Facultad de Educación
Centro de Investigaciones y Servicios Educativos
2010
Av. Universitaria 1801. San Miguel. Lima 32. Teléfono 626-2000 anexo 4380/5714 Fax 626-2891
Correos Electrónicos: [email protected] , [email protected]
Pág. Web: www.pucp.edu.pe
COMPONENTE: MATEMÁTICA
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PRONAFCAP
ÍNDICE DE LECTURAS SELECCIONADAS
Nº de
Lectura
Unidad 1:
Lógica y Conjuntos
Unidad 2:
Sistema de Numeración
Decimal- Propiedades
Unidad 3:
Álgebra y Funciones
Unidad 4:
Estadística
COMPONENTE: MATEMÁTICA
Descripción
Pág.
1
Lógica Proposicional
4
2
Conjuntos y diagramas de Venn
11
3
Sistemas Numéricos
17
4
Divisibilidad
24
5
Máximo Común Divisor y Mínimo
Común Múltiplo
30
6
Las Fracciones en la Vida Cotidiana
37
7
Proporcionalidad
46
8
Porcentaje
55
9
Ecuaciones Lineales
63
Funciones Lineales y Cuadráticas
69
11
Gráficas Estadísticas
83
12
Medidas de Tendencia Central
88
13
Probabilidades
91
10
3
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UNIDAD 1 LÓGICA Y CONJUNTOS
LECTURA 1: LÓGICA PROPOSICIONAL
"LAS TRES LEYES DE LA ROBÓTICA"
Fuente: es.wikipedia.org/wiki/Tres_leyes_de_la_robótica /
En ciencia ficción las tres leyes de la robótica son un conjunto de normas escritas por
Isaac Asimov, que la mayoría de los robots de sus novelas y cuentos están diseñados
para cumplir.
Primera Ley: un robot no puede dañar a un ser humano o, con su inactividad, permitir
que un ser humano sufra daño.
Segunda Ley: un robot tiene que obedecer las órdenes dadas por los seres humanos,
salvo cuando tales órdenes vulneren la Primera Ley.
Tercera Ley: un robot debe proteger su propia existencia, siempre que esta protección
no vulnere la Primera o la Segunda Ley.
Ley Cero: Un robot no puede perjudicar a la Humanidad ni, por omisión, permitir que la
Humanidad sufra daño.
Isaac Asimov
1920-1952
Yo, Robot es una
película producida en
2004, dirigida por Alex
Proyas y
protagonizada por Will
Smith
Fuente:
http://www.imdb.es/
Fuente:
http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Asimov
Reflexione:
Estas leyes surgen como medida de protección para los seres humanos en sus novelas
de ficción.
a. ¿Las Tres Leyes prevén que las máquinas hipotéticamente pudieran rebelarse y
alzarse contra sus creadores? Describa brevemente cómo lo logra:
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
COMPONENTE: MATEMÁTICA
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b. ¿Las leyes se relacionan entre sí? ¿De qué manera?
…………………………………………………………………………………………..
Analicemos los siguientes casos:
c. ¿Qué ocurre si un robot decide golpear a un ser humano? ¿Qué ley está
incumpliendo?
……………………………………………………………………………………………
d. ¿Qué ocurre si un robot ve que una persona se está ahogando? ¿Qué debe
hacer? ¿Qué ley está obedeciendo?
……………………………………………………………………………………………
e. ¿Qué ocurre si un ser humano le dice a un robot que cause daño a otro ser
humano? ¿El robot le obedece?
……………………………………………………………………………………………
f. ¿Qué ocurre si el robot ve que una bala le va a impactar a un ser humano y es
imposible mover al ser humano? ¿El robot se pondría como escudo a pesar de
que la bala puedo dañarlo? ¿Qué Leyes están en su razonamiento?
……………………………………………………………………………………………
g. ¿Qué ocurre si no se cumple alguna de las leyes?
……………………………………………………………………………………………
INTRODUCCIÓN.
Fuente: Introducción a la Lógica. Irving M. Copi. Editorial Universitaria de Buenos Aires. 1974
http://www.scribd.com/doc/21528729/Introduccion-a-la-Logica-Irwin-copi
Las palabras lógicas e ilógicas son familiares para todos nosotros. A menudo hablamos
de una conducta lógica como contrapuesta
a una conducta ilógica, de un
procedimiento lógico, de una explicación lógica, etc.
El estudio de la lógica es el estudio de los métodos y los principios usados para
distinguir el razonamiento correcto del incorrecto. Sin embargo, no se puede afirmar
que sólo es posible razonar correctamente si se ha estudiado lógica.
Una parte tradicional de la lógica consiste en el examen y el análisis de los métodos
incorrectos de razonamiento. Y proporcionará ciertas técnicas y ciertos métodos de
fácil aplicación para determinar la corrección o incorrección de todos los
razonamientos, incluso los propios.
La lógica es una ciencia y un arte que tiene por objeto guiar al hombre en su búsqueda
de la verdad, especialmente en aquellos esfuerzos que requieren mayor cuidado y
ejercicio de razón. En efecto, aunque esta facultad tiene por objeto la verdad, puede
equivocarse, puede razonar mal, puede emplear un método inadecuado.
Debe existir, entonces, una ciencia del racionamiento y de sus principios
fundamentales, un arte que indique los métodos convenientes a cada tipo de
investigación y que impida, en cuanto es posible, caer en el error. Eso es la lógica.
COMPONENTE: MATEMÁTICA
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En la vida cotidiana, puede orientarnos en determinadas situaciones a optar por un
proceder más coherente de acuerdo a la verdad. En la actividad docente la lógica toma
vital importancia, ordena y organiza nuestro pensamiento, influenciando esto en la
claridad y precisión de nuestro lenguaje, el mismo que debe ser entendible de igual
modo por todos.
1.1 LENGUAJE PROPOSICIONAL
En nuestra vida cotidiana realizamos actividades o formulamos expresiones lógicas
aún cuando no tenemos plena conciencia de ello. Esto ha venido ocurriendo desde
nuestro nacimiento pues muchas de estas actividades o expresiones se encuentran
implícitas en diversas actividades humanas.
A cada una de estas
Por ejemplo, formulamos expresiones como:
expresiones se denomina
 ¿Quién de ustedes desea un refresco?
enunciado.
 Discúlpame, pero no estoy de acuerdo
 ¿Qué día es hoy?
 ¡Silencio!
 Prohibido fumar.
 Si me levanto temprano entonces llego temprano a mi trabajo
Podemos notar que algunos enunciados son órdenes, interrogaciones o expresiones
de emoción, pero no son proposiciones. También observamos que algunos de estos
enunciados son verdaderos, otros son falsos y, por último, existen enunciados de los
cuales no se puede decir si son verdaderos o falsos.
Una proposición es un enunciado que tiene la cualidad de ser
verdadero o falso, pero nunca ambos a la vez.
¿Cómo representar una proposición?
Las proposiciones se representan con letras minúsculas del abecedario: p, q, r, s.
Veamos algunos ejemplos:
Notemos que todos son enunciados
p : Treinta es múltiplo de tres.
con sentido completo y valor de
q : 5 es menor que seis.
verdad determinado: verdadero o
r : El rectángulo es un polígono.
falso, pero nunca ambos a la vez.
s : Luís estudia en PUCP
t : Quito es la capital de Perú
ORGANIZADOR GRÁFICO
Fuente: Elaboración propia con Software Cmaptool.
COMPONENTE: MATEMÁTICA
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1.2 CLASES DE PROPOSICIONES
1.2.1
Proposición simple
Lea y analice:
p: Brasilia es la capital de Brasil.
q: El triángulo tiene tres lados.
s: Júpiter gira alrededor del sol.
Los ejemplos dados corresponden a proposiciones que tienen un sujeto y un
predicado; además carecen de conjunciones gramaticales y del adverbio de
negación (no). Estas proposiciones son llamadas proposiciones simples.
La proposición simple expresa una sola idea y no guarda relación
con ninguna otra proposición.
1.2.2
Proposición Compuesta
Lea y analice:
 El cuadrado tiene cuatro lados y dos diagonales.
p: El cuadrado tiene cuatro lados.
q: El cuadrado tiene dos diagonales.
 Si Inés vive en San Juan de Miraflores, entonces vive cerca de Villa el
Salvador.
p: Inés vive en San Juan de Miraflores.
q: Inés vive cerca de Villa el Salvador.
Converse con un compañero: ¿Las anteriores proposiciones por qué son
proposiciones compuestas?
Una proposición compuesta es aquella proposición formada por dos a
más proposiciones simples, unidas por conectivos (conjunciones
gramaticales), o afectados por el adverbio de negación (no).
Los conectivos utilizados para unir proposiciones o cambiar su valor de verdad
están expresados en la siguiente tabla.
CONECTIVO



OPERACIÓN ASOCIADA SIMBOLOGÍA
Negación
p
Conjunción o producto
pq
Disyunción o inclusión
pq
∆
Disyunción exclusiva

Implicación
COMPONENTE: MATEMÁTICA
p∆q
p  q
SIGNIFICADO
No p
pyq
poq
o p o q (es
excluyente)
si p, entonces
q
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
Doble Implicación
PRONAFCAP
p
q
p si y sólo si q
ACTIVIDAD: INFIRIENDO LA TABLA DE VERDAD DE LA
DISYUNCIÓN
Fuente: http://ayura.udea.edu.co/logicamatematica/talleres/taller1a.htm
CONSTRUCCIÓN DE LAS LEYES BÁSICAS DE LA LÓGICA / Actividad N° 1. Clara
Mejía
INDICACIONES
En equipos de trabajo determine la tabla de Verdad de la Disyunción. Utilice
bloques lógicos.
Paso 1: Forme los conjuntos siguientes: C=Círculos, A=Azules. Identifique
apropiadamente las figuras.
Paso 2: Ahora forme el conjunto U = Círculos o Azules. Figuras que pueden ser
círculos o de color azul.
Reflexione:
a) ¿Es necesario que un bloque sea a la vez círculo y azul para estar dentro del
conjunto? _______
b) ¿Es suficiente que un bloque sea círculo para estar dentro del conjunto?
_______
¿Es esto necesario? ______
c) ¿Es suficiente que un bloque sea azul para estar dentro del conjunto?
_______ ¿Es esto necesario? ______
d) Si no es un círculo y está en el conjunto U necesariamente es: ____________
e) Si no es azul y está en el conjunto U necesariamente es: __________________
f) ¿Qué piezas quedan por fuera de U? __________________________________
g) ¿Qué propiedad tienen? __________________________________________
COMPONENTE: MATEMÁTICA
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Paso 3: Observa el gráfico realizado, indica con la letra V la verificación de la
propiedad y con la letra F la no verificación, ahora puedes conformar la siguiente
tabla:
Genere la tabla de verdad, con las fichas del conjunto U. Analice las figuras que
cumplen la condición de acuerdo a ello determina el valor de verdad.
Haz construido la tabla de la disyunción; ahora construye la tabla de la
conjunción; es decir, forma el conjunto de figuras que sean círculo y azules a
la vez.
1.3 OPERACIONES PROPOSICIONALES
1.3.1 La negación
Cumple la función de negar una proposición.
p : El número cero es par.(Verdadero)
p : El número cero no es par.(Falso)
La negación de p: Todo peruano es limeño, es  p: No todo
peruano es limeño
p
V
F
p  (p)
F V
V F
1.3.2 Conjunción
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Se pueden utilizar otros términos: pero, además, aunque, sin embargo, a la vez,
no obstante, sino, mas aún, cuando, también, igualmente, tanto ... como ..., a
pesar de, a menos que…
p: un cuadrado es un rectángulo
q: un cuadrado es un rombo
Entonces:
p  q: un cuadrado es un rectángulo y es un rombo
COMPONENTE: MATEMÁTICA
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1.3.3 Disyunción Inclusiva
p: 12 es menor que 12
q: 12 es igual a 12
Entonces:
p  q : 12 es menor que 12 o es igual a 12 .
PRONAFCAP
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
pq
V
V
V
F
1.3.4 Implicación
En toda proposición condicional, la proposición p se
denomina antecedente y la proposición q, consecuente de
la condicional.
Otras denominaciones son “p es condición suficiente para q”,
o “q es condición necesaria para p”.
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F

p
q
V
F
V
V
Se pueden utilizar otras expresiones como: siempre, porque, en vista que,
puesto que, ya que, sí, cuando, cada vez que.
Este modelo lógico es muy usado en la formulación de los enunciados de
teoremas, etc.
1.3.5 Doble Implicación
"n es par si, y sólo si, n2 es par" es equivalente
a demostrar dos condicionales: "si n es par,
entonces n2 es par" y "si n2 es par, entonces n es par".
p  q  [(p  q)  (q  p)].
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
F
V
PROBLEMAS RESUELTOS
Analiza los siguientes problemas resueltos.
1. FAMILIA PERRUNA
Tenemos cuatro perros: un galgo, un dogo, un alano y un podenco.
Éste último come más que el galgo; el alano come más que el galgo y menos que el
dogo, pero éste come más que el podenco.
¿Cuál de los cuatro será más barato de mantener?
Solución
Se asume un esquema para establecer el orden. Los que están arriba, comen más de
los que están abajo. Las líneas establecen las relaciones de acuerdo al problema
Analizando:
COMPONENTE: MATEMÁTICA
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El podenco. Éste último
come más que el galgo
PRONAFCAP
Usamos las líneas para en enlazar la
idea que el Podenco come más que
el galgo.
el alano come más que el
galgo
El alano puede estar
arriba del podenco o
abajo, hasta este
momento.
y menos que el dogo, pero
éste come más que el
podenco.
Finalmente de acuerdo al
gráfico, el Galgo es el más
económico
2. EL ALMUERZO
Almorzaban juntos 3 políticos: El Señor Blanco, El señor Rojo y el señor Negro, uno de
ellos llevaba corbata blanca, otro roja y el otro negra, pero no en el mismo orden. En un
corto diálogo se escucha que:
El señor de la corbata roja dice: “Es curioso, a pesar de que nuestros apellidos son los
mismos que los colores de nuestras corbatas, ninguno lleva su correspondiente”.
El señor Blanco responde: “Tiene usted razón”
¿De qué color es la corbata de cada político? (Tomado de la evaluación para el
nombramiento de docentes)
Solución
1° El color de la corbata que llevan no coincide con el de su apellido; por lo tanto
ponemos X en los recuadros respectivos.
blanco
rojo
negro
Sr. Blanco X
Sr. Rojo
X
Sr. Negro
X
2° El señor Blanco responde al que lleva la corbata de color rojo (descartamos que
él lleve la corbata color rojo); por ello ponemos X en el casillero respectivo, y
deducimos que lleva corbata color negro, entonces ponemos √ en el casillero
respectivo en la columna “negro”.
blanco
Sr. Blanco X
Sr. Rojo
Sr. Negro
rojo
X
X
negro
√
X
3° Completamos el cuadro colocando: X para cancelar la columna “negro”; √ para
cancelar la fila “Sr. Rojo”; √ para cancelar la columna “rojo”.
COMPONENTE: MATEMÁTICA
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ
blanco
Sr. Blanco X
Sr. Rojo
Sr. Negro
rojo
X
X
√
PRONAFCAP
negro
√
X
X
Así se puede asegurar que el señor Blanco lleva corbata de color negro; el señor Rojo
la de color blanco y el señor Negro la de color rojo.
blanco
Sr. Blanco X
Sr. Rojo
√
Sr. Negro X
rojo
X
X
√
negro
√
X
X
3. CENA DE AMIGOS
Aníbal invita a cenar a sus amigos Betty, Celinda, Daniel, Eduardo y Felipe, quien por
razones de fuerza mayor no pudo asistir.
Se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente.
Si se sabe que:
- Aníbal se sienta junto a Eduardo y Daniel.
- Frente a Eduardo se sienta Betty.
- Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío.
¿Entre quienes se sienta Eduardo?
Solución
Lo primero que tenemos que hacer, es asumir una dirección, luego colocar toda la
información en función de la dirección u orientación escogida. En este problema no
indican quién está a la izquierda o a la derecha de alguno, por lo tanto se asumirá el
siguiente ordenamiento:
Del primer dato:
E
A
Del segundo dato:
E
Del tercer dato:
A
D
E
D
B
A
D
C

B
Por lo tanto Eduardo se sienta entre Aníbal y Celinda.
4. PROPOSICIONES
p : Estudio sistemáticamente
r : Voy a bailar todos los fines de
semana
q : Obtendré buenas calificaciones en s : Me sentiré feliz
Álgebra
Escribe con palabras las siguientes proposiciones compuestas:
COMPONENTE: MATEMÁTICA
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PRONAFCAP
a) r v s
b) q v p
c) p( q s )
d) (p v r ) q
Solución
Observa que realizamos una identificación de los conectores lógicos simbólicos, y
luego los reemplazamos por su par textual.
a. Voy a bailar todos los fines de semana o me siento feliz
b. Obtendré buenas calificaciones en Álgebra o Estudio sistemáticamente
c. Estudio sistemáticamente implica que: si obtendré buenas calificaciones en
Álgebra, entonces me sentiré feliz
d. Si no estudio sistemáticamente o voy a bailar todos los fines de semana,
entonces no obtendré buenas calificaciones en álgebra
APLICANDO LO APRENDIDO
1. LOS CUATRO ATLETAS.
De cuatro corredores de atletismo se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B, y
D ha llegado en medio de A y C. ¿Podría Ud. calcular el orden de llegada? Respuesta: A D
CB
2. HILERA DE CASAS
En una hilera de cuatro casas, los Brown viven al lado de los Smith pero no al lado de los
Bruce. Si los Bruce no viven al lado de los Jones, ¿quiénes son los vecinos inmediatos de los
Jones? Respuesta: Brown
LÓGICA PROPOSICIONAL
1. En los siguientes ejemplos identifica las conjunciones (C), disyunciones inclusivas (I) y
disyunciones exclusivas (E), escribiendo dentro de los paréntesis las letras
correspondientes:
a) María Prado es economista o ejerce la docencia en la PUCP. ( )
b) ABC es triángulo rectángulo isósceles. ( )
c) 50 es múltiplo de 2 o de 5. ( )
d) 23 es un número impar o es un número compuesto. ( )
Respuesta a. ( I ) b. ( C ) c. ( I ) d. ( E )
2. Indica el valor de verdad correspondiente de las siguientes proposiciones:
a) Si (3 - 5)2 = 4 entonces -2 < 1
b) 23 = 8 o 4<7
c) – 52 = 25 si, y sólo si, 2x 3 = 24 : 4
Respuesta a) V b) V c) F
COMPONENTE: MATEMÁTICA
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