Problemas de valor inicial y de frontera En la mayoría de las

Problemas de valor inicial y de frontera
En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una
ecuación diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones
dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera.
Definición (Problema de valor inicia) Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de
una ecuación diferencial de orden n y de n condiciones iniciales impuestas a la función
desconocida y a sus (n-1) primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Es
decir
Es decir
dny
 f ( x, y, y, y,..., y n 1 )
dx n
y  xo   y0
y  xo   y0
y  xo   y0
.
.
.
y n 1  xo   y 0n 1
Ejemplo. Una partícula P se mueve a lo largo del eje x de manera tal que su aceleración en
cualquier tiempo t  0 está dada por a(t )  10  6t  4t 2 . Encuentre la posición x(t ) de la
partícula en cualquier tiempo t , suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en
x  1 y está viajando a una velocidad de v  4 .
Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada
la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería
d 2x
 10  6t  4t 2
2
dt
x(0)  1
x(0)  4
Integrando con respecto a
obtenemos
dx
4
 10t  3t 2  t 3  C1
dt
3
y usando la condición x(0)  4
4
x(0)  4  10(0)  3(0) 2  (0)3  C1
3
4  C1
con lo cual la velocidad en cualquier tiempo sería
dx
4
 10t  3t 2  t 3  4
dt
3
Integrando de nuevo
1
x(t )  5t 2  t 3  t 4  4t  C2
3
y usando la condición x(0)  1 podemos determinar que C2  1 y obtener la posición de la
partícula en cualquier tiempo
1
x(t )  t 4  t 3  5t 2  4t  1
3
Ejemplo. Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente
x
en el punto ( x, y) está dada por  . Hallar el miembro de esta familia que pasa por el
y
punto (3, 4) .
El problema de valor inicial asociado es
dy
x

dx
y
con
y (3)  4
dy
x
  sujeta a y(3)  4
dx
y
Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e integrar
 ydy   xdx
y2
x2 C
 
2
2 2
2
2
x  y C
Y usando la condición inicial y(3)  4 obtenemos que C  25 , con lo cual la curva buscada
es x 2  y 2  25 , la cual se muestra en la figura 8.
Figura 8. Solución particular del ejemplo