Métodos algebraicos: suma y resta, sustitución, igualación y

Resuelve ecuaciones lineales II
Métodos algebraicos: suma y resta, sustitución, igualación
y determinantes
Los métodos algebraicos de solución de un sistema de ecuaciones simultáneas
lineales con dos incógnitas que abordaremos en este curso son: suma y resta,
sustitución, igualación y determinantes. Para cualquier método que se aplique,
la solución del sistema es la misma, por lo cual, para encontrar la solución de
un sistema, se sugiere elegir el método que conduzca a procesos algebraicos
más simples.
A continuación se describe cada uno de estos métodos y se indica cuándo
elegir cada uno, según el sistema de ecuaciones planteado.
Método de suma y resta Un pastor le dijo a otro:
«Si te regalo una de mis ovejas, tú tendrás
el doble de las que yo
tengo. Pero si tú me das una de las tuyas
tendríamos las mismas».
¿Cuántas ovejas tenían
cada uno?
Si se tiene el sistema de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas
de la forma:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
donde x y y son las incógnitas y aa11,a
,a22,b
,b11,b
,b22,c
,c11,c
, c22,∈  entonces, la solución (x, y)
que satisface simultáneamente cada una de las ecuaciones puede encontrarse
por medio del método algebraico de suma y resta, de la forma siguiente:
1. Observamos si en el sistema se tienen términos simétricos para la misma
variable; si es así, continuamos al paso dos. De otra manera, debemos
multiplicar por un número una de las ecuaciones del sistema, o ambas,
de tal manera que se obtengan coeficientes simétricos para una de las
incógnitas.
2. Efectuamos la suma de las ecuaciones, atendiendo que los términos
simétricos se anulen, para obtener así una ecuación de primer grado con
una incógnita.
3. Resolvemos esta ecuación y encontramos así el valor de una incógnita.
4. Sustituimos el valor de la incógnita encontrado en el paso anterior en
alguna de las ecuaciones del sistema, y obtenemos nuevamente una
ecuación de primer grado, pero con la otra incógnita, la cual también debe
resolverse, para encontrar el valor de la otra incógnita.
5. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos 3 y 4,
formando la pareja (x, y); con ellos, haremos la comprobación, verificando
que ambas ecuaciones se satisfacen simultáneamente.
Si al efectuar la suma de
las ecuaciones se obtiene: a1x + b1y = c1
a x +b y = c
2
2
2
____________________
0x + 0y = c ,c ≠ 0
el sistema no tiene
solución. Si resulta
a1x + b1y = c1
a x +b y = c
Ejemplos
A continuación se resuelven dos sistemas de ecuaciones simultáneas lineales con dos
incógnitas, por el método de suma y resta, siguiendo cada uno de los pasos antes
citados. 2
2
2
____________________
0x + 0y = 0
el sistema tiene una
infinidad de soluciones.
251
B7
x + y = 10 − − − (1)
I. 
 x − y = 2 − − − ( 2 )
1. Se observa que los coeficientes de la variable y son simétricos. Luego se efectúa el siguiente paso.
2. Se suman las ecuaciones en donde se anulan los términos de la variable y.
x + y = 10
x− y =2
2x
= 12
3. Resolviendo la ecuación 2x = 12, tenemos:
x=
12
=6
2
4. El valor de x = 6 se sustituye en (1):
Donde: (6) + y = 10
y = 10 – 6 = 4
5. La solución del sistema es la pareja ordenada (6, 4).
Comprobación:
6 + 4 = 10

 6−4=2
 3x − y = 1 (1 )
II. 

x + 4 y = 9 (2)
1. Para que los términos con la variable y tengan coeficientes simétricos, se
multiplica (1) por 4, de donde: 12x − 4 y = 4 (1 )

 x + 4 y = 9 (2)
2. Se suman las ecuaciones en donde se anulan los términos de la variable y.
12x − 4 y = 4
x + 4y = 9
13x
= 13
3. Resolviendo la ecuación 13x = 13, tenemos:
x=
252
13
=1
13
Resuelve ecuaciones lineales II
4. El valor de x = 1 se sustituye en (1):
3(1) – y = 1
Donde:
– y = 1– 3
–y= –2
y=2
5. La solución del sistema es la pareja ordenada (1, 2).
Comprobación:
 3 (1) − 2 = 1

1+ 4 ( 2 ) = 9
Este método de suma y resta debe elegirse cuando el sistema de ecuaciones simultáneas
de primer grado con dos incógnitas tenga coeficientes simétricos en los términos de la
misma incógnita.
Método de sustitución
Si se tiene el sistema de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas de
la forma:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
donde x y y son las incógnitas y aa11,a
,a2,b
,b11,b
,b22,c
,c11,c
, c22,∈  entonces, la solución que
corresponde al par ordenado (x, y) que satisface simultáneamente cada una de las
ecuaciones puede encontrarse por medio del método algebraico de sustitución
de la forma siguiente:
1. Elegimos una de las ecuaciones del sistema y despejamos en ella una de las
variables (se prefiere, si la hay, la de coeficiente uno).
2. El despeje obtenido del paso anterior lo sustituimos en la otra ecuación del
sistema, quedando una ecuación con una incógnita, la cual se resuelve para
encontrar el valor de una incógnita.
3.El valor encontrado es sustituido en el despeje obtenido en el primer paso,
encontrando así el valor de la otra incógnita.
Si al efectuarse el paso 2
y resolverse la ecuación
en una sola variable se
obtiene 0x = c o 0y = c,
con c ≠ 0, entonces el
sistema no tiene solución
y si resulta 0x = 0 o 0y =
0, el sistema tiene una
infinidad de soluciones. .
4. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos 3 y 4, formando
la pareja (x, y); con ellos haremos la comprobación, verificando que ambas
ecuaciones se satisfacen simultáneamente.
253
B7
Ejemplos
A continuación se resuelven dos sistemas de ecuaciones simultáneas lineales con
dos incógnitas, por el método de sustitución, siguiendo cada uno de los pasos arriba
citados. (Con la finalidad de mostrar que la solución del sistema es la misma al aplicar
cualquier método, se resuelven los mismos sistemas de los ejemplos anteriores).
x + y = 10 − − − (1)
I. 
 x − y = 2 − − − ( 2 )
1. Se elige despejar x en la ecuación (1), donde:
x = 10 – y
2. Sustituyendo este despeje en la ecuación (2), se obtiene:
(10 – y) – y = 2
Resolviendo la ecuación tenemos: 10 – 2y = 2
– 2y = 2 – 10
−8
=4
−2
3. Sustituyendo y = 4 en el despeje obtenido en el primer paso, se tiene:
x = 10 – (4) = 6
y=
4. La solución del sistema es la pareja ordenada (6, 4).
Comprobación:
6 + 4 = 10

 6−4=2
 3x − y = 1 (1)
x + 4y = 9 ( 2 )
II. 
1. Se elige despejar x en la ecuación (2), de donde:
x = 9 – 4y
2. Sustituyendo este despeje en la ecuación (1) se obtiene:
3(9 – 4y) – y = 1
Al resolver esta ecuación tenemos: 27 – 12y – y = 1
–13y = 1 – 27
254
y=
−26
=2
−13
Resuelve ecuaciones lineales II
3. Sustituyendo y = 2 en el despeje obtenido en el primer paso, se tiene:
x = 9 – 4(2) = 9 – 8 = 1
4. La solución del sistema es la pareja ordenada (1, 2).
Comprobación:
 3 (1) − 2 = 1

1+ 4 ( 2 ) = 9
Este método de sustitución debe elegirse cuando el sistema de ecuaciones
simultáneas de primer grado con dos incógnitas tenga, en alguna de las
ecuaciones, por lo menos, un término con coeficiente uno.
Método de igualación
Si se tiene el sistema de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas
de la forma:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
donde x y y son las incógnitas y aa11,a
,a2,b
,b11,b
,b22,c
,c11,c
, c22,∈  entonces, la solución (x, y)
que satisface simultáneamente cada una de las ecuaciones puede encontrarse
por medio del método algebraico de igualación, de la forma siguiente:
Si al efectuar el paso 2
y resolver la ecuación
en una sola variable se
obtiene 0x = c o 0y = c,
con c ≠ 0, el sistema no
tiene solución y si resulta
0x = 0 o 0y = 0, el sistema
tiene una infinidad de
soluciones.
1. Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Los despejes obtenidos se igualan entre sí, quedando una ecuación en
una incógnita, la cual se resuelve para encontrar el valor de la incógnita.
3. El valor encontrado se sustituye en uno de los dos despejes obtenido en
el primer paso, encontrando así el valor de la otra incógnita.
4. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos 2 y 3,
formando la pareja (x, y); con ellos haremos la comprobación, verificando
que ambas ecuaciones se satisfacen simultáneamente
Ejemplos
Ahora resolvemos los sistemas de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas,
por el método de igualación, siguiendo cada uno de los pasos indicados en el
procedimiento anterior. (Nuevamente, para reafirmar que la solución del sistema es la
misma aplicando cualquier método, se resuelven los mismos sistemas de los ejemplos
anteriores).
x + y = 10 − − − (1)
 x − y = 2 − − − ( 2 )
I. 
1. Despejamos x en las ecuaciones (1) y (2):
255
B7
De (1): x = 10 – y
De (2): x = 2 + y
2. Igualamos estos despejes entre sí, obteniendo la ecuación:
10 – y = 2 + y
Resolviendo la ecuación tenemos: – 2y = 2 – 10
−8
=4
y=
−2
3. Sustituyendo y = 4 en el despeje obtenido de la ecuación (1) en el primer paso,
se tiene:
x = 10 – (4) = 6
4. La solución del sistema es la pareja ordenada (6, 4).
Comprobación:
6 + 4 = 10

 6−4=2
 3x − y = 1 (1)
II. 
x + 4y = 9 ( 2 )
1. Despejamos x en las ecuaciones (1) y (2):
De (1): x = 1+ y
3
De (2): x = 9 – 4y
2. Igualamos estos despejes entre sí, obteniendo la ecuación:
1+ y
= 9 − 4y
3
Resolviendo la ecuación tenemos:
 1+ y 
 = 3[9 − 4 y ]
3
 3 
1 + y = 27 – 12y
13y = 26
y=
256
26
=2
13
Resuelve ecuaciones lineales II
3. Sustituyendo y = 2 en el despeje obtenido de la ecuación (1) en el primer paso, se
tiene:
x=
1+ 2 3
= =1
3
3
4. La solución del sistema es la pareja ordenada (1, 2).
Comprobación:
 3 (1) − 2 = 1

1+ 4 ( 2 ) = 9
Este método de igualación se elige cuando el sistema de ecuaciones simultáneas de
primer grado con dos incógnitas tenga los coeficientes de los términos de ambas
ecuaciones distintos de uno.
Método por determinantes
Si se tiene el sistema de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas
de la forma:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
donde x y y son las incógnitas yaa11,a
,a2,b
,b11,b
,b22,c
,c11,c
, c22,∈  entonces, la solución (x, y)
que satisface simultáneamente cada una de las ecuaciones puede encontrarse
por medio del método algebraico por determinantes, de la forma siguiente:
D=
a1 b1
c b
a c
= a1b2 − a2b1 , D x = 1 1 = c1b2 − c2b1 , D y = 1 1 = a1c2 − a2 c1
a2 b2
c 2 b2
a2 c2
Si D ≠ 0, la solución del sistema es única y se encuentra al efectuar las divisiones:
x =
Si D = 0, Dx ≠ 0 y Dy ≠ 0 el
sistema no tiene solución.
Si D = 0, Dx = 0 y Dy =
0 el sistema tiene una
infinidad de soluciones.
D
Dx
y = y
D
D
Ejemplos
De nueva cuenta, se resuelven los mismos sistemas del ejemplo anterior, aplicando el
método por determinantes. x + y = 10
I. 
 x−y =2
Se resuelven los determinantes:
1 1
D ℵℵℵℵ
1 −1
(1)( 1) (1)(1)
1 1
2
257
B7
Dx =
10 1
= (10 )( −1) − ( 2 )(1) = −10 − 2 = −12
2 −1
Dy =
1 10
= (1)( 2 ) − (1)(10 ) = 2 − 10 = −8
1 2
Efectuando las divisiones indicadas, se tiene:
x =
D y −8
D x −12
=
=4
=
= 6 y =
−2
D −2
D
Luego, la solución del sistema es la pareja ordenada (6, 4).
6 + 4 = 10
Comprobación: 
 6−4=2
 3x − y = 1 (1)
II. 
x + 4y = 9 ( 2 )
Se resuelven los determinantes:
D=
Manos y dedos. En una
mano hay cinco dedos, en
dos manos hay 10 dedos.
¿Cuántos dedos hay en 10
manos?
3 −1
= ( 3 )( 4 ) − (1)( −1) = 12 + 1 = 13
1 4
Dx =
1 −1
= (1)( 4 ) − ( 9 )( −1) = 4 + 9 = 13
9 4
Dy =
3 1
= ( 3 )( 9 ) − (1)(1) = 27 − 1 = 26
19
Efectuando las divisiones indicadas, se tiene:
x =
D y 26
D x 13
= = 1 y =
=
=2
D 13
D 13
La solución del sistema es la pareja ordenada (1, 2).
3 1 −2 =1
Comprobación:  ( )
1+ 4 ( 2 ) = 9
El método por determinantes puede aplicarse en todo sistema de ecuaciones
simultáneas de primer grado con dos incógnitas.
Otra forma de obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales es
a partir de la gráfica del sistema en el plano cartesiano, como veremos a
continuación.
258
Resuelve ecuaciones lineales II
Interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones
lineales: punto de intersección de las rectas y casos en que
son paralelas
La gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se obtiene
trazando en un mismo plano cartesiano ambas ecuaciones.
Existen tres casos de solución del sistema:
• Cuando las rectas trazadas se intersectan (cortan) en un punto, la
solución del sistema es la coordenada (x, y), punto de intersección. • Cuando las rectas trazadas son paralelas, el sistema no tiene solución.
• Las rectas pueden ser coincidentes (las mismas); en este caso, el
sistema tiene una infinidad de soluciones.
Ejemplos
Representar gráficamente los sistemas que se indican, mismos que coinciden con
los sistemas que se han resuelto en los ejemplos anteriores al aplicar los diferentes
métodos algebraicos y que ahora, con el método geométrico, podemos visualizar:
x + y = 10
I. 
 x−y =2
→
y = 10 − x − − − (  1 )

 y = x − 2 − − − (  2 )
Las rectas se trazan utilizando el método de tabulación.
Tabulación:
x
4
5
6
y = 10 – x
y = 10 – (4) = 6
y = 10 – (5) = 5
y = 10 – (6) = 4
P(x, y)
7
y = 10 – (7) = 3
(7, 3)
x
4
5
6
7
y=x–2
y = (4) – 2 = 2
y = (5) – 2 = 3
y = (6) – 2 = 4
y = (7) – 2 = 5
P(x, y)
(4, 2)
(5, 3)
(6, 4)
(7, 5)
(4, 6)
(5, 5)
(6, 4)
Puede visualizarse que el punto de intersección de las rectas trazadas a partir de
cada una de las ecuaciones del sistema es (6, 4), el cual es la solución del sistema.
Comprobación: 6 + 4 = 10

 6−4=2
259
B7
x + 4y = 9
II. 
 3x − y = 1
→
9−x

− − − ( 1 )
y =
4

y = 3x − 1 − − − (  2 )

Las rectas se trazan utilizando el método de tabulación.
Tabulación: x
–3
1
3
5
y = (9 – x )/4
y = (9 – (–3) )/4 = 3
y = (9 – (1) )/4 = 2
y = (9 – (3) )/4 = 1.5
y = (9 – (5) )/4 = 1
P(x, y)
(–3, 3)
(1, 2)
(3, 1.5)
(5, 1)
x
0
1
2
3
y = 3x – 1
y = 3(0) – 1 = –1
y = 3(1) – 1 = 2
y = 3(2) – 1 = 5
y = 3(3) – 1 = 8
P(x, y)
(0, –1)
(1, 2)
(2, 5)
(3, 8)
Puede visualizarse que el punto de intersección de las rectas trazadas a partir de cada
una de las ecuaciones del sistema es (1, 2), el cual es la solución del sistema.
III. El sistema que se presenta a continuación se resuelve por los métodos algebraicos
de suma y resta e igualación, observa que no tiene solución:
 2x + 3y = 7 − − − (1)

4x + 6y = 10 − − − ( 2 )
Método de suma y resta
Se multiplica por –2 la ecuación (1), para obtener:
−4x − 6y = −14 − − − (1)

 4x + 6y = 10 − − − ( 2 )
Niños y moscas. Si tres
niños cazan tres moscas
en tres minutos. ¿Cuánto
tardarán treinta niños en
cazar treinta moscas?
Al sumar estas ecuaciones se tiene:
Lo cual indica, por una de las observaciones antes dada, que el sistema no tiene
solución.
260
Resuelve ecuaciones lineales II
Método de igualación
Se despeja x, en ambas ecuaciones:
De (1): x =
7 − 3y
2
En el sistema
De (2): x = 10 − 6y
3x + y = 5

9 x + 3y = 15
4
Al igualar estos despejes, tenemos:
ambas ecuaciones
representan la misma
recta. luego todos los
puntos de una coinciden
con los puntos de la
otra teníendo así, una
infinidad de soluciones
7 − 3y 10 − 6y
=
2
4
 7 − 3y 10 − 6y 
=
4
4 
 2
Donde: 14 − 6y = 10 − 6y
0y = −4
Lo cual indica, por una de las observaciones antes dada, que el sistema no
tiene solución.
A continuación se hace la representación geométrica del sistema anterior.

 2x + 3y = 7

4x + 6y = 10

7 − 2x

− − − ( 1 )
y=

3

y = 10 − 4x − − − (  )
2
6

→
Las rectas se trazan utilizando el método de tabulación.
Tabulación:
x
–4
–1
0
2
y = (7 – 2x )/3
y = (7 – 2(–4) )/3 = 5
y = (7 – 2(–1) )/3 = 3
y = (7 – 2(0) )/3 = 2.3
y = (7 – 2(2) )/3 = 1
P(x, y)
(–4, 5)
(1, 2)
(0, 2.3)
(2, 1)
x
–2
0
1
4
y = (10 – 4x)/6
y = (10 – 4(–2) )/6 = 3
y = (10 – 4(0) )/6 = 1.6
y = (10 – 4(1) )/6 = 1
y = (10 – 4(4) )/6 = –2
P(x, y)
(-2, 3)
(0, 1.6)
(1, 1)
(4, –2)
261
B7
Como puedes observar las rectas son paralelas (no hay punto de intersección), por lo
cual se concluye que el sistema no tiene solución.
IV. Resolver la situación que a continuación se indica, al aplicar un método algebraico,
y hacer la representación gráfica del sistema visualizando la solución.
Daniel fue al almacén y pagó por tres camisas y cinco trajes $4180.00, mientras que
su papá pagó por nueve camisas y ocho trajes $6940.00. Si los trajes y las camisas que
compró cada uno tienen el mismo precio, ¿cuánto debió pagar el abuelito que en ese
momento los acompañaba por dos camisas y dos trajes?
Planteamiento algebraico
Costo de cada camisa: x
Costo de cada traje: y
Se pagó por tres camisas y cinco trajes $4180.00: 3x + 5y = 4180
Se pagó por nueve camisas y ocho trajes $6940.00: 9x + 8y = 6940
3x + 5y = 4180
Sistema de ecuaciones que modela la situación: 
9x + 8y = 6940
Por el método de igualación:
4180 − 3x

− − − (1)
 y =
3x + 5y = 4180
5
→


9x + 8y = 6940
y = 6940 − 9x − − − ( 2 )

8
Se igualan los despejes (1) y (2) y se resuelve la ecuación:
4180 − 3x 6940 − 9x
=
5
8
 4180 − 3x 6940 − 9x 
=
40 

5
8


33440 − 24x = 34700 − 45x
21x = 1260
x = 60
Se sustituye x = 60 en y =
4180 − 3x
, se obtiene:
5
y=
4180 − 3 ( 60 )
5
4180 − 180
y=
5
4000
y=
= 800
5
262
Resuelve ecuaciones lineales II
3 ( 60 ) + 5 ( 800 ) = 4180
Comprobación: 
9 ( 60 ) + 8 ( 800 ) = 6940
Respuesta: se ha encontrado que una camisa cuesta $60.00 y un traje $800.00. Luego, después de hacer la operación 2(60) + 2(800) = 1720, el abuelito debió pagar por dos
camisas y dos trajes $1720.00.
Gráfica del sistema.
4180 − 3x

− − − ( 1 )
y=
3x + 5y = 4180

5
→ 

9x + 8y = 6940
y = 6940 − 9x − − − (  )
2

8
Las rectas se trazan utilizando el método de tabulación.
Tabulación
x
–100
60
400
y
y = 896
y = 800
y = 2980
P(x, y)
(–100, 896)
(60, 800)
(400, 2980)
900
y = 296
(900, 296)
x
–200
y
y = 1092.5
P(x, y)
(–200, 1092.5)
60
y = 800
(60, 800)
500
770
y = 305
y = 1.25
(500, 305)
(770, 1.25)
Puede visualizarse que el punto de intersección de las rectas trazadas a partir de cada
una de las ecuaciones del sistema es (60, 800), el cual es la solución del sistema.
Actividad
I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas lineales, y elige
para cada uno de ellos, el método algebraico más apropiado, y para cada
uno de los sistemas construye la gráfica y verifica la solución.
263
B7
 3x + y = 11
1. 
x + 4y = −11
2.  −x + y = 0

x + 4y = 15
 x − 5y = 5
3. 
−2x + 5y = −15
4. 4x − 5y = 22

 x + 7y = −11
5.  2x − 6y = 0

5x + 3y = 18
10x − 12y = 1
6. 
 6x + 3y = 4
 −8x + 5y = 4
7. 
4x − 10y = −5
 −4x + y = 5

8. 4x − y = −5
9.  7x + 2y = 1
14x + 4y = 1
10.  11x + 12y = 1

−11x + 4y = 15
11.
 2x + 4 y = 6

− x − 2 y = −3
12. 21x + 40y = 14

 14x − 10y = 2
13.  1 x + 1 y = 20
 2
3

1
 x − 1y = 0
 4
6
x y 1
14.  + =
5 2 5

x − y = 1
 4 8 10
264
2x + 5y = −20
15. 
8x + 3y = −46
x + 4y = 500
16. 
2x + y = 300
 2x + y = 1100
17. y − 2x = −100

 x = 78 − y
18. 
2y = 113 − x
40x − 1190 = −34y
19. 
 11y − 301 = −8x
 x + 3 y 21
20.  2 + 5 = 5

 x + 2y + 1 = 2
 5
3
 3x + 1 y − 1
+
= 13
21. 
 2
3

 4x − 8 − 3y + 4 = 0
 4
5
 2 ( x + 4 ) 6 ( 3y − 4 )
+
= −51

2
22.  3
 5 ( x − 4 ) − 2 ( 3 − 6y ) = −3

2
12
 x y 8
 7 + 2 = 7
23. 
x − y = − 6
 7 2
7
x y 1
 + =
24.  2 9 2
x + 2y = 1

9 4
 3x y 1
25.  4 + 3 = 7

− 3x − y = − 1
 8 6
14
Resuelve ecuaciones lineales II
II. Encuentra la solución a las situaciones que modelaste antes por un
sistema de ecuaciones; utiliza el método algebraico más apropiado,
comprueba la solución y responde correctamente cada una.
1. Paola tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de ocho años, la
edad de Paola doblará la edad de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada
una?
2. El papá de Julio pesa 42 kg más que Julio; si los dos juntos pesan 138
kg, ¿cuánto pesa cada uno?
3. La edad de un hijo más la tercera parte de la edad del padre suman
22 años. Dentro de seis años, la edad del padre excederá en diez
años el doble de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada
uno?
4. Un cohete y su combustible pesan juntos 5200 kg. Después de que
se haya gastado una cuarta parte del combustible, el cohete y el
combustible restante pesan 4600 kg. ¿Cuál es el peso, en kilogramos,
del cohete?
5. Dentro de la ciudad, un automóvil rinde 6 km/litro; en cambio, en
carretera rinde 8.5 km/litro. Si el automóvil consumió 90 litros en
un recorrido de 690 km, ¿qué parte del recorrido hizo en la ciudad?
6. Santiago es cuatro veces mayor que Juan, y en cuatro años más sólo
tendrá el doble de edad. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?
7. En una alcancía hay $1305.00 en 150 monedas de $5.00 y $10.00.
¿Cuántas monedas son respectivamente de $5.00 y $10.00?
8. Hace seis años la edad de Ricardo era
3
de la edad de su novia y
2
dentro de 6 años, cuatro veces la edad de Ricardo será cinco veces
la edad de su novia. ¿Cuáles son las edades actuales de cada uno?
9. Pedro le da a Juan tres canicas para tener ambos el mismo tanto,
porque si Juan le da a Pedro tres canicas, éste tendría cuatro veces
las de Juan. ¿Cuántas canicas tiene cada uno?
10. La suma de las dos cifras de un número es nueve, pero si la cifra de
las decenas se aumenta en uno y la de las unidades se disminuye en
uno, las cifras del número se invierten. ¿Cuál es el número?
265
B7
Autoevaluación
Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas,
determinando en cada una de ellas: sistema de ecuaciones, método de solución y
gráfica. Elije la opción que muestra el resultado correcto a cada una. 1. Jessy le dice a su hermano Julio: “ Si me das $50.00 de tu dinero, yo tendré el doble
de dinero que tendrás tú”, si entre ambos hermanos tienen $600.00, ¿cuánto tiene
cada uno?
a) Julio: $250
Jessy: $350
c) Julio: $200
Jessy: $300
b) Julio: $350
Jessy: $250
d) Julio: $300
Jessy: $200
2. La cantidad de dinero que tienen Isela y Ricardo suma $4500, la diferencia de lo
que tiene Isela con el doble de lo que tiene Ricardo es $2100. ¿Cuánto tiene cada
uno?
a) Isela: $800
Ricardo: $5300
c) Isela: $800
Ricardo: $3700
b) Isela: $3700
Ricardo: $1800
d) Isela: $3700
Ricardo: $800
3. Ana y Paola pesaban 5 kg y 6 kg, respectivamente. El peso de cada una se ha
incrementando 1 kg cada mes durante 5 meses. ¿Cuál es el sistema de ecuaciones
que representa esta situación? Observa la tabla.
Mes (x)
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
Quinto
A =5-n
P =6-n
A =5+n
b) P =6+n
a) Ana
6
7
8
9
10
Paola
7
8
9
10
11
c) A =5+n
P =6-n
d) A =5-n
P =6+n
4. Karen compra 1 chocolate y dos paletas con $4.00; Karime compra 3 chocolates
y una paleta con $7.00. Al llegar a casa su hermana Luz del Carmen les pregunta,
¿cuánto costó cada dulce?
a) Chocolate: $1
c) Chocolate: $4
Paleta: $2
Paleta: $2
b) Chocolate: $2
d) Chocolate: $3
Paleta: $1
Paleta: $1
266
Resuelve ecuaciones lineales II
Evaluación Formativa
Resuelve correctamente la siguiente situación.
En un examen de 40 preguntas, Lucía ha obtenido 7 de calificación. Cada acierto vale
1 punto y cada error le resta 2 puntos.
A partir de esta situación realiza lo que se pide:
¿Cuál es el sistema que modela la situación planteada?
a)
x + y = 40
3x − 2y = 10
b) x + y = 24
x − 4y = 16
c) x + y = 33
x − 2y = 8
d) x + y = 40
x - 2y = 7
¿Cuántos aciertos y errores tuvo Lucy? Aciertos:__________ Errores:__________
En un plano cartesiano, grafica las rectas del sistema.
Escala de Rango
Nombre del alumno:
Escala de valoración:
0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 Satisfactorio
Aspectos observables
Comprendió la situación planteada
Eligió el sistema correctamente
Contestó correctamente las preguntas
Realizó la gráfica
Sí
No
TOTAL:
Observaciones:
Nombre de quien revisó:
Estimación
Cal =
Total×10
=
12
267
Resuelve ecuaciones lineales III
BLOQUE
8
Saberes
» Conocimientos
• Comprende los métodos para resolver
sistemas de tres ecuaciones con tres
incógnitas (3x3).
• Método numérico por determinantes.
• Método algebraico de sustitución.
• Ubica e interpreta situaciones diversas
utilizando sistemas 3x3.
Construye e interpreta modelos
aritméticos, algebraicos y gráficos
aplicando las propiedades de los números
reales y expresiones algebraicas,
relacionando magnitudes constantes y
variables, y empleando las literales para la
representación y resolución de situaciones
y/o problemas algebraicos, concernientes
a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan
a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes
en tablas, gráficas, mapas, diagramas
o textos, provenientes de situaciones
cotidianas y los traduce a un lenguaje
algebraico.
» Habilidades
• Obtiene la solución de sistemas de
ecuaciones lineales 3x3.
• Aplica el método numérico por determinantes
para resolver sistemas 3x3.
• Utiliza el método de sustitución para resolver
un sistema 3x3.
• Representa y soluciona situaciones diversas
utilizando sistemas 3x3.
• Expresa ideas y conceptos de sistemas de
ecuaciones con tres incógnitas empleando
representaciones en lenguaje común,
simbólico o gráfico.
• Ejecuta instrucciones y procedimientos de
manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de la
solución de una ecuación de 3x3.
»
SUGERENCIA DE EVIDENCIAS
DE APRENDIZAJE
UNIDAD DE COMPETENCIA
»
• Reconoce o describe, mediante
lenguaje oral o escrito, situaciones que
pueden modelarse mediante sistemas
de ecuaciones lineales 3x3.
• Asocia los puntos de intersección con
las soluciones de un sistema 3x3.
• Reconoce gráficamente cuándo un
sistema 3x3 tiene una, ninguna o
infinitas soluciones.
• Resuelve por medio de determinantes,
sistemas de ecuaciones 3x3.
• Resuelve por sustitución algunos
sistemas 3x3.
• Reconoce en una gráfica la solución de
un sistema de ecuaciones 3x3.
• Resuelve o formula problemas de su
entorno, u otros ámbitos, que pueden
representarse y solucionarse mediante
un sistema de ecuaciones 3x3.
• Efectúa las correspondientes
conversiones de unidades, en
situaciones modeladas con sistemas
lineales 3x3 donde se presentan
distintas unidades de medición.
» Actitudes y valores
• Aprecia la simplicidad de los métodos
numéricos para resolver sistemas 3x3.
• Valora la utilidad de los sistemas 3x3 para
representar y solucionar diversas situaciones.
• Asume una actitud constructiva, congruente
con los conocimientos y habilidades con los
que cuenta, en las actividades que le son
asignadas.
• Asume una actitud propositiva que favorece
la solución de problemas en distintos
ámbitos.
• Promueve el diálogo como mecanismo para
la solución de conflictos.
B8
INTRODUCCIÓN
En este bloque abordaremos el sistema de tres ecuaciones lineales con tres
incógnitas, también llamado sistema 3x3, con los cuales modelaremos diversas
situaciones, aplicando para la solución del sistema el método algebraico de
sustitución y el método numérico por determinantes.
Evaluación diagnóstica
Efectúa en tu cuaderno los siguientes ejercicios y subraya la opción que muestra el
resultado correcto.
1. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa que la suma de tres números enteros
consecutivos es 72?
a) x ( x+1)( x+2 ) =72
b) x + y + z = 72
c) x+ ( x+1) + ( x+2 ) =72
d) xyz = 72
2. El valor de x en la ecuación
a) 4
3
( 4x − 7 ) = 2x − 5 es:
7
b) 5
c) 6
d) 7
3. Al sumar dos números, obtenemos un resultado cuatro veces mayor que el número
menor. Además, cuando al número menor le sumamos 15 y al mayor le restamos 13
se tienen resultados iguales. ¿Qué números son?
a) 14 y 42
b) 24 y 41
c) 20 y 35
d) 15 y 53
4. Una pareja hace su lista de lo que necesita y calcula gastar entre los dos $850. Ella
elimina un artículo cuyo costo era la novena parte de su pedido y él, a su vez, elimina
otro equivalente a un octavo del importe de su lista. Así ellos podrán gastar $100
menos. El importe original de cada uno era:
a) Ella: $400
Él: $450
270
b) Ella: $450
Él: $400
c) Ella: $500
Él: $350
d) Ella: $350
Él: $500
Resuelve ecuaciones lineales III
5. Una tina de baño se llena en media hora con la llave del agua caliente y en 15 min
con la llave de agua fría. Si la tina se desagua en 60 min, ¿en qué tiempo se llena la
tina con las dos llaves y el desagüe abierto?
c) 13 min
d) 15 min
a) 10 min
b) 12 min
6. ¿Cómo representarías un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas?
7. ¿Qué entiendes por resolver un sistema de ecuaciones lineales 3 x 3?_______________
____________________________________________________________________
Actividad introductoria
Modelando con sistemas de ecuaciones.
Organizados en equipos de tres integrantes y monitoreados por su profesor, realicen
los cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrar el
sistema de ecuaciones que modela la situación planteada, así como su respuesta
correspondiente.
1. En la siguiente figura se tenía un entero en cada cuadrado, cada número de la
segunda, tercera y cuarta fila era igual a la suma de los números colocados en
los dos cuadrados que están inmediatamente arriba de él. Los números fueron
borrados con el tiempo. ¿Qué número estaría en el cuadrado marcado con la letra
A?
a) 2
b) 3
c) 5
d)7
Al finalizar elíjase uno de los equipos para exponer sus resultados frente al grupo.
SISTEMA DE ECUACIONES
SIMULTÁNEAS DE TRES
ECUACIONES CON TRES
INCÓGNITAS
Corresponde en este bloque abordar los sistemas de ecuaciones simultáneas
con tres incógnitas, los cuales también son llamados sistemas de dimensiones
271
B8
3 x 3. En general, una ecuación lineal con tres incógnitas es una igualdad de
la forma ax + by + cz = d y el sistema 3 x 3 es representado por tres de estas
igualdades.
Si existen los tres valores x, y, z que satisfacen simultáneamente las ecuaciones
del sistema dado, el sistema tiene solución: es la terna (x, y, z) de números
reales; en este caso se dice que el sistema es compatible. De otro modo, el
sistema puede tener una infinidad de soluciones, y el sistema es compatible
indeterminado; si el sistema no tiene solución se dice que es incompatible.
Se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas con tres incógnitas,
si consideramos tres ecuaciones de primer grado con tres
incógnitas como sigue:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d3
a3x + b3y + c3z = d3
donde x, y y z son las incógnitas y a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 ,b3 ,c1 , c2 ,c3 ∈ 
Hay múltiples situaciones que conducen a plantear ecuaciones con tres
incógnitas.
Ejemplo
En cierta heladería, por una copa de helado, dos horchatas y cuatro galletas, cobran
$34 un día. Al siguiente día, por cuatro copas del mismo helado y cuatro galletas,
cobran $44; y al tercer día son $26 por una horchata y cuatro galletas. ¿Tienes motivos
para pensar que en alguno de los tres días se presentó una cuenta incorrecta?
Solución
Planteamiento:
Precio de la copa de helado: x
Precio de la horchata: y Precio de la galleta: z Por una copa de helado, dos horchatas y cuatro galletas se cobró $34:
x + 2y + 4z = 34
Por cuatro copas de helado y cuatro galletas se cobró $44:
4x + 4z = 44
Por una horchata y cuatro galletas se cobró $26:
y + 4z = 26
272
Resuelve ecuaciones lineales III

x + 2y + 4 z = 34



= 11
Sistema de ecuaciones que modela la situación:  x + z


y + 4 z = 26


Observa que los valores de dos de las variables x, y, ó z determinan el valor de la
tercera.
Actividad
Encuentra el sistema de ecuaciones que modela cada una de las situaciones
siguientes.
1. Se tienen tres recipientes con cierta cantidad de agua. Si se vierte 1/3
de agua del primero en el segundo y luego 1/4 de agua del segundo en
el tercero y, por último, extraemos 1/10 del agua del tercer recipiente
para verterla en el primer recipiente, y se obtienen nueve litros en cada
recipiente, ¿qué cantidad de agua tenía cada uno de ellos?
2. Tres amigos fueron a la dulcería. Miguel gastó $27 y compró un caramelo
y dos paletas. Luis gastó $41 y compró un caramelo y dos chocolates.
Hugo pagó $34 por un caramelo, una paleta y un chocolate. ¿Cuál es el
precio de cada golosina?
3. Un grupo de veinte personas entre hombres, mujeres y niños se reúne
para celebrar el cumpleaños de uno de ellos. El número de hombres y
mujeres asistente resulta ser el triple del número de niños. Además, si
hubiera asistido la mamá de Carlitos, el número de mujeres sería igual
al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños asistieron a la
reunión?
4. En una competencia deportiva participan cincuenta atletas distribuidos
en tres categorías: infantiles, juveniles y veteranos. El doble del número
de atletas infantiles, por una parte, excede en una unidad al número de
juveniles y, por otra, coincide con el quíntuplo del número de veteranos.
Determina el número de atletas que hay en cada categoría.
5. La Sra. Julia compró para su despensa 5 kg de azúcar, 3 kg de arroz y 4
kg de frijol; para su mamá compró 4 kg de azúcar, 5 kg de arroz y 3 kg
de frijol; y para su suegra 2 kg de azúcar, 5 kg de arroz y 5 kg de frijol. Si
pagó por separado cada cuenta con un importe de $151, $141 y $149
respectivamente, ¿cuánto cuesta cada artículo?
273
B8
Ecuaciones simultáneas de tres por tres, con y sin solución
Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas lineales con tres
incógnitas, podrán aplicarse los métodos algebraicos vistos en el sistema 2
x 2: suma y resta, sustitución, igualación o determinantes; sin embargo, en
este bloque enfocaremos nuestro estudio al método algebraico de sustitución
y al método numérico por determinantes. Nuevamente, para el sistema 3 x
3, para cualquier método que se aplique, la solución del sistema es la misma.
Método algebraico de sustitución
Si al efectuar el paso 2
y resolver la ecuación
en una sola variable se
obtiene 0x = c, 0y = c, o
0z = c con
c ≠ 0, el sistema no tiene
solución y si resulta 0x = 0,
0y = 0 o 0z = 0 el sistema
tiene una infinidad de
soluciones
Para aplicar este método se siguen los siguientes pasos:
1. Se elige una de las ecuaciones del sistema, en la cual se despeja una de las
incógnitas.
2. Se sustituye el despeje obtenido en las otras dos ecuaciones del sistema,
quedando dos ecuaciones con dos incógnitas, es decir, un sistema 2 x 2
que ya sabemos resolver.
3. Los valores encontrados para dos de las incógnitas se sustituyen en el
despeje obtenido en el primer paso, encontrando así el valor de la tercera
incógnita.
4. La solución del sistema son los valores obtenidos de las tres incógnitas,
es decir, la terna (x, y, z), comprobando con ellos que se verifican las tres
igualdades.
Ejemplo
En seguida, se resuelve un sistema de ecuaciones 3 x 3 por el método de sustitución,
siguiendo los pasos arriba descritos.
 2x + y − z = 1 (1)

 x − 5y + 2z = − 3 ( 2 )
 4x + 3y − 5z = −5 ( 3 )

1. Se elige despejar y en la ecuación (1) donde:
y = 1 – 2x + z
O bien, y = –2x + z + 1
2. Sustituyendo el despeje anterior en la ecuación (2) se obtiene:
x – 5(–2x + z + 1) + 2z = –3
Se simplifica, x + 10x – 5z – 5 + 2z = –3
274
Resuelve ecuaciones lineales III
11x – 3z = –3 + 5
11x – 3z = 2 (4)
Al sustituir el mismo despeje, ahora en la ecuación (3) se obtiene:
4x + 3(–2x + z + 1) – 5z = –5
se simplifica: 4x – 6x + 3z + 3 – 5z = –5
– 2x – 2z = –5 – 3
– 2x – 2z = –8
x + z = 4 (5)
De las ecuaciónes (4) y (5) se tiene el sistema 2 x 2 siguiente:
11x − 3z = 2 ( 4 )

 x + z = 4 ( 5 )
Ahora se resuelve este sistema, aplicando el método más adecuado.
Atendiendo a las sugerencias del bloque anterior, se elige resolver por el método de
sustitución:
• Se elige despejar x en la ecuación (5), donde:
x=4–z
•
Al sustituir este despeje en la ecuación (4), se obtiene:
11(4 – z ) – 3z = 2
Al resolver la ecuación tenemos: 44 – 11z – 3z = 2
– 14z = 2 – 44
z=
•
−42
=3
−14
Al sustituir z = 3 en el despeje obtenido en el primer paso, se tiene:
x = 4 – (3) = 1
• La solución del sistema obtenido 2 x 2 son los valores z = 3 y x = 1
3. Al sustituir estos valores x = 1 y z = 3 en el despeje obtenido en el primer paso, se
encuentra así el valor de la variable y.
y = –2x + z + 1
y = –2(1) + (3) + 1
y = –2 + 3 + 1
y=2
275
B8
4. Así, la solución del sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (3) es la terna (1, 2 ,3):
 2 (1) + ( 2 ) − ( 3 ) = 1 (1)
Comprobación:  (1) − 5 ( 2 ) + 2 ( 3 ) = − 3 ( 2 )
 4 (1) + 3 ( 2 ) − 5 ( 3 ) = −5 ( 3 )

Donde observamos que se verifican las igualdades.
Cuando en un sistema 3 x
3, una de las ecuaciones
no tiene una variable, el
coeficiente considerado
para ella al momento de
resolver el determinante
es cero.
Método numérico por determinantes
Abordaremos ahora el método por determinantes, observa con atención
cómo se forman y resuelven los determinantes.
Dado un sistema de ecuaciones 3 x 3:
a1x + b1y + c1z = d1
a2 x + b2 y + c2 z = d2
a3 x + b3 y + c3 z = d3
Para encontrar la solución del sistema se desarrollan cuatro determinantes,
formados de la siguiente manera:
El primer determinante lo denotaremos con la letra D y se forma con los
coeficientes de las incógnitas: horizontalmente (las filas) contienen a los
coeficientes de cada ecuación en el orden de x, y, z y verticalmente (las
columnas) corresponden a los coeficientes de una misma variable.
a1 b1 c1
D = a2 b2 c2
a3 b3 c3
El determinante 3 x 3 así obtenido se resuelve como se muestra en el siguiente
esquema: se aumentan las dos primeras filas, y se multiplican los tres
coeficientes que se tienen en diagonal (anotando los resultados del producto
en la derecha e izquierda). A la suma de los productos obtenida de la derecha
se le resta la suma de los productos obtenidos a la izquierda.
276
Resuelve ecuaciones lineales III
Los tres determinantes restantes se denotan por Dx , Dy , Dz y se forman al
cambiar la columna de la variable del determinante que se busca por la columna
formada por los segundos miembros de las ecuaciones, es decir, si se busca
Dx se cambia la columna de los coeficientes de x por los segundos miembros
de las ecuaciones, y así sucesivamente para Dy y Dz . Una vez formado cada
determinante, se resuelve tal como se procedió en el determinante D.
Para desarrollar cada uno
de los determinantes,
se aumentaron las dos
primeras filas.
Si D = 0, Dx ≠ 0, Dy ≠ 0
y Dz ≠ 0 el sistema no
tiene solución.
Si D = 0, Dx = 0, Dy =0 y D = 0 el sistema
z
tiene una infinidad de
soluciones.
Si D ≠ 0, la solución del sistema es única y se encuentra al efectuar las siguientes
divisiones:
x=
Dy
Dx
D
y=
z= z
D D D
Ejemplos
Resolvamos el mismo sistema 3 x 3 del ejemplo anterior, ahora con el método por
determinantes y observemos que la solución es la misma.
277
B8
 2x + y − z = 1 (1)

 x − 5y + 2z = − 3 ( 2 )
 4x + 3y − 5z = −5 ( 3 )

Se resuelven los determinantes:
Efectuamos las divisiones correspondientes, y listo:
x=
D x 28
=
=1 D 28
y=
Dy
D
=
56
= 2 28
y=
D z 84
=
=3
D 28
La solución del sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (3) en este ejemplo es la
terna (1, 2 ,3).
 2 (1) + ( 2 ) − ( 3 ) = 1 (1)

Comprobación:  (1) − 5 ( 2 ) + 2 ( 3 ) = − 3 ( 2 )
 4 (1) + 3 ( 2 ) − 5 ( 3 ) = −5 ( 3 )

278
Resuelve ecuaciones lineales III
Observemos que se verifican las igualdades. Veamos que el sistema que se muestra a continuación es incompatible, es decir, no
tiene solución.
Apliquemos primero el método de sustitución.
 3x − 4y + 2z = 1 (1)

 − 2x − 3y + z = 2 ( 2 )
 5x − y + z = 5 ( 3 )

Tenemos:
1. Elegimos despejar z en la ecuación (3) donde:
z = 5 – 5x + y
O bien, z = –5x + y + 5
2. Al sustituir el despeje anterior en la ecuación (1) se obtiene:
3x – 4y + 2(–5x + y + 5) = 1
Se simplifica, 3x – 4y – 10x + 2y + 10 = 1
– 7x – 2y = 1 –10
– 7x – 2y = –9 (4)
Al sustituir el mismo despeje, ahora en la ecuación (2), se obtiene:
– 2x –3y + (–5x + y + 5) = 2
Se simplifica: – 2x –3y –5x + y + 5 = 2
– 7x – 2y = 2 – 5
– 7x – 2y = –3 (5)
De las ecuaciónes (4) y (5) se tiene el sistema 2 x 2 siguiente:
−7x − 2y = −9( 4 )
−7x − 2y = −3(5)
Al multiplicar por (–1) la ecuación (5) y sumar estas ecuaciones, se tiene:
−7 x + 2y = −9
7 x + 2y = 3
0x + 0y = 6
Lo cual indica que el sistema no tiene solución.
279
B8
Apliquemos ahora el método por determinantes.
 3x − 4y + 2z = 1 (1)

 − 2x − 3y + z = 2 ( 2 )
 5x − y + z = 5 ( 3 )

Tenemos:
Puesto que D = 0, Dx≠ 0, Dy≠ 0 y Dz≠ 0, el sistema no tiene solución.
280
Resuelve ecuaciones lineales III
Actividad
I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas 3 x 3 por el método
algebraico de sustitución y el método numérico por determinantes.
 x+ y+z= 2

1.  3x − 2y − z = 4
−2x + y + 2z = 2

3x + 4y + 2z = 1
2.  −2x − 3y + z = 2
 5x − y + z = 5

2x − 5y + 3z = 0
3.  −x + y − z = 0
 2x − y = 0

 4x − y + z = 4

4.  x − y + 4z = 1
2x + y − 7z = 3

4x − y + 5z = − 25

5.  7x + 5y − z = 17
 3x − y + z = −21

 2x + 5y = 16

6. x + 3y − 2z = − 2

x+z=4

x + 3y − z = − 5

7.  2x − y + 5z = 7
 x + 10y − 8z = 9

−x + 2y − 3z = − 2

8.  −x + 8y − 27z = 0
 x − y − z =1

II. Dado que ya modelaste cada una de las situaciones siguientes por su correspondiente
sistema de ecuaciones, encuentra la solución al utilizar alguno de los métodos
abordados, compruébala y da la respuesta correcta a la situación dada.
1. En cierta heladería, por una copa de helado, dos horchatas y cuatro galletas,
cobran $34 un día. Otro día, por cuatro copas del mismo helado y cuatro galletas,
cobran $44, y un tercer día son $26 por una horchata y cuatro galletas. ¿Tienes
motivos para pensar que en alguno de los tres días se presentó una cuenta
incorrecta?
281
B8
2. Se tienen tres recipientes con cierta cantidad de agua. Si se vierte 1/3 de agua
del primero en el segundo y luego 1/4 de agua del segundo en el tercero y, por
último, extraemos 1/10 de agua del tercer recipiente para verterla en el primer
recipiente, obteniendo nueve litros en cada recipiente, ¿qué cantidad de agua
tenía cada uno de ellos?
3. Tres amigos fueron a la dulcería. Miguel gastó $27 y compró un caramelo y dos
paletas. Luis gastó $41 y compró un caramelo y dos chocolates. Hugo pagó $34
por un caramelo, una paleta y un chocolate. ¿Cuál es el precio de cada golosina?
Autoevaluación
Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas, y determina
en cada una de ellas: sistema de ecuaciones y método de solución. Elije la opción que
muestra el resultado correcto de cada una.
1. Un grupo de 20 personas entre hombres, mujeres y niños se reúne para celebrar el
cumpleaños de uno de ellos. El número de hombres y mujeres asistentes resulta
ser el triple del número de niños. Además, si hubiera asistido la mamá de Carlitos,
el número de mujeres sería igual al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y
niños asistieron a la reunión?
a) Hombres: 5
Mujeres: 7
Niños: 8
b) Hombres: 7
Mujeres: 5
Niños: 8
c) Hombres: 8
Mujeres: 7
Niños: 5
d) Hombres: 5
Mujeres: 6
Niños: 9
2. En una competencia deportiva participan cincuenta atletas distribuidos en tres
categorías: infantiles, juveniles y veteranos. El doble del número de atletas
infantiles, por una parte, excede en una unidad al número de juveniles y, por otra,
coincide con el quíntuplo del número de veteranos. Determina el número de atletas
que hay en cada categoría.
a) Infantiles: 15
Juveniles: 29
Veteranos: 6
b) Infantiles: 6
Juveniles: 15
Veteranos: 29
c) Infantiles: 29
Juveniles: 15
Veteranos: 6
d) Infantiles: 15
Juveniles: 6
Veteranos: 29
3. La Sra. Julia compró para su despensa 5 kg de azúcar, 3 kg de arroz y 4 kg de frijol;
para su mamá compró 4 kg de azúcar, 5 kg de arroz y 3 kg de frijol; y para su suegra
2 kg de azúcar, 5 kg de arroz y 5 kg de frijol. Si pagó por separado cada cuenta con
un importe de $151, $141 y $149, respectivamente, ¿cuánto cuesta el kilogramo de
cada artículo?
282
Resuelve ecuaciones lineales III
a) Azúcar: 12
Arroz: 16
Frijol: 9
b) Azúcar: 9
Arroz: 16
Frijol: 12
c) Azúcar: 12
Arroz: 9
Frijol: 16
d) Azúcar: 9
Arroz: 12
Frijol: 16
Evaluación Formativa
A partir de la situación planteada realiza lo que se pide.
1. En una frutería, por 2 kg de manzana, 2 kg de pera y un melón, cobraron a un cliente
$119. Otra persona compró 4 kg de manzana, 1 kg de pera y dos melones, por los
cuales le cobraron $154; una tercera persona pagó $93 por 2 kg de manzana y 3
melones. ¿Cuánto cuesta cada fruta?
a) Encuentra el sistema que modela la situación.
b) Resuelve el sistema por dos métodos: método algebraico de sustitución y
método numérico por determinantes.
c) Especifica tu respuesta.
Escala de rango
Nombre del alumno:
Escala de valoración:
0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 Satisfactorio
Aspectos observables
Sí
No
Estimación
Comprendió la situación planteada
Encontró el sistema correctamente
Resolvió el sistema por los dos métodos Indicó la respuesta específicamente
TOTAL:
Observaciones:
Nombre de quien revisó:
Cal =
Total×10
12
=
283
Resuelve ecuaciones cuadráticas I
BLOQUE
9
Saberes
» Conocimientos
• Comprende los métodos para resolver
ecuaciones cuadráticas incompletas:
- Extracción de factor común
- Despeje de la variable cuadrática
• Identifica ecuaciones incompletas de segundo
grado en una variable.
• Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones
cuadráticas incompletas.
• Comprende los métodos para resolver
ecuaciones cuadráticas completas.
• Describe el procedimiento de completar y
factorizar trinomios cuadrados perfectos para
resolver ecuaciones completas de segundo
grado en una variable.
• Identifica raíces reales y complejas y escribe
ecuaciones a partir de éstas.
• Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones
cuadráticas completas.
Construye e interpreta modelos
aritméticos, algebraicos y gráficos
aplicando las propiedades de los números
reales y expresiones algebraicas,
relacionando magnitudes constantes y
variables, y empleando las literales para la
representación y resolución de situaciones
y/o problemas algebraicos, concernientes
a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan
a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes
en tablas, gráficas, mapas, diagramas
o textos, provenientes de situaciones
cotidianas y los traduce a un lenguaje
algebraico.
» Habilidades
• Obtiene la solución de ecuaciones
cuadráticas.
• Aplica técnicas algebraicas de despeje o
extracción de un factor común.
• Resuelve ecuaciones incompletas de segundo
grado en una variable.
• Utiliza la técnica de completar y factorizar
trinomios cuadrados perfectos para resolver
ecuaciones completas de segundo grado en
una variable.
• Representa y soluciona situaciones con
ecuaciones cuadráticas.
»
SUGERENCIA DE EVIDENCIAS
DE APRENDIZAJE
UNIDAD DE COMPETENCIA
»
• Aplica transformaciones algebraicas
para despejar la variable en una
ecuación cuadrática pura.
• Extrae factor común para factorizar
una ecuación cuadrática mixta.
• Aplica la propiedad del producto cero
para hallar las raíces de una ecuación
cuadrática mixta.
• Resuelve ecuaciones cuadráticas
completas mediante la técnica de
completar y factorizar trinomios
cuadrados perfectos.
• Reconoce que una ecuación cuadrática
puede tener raíces reales, o raíces
complejas, en pares conjugados, y
escribe las ecuaciones cuadráticas a
partir de sus raíces.
• Resuelve o formula problemas de su
entorno, u otros ámbitos, que pueden
representarse y solucionarse mediante
una ecuación o una función cuadrática.
• Efectúa las correspondientes
conversiones de unidades, en
situaciones modeladas con ecuaciones
cuadráticas donde se presentan
distintas unidades de medición.
» Actitudes y valores
• Aprecia la utilidad de utilizar métodos
específicos para resolver ecuaciones
cuadráticas incompletas.
• Valora la importancia de contar con un
método algebraico para resolver todo tipo de
ecuación cuadrática en una variable.
• Valora la aplicabilidad de las ecuaciones
cuadráticas para representar y resolver
diversas situaciones.
B9
INTRODUCCIÓN
Corresponde ahora estudiar las ecuaciones cuadráticas, completas o
incompletas, a partir de modelar situaciones de diversos contextos, diferentes métodos algebraicos de solución.
Evaluación diagnóstica
Efectúa en tu cuaderno los siguientes ejercicios y subraya la opción que muestra el
resultado correcto:
1. Ricardo aceptó un empleo como vendedor de un producto. Su sueldo será de 10
dólares por cada unidad vendida x, más una comisión diaria de 35 dólares. ¿Cuál
de las siguientes expresiones representa el sueldo y de cinco días de trabajo?
a) y = 5 ( x + 35 )
b) y = 5x + 5 ( 35 )
c) y = 5 ( 35x ) + 10
d) y = 5 (10x + 35 )
2. ¿Cuál es la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales?
x + y = 15
3x − 2y = 20
a) x = 5, y = 10
b) x = 7, y = 8
c) x = 10, y = 5
d) x = 8, y = 7
3. El largo de un rectángulo es el doble de su ancho que es x. ¿Cuál de las siguientes
expresiones representa el área del rectángulo, en unidades cuadradas?
a) 3x
b) 4x
c) 6x
d) 2x2
4. Una tina de baño se llena en media hora con la llave del agua caliente y en 15 min
con la llave de agua fría. La tina se desagua en 60 min. ¿Cuál es la expresión que
indica el tiempo de llenado con ambas llaves y el desagüe abierto?
a)  1 + 1 + 1  x = 1
 30 15 60 
b)  1 + 1 − 1  x = 1


 30 15 60 
286
Resuelve ecuaciones cuadráticas I
c)
x
x
x
+ +
=1
30 15 60
d)
1
1
1
+ +
=x
30 15 60
5. En la expresión ( x − 4 )( x + 1) = 0 , ¿qué valores de x satisfacen la igualdad?
a) x = 4, x = −1
b) x = −4, x = 1
c) x = 2, x = 1
d) x = 3, x = 0
6. ¿Cómo completas la expresión x 2 + 6x para que sea trinomio cuadrado perfecto?
7. En la expresión ( x − 5 ) = 9 , ¿qué valor de x satisface la igualdad?
2
a) x = 4, x = −1
b) x = −4, x = 1
c) x = 2, x = 1
d) x = 3, x = 0
8. En la ecuación ( x − 2 ) = 0 , ¿qué valor de x satisface la igualdad?
2
a) x = 1
b) x = 2
c) x = 4
d) x = 0
9. En la ecuación x 2 = 361, ¿qué valor de x satisface la igualdad?
a) x = 3
b) x = −2
10. ¿Qué número debe ir dentro del radical
c) x = −3
d) x = 2
? a) El doble de 15
b) El cuadrado de 15
c) La potencia de 15
d) La mitad de 15
Actividad introductoria
Modelando con ecuaciones cuadráticas.
Organizados en equipos de tres integrantes y monitoreados por su profesor, realicen
los cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrar
la ecuación cuadrática que modele la situación planteada, así como su respuesta
correspondiente.
1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.
a) 12 y 14 b) 24 y 7
c) 6 y 28
d) 4 y 4
287
B9
2. Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380.
a) 10 y 29
b) 15 y 24
c) 25 y 14
d)19 y 20
Al finalizar elíjase uno de los equipos para exponer sus resultados frente al grupo.
ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO
Si una ecuación tiene sólo una incógnita y el mayor exponente de ésta es dos,
entonces se tiene una ecuación de segundo grado con una incógnita, también
llamada ecuación cuadrática. Al resolver una ecuación de este tipo, pueden
encontrarse dos soluciones, una solución, o bien, la ecuación puede no tener
solución, en los reales.
Una ecuación de segundo grado con una incógnita tiene la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde:
a, b y c son números reales, con a ≠ 0.
ax2 es el término cuadrático.
bx es el término lineal.
c es el término independiente.
Para la ecuación anterior, si b y c son distintos de cero, la ecuación se llama
completa; pero si b o c son iguales a cero se tiene una ecuación incompleta.
La ecuación cuadrática es de gran importancia y se presenta frecuentemente
no sólo en matemáticas, sino también en física, química, biología, etc., ya que
modela muchos fenómenos relacionados con estas ciencias. Por ejemplo, en
física el modelo que describe el movimiento de caída libre es: h = 4.9t2
Para representar la energía potencial elástica, el modelo es:
288
Resuelve ecuaciones cuadráticas I
EP = 1 kx 2
2
El modelo que permite calcular el área de un círculo es.
A = π r2
Ejemplo
El siguiente caso presenta una situación que
puede modelarse por medio de una ecuación
de segundo grado con una incógnita.
Para encontrar el modelo que permite calcular
la longitud de un tensor que sujeta a una torre,
si éste mide dos unidades más que la altura de
la torre, y desde la base de la torre hasta donde
se sujeta el tensor mide una unidad más que la
altura de la torre.
Solución:
En la figura se observa un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa representa el tensor
y los catetos (base y altura de la torre). Donde:
Altura de la torre: x
Longitud de la base hasta donde se sujeta el tensor: x + 1
Longitud del tensor: x + 2 Al tener en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple:
(x + 2)2 = (x + 1)2 + x2
Así, x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2
Luego, la ecuación que modela esta situación es:
x2 – 2x – 3 = 0
Una vez encontrada la ecuación se procederá a resolverla aplicando algún método de
solución algebraico que estudiaremos a continuación, o gráfico que abordaremos en
el siguiente bloque.
289
B9
Actividad
Diseña una ecuación que modele cada una de las situaciones planteadas. Al finalizar
compara tus modelos con los de tus compañeros.
1. Encuentra el número distinto de cero que es igual al doble de su cuadrado.
2. Si al doble del cuadrado de un número se le resta el triple del mismo el resultado es
cero. Halla el número, si éste es distinto de cero.
3. En un rectángulo, la base mide el triple que la altura. Si se disminuye en 1 centímetro
cada lado, el área inicial disminuye en 15 centímetros. Calcula las dimensiones y el
área del rectángulo inicial. 4. Halla 3 números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le
restan los cuadrados de los otros 2, se obtiene como resultado 7. 5. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del
padre será el doble de la del hijo ¿cuántos años tiene ahora cada uno? Métodos de solución
Hemos mencionado en el bloque VI que resolver una ecuación significa
encontrar el valor real de la variable que cumple la igualdad. Ahora bien, para
una ecuación cuadrática se pueden encontrar sólo dos valores reales que
satisfacen tal ecuación, mismos que son las soluciones o raíces de la ecuación.
Si existen efectivamente dos soluciones, éstas se designan por x1 y x2. Si
sólo hay una solución, por x1. Si no se encuentra un valor real que cumpla la
igualdad, se concluye que la ecuación no tiene solución en los números reales,
por tanto, las soluciones se encuentran en los números complejos y se llaman
raíces complejas o imaginarias.
Pero, ¿cómo se encuentran las soluciones de una ecuación cuadrática?
Hay algunos métodos de solución, los que abordaremos en este bloque serán
los métodos algebraicos despeje para ecuaciones incompletas y factorización.
Veamos.
Métodos algebraicos
Despeje para ecuaciones incompletas
Abordemos la solución para ecuaciones incompletas, es decir, la ecuación
cuadrática:
290
Resuelve ecuaciones cuadráticas I
ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0, donde los coeficientes b o c son iguales a cero, de donde
se desprenden dos casos.
Caso 1
Si b = 0, se tiene una ecuación de segundo grado con una incógnita en la que
falta el término lineal, es decir, la ecuación tiene la forma:
ax2 + c = 0
Para resolver esta ecuación bastará despejar x como sigue:
ax 2 + c = 0
ax 2 = −c
c
x2 = −
a
x=± −
c
a
Ejemplos
I. Resolvamos ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 + c = 0 y hagamos
la comprobación de las mismas.
1. x 2 − 4 = 0
Solución:
x2 − 4 = 0
2
x =4
x=± 4
de donde
x1 = 4 = 2
x 2 = − 4 = −2
Comprobación:
Para x1 = 2 ( 2)
2
−4=0
4−4=0
0=0
Para x 2 = −2
2
( −2 ) − 4 = 0
4−4=0
0=0
Se verifica la igualdad; luego x1 = 2 y
x 2 = −2 , son las raíces de la ecuación
x2 − 4 = 0
2. 4x 2 − 25 = 0
291
B9
Solución:
Comprobación:
4 x 2 − 25 = 0
25
x2 =
4
25
x=±
4
de donde
x1 =
2
 5
4  −  − 25 = 0
 2
 25 
4   − 25 = 0
 4 
25 − 25 = 0
0=0
2
25 5
=
4
2
x2 = −
5
5
Para x1 = Para x 2 = −
2
2
25
5
=−
4
2
5
4   − 25 = 0
2
 25 
4   − 25 = 0
 4 
25 − 25 = 0
0=0
Se verifica la igualdad; luego x1 =
5
5
y x2 = − ,
2
2
son las raíces de la ecuación 4x 2 − 25 = 0
Caso 2
Si c = 0, se tiene una ecuación de segundo grado con una incógnita en la que
falta el término independiente, es decir, la ecuación tiene la forma:
ax2 + bx = 0
Para resolver esta ecuación se aplica la factorización por término común de
donde se desprenden las dos soluciones como sigue:
ax 2 + bx = 0
x1 = 0


x ( ax + b ) = 0 → 
b
ax + b = 0 → x 2 = − a
Ejemplos
I. Resolvamos ecuaciones cuadráticas incompletas, ahora de la forma ax2 + bx = 0 y
hagamos también la comprobación.
1. x 2 − 4x = 0
Solución:
x2 − 4x = 0
x (x − 4) = 0
de donde
x1 = 0
x − 4 = 0 → x2 = 4
292
Comprobación:
Para x1 = 0 Para x 2 = 4
(0)
2
− 4(0) = 0
0−0 =0
0=0
(4)
2
− 4(4) = 0
16 − 16 = 0
0=0
Se verifica la igualdad; luego x1 = 0 y x 2 = 4 , son las raíces de la ecuación x 2 − 4x = 0
.
Resuelve ecuaciones cuadráticas I
2. 6x 2 − 7x = 0
Solución:
6 x 2 − 7x = 0
x (6 x − 7) = 0
de donde
x1 = 0
7
6x − 7 = 0 → x2 =
6
Comprobación:
Para x1 = 0 Para x 2 =
2
6(0) − 7(0) = 0
2
0−0 =0
0=0
7
6
7
7
6  − 7  = 0
6
 
6
 49  49
=0
6  −
 36  36
49 49
−
36 36
0=0
Se verifica la igualdad; luego x1 = 0 y x 2 =
7
,
6
2
son las raíces de la ecuación 6x − 7x = 0
Factorización
Para encontrar las soluciones o raíces de una ecuación cuadrática completa, es
decir, la ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0, donde los coeficientes b y c
son distintos de cero, podrá aplicarse el método algebraico por factorización;
nuevamente se presentan dos casos:
Caso 1
Este caso se presenta cuando se tiene una ecuación cuadrática, la cual es
posible factorizar. Para resolver esta ecuación, se factoriza correctamente la
expresión ax2 + bx + c, y los factores resultantes se igualan a cero de donde,
despejando la incógnita en cada igualdad se obtendrán las raíces de la
ecuación.
Ejemplos
I. Resolvamos ecuaciones cuadráticas completas aplicando factorización y efectuemos
la comprobación.
1. x2 – 5x –14 = 0
Se factoriza la ecuación: (x + 2) (x – 7) = 0
Al igualar los dos factores a cero, se tiene: x + 2 = 0 y x – 7 = 0 Al despejar x en estas igualdades se encuentran los valores x = –2 y x = 7
Así, las soluciones o raíces de la ecuación x2 – 5x –14 = 0 son: x1-2 y x2=7
293
B9
Comprobación:
Para x1 = 7
(7 )
2
− 5 ( 7 ) − 14 = 0
49 − 35 − 14 = 0
49 − 49 = 0
Para x2 = –2
( −2 )
2
− 5 ( −2 ) − 14 = 0 4 + 10 − 14 = 0
14 − 14 = 0
0=0
0=0
Se verifica la igualdad; luego x1 = 0 y x 2 = 4 , son las raíces de la ecuación x 2 − 4x = 0
2. 6x2 + 11x –10 = 0
Se factoriza la ecuación: (3x – 2) (2x + 5) = 0
Al igualar los dos factores a cero, se tiene: 3x – 2 = 0 y 2x + 5 = 0
2
5
yx=−
3
2
2
5
Así, las soluciones o raíces de la ecuación 6x2 + 11x –10 = 0 son: x1 = y x 2 = −
3
2
Despejando x en estas igualdades se encuentran los valores x =
Comprobación:
Para x1 =
2
2
3
2
2
6   + 11  − 10 = 0
3
3
4
22
 
6   + − 10 = 0
9 3
8 8
− =0
3 3
0=0
Para x 2 = −
5
2
2
 5
 5
6  −  + 11 −  − 10 = 0
 2
 2
 25  55
6   − − 10 = 0
 4  2
75 75
−
=0
2 2
0=0
Caso 2
Éste se presenta cuando se tiene una ecuación cuadrática, la cual no
es posible factorizar inmediatamente. Para resolver esta ecuación de la b
c
forma ax2 + bx + c = 0 se busca expresarla como x 2 + x = − y a partir de
a
a
ésta se procede como sigue:
294
Resuelve ecuaciones cuadráticas I
A partir de la forma:
Se completa a trinomio cuadrado
b
c
2
perfecto (T.C.P) el miembro x + a x = − a
izquierdo de la ecuación, atendiendo
2
2
que el término que completa a x 2 + b x +  b  = − c +  b 
 2a 
a
a  2a 
T.C.P se sume de ambos lados de la
2
ecuación.

c b2
b
Se factoriza el T.C.P. a binomio
cuadrado al cuadrado.
x +  = − +

a 4a
2a 
2

b
c b2
x +  = ± − +

2a 
a 4a
Se extrae raíz cuadrada en ambos
lados de la igualdad.
x+
Se efectúan los procesos algebraicos
necesarios para despejar x.
b
c b2
=± − +
2a
a 4a
x+
b2 − 4c
b
=±
2a
4a
x+
b
b2 − 4c
=±
2a
2a
x =−
x=
Las soluciones o raíces de la
ecuación son:
b
b2 − 4c
±
2a
2a
−b ± b2 − 4c
2a
x1 =
−b + b2 − 4c
−b − b2 − 4c
y x2 =
2a
2a
Ejemplos
I. Encontremos las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas completando
a trinomio cuadrado perfecto y efectuando la comprobación respectiva.
1. x2 – 6x – 7 = 0
Se expresa la ecuación en la forma indicada:
x2 – 6x = 7
Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación,
recordando que:
• Se procede a dividir entre 2 el coeficiente del término lineal.
Para este ejemplo:
−6
= −3
2
• El resultado así obtenido se eleva al cuadrado.
(–3)2 = 9
295
B9
Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadrado
perfecto y por la propiedad aditiva de la igualdad, debemos sumarlo a ambos lados,
como sigue:
x2 – 6x + 9 = 7 + 9
Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto como binomio al cuadrado:
(x – 3)2 = 16
Se extrae raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad.
x – 3 = ± 16
Se despeja x:
x – 3 =
±4
x = ±4 + 3
Donde: x=4+3
x=–4+3
y
Así, las soluciones o raíces del sistema son: x1 = 7 y x 2 = −1
Comprobación:
Para x1 = 7
Para completar a
trinomio cuadrado
perfecto, atiende
que el coeficiente del
término cuadrático sea
la unidad (1), siendo
necesario en ocasiones,
dividir la ecuación por
el coeficiente de dicho
término cuadrático.
(7 )
2
− 6 (7 ) − 7 = 0
Para x2 = –1
( −1)
2
− 6 ( −1) − 7 = 0
1+ 6 − 7 = 0
7−7 = 0
0=0
49 − 42 − 7 = 0
49 − 49 = 0
0=0
2. 5x2 – 7x – 9 = 0
Se expresa la ecuación en la forma indicada:
7
9
x2 − x =
5
5
Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación,
recordando que:
•
Se procede a dividir entre 2 el coeficiente del término lineal.
7
Para este ejemplo: 5
7
7
=
=
2 2 ( 5 ) 10
296
Resuelve ecuaciones cuadráticas I
• El resultado así obtenido se eleva al cuadrado.
2
49
 7 
  =
10
100
 
Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadrado perfecto
y por la propiedad aditiva de la igualdad, debemos sumarlo a ambos lados, como sigue:
7
49 9 49
x2 − x +
= +
5
100 5 100
Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto como binomio al cuadrado:
2
7  229

x −  =
10  100

Se extrae raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad.
x−
7
229
=±
10
100
Se despeja x: x −
7
229
=±
10
10
x=
De donde: x=
7
229 7 ± 229
±
=
10
10
10
7 + 229
7 − 229
y x =
10
10
Así, las soluciones o raíces del sistema son: x1 =
.
7 − 229
7 + 229
= −0.81
= 2.21 y x 2 =
10
10
Comprobación:
Para x1 =
7 + 229
10
297
B9
2
 7 + 229 
 7 + 229 
5 
 − 7 
 − 9 = 0
 10

 10

 49 + 14 229 + 229  49 7 229
−
−9 = 0
5 
 −
100
10

 10
49 7 229 229 49 7 229
+
+
−
−
−9 = 0
20
10
20 10
10
139 139
−
=0
10 10
0=0
3. 5x2 - 4x + 1 = 0
Se expresa la ecuación en la forma indicada:
4
1
x2 − x = −
5
5
Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación,
recordando que:
•
Se procede a dividir entre 2 el coeficiente del término lineal.
4
4
2
Para este ejemplo: 5 = − = −
2
10
5
−
•
El resultado así obtenido se eleva al cuadrado.
2
4
 2
−  =
 5  25
Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadrado
perfecto y por la propiedad aditiva de la igualdad, debemos sumarlo a ambos lados,
como sigue:
4
4
1 4
x2 − x +
=− +
5
25
5 25
Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto como binomio al cuadrado:
2
2
1

x −  = −
5
25

Se extrae raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad.
298
Resuelve ecuaciones cuadráticas I
x−
2
1
=± −
5
25
Se despeja x:
x=
2
1
± −
5
25
Una raíz imaginaria o
compleja, es un número
cuyo cuadrado es
negativo; se representa
como bi, donde b es
un número real e i es la
unidad imaginaria con la
propiedad siguiente:
De donde,
x=
2
1
±
( −1)
5
25
2  1 
±

5  25 
2 1
= ± i
5 5
=
(
)
−1
i 2 = – 1, de donde i =
−1
Las soluciones complejas
se expresan como
2 i

 x1 = 5 + 5
Luego, 
x = 2 − i
 2 5 5
a ± bi
Así, las soluciones o raíces del sistema son complejas (imaginarias):
2 i
x1 = +
5 5
y
2 i
x2 = −
5 5
Otros métodos de solución de una ecuación cuadrática son el gráfico y por fórmula
general, motivos de estudio del siguiente bloque.
Actividad
I. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 + c = 0 y
comprueba que las raíces encontradas son correctas.
1. x 2 + 9 = 0
2. 3x 2 + 12 = 0
3. −2x 2 − 10 = 0
4. 7x 2 + 11 = 0
5. 5x 2 − 15 = 0
299
B9
6. −81x 2 − 16 = 0
7. −x 2 + 18 = 0
8. 8x 2 + 20 = 0
9. 1 x 2 − 4 = 0
2
II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 + bx =
0 y comprueba que las raíces encontradas son correctas.
1. x 2 + 3x = 0
2. 3x 2 − 9x = 0
3.−x 2 − 4x = 0
4. 14x 2 − 17x = 0
5. −5x 2 − 20x = 0
6. 12x 2 − 48x = 0
7. −3x 2 − 18x = 0
8.
1 2 1
x + x=0
2
3
9. 1 x 2 − 4 x = 0
2
3
III. Aplicando factorización resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completas y
comprueba que las raíces encontradas son correctas.
1. x 2 − x − 2 = 0
2. x 2 − 3x − 4 = 0
3. x 2 + 10x + 25 = 0
4. 2x 2 + 5x − 3 = 0
5. x 2 − 10x + 24 = 0
6. 2x 2 − 3x − 5 = 0
7. 3x 2 − 12x + 12 = 0
8. x 2 + 5x − 6 = 0
9. x 2 − 2x − 15 = 0
10. 3x 2 − 5x + 2 = 0
11. −63x 2 − 29x + 4 = 0
12. −65x 2 − 29x + 4 = 0
300