Redes de Colas

Redes de Colas
Mariela Curiel
Basado en los textos:
Raj Jain
Lazowska
23 de mayo de 2006
Parámetros y Salidas de los Modelos de
Redes de Colas
Las entidades básicas de los modelos de redes
de colas son los centros de servicio (representan los recursos) y los clientes (representan a
los usuarios, procesos, etc).
Descripción de los Clientes
Carga de trabajo transaccional: la intensidad viene especificada por λ, que indica
la tasa a la cual los clientes llegan al sistema. Los clientes cuyo servicio ha concluido
dejan el modelo. La población varı́a en el
tiempo.
Carga de trabajo tipo batch: La intensidad viene especificada por N , que indica
el número promedio de clientes activos. La
población es fija. Los clientes cuyo servicio
culmina, dejan el modelo y son reemplazados instantáneamente por un cliente que
estaba esperando.
Carga de trabajo conversacional: la intensidad viene dada por N (el número de estaciones cliente activas) y Z (el tiempo de
reflexión).
Modelos Abiertos y Cerrados
Los modelos con cargas transaccionales se
suelen denominar Modelos Abiertos
Los modelos con cargas de trabajo conversacionales o batch se denominan cerrados.
Descripción de los Centros
Centros de Cola (queuieng centers): los
clientes compiten por el uso de un recurso.
El tiempo en este tipo de centros tiene dos
componentes: tiempo de espera y tiempo
recibiendo el servicio.
Centros de Espera (delay centers): Los clientes tienen lógicamente asignado su propio servidor. El tiempo de residencia de un
cliente es exactamente su demanda de servicio.
Demandas de Servicio
La demanda de un cliente al centro de servicio k, Dk , es la cantidad de tiempo total
que dicho cliente requerirá de servicio en el
centro.
Dk se puede calcular como BCk (el tiempo
que estuvo ocupado el dispositivo k entre
el número de trabajos culminados en el intervalo de medida).
También se puede obtener como: Dk =
Vk S k .
D=
PM
k=1 Dk
Descripción de los
Clientes
Descripción de los
Centros
Demandas de Servicio
Intensidad de la carga, en términos de:
λ, la tasa de llegadas
(cargas transaccionales), o N (cargas batch), o N y Z, (cargas
conversacionales)
K, el número de centros de servicio y para
cada centro de servicio su tipo: de colas o
de espera.
Dk = Vk Sk , la demanda de servicio
Salidas del Modelo
Utilización: es la proporción de tiempo que
dispositivo está ocupado o el número pormedio de clientes en el dispositivo.
Tiempo de Residencia: Rk es el tiempo
total que un cliente tiene que permanecer
en un dispositivo (NO es el tiempo de una
sola visita). El tiempo de respuesta, R es la
suma de los tiempos de residencia en todos
PM
los dispositivos: k=1 Rk .
Throughput: Si un modelo est’a parametrizado en términos de Dk , se puede obtener el throughput del sistema X, pero no
por dispositivo. Si Vk y Sk se conocen, los
troughputs por dispositivos se pueden calcular como Xk = Vk X
Longitud de Cola: la longitud de cola en
el centro k, Lk , incluye los clientes que
están esperando y los que están recibiendo
servicio.
• El número clientes esperando se puede
calcular como Lk − Uk .
• L es el número promedio de clientes en
el sistema, para una clase batch L = N.
• Para una clase transaccional L = XR.
• Para una clase terminal L = N - XZ.
Otra salida: la distribución de la longitud
de cola.
Medidas del
Sistema
Medidas del
Centro de
Servicio
R tiempo de respuesta promedio
X throughput del sistema
L número promedio de clientes
en el sistema
Uk Utilización del centro k
Rk tiempo de residencia promedio
en el centro k
Xk throughput del centro k
Lk número promedio de clientes
en el centro k
Modelo de Colas Separable de un Sistema de
Computación Centralizado
Posee entradas y salidas como las mencionadas anteriormente
Los centros de servicio se usan para representar al procesador y a los dispositivos de
almacenamiento.
Existen ciertas caracterı́sticas que no pueden ser representadas y ciertas medidas que
no se pueden obtener directamente de las
salidas. Entre estas se incluyen:
• Posesión simultánea de un recurso.
• Restricciones que impone la memoria
• Conducta adaptativa
• Creación de procesos y sincronización
• Planificación con prioridades
• Distribuciones de los tiempos de respuesta.
Técnicas de Solución Exactas para Modelos
de Redes de Colas Abiertos
Se supondrá que todos los dispositivos se pueden modelar como centros de colas (un solo
servidor con tiempos de servicio exp.) o centros de espera.
El tiempo de respuesta viene dado por:
Ri = Si(1 + Li)
La ecuación anterior supone que el servicio
no tiene memoria (memoryless property).
Junto con las leyes operacionales ayudan
a obtener los valores promedios de ciertos
parámetros de desempeño.
Por ley de balance del flujo de trabajos el
throughput promedio es igual a la tasa de
llegadas: X = λ
El throughput promedio del k-ésimo dispositivo es: Xk = XVk
La utilización, utilizando la ley de utilización es:
Uk = Xk Sk = XVk Sk = λDk
La longitud de cola del k-ésimo dispositivo
es:
Lk = Xk Rk = Xk Sk (1 + Lk ) = Uk (1 + Lk )
o,
Uk
Lk =
1 − Uk
Substituyendo la expresión de Lk en la expresión del tiempo de respuesta se tiene:
Ri =
Si
1 − Ui
Centros de Espera
Hay infinitos servidores por lo que el tiempo
de respuesta es igual al tiempo de servicio:
Rk = Sk
La longitud de cola es el número de trabajos recibiendo servicio:
Lk = Rk Xk = Sk XVk = XDk = Uk
La utilización representa el número promedio de trabajos recibiendo servicio y no necesita ser menor que 1.
Análisis del Valor Medio
Permite resolver modelos de colas cerrados.
Provee valores promedios de desempeño.
Se puede aplicar en redes con una variedad
de disciplinas y distribuciones de servicio.
Dado un modelo de colas cerrado con N
trabajos, Reiser y Lavenberg (1980) mostraron que el tiempo de residencia en el
k-ésimo dispositivo viene dado por:
Rk (N ) = Sk [1 + Lk (N − 1)]
(1)
Lk (N − 1) es la longitud promedio de clientes en el k-ésimo dispositivo cuando en la
red se encuentran N - 1 clientes.
Dado el desempeño para N - 1 clientes, la
ecuación (1) junto con las leyes operacionales nos permiten obtener el desempeño
del sistema cuando se encuentran en él N
clientes.
Dado que el desempeño de un sistema sin
usuarios (N = 0) se puede calcular fácilmente, el desempeño para un número mayor de usuarios se calcula de forma iterativa.
Dado el tiempo de respuesta en cada dispositivo Rk , el tiempo de respuesta del sistema se puede obtener usando la ley del
tiempo de respuesta general:
R(N ) =
M
X
i=1
Vk Rk (N )
El throughput del sistema, usando la ley
del tiempo de respuesta interactiva es:
N
X(N ) =
R(N ) + Z
Los throughputs por dispositivos:
Xk (N ) = X(N )Vk
El número de clientes en los dispositivos
cuando hay N clientes en la red se obtiene
usando la ley de Little:
Lk (N ) = Xk (N )Rk (N ) = X(N )Vk Rk (N )
En el caso de centros de espera:
Rk (N ) = Sk
Las ecuaciones anteriores definen una iteración del algoritmo MVA. Para N = 0,
Lk (0) = 0.
Algoritmo del MVA
Inicialización: FOR i = 1 TO M DO Li = 0
Iteraciones:
FOR n = 1 TO N DO
BEGIN
FOR i = 1 TO M DO
Ri =
END
R=
n
X = Z+R
Li = XViRi
Xi = XVi
Ui = XSiVi
END
(
Si(1 + Li(n − i))
Si
PM
i=1 RiVi
Limitaciones de la Teorı́a de Colas
Si el sistema que Ud. quiere modelar tiene alguna de las caracterı́sticas que a continuación
se mencionan, puede ser muy difı́cil modelarlo
usando la teorı́a de colas:
Tiempos de servicio no exponenciaales
Llegadas por ráfagas o dependientes de la
carga
Posesión simultánea de un recurso.
Restricciones que impone la memoria
Conducta adaptativa
Creación de procesos y sincronización
Tiempos de reflexión.
Exclusión mutua