Hoja de Problemas #3

Métodos Matemáticos I
Curso 2013-14
Hoja de Problemas #3
1. Probar que
(a) exp(2 ± 3π i) = −e2 .
r
e
2+πi
(b) exp
=
(1 + i).
4
2
(c) exp(z + π i) = − exp z.
2. Hallar todos los valores de z tales que
(a) ez = 2.
√
(b) ez = 1 + 3 i.
(c) exp(2z − 1) = 1.
Sol. (a) z = ln 2 + (2n + 1)π i,
n = 0, ±1, ±2, . . .; (c) z = 1/2 + nπ i,
n = 0, ±1, ±2, . . .
3. Demuestra que | exp(z 2 )| ≤ exp(|z 2 |).
4. Describir el comportamiento de exp(x + i y) cuando (a) x → −∞; (b) y → ∞.
5. Prueba que
∗
(a) exp z ∗ = exp z .
∗
(b) exp(iz ∗ ) = exp(iz) si y solo si z = nπ, donde n = 0, ±1, ±2, . . .
6. Expresa Re e1/z en términos de x e y. ¿Por qué es armónica esta función en todo dominio que
no contenga al origen?
7. Deduce la expresión
| cos z|2 = cos2 x + senh2 y,
y úsala para demostrar que | cos z| ≥ | cos x|.
8. (a) Usa la forma exponencial de las funciones sen z y cos z para probar que
2 sen(z1 + z2 ) sen(z1 − z2 ) = cos 2z2 − cos 2z1 .
(b) Mediante la identidad obtenida en el Apartado (a), prueba que si cos z1 = cos z2 , entonces al
menos uno de los números z1 + z2 o z1 − z2 es múltiplo entero de 2π.
9. Prueba que
(a) cos(iz ∗ ) =
(b) sen(iz ∗ ) =
cos(iz)
∗
, para todo z.
∗
sen(iz) si y solo si z = nπi con n = 0, ±1, ±2, . . .
10. Halla todas las raı́ces de la ecuación sen z = cosh 4, igualando sus partes reales e imaginarias.
Sol. (4n + 1)π/2 ± 4i,
n = 0, ±1, ±2, . . .
11. Halla todas las raı́ces de la ecuación cos z = 2, igualando sus partes reales e imaginarias.
√ Sol. 2nπ ± i ln 2 + 3 , n = 0, ±1, ±2, . . .
1
12. Demuestra que senh 2z = 2 senh z cosh z partiendo de
(a) La forma exponencial de las funciones senh z y cosh z.
(b) La identidad sen 2z = 2 sen z cos z y usando las relaciones −i senh(iz) = sen z y cosh(iz) =
cos z.
13. Comprueba que senh(z + πi) = − senh z y cosh(z + πi) = − cosh z. A continuación, prueba que
tanh(z + πi) = tanh z.
14. (a) Comprueba que los ceros de senh z y de cosh z son z = nπi y z = (n+1/2)πi, respectivamente,
con n = 0, ±1, ±2, . . . en ambos casos.
(b) Utilizado los resultado del apartado anterior, localiza todos los ceros y las singularidades de
la función tangente hiperbólica.
15. Deduce las fórmulas de derivación
d
tanh z = sech2 z
dz
d
coth z = − csch2 z
dz
16. Halla todas las raı́ces de las ecuaciones
(a) cosh z = 1/2.
(b) senh z = i.
(c) cosh z = −2.
Sol. (a) (2n ± 1/3)πi,
n = 0, ±1, ±2, . . .; (b) (2n + 1/2)πi,
n = 0, ±1, ±2, . . .
17. Tomando el valor principal de la función logaritmo, prueba que
(a) ln(−ei) = 1 − i π/2.
π
1
(b) ln(1 − i) = ln 2 − i.
2
4
18. Comprueba que si n = 0, ±1, ±2, . . .,
(a) ln e = 1 + 2nπi.
(b) ln i = (2n + 1/2)πi.
√ (c) ln − 1 + 3 i = ln 2 + 2(n + 1/3)πi
19. Prueba que
(a) si ln z = ln r + iθ con r > 0 y π/4 < θ < 9π/4, entonces ln(i2 ) = 2 ln i.
(b) si ln z = ln r + iθ con r > 0 y 3π/4 < θ < 11π/4, entonces ln(i2 ) 6= 2 ln i.
20. Halla todas las raı́ces de la ecuación ln z = (π/2)i.
Sol. z = i.
21. (a) Prueba que el valor principal de la función ln(z − i) es una función analı́tica en todas partes
excepto en la semirecta y = 1 , x ≤ 0.
(b) Prueba que el valor principal de la función
ln(z + 4)
z2 + i
√
es una función analı́tica en todas partes salvo en los punto ±(1 − i)/ 2 y en la porción x ≤ −4
del eje real.
2
22. Prueba que
i
h
i 1 h
(a) Re ln(z − 1) = ln (x − 1)2 + y 2 para z 6= 1.
2
(b) ¿Por qué debe cumplir esta función la ecuación de Laplace cuando z 6= 1?
23. Prueba que cuando n = 0, ±1, ±2, . . .,
(a) (1 + i)i = exp (−π/4) + 2πn + i (ln 2)/2 .
(b) (−1)1/π = exp (2n + 1) i .
24. Halla el valor principal de
(a) ii .
√ 3πi
(b) (e/2)(−1 − 3 i)
.
(c) (1 − i)4i .
Sol. (a) exp(−π/2), (b) − exp(2π 2 ), (c) eπ cos(2 ln 2) + i sen(2 ln 2) .
25. Usa la ecuación z c = exp(c ln z) para verificar que (−1 +
√
√
3 i)3/2 = ±2 2.
√
√
26. Demuestra que (−1 + 3i)3/2 = ±2 2 se puede obtener escribiendo
√
√
√
3
(a) (−1 + 3i)3/2 = (−1 + 3i)1/2 ; esto es, hallando primero las raı́ces cuadradas de −1 + 3i.
√
√
√
1/2
(b) (−1 + 3i)3/2 = (−1 + 3i)3
; esto es, elevando primero al cubo −1 + 3i.
27. Halla todos los valores de
(a) tan−1 (2i).
(b) tan−1 (1 + i).
(c) cosh−1 (−1).
(d) tanh−1 0.
Sol. Con n = 0, ±1, ±2, . . ., (a) (n + 1/2)π + i(ln 3)/2, (d) nπi.
28. Resuelve la ecuación sen z = 2
(a) igualando las partes real e imaginaria de cada lado.
(b) usando la expresión sen−1 z = −i ln iz + (1 − z 2 )1/2 .
Sol. (2n + 1/2)π ± i ln(2 +
√
3), donde n = 0, ±1, ±2, . . ..
29. A partir de la forma exponencial de la función tangente, deduce la expresión
tan−1 z =
i
i+z
ln
.
2
i−z
30. Deduce la expresión
d
1
sen−1 z =
,
dz
(1 − z 2 )1/2
para la derivada de sen−1 z.
3