Volumen - Ej clase extra

Ejercicios de Cálculo de Volumen
Los enunciados han sido extraídos del libro “Cálculo – Trascendentes
Tempranas” 6º Edición de James Stewart
De la Sección 6.2
49) Calcule el volumen del sólido descrito S. Un cono circular recto cuya altura
es h y el radio de la base es r.
63)
(a) Plantee una integral para el volumen de un sólido toro (el sólido en
forma de dona mostrado en la figura) de radio r y R.
(b) Por la interpretación de la integral como un área, calcule el volumen del
toro.
68) Un cuenco tiene la forma de un hemisferio con diámetro igual a 30cm. Una
pelota de 10cm de diámetro se coloca dentro del recipiente, y se vierte agua en
éste hasta que alcanza una altura de h centímetros. Calcule el volumen de
agua que hay en el recipiente.
70) Un agujero de radio r se taladra en el centro de una esfera de radio R>r.
Calcule el volumen de la parte restante de la esfera.
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RESOLUCIÓN
49) Como primera medida, debemos determinar cuál será la región a rotar
y cuál el eje de rotación, de manera tal que al proceder a realizar la
rotación se genere el cono pedido.
Entonces, intersecando el cono con un plano
perpendicular a su base que pase por su vértice
notamos que se determina un triángulo
isósceles. Ubicando los ejes coordenados
convenientemente, nos quedará el eje y como
eje de simetría, y por lo tanto será el que nos
servirá como eje de rotación. La región a rotar
será el triángulo rectángulo determinado en la
figura por los puntos O, B y V.
Utilizaremos el método de discos.
Por ello, vemos que las secciones serán discos
(perpendiculares al eje de rotación, con centro en
dicho eje). El radio de cada disco ubicado a una
distancia y de la base, entonces, será la longitud
desde el eje y al segmento VB. El mismo está
contenido en una recta de ecuación:
Notemos que este radio va a variar según cambie la altura del disco,
conforme a esto nos queda que:
Luego, procedemos a calcular el volumen:
63) (a) Nuevamente, como primera medida reconoceremos la región a rotar y el
eje de rotación.
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En este caso trabajaremos por el método de
arandelas.
Notemos que, según la figura, las mismas se
generan
por
segmentos
horizontales
(perpendiculares al eje y, eje de rotación)
contenidos en la región. Con lo que nos quedan
determinados los siguientes valores para los radios
externos e internos de cada arandela:
y
Luego:
(b) Observemos que:
Con lo que si reescribimos lo de (a):
Podemos interpretar la integral como el área de una semicircunferencia de
radio r, es decir que:
Por lo que, el volumen del toro será
68) Tendremos que analizar dos casos:
Caso 1: 0 ≤ h ≤ 10
Caso 2: 10 < h ≤ 15
Caso 1:
Previo a todo, como siempre, realizamos
el esquema de la derecha. El cuenco lo
generamos rotando un cuarto de la
circunferencia
x 2 + ( y − 15 ) 2 = 225
alrededor del eje y, en tanto que la pelota
se generará al rotar sobre el mismo eje, la
mitad derecha de la circunferencia
x 2 + ( y − 5 ) 2 = 25
Para encontrar el volumen de agua en el recipiente, rotaremos segmentos,
perpendiculares al eje y, como el que se muestra en línea de puntos.
A partir de esto notaremos que las secciones son arandelas, de radios:
Luego, sólo nos resta calcular el volumen:
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Caso 2:
Aquí podemos, directamente, proceder
realizando la diferencia entre el volumen
de la parte del cuenco lleno (sin pensar en
la pelota) y el volumen de la pelota.
Para el volumen de la pelota simplemente podemos utilizar la formula
Luego, el volumen de agua será:
70)
Al esquematizar la situación podemos ver
que una forma de resolver este ejercicio será
encontrando el volumen del sólido generado
al rotar la región rayada en la figura sobre el
eje x.
Para
esto
tomaremos
segmentos
perpendiculares al eje x. Con su rotación se
determinarán arandelas.
Luego, el punto más lejano al eje x en la figura es V, y el más cercano W…
Esto nos ayudara a analizar cuáles serán los radios.
Calculemos, ahora, las abcisas de los puntos de intersección de la
semicircunferencia con la recta y=r
Con lo que ya estamos en condiciones de calcular el volumen:
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