El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XVI

http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 59-68
El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XVI
Vicente Meavilla Seguí (Universidad de Zaragoza. España.)
Antonio M. Oller Marcén (Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza. España.)
Fecha de recepción: 31 de marzo de 2014
Fecha de aceptación: 21 de abril de 2014
Resumen
El estudio de la evolución del simbolismo matemático a lo largo de los tiempos
constituye una faceta importante de la Historia de las Matemáticas, dado que presenta a
esta disciplina como un ser vivo, sometido a continuos cambios, y ayuda al lector
moderno a comprender las dificultades con las que se encontraron los matemáticos hasta
establecer un conjunto de signos sencillo y operativo. En este artículo presentamos el
simbolismo algebraico que aparece en tres de los primeros libros sobre Álgebra
publicados en castellano en el siglo XVI: los escritos por el alemán Marco Aurel, por el
jienense Juan Pérez de Moya y por el portugués Pedro Núñez.
Palabras clave
Simbolismo algebraico, Historia de las Matemáticas, Siglo XVI, Marco Aurel, Pérez de
Moya, Pedro Núñez.
Abstract
The study of the evolution of Mathematical symbolism over time is an important issue of
the History of Mathematics because it presents this discipline as a “living being” under
continuous change and it helps the modern reader to understand the difficulties faced by
mathematicians until they established a simple and operative system of symbols. In this
paper we present the algebraic symbolism that appears in three of the earliest books on
Algebra written in Spanish during the XVI century by the German-born Marco Aurel, by
Juan Pérez de Moya from Jaén and by the Portuguese Pedro Núñez.
Keywords
Algebraic symbolism, History of Mathematics, XVI century, Marco Aurel, Pérez de
Moya, Pedro Núñez.
1. Introducción
La introducción del Álgebra en el aula es probablemente uno de los temas de investigación que
más atención recibe desde la Didáctica de la Matemática. Esta atención se justifica tanto en la
importancia del Álgebra como herramienta matemática para los alumnos, como en las dificultades que
estos parecen encontrar en su manejo. En consecuencia, existen numerosos estudios que abordan el
llamado Pensamiento Algebraico desde muy diversos enfoques (Socas, 2011).
Puig (2003, p. 106) señala, ampliando y reformulando trabajos de otros investigadores, seis
características de “lo algebraico”. La primera de ellas es el uso de un sistema de signos. Por lo tanto,
una de las partes en las que se divide la historia de las ideas algebraicas es, precisamente, la historia
del sistema matemático de símbolos del Álgebra (Puig, 2003, p. 107).
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XVI
V. Meavilla, A. M. Oller
A este respecto, diversos autores, por ejemplo Kieran (1992), distinguen tres fases o etapas en la
evolución del simbolismo algebraico que, utilizando términos introducidos por Nesselman, son:
1. Fase retórica: se usa lenguaje natural exclusivamente.
2. Fase sincopada: se introducen algunas abreviaturas para ciertas cantidades y relaciones.
3. Fase simbólica: se extiende y generaliza el uso del lenguaje simbólico.
La transición hacia la fase simbólica se inició a comienzos del siglo XVI (Malisani, 1999), si
bien no se estableció de forma clara hasta finales del siglo XVII (Eves, 1983). Stallings (2000) recorre,
de manera sucinta, la evolución del simbolismo algebraico.
Tzanakis y Arcavi (2000) señalan diversas aportaciones de la Historia de las Matemáticas a la
Educación Matemática. Una de ellas es que permite mostrar las Matemáticas como una disciplina viva
y cambiante en el tiempo. De hecho, pese a que la Historia de las Matemáticas no se incluye entre las
ocho competencias que constituyen la Competencia Matemática, sí que se integra (Hoff, 2011, p. 166)
en la descripción de una persona competente en Matemáticas.
A este respecto, Jahnke (2000, p. 299) afirma que “la lectura de fuentes originales debería
convertirse en un aspecto obligado dentro de la formación de profesores de Matemáticas”. En el caso
que nos ocupa, los textos antiguos ofrecen una información valiosa concerniente al “simbolismo
histórico” (simbolismo matemático utilizado en otros tiempos y que ya no se usa). Esta información
permite, en particular, comparar y valorar los signos antiguos con respecto a los que se usan hoy en
día.
Figura 1.
Esta comparación y valoración es especialmente interesante en el trabajo con docentes en
formación, puesto que hará posible que adquieran una comprensión global del simbolismo matemático
que les permitirá utilizarlo de forma competente para comunicarse con las Matemáticas y comunicar
sobre Matemáticas, dos competencias matemáticas específicas (Niss, 2002) que, además de contribuir
a la adquisición de la competencia matemática general, les permitirán comprender mejor algunas de
las dificultades que sus alumnos encuentran al enfrentarse a la notación algebraica.
60
Vol. 87
noviembre de 2014
NÚM E R OS
El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XIV
V. Meavilla, A. M. Oller
En este trabajo vamos a presentar el simbolismo algebraico que aparece en tres libros de
matemáticas escritos en el siglo XVI por el alemán Marco Aurel, el jienense Juan Pérez de Moya y el
portugués Pedro Núñez. Estos tres autores (junto con Antich Rocha) constituyeron, en palabras de Rey
Pastor (1926, p. 34) “un grupo homogéneo en que la Aritmética algebraica es la única rama
cultivada”.
2. Breves apuntes biográficos
Aunque no es el objetivo principal del trabajo, pensamos que es interesante ofrecer algunos
breves datos sobre la vida de los autores de los textos que vamos a considerar:
 De Marco Aurel (Meavilla, 1989) sabemos, como se lee en la portada del Libro Primero, de
Arithmetica Algebratica (Aurel, 1552), que fue “natural Alemán”. Además ejerció como
maestro de escuela en Valencia, y escribió un Tratado muy útil y prouechoso para toda
manera de tratantes y personas aficcionadas al contar (Aurel, 1541).
 Del Bachiller Juan Pérez de Moya, sabemos únicamente, tal como se indica en la portada de
algunos de sus libros, que nació antes del 1513 (probablemente en 1512) en Santisteban del
Puerto, Jaén. Estudió en Salamanca y Alcalá de Henares. Aunque no fue profesor
universitario, posiblemente se dedicó a la enseñanza de las Matemáticas. En 1536 obtuvo
una capellanía en su pueblo natal y, ya muy mayor, fue canónigo de la Catedral de Granada,
donde murió en 1596. Además de algunas obras de carácter religioso, Juan Pérez de Moya
escribió varios libros de contenido científico-matemático en los que procuró divulgar los
conocimientos de su época utilizando un lenguaje cercano, claro, preciso y comprensible. La
temática de dichos textos transita desde los “libros de cuentas” hasta el álgebra simbólica
(“regla de la cosa”); pasando por la aritmética, la geometría, la filosofía natural, la
navegación, la geografía, la astronomía o la cosmografía (Meavilla, 2005a).
 Pedro Núñez nació en Alcácer do Sal (Portugal) en 1502. De origen judío, estudió medicina en
la Universidad de Salamanca y obtuvo el título de medicina en la Universidad de Lisboa en
1525. El 16 de noviembre de 1529 fue nombrado cosmógrafo real por Juan III, y el 4 de
diciembre del mismo año obtuvo una cátedra de Filosofía Moral en la Universidad de
Lisboa. En el año 1534 escribió el primer manuscrito del Libro de Algebra en Arithmetica y
Geometria, aunque esta obra se publicaría casi 30 años más tarde. En 1537 ocupó la cátedra
de Matemáticas de la Universidad de Coimbra, que dejó vacante al jubilarse en 1562. Núñez
murió en Coímbra el 11 de agosto de 1578, tras haber sido consultado por el Papa Gregorio
XIII sobre un proyecto de reforma del calendario.
3. Título de capítulo numerado
En el folio 69r del Libro Primero, de Arithmetica Algebratica, Marco Aurel introduce los
“símbolos cósicos”, que coinciden con los usados por Christoph Rudolff en su obra Die Coss de 1525.
Figura 2. Símbolos cósicos de Marco Aurel. (1552, fol. 69r).
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 87
noviembre de 2014
61
El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XVI
V. Meavilla, A. M. Oller
Para representar los radicales de índice dos, tres y cuatro, Aurel vuelve a tomar prestada la
notación de Rudolff.
Figura 3. Símbolos radicales de Marco Aurel. (1552, fol. 43r).
Por su parte, Pérez de Moya presenta en primera instancia una notación algebraica en su
Arithmetica practica, y specvlatiua muy parecida a la de Marco Aurel:
Figura 4. Símbolos cósicos de Pérez de Moya. (1562, p. 449).
Sin embargo, unas páginas más adelante (pp. 452-453), se introduce un nuevo simbolismo
justificado del siguiente modo:
“Estos caracteres me ha parecido poner, porque no auia otros en la
Emprenta. Tu podras vsar quando hagas demandas de los que se pusieron en
el segundo capitulo, porque son mas breues. En lo demas todos son de vna
condicion.”
Figura 5. Símbolos cósicos alternativos de Pérez de Moya. (1562, pp. 452-453).
62
Vol. 87
noviembre de 2014
NÚM E R OS
El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XIV
V. Meavilla, A. M. Oller
Aunque, como acabamos de señalar, Pérez de Moya justifica la introducción de estos nuevos
símbolos en base a necesidades de imprenta, lo cierto es que este simbolismo es casi idéntico al
utilizado por Luca Pacioli en la Summa de Aritmetica, Geometria, Proportioni et Proportianalita
publicada en 1494.
Finalmente, Pedro Núñez, en su Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria, introduce un
simbolismo algebraico para las potencias de la incógnita (fol. 24v) y para los radicales (fols. 44r-46r)
muy parecido al utilizado por el italiano Luca Pacioli en su Summa y por el español Juan Pérez de
Moya en su Arithmetica practica, y specvlatiua:
Figura 6. Símbolos para las potencias de la incógnita de Pedro Núñez. (1567, fol. 24v)
Figura 7. Ejemplo de símbolos radicales de Pedro Núñez. (1567, fol. 45v).
En la siguiente tabla presentamos comparativamente los distintos símbolos y denominaciones
utilizadas por cada autor para referirse a las sucesivas potencias de la incógnita, junto con su
equivalente actual.
Marco Aurel
Nombre
Pérez de Moya
Signo
Pedro Núñez
Actual
Nombre
Signo
Nombre
Signo
Dragma o número
Radix o cosa
Censo
Cubo
Censo de censo
Sursolidum o
primo relato
Número
Cosa
Censo
Cubo
Censo de censo
n
co
ce
cu
cce
Cosa
Censo
Cubo
Censo de censo
co.
ce.
cu.
ce.ce.
x0
x1
x2
x3
x4
Primero relato
R
Relato primo
re.pº
x5
Censo y cubo
Censo y cubo
cecu
Segundo relato
Censo de censo
de censo
Cubo de cubo
RR
ce.cu. ó
cu.ce.
-
x6
Bissursolidum
Censo censo de
censo
Cubo de cubo
Censo de cubo o
cubo de censo
-
ccce
-
-
x8
ccu
-
-
x9
x7
Tabla 1.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 87
noviembre de 2014
63
El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XVI
V. Meavilla, A. M. Oller
A continuación una tabla similar, pero relativa a los signos radicales.
Marco Aurel
Nombre
Signo
Pérez de Moya
Nombre
Signo
Pedro Núñez
Nombre
Signo
Raíz cuadrada
Raíz
quadrada
r ó R
Raíz cuadrada
R o 2R
Raíz cúbica
Raíz cúbica
rrr ó
RRR
Raíz cúbica
3R
rr ó RR
Raíz cuarta
RR o 4R
-
Raíz quinta
5R
ru ó RU
ó RV
Raíz cuadrada
universal
R.V.
Raíz cuadrada de
raíz cuadrada
-
-
Raíz quadrada
universal
Raíz
quadrada de
Raíz
quadrada
Raíz
quadrada
universal
Actual
(...)
Raíz cúbica
universal
Raíz cúbica
universal
rrru ó
RRRU ó
RRRV
-
-
3 (...)
Raíz de raíz
universal
Raíz
quadrada de
raíz quadrada
universal
rru ó
RRU ó
RRV
-
-
4 (...)
-
-
Raíz ligada
L.R.*. .R.*
L.R.*. .R.*
-
-
Tabla 2.
Además de estos signos, también se introducían en algunos casos símbolos para denotar
operaciones aritméticas o la igualdad.
Marco Aurel
Nombre
Signo
Más
+
Menos
–
/
/
Pérez de Moya
Nombre
Signo
Más
p.
Menos
m.
Igual
ig.
Pedro Núñez
Nombre
Signo
Más
p.
Menos
m.
/
/
Actual
+
–
=
Tabla 3.
Por último, como detalle curioso, señalar que Marco Aurel y Pérez de Moya incluyeron un
símbolo específico (q.) para denotar una entidad llamada “quantidad” y que se corresponde a lo que
modernamente consideraríamos una segunda incógnita del problema.
Figura 8. Regla de la cantidad. Marco Aurel (1552, fol. 108r).
64
Vol. 87
noviembre de 2014
NÚM E R OS
El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XIV
V. Meavilla, A. M. Oller
A la vista de las tablas anteriores podemos hacer algunos comentarios:
1. El simbolismo de Aurel es más moderno que el de sus dos contemporáneos. Se aleja más del
álgebra sincopada puesto que utiliza símbolos “abstractos” en lugar de abreviaturas de
términos.
2. Sin embargo, con la notación de Aurel resulta difícil (y nada obvio) construir los signos
correspondientes a potencias elevadas de la incógnita o a radicales de índices grandes. Esto
no sucede en el caso de Pérez de Moya o Núñez. Aunque no lo expresen explícitamente,
resulta autoevidente el modo en que se referirían, caso de necesitarlo, a una raíz séptima; por
ejemplo.
3. Sólo Pérez de Moya emplea un signo para denotar la igualdad, si bien es cierto que se trata
de una mera abreviatura. Tanto Aurel como Núñez utilizan la expresión completa “igual a”,
“hacen” u otras similares.
4. Pedro Núñez es el único autor que no utiliza ningún símbolo especial para denotar los
“escalares”. Esto lo aproxima a la práctica actual.
Aunque son tres los autores que hemos analizado y cada uno de ellos presenta sus propias
particularidades, lo cierto es que, esencialmente, son dos las notaciones que hemos encontrado puesto
que las de Pérez de Moya y Núñez son muy similares. El mejor modo de comparar ambos métodos de
escritura algebraica es presentar algunos ejemplos.
En la figura siguiente se muestra el modo en que Marco Aurel escribe la expresión que
actualmente denotamos por 6x + 4 = 46:
Figura 9. (Aurel, 1552, fol. 80v).
Pérez de Moya escribiría esta expresión como:
6. co. p. 4. n. ig. a. 46.
n.
Mientras que Pedro Núñez pondría:
6. co. p. 4. hacen 46.
La diferencia entre ambos métodos de notación salta aún más al a vista observando algunos
ejemplos de lo que hoy en día llamaríamos álgebra de polinomios. En la figura siguiente se muestra el
producto de polinomios (4x2 + 4x + 4) × (2x – 2) = 8x3 – 8 en el texto de Marco Aurel:
Figura 10. (Aurel, 1552, fol. 73v).
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 87
noviembre de 2014
65
El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XVI
V. Meavilla, A. M. Oller
Por otra parte, en el cuadro siguiente se presenta la suma de polinomios: (9x5 + 5x4 – 9x3 – 3x2 +
8x – 6) + (7x5 + 4x4 – 7x3 + 5x2 – 9x + 6) = 16x5 + 9x4 – 16x3 + 2x2 – x tal y como aparece en la
Arithmetica de Pérez de Moya:
Figura 11. (Pérez de Moya, 1562, p. 510).
Estas comparaciones sacan a la luz ventajas e inconvenientes de cada uno de los dos sistemas de
símbolos. Sin embargo ambos presentan un mismo problema principal que dificulta su uso: la
necesidad de utilizar un símbolo diferente para cada potencia de la incógnita. Ninguno de ellos está
preparado para poder trabajar simbólicamente con potencias mayores que diez.
4. Una actividad de enseñanza y aprendizaje para profesorado en formación
Como hemos apuntado en la introducción, el trabajo de aspectos históricos de las Matemáticas
(Meavilla, 2005b) es especialmente interesante con profesorado en formación, especialmente si lleva a
una reflexión sobre la naturaleza y la evolución de los conceptos involucrados.
A modo de ejemplo, hemos diseñado la siguiente secuencia de actividades pensada para que el
profesorado de Secundaria en formación pueda comparar y valorar los signos antiguos en relación con
los que se usan hoy en día.
Figura 12.
66
Vol. 87
noviembre de 2014
NÚM E R OS
El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XIV
V. Meavilla, A. M. Oller
1. Observa la portada anterior. Busca información sobre el autor del libro.
2. En el Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria hemos encontrado el problema
siguiente:
Divide el número 12 en dos partes tales que la diferencia entre el cuadrado de
la primera y el cuadrado de la segunda sea 30.
3. Resuélvelo indicando paso a paso cómo lo has hecho.
4. Para escribir ecuaciones, polinomios, etc., Pedro Núñez utilizó, entre otros, los siguientes
símbolos:
co. = x
ce. = x2
p = más
m = menos
Además, Núñez usó abreviaturas como las que sueles utilizar para enviar mensajes con el
móvil (por ejemplo, q = que).
Utilizando este «vocabulario» traduce el siguiente texto en el que se resuelve el problema
del apartado 2:
Figura 13.
5. Compara tu solución con la que aparece en el texto original. ¿Son iguales? ¿En qué se
diferencian?
6. Compara el simbolismo algebraico actual con el utilizado por Núñez. Indica las ventajas o
inconvenientes de cada uno de ellos. Justifica tu respuesta.
Bibliografía
Aurel, M. (1541). Tratado muy util y prouechoso para toda manera de tratantes y personas
aficcionadas al contar: de reglas breues de reducciones de monedas. Valencia: F. Diaz Romano.
Aurel, M. (1552). Libro Primero, de Arithmetica Algebratica, enel qual se contiene el arte
Mercantiuol, con otras muchas Reglas del arte menor, y la Regla del Algebra, vulgarmente
llamada Arte mayor, o Regla de la cosa: sin la qual no se podrá entender el decimo de Euclides, ni
otros muchos primores, assi en Arithmetica como en Geometria: compuesto, ordenado, y hecho
imprimir por Marco Aurel, natural Aleman: Intitulado, Despertador de ingenios. Valencia: Ioan de
Mey, Flandro.
Eves, H. (1983). An Introduction to the History of Mathematics. Philadelphia: Saunders.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 87
noviembre de 2014
67
El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XVI
V. Meavilla, A. M. Oller
Hoff, T. (2011). History in a Competence based Mathematics Education: A means for the learning of
differential equations. En V. Katz y C. Tzanakis (Eds.). Recent developments on introducing a
historical dimension in Mathematics Education (pp. 165-173). Washington: MAA.
Jahnke, H.N. (2000). The use of original sources in the mathematics classroom. En J. Fauvel y J. van
Maanen (Eds.), History in Mathematics Education: the ICMI study (pp. 291-328). Dordrecht:
Kluwer.
Kieran C. (1992). The learning and teaching of school algebra. En D.A. Grows (Ed.), Handbook of
research on mathematics teaching and learning (pp. 390-419). Reston, VA: NCTM.
Malisani, E. (1999). Los obstáculos epistemológicos en el desarrollo del pensamiento algebraico.
Visión histórica. Revista IRICE, 13, pp. 105-134.
Meavilla Seguí, V. (1989). Una aproximación al Libro Primero de Arithmetica Algebratica de Marco
Aurel. Actas del V Congreso de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de las
Técnicas. Tomo III, pp. 1694-1707.
Meavilla Seguí, V. (2005a). Historia de la Educación Matemática en España: el contenido algebraico
de la Aritmetica practica, y specvlatiua de Juan Pérez de Moya (ca. 1512-1596). Revista Brasileira
de História da Matemática. Vol. 5, nº 9, pp. 19-35.
Meavilla Seguí, V. (2005b). La historia de las Matemáticas como recurso didáctico. Ideas,
sugerencias y materiales para la clase. Badajoz: Federación Española de Sociedades de Profesores
de Matemáticas (FESPM).
Niss, M. (2002). Mathematical competencies and the learning of Mathematicis: The Danish KOM
Proyect.Roskilde: Rokilde University.
Núñez, P. (1567). Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria. Amberes: En casa de los herederos
d’Arnoldo Birckman a la Gallina gorda.
Pérez de Moya, J. (1562). Arithmetica practica, y specvlatiua. Salamanca: Mathias Gast.
Puig, L. (2003). Historia de las ideas algebraicas: componentes y preguntas desde el punto de vista de
la matemática educativa. En E. Castro (Coord.), Investigación en educación matemática: séptimo
Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (pp. 97-108).
Granada: SEIEM
Rey Pastor, J. (1926). Los matemáticos españoles del siglo XVI. Madrid: A. Medina.
Socas, M. (2011). La enseñanza del álgebra en la Educación Obligatoria. Aportes desde la
investigación. Números, 77, pp. 5-34.
Stalling, L. (2000). A brief history of algebraic notation. School Science and Mathematics, 100(5), pp.
230-235.
Tznakis, C. y Arcavi, A. (2000). Integrating History of Mathematics in the classroom: an analytic
survey. En J. Fauvel y J. van Maanen (Eds.), History in Mathematics Education: the ICMI study
(pp. 201-240). Dordrecht: Kluwer.
Vicente Meavilla Seguí. Licenciado en Ciencias (Sección de Matemáticas) por la Universidad de
Zaragoza (1976) y Doctor en Filosofía y Letras (Pedagogía) por la Universidad Autónoma de Barcelona
(1998) con una tesis sobre la influencia de las interacciones verbales sobre el proceso de enseñanza y
aprendizaje del álgebra elemental. Ha publicado diversos artículos y libros sobre la influencia de
la historia de las matemáticas sobre la enseñanza y el aprendizaje de dicha disciplina. En la actualidad es
profesor de la Facultad de Ciencias Sociales y Humanas (Campus de Teruel) y miembro del
Departamento de Matemáticas (Área de Didáctica de la Universidad de Zaragoza.
Email: [email protected]
Antonio M. Oller Marcén. Licenciado en ciencias Matemáticas (2004) por la Universidad de Zaragoza y
Doctor por la Universidad de Valladolid (2012) con una tesis sobre la enseñanza de la Proporcionalidad
aritmética en Secundaria. Ha publicado diversos trabajos sobre Educación Matemática, Álgebra y Teoría
de Números. Actualmente es profesor del Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza.
Email: [email protected]
68
Vol. 87
noviembre de 2014
NÚM E R OS