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Diseño Mecánico Juan Manuel Rodríguez Prieto Ing. M.Sc. Ph.D. Contenidos de la clase
Fallas resultantes de carga estática
• 
• 
• 
• 
Esfuerzos principales
Circulo de Mohr
Teorías de falla
Teoría de esfuerzo cortante máximo para
materiales dúctiles
•  Teoría de la energía de distorsión para materiales
dúctiles
Esfuerzos principales para un estado de
deformación plana
•  Esfuerzos principales
σ x +σ y
⎛ σ x −σ y ⎞
2
σ A ,σ B =
± ⎜
+ τ xy
⎟
⎝ 2 ⎠
2
2
Circulo de Mohr
•  Esfuerzos principales
Los esfuerzos cortantes
que tienden a rotar al
elemento en el sentido
de las manecillas del
reloj se grafican por
encima del eje
horizontal
Circulo de Mohr
•  Esfuerzos principales
Los esfuerzos cortantes
que tienden a rotar al
elemento en el sentido
contrario de las
manecillas del reloj se
grafican por debajo
del eje horizontal
Circulo de Mohr
Teorías de falla
Deformación permanente
Agrietamiento
Ruptura
No existe una teoría universal de falla
Un material se puede comportar de manera dúctil o frágil, aunque bajo situaciones
especiales un material considerado como dúctil puede fallar de una manera frágil.
Teorías generalmente aceptadas
Materiales dúctiles
Esfuerzo cortante máximo (ECM)
Energía de distorsión (ED)
Mohr-Coulumb para materiales dúctiles(CMD)
Materiales frágiles
Esfuerzo normal máximo
Mohr Coulumb para materiales frágiles
Mohr modificada
Teoría del esfuerzo cortante máximo
para materiales dúctiles
La teoría del esfuerzo cortante máximo estipula que la fluencia comienza cuando el
esfuerzo cortante máximo de cualquier elemento iguala al esfuerzo cortante máximo en
una pieza de ensayo a tensión del mismo material cuando esta empieza a fluir. La teoría
de esfuerzo cortante máximo también se conoce como la teoría de Tresca.
La teoría ECM es un predictor aceptable pero conservador de la falla, por tanto, se
justifica su uso con bastante frecuencia.
τ max
(σ 1 − σ 3 ) Sy
=
≥
2
2
(σ 1 − σ 3 ) ≥ Sy
Lo anterior implica que la resistencia a la fluencia en cortante esta dada por:
Factor de seguridad:
Ssy = 0.5Sy
Ssy
n=
τ max
Teoría del esfuerzo cortante máximo
para materiales dúctiles (esfuerzo plano)
Supongamos que
σA ≥σB
¿Qué valores toma
σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ?
Existen tres casos a considerar
1.
σA ≥σB ≥ 0
σ1 = σ A σ 3 = 0
σ A ≥ Sy
2.
σA ≥ 0 ≥σB
σ1 = σ A σ 3 = σ B
(σ A − σ B ) ≥ Sy
Teoría del esfuerzo cortante máximo
para materiales dúctiles (esfuerzo plano)
Supongamos que
σA ≥σB
¿Qué valores toma
σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ?
Existen tres casos a considerar
3.
0 ≥σA ≥σB
σ1 = 0 σ 3 = σ B
σ B ≤ −Sy
Teoría de la energía de distorsión
para materiales dúctiles
La teoría de la energía de deformación máxima predice que la falla por fluencia
ocurre cuando la energía de deformación total por unidad de volumen alcanza o
excede la energía de deformación por unidad de volumen correspondiente a la
resistencia a la fluencia en tensión o compresión del mismo material.
La teoría de la energía de distorsión se originó debido a que algunos materiales
dúctiles sometidos a esfuerzos hidrostáticos (esfuerzos principales iguales)
presentan resistencias a la fluencia que exceden en gran medida los valores que
resultan del ensayo de tensión simple.
La energía de deformación por unidad de volumen para el caso de carga
unidimensional es:
1
u = σε
2
Teoría de la energía de distorsión
para materiales dúctiles
En el caso de un estado general de esfuerzo, se predice la fluencia si
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2
≥ Sy
2
El lado izquierdo puede considerarse como un esfuerzo equivalente del estado
general de esfuerzo. Por lo general este esfuerzo se llama esfuerzo de von Mises
Teoría de la energía de distorsión
para materiales dúctiles
Para el caso de esfuerzo plano
1
2 2
B
(σ A2 − σ Aσ B + σ ) ≥ Sy
El lado izquierdo puede considerarse como un esfuerzo equivalente del estado
general de esfuerzo. Por lo general este esfuerzo se llama esfuerzo de von Mises
Teoría de la energía de distorsión
para materiales dúctiles
Para el caso de esfuerzo tridimensional, el esfuerzo von Mises puede escribirse
como
1
2
1
((σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6(τ xy2 + τ yz2 + τ zx2 )) ≥ Sy
2
Ejemplo
Un acero laminado en caliente tiene una resistencia a la fluencia de 100 Mpa y una
deformación real a la fractura de 0.55 . Estime el factor de seguridad para los
siguientes estados de esfuerzos
a)
σ x = 70MPa σ y = 70MPa τ xy = 0MPa
Dado que no existe esfuerzo cortante en este elemento el esfuerzo, los esfuerzos
normales son iguales a los esfuerzos principales. Los esfuerzos principales
ordenados son
σ 1 = σ A = 70MPa σ 2 = σ B = 70MPa σ 3 = 0MPa
Aplicando la teoría de cortante máximo:
τ max =
τ max
σ 1 − σ 3 70 − 0
=
= 35MPa
2
2
No se satisface el criterio,
por tanto el material no
fluirá
100MPa
Sy
100MPa
= 35MPa ≥
n=
=
= 1.43
2
2τ max 2 * 35MPA
Ejemplo
Un acero laminado en caliente tiene una resistencia a la fluencia de 100 Mpa y una
deformación real a la fractura de 0.55 . Estime el factor de seguridad para los
siguientes estados de esfuerzos
a)
σ x = 70MPa σ y = 70MPa τ xy = 0MPa
Aplicando la teoría de energía de distorsión:
1
2 2
B
σ VM = (σ A2 − σ Aσ B + σ ) = 70MPa
70MPa ≥ 100MPa
No se satisface el criterio,
por tanto el material no
fluirá
Sy 100MPa
n=
=
= 1.43
σ VM
70MPa
Ejemplo
Un acero laminado en caliente tiene una resistencia a la fluencia de 100 Mpa y una
deformación real a la fractura de 0.55 . Estime el factor de seguridad para los
siguientes estados de esfuerzos
b)
σ x = 60MPa σ y = 40MPa τ xy = −15MPa
A partir de la ecuación
σ x +σ y
⎛ σ x −σ y ⎞
2
σ A ,σ B =
± ⎜
+
τ
xy
⎝ 2 ⎟⎠
2
2
60 + 40
⎛ 60 − 40 ⎞
2
σ A ,σ B =
± ⎜
+
(−15)
⎝ 2 ⎟⎠
2
2
Aplicando la teoría de cortante máximo:
σ 1 = σ A = 68MPa σ 2 = σ B = 32MPa σ 3 = 0MPa
Sy
100
σ1 −σ 3
=
= 1.47
= 34MPa n =
2τ
68
2
Ejemplo
Un acero laminado en caliente tiene una resistencia a la fluencia de 100 Mpa y una
deformación real a la fractura de 0.55 . Estime el factor de seguridad para los
siguientes estados de esfuerzos
b)
σ x = 60MPa σ y = 40MPa τ xy = −15MPa
A partir de la ecuación
60 + 40
⎛ 60 − 40 ⎞
2
σ A ,σ B =
± ⎜
+
(−15)
⎝ 2 ⎟⎠
2
2
Aplicando la teoría de la energía de distorsión:
1
2 2
B
σ VM = (σ A2 − σ Aσ B + σ )
1
2 2
= (68 − 68 * 32 + 32 )
= 59MPa
2
Sy
100
n=
=
= 1.70
σ VM
59
Ejemplo
Un acero laminado en caliente tiene una resistencia a la fluencia de 100 Mpa y una
deformación real a la fractura de 0.55 . Estime el factor de seguridad para los
siguientes estados de esfuerzos
c)
σ x = 0MPa σ y = 40MPa τ xy = 45MPa
A partir de la ecuación
0 + 40
⎛ 0 − 40 ⎞
2
σ A ,σ B =
± ⎜
+
(45)
⎝ 2 ⎟⎠
2
2
Aplicando la teoría de cortante máximo:
σ A = 70MPa σ B = −30MPa
σ 1 = σ A = 70MPa σ 2 = σ B = −30MPa σ 3 = 0MPa
Sy
100
n=
=
=1
σ1 −σ 3
τ max =
= 50MPa
2τ max 2 * 50
2
Ejemplo
Un acero laminado en caliente tiene una resistencia a la fluencia de 100 Mpa y una
deformación real a la fractura de 0.55 . Estime el factor de seguridad para los
siguientes estados de esfuerzos
c)
σ x = 0MPa σ y = 40MPa τ xy = 45MPa
A partir de la ecuación
0 + 40
⎛ 0 − 40 ⎞
2
σ A ,σ B =
± ⎜
+
(45)
⎝ 2 ⎟⎠
2
2
Aplicando la teoría de la energía de distorsión:
σ A = 70MPa σ B = −30MPa
1
2 2
A
σ VM = (σ A2 − σ Aσ B + σ )
1
2 2
= (70 2 + 70 * 30 + 30 )
= 87.6MPa
Sy
100
n=
=
= 1.14
σ VM 87.6
Ejemplo
Un acero laminado en caliente tiene una resistencia a la fluencia de 100 Mpa y una
deformación real a la fractura de 0.55 . Estime el factor de seguridad para los
siguientes estados de esfuerzos
d)
σ x = −40MPa σ y = −600MPa τ xy = 15MPa
A partir de la ecuación
−40 − 60
⎛ −40 + 60 ⎞
2
σ A ,σ B =
± ⎜
+
(15)
⎟⎠
⎝
2
2
2
Aplicando la teoría de cortante máximo:
σ A = −32MPa σ B = −68MPa
σ 1 = 0MPa
τ max
σ 3 = σ B = −68MPa
σ1 −σ 3
=
= 34MPa
2
Sy
100
n=
=
= 1.47
2τ max 2 * 34
Ejemplo
Un acero laminado en caliente tiene una resistencia a la fluencia de 100 Mpa y una
deformación real a la fractura de 0.55 . Estime el factor de seguridad para los
siguientes estados de esfuerzos
d)
σ x = −40MPa σ y = −600MPa τ xy = 15MPa
A partir de la ecuación
−40 − 60
⎛ −40 + 60 ⎞
2
σ A ,σ B =
± ⎜
+
(15)
⎟⎠
⎝
2
2
2
Aplicando la teoría de la energía de distorsión
σ A = −32MPa σ B = −68MPa
1
2 2
B
σ VM = (σ A2 − σ Aσ B + σ )
1
2 2
= (−32 2 − 32 * 68 + 68 )
= 59MPa
Sy
100
n=
=
= 1.70
σ VM
59
Ejemplo
Un acero laminado en caliente tiene una resistencia a la fluencia de 100 Mpa y una
deformación real a la fractura de 0.55 . Estime el factor de seguridad para los
siguientes estados de esfuerzos
e)
σ 1 = 30MPa σ 2 = 30MPa σ 3 = 30MPa
Aplicando la teoría de cortante máximo:
τ max
σ1 −σ 3
=
= 0MPa
2
Sy
100
n=
=
=∞
2τ max 2 * 0
Ejemplo
Un acero laminado en caliente tiene una resistencia a la fluencia de 100 Mpa y una
deformación real a la fractura de 0.55 . Estime el factor de seguridad para los
siguientes estados de esfuerzos
e)
σ 1 = 30MPa σ 2 = 30MPa σ 3 = 30MPa
Aplicando la teoría de la energía de distorsión:
σ1 −σ 3
τ max =
= 0MPa
2
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2
σ VM =
2
σ VM = 0MPa
Sy
100
n=
=
=∞
σ VM
0
Teoría de Mohr-Coulomb para
materiales dúctiles
No todos los materiales tienen resistencias a la compresión iguales a sus valores
correspondientes en tensión.
Algunos ejemplos se citan a continuación:
•  La resistencia a la fluencia de las aleación de magnesio en compresión llega a
ser un 50% de su resistencia a la fluencia en tensión.
•  La resistencia última de los hierros fundidos grises en compresión triplica o
cuadruplican la resistencia última a tensión.
En importante entonces, estudiar la falla de materiales cuyas resistencias en
tensión y compresión no son iguales.
La teoría de Mohr se basa en tres estados de cargas simples: “tensión”, “cortante”
y “compresión”, a la fluencia si el material puede fluir, o a la ruptura.
Teoría de Mohr-Coulomb para
materiales dúctiles
La teoría de Mohr consistía en usar los resultados de los ensayos a tensión,
compresión y cortante al fin de elaborar los tres círculos de Mohr que se
presentan en la siguiente figura, con el objeto de definir la envolvente de falla,
representada como la línea ABCD, arriba del eje horizontal. Es importante aclarar
que la envolvente no es necesario que sea recta. El argumento se basa y que crecen
durante la carga hasta que uno de ellos se hace tangente a la evolvente de falla,
definiendo ésta.
Teoría de Mohr-Coulomb para
materiales dúctiles
Una variación de la teoría de Mohr, llamada teoría de Mohr-Coulomb, o teoría de
fricción interna, supone que la frontera BDC es una recta. Con el anterior
supuesto sólo son necesarias las resistencias a la tensión y a la compresión.
Considerando el ordenamiento convencional de los esfuerzos principales, el
circulo de Mohr más grande formado por las tensiones principales, crece durante
la carga hasta que se hace tangente a la envolvente de falla, por tanto definiendo la
falla.
B2C2 − B1C1 B3C3 − B1C1
=
C1C2
C1C3
Donde
B1C1 =
St
2
B2C2 =
(σ 1 − σ 3 )
2
B3C3 =
Sc
2
La distancia desde el origen hasta
C1 =
St
2
σ1 +σ 3
C2 =
2
C3 =
Sc
2
Así
Teoría de Mohr-Coulomb para
materiales dúctiles
B2C2 − B1C1 B3C3 − B1C1
=
C1C2
C1C3
(σ 1 − σ 3 ) St Sc St
−
−
2
2 = 2 2
St σ 1 + σ 3
St Sc
−
+
2
2
2 2
Simplificando, obtenemos
σ1 σ 3
−
=1
St Sc
La anterior ecuación, representa las condiciones que deben satisfacer las tensiones
principales para que el material falle.
Teoría de Mohr-Coulomb para
materiales dúctiles
Para el caso de esfuerzo plano, cuando los dos esfuerzos principales diferentes de
cero son σ A ,σ B , se tiene una situación similar a los tres casos dados para la teoría
del ECM. Es decir las condiciones de falla son:
1.
σA ≥σB ≥ 0
σ1 = σ A σ 3 = 0
2.
σ A ≥ St
σA ≥ 0 ≥σB
σ1 = σ A σ 3 = σ B
σA σB
( − ) ≥1
St
Sc
3.
0 ≥σA ≥σB
σ1 = 0 σ 3 = σ B
σ B ≤ −SC
Teoría de Mohr-Coulomb para
materiales dúctiles
Teoría de Mohr-Coulomb para
materiales dúctiles
Un eje de 25 mm de diámetro se somete a un par de torsión estático de 230Nm. El
eje está hecho de aluminio fundido 195-T6, con una resistencia a la fluencia en
tensión de 160MPa y una resistencia de fluencia a la compresión de 170MPa.
Calcule el factor de seguridad del eje
πr4
J=
2
τ max =
τ max =
Tr
J
2T
2 * 230
=
= 75MPa
3
−3 3
πr
π + (12.5 *10 )
Los dos esfuerzos principales diferentes de cero son 75 y -75 MPa. Lo cual hace
que los esfuerzos principales ordenados 75,0,-75. Obteniendose como factor de
seguridad
n=
1
1
=
= 1.10
σ 1 St − σ c Sc 75 160 − (−75) 170
Teoría de esfuerzo normal máximo
para materiales frágiles
La teoría de esfuerzo normal máximo (ENM) estipula que la falla ocurre cuando
uno de los tres esfuerzos principales es igual o excede la resistencia. De nuevo se
colocan los esfuerzos principales de un estado general de esfuerzos en forma
ordenada. Entonces, esta teoría predice que la falla ocurre cuando
σ 1 ≥ Sut
σ 3 ≤ −Suc
Donde Sut y Suc son las resistencias a la tensión y a la compresión,
respectivamente, dadas como cantidades positivas.
Teoría de esfuerzo normal máximo
para materiales frágiles
(esfuerzo plano)
En el caso de esfuerzo plano, con σ A ≥ σ B
σ A ≥ Sut
σ B ≤ −Suc
Las ecuaciones de criterio falla pueden convertirse en ecuaciones de diseño.
Sut
σA =
n
Suc
σB = −
n
La teoría de esfuerzo normal máximo no es muy buena para predecir la falla en el
cuarto cuadrante del plano σ A ,σ B . Por tanto no se recomienda usar esta teoría de
falla, se ha incluido debido a razones históricas.
.
Modificaciones de la teoría de MohrCoulomb para materiales frágiles
Sut
σA =
n
.
σA ≥σB ≥ 0
σA σB 1
−
=
Sut Suc n
Suc
σB = −
n
σA ≥ 0 ≥σB
0 ≥σA ≥σB
Modificaciones de la teoría de Mohrmodificada
σA ≥σB ≥ 0
Sut
σA =
n
1. σ A ≥ 0 ≥ σ B y .
2. 3. (Suc − Sut )σ A σ B 1
−
=
Suc Sut
Suc n
Suc
σB = −
n
σB
≤1
σA
σ A ≥ 0 ≥ σ B y 0 ≥σA ≥σB
σB
>1
σA
Modificaciones de la teoría de Mohrmodificada
.
Ejemplo
Considere una llave, fabricada con hierro fundido, maquinada a la dimensión La
fuerza F que se requiere para fracturar esta parte se puede considerar como la
resistencia de la parte componente. Si el material es una fundición de hierro ASTM
grado 30, calculo la fuerza F con
a)  Modelo de falla de Morh-Coulomb
b)  B) Modelo de falla de Morh modificado
.
En la tabla A-24 obtenemos que la resistencia última a tensión en 31kpsi y la
resistencia última a compresión 109 kpsi. Calculamos el esfuerzo de flexión y el
cortante en A
Taller
Una barra de acero laminado caliente tiene una resistencia a la fluencia mínima en
tensión y compresión de 350 MPa. Usando las teorías de la energía de distorsión y
del esfuerzo cortante máximo determine los factores de seguridad de los siguientes
estados de esfuerzo plano:
σ x = 100MPa σ y = 100MPa τ xy = 0MPa
.
σ x = 100MPa σ y = 50MPa τ xy = 0MPa
σ x = 100MPa σ y = 0MPa τ xy = −75MPa
σ x = −50MPa σ y = −75MPa τ xy = −50MPa
σ x = 100MPa σ y = 20MPa τ xy = −20MPa
Taller
Repita el problema anterior para una barra de acero 1030 laminado en caliente y:
σ x = 25kpsi σ y = 15kpsi τ xy = 0kpsi
.
σ x = 15kpsi σ y = −15kpsi τ xy = 0kpsi
σ x = 20kpsi σ y = 0kpsi τ xy = −10kpsi
σ x = −12kpsi σ y = −15 τ xy = −9kpsi
σ x = −24kpsi σ y = −24kpsi τ xy = −9kpsi
Taller
Un material frágil tienen las propiedades Sut = 30 kpsi y Suc = 90 kpsi. Use las
teorías de Mohr- Coulumb frágil y modificada de Mohr para determinar el factor de
seguridad en los siguientes estados de esfuerzos:
.
σ x = 25kpsi σ y = 15kpsi τ xy = 0kpsi
σ x = 15kpsi σ y = −15kpsi τ xy = 0kpsi
σ x = 20kpsi σ y = −10kpsi τ xy = 0kpsi
σ x = −15kpsi σ y = −10 τ xy = −15kpsi
σ x = −20kpsi σ y = −20kpsi τ xy = −15kpsi
Taller
Un acero AISI 4142 templado y revenido a 800ºF exhibe Syt= 235 kpsi Syc = 285
kpsi para el estado de esfuerzo dado determine el factor de seguridad:
σ x = 150kpsi σ y = −50kpsi τ xy = 0kpsi
σ x = −150kpsi σ y = 50kpsi τ xy = 0kpsi
.
σ x = 125kpsi σ y = 0kpsi τ xy = −75kpsi
σ x = −80kpsi σ y = −125 τ xy = 50kpsi
σ x = 125kpsi σ y = 80kpsi τ xy = 75kpsi
Tarea
Libro guía
5.36
5.63
.