SUMAS DE RIEMANN

SUMAS DE RIEMANN
Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f  x= x 2, x=0, x=2 y el eje x mediante el
cálculo del límite de las sumas de Riemann:
SOLUCION:
2−0 2
 x=
=
Primero dividimos [0,2] en n subintervalos de igual longitud:
n
n
2
i
x i =ai  x=0i =2
La enésima suma de Riemann es
n
n
n
n
n
n
n
nn12 n1
i 2
i 2 2
f

x

x=
f
2

=
2
]
∑i=1 i
∑i=1 n n ∑i=1 n   n =∑i=1 n83 i 2= n83 ∑i=1 i 2= n83 [
6
el área de la región es el límite de las sumas de Riemann:
n
4n12 n1 8
lim n  ∞ ∑i=1 f  x i  x=lim n  ∞ [
]=
3
3 n2
Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f  x= x−122, x=−1, x=2 y el eje x
mediante la búsqueda del límite de las sumas de Riemann.
SOLUCION:
Se divide [-1,2]:
 x=
;
2−−1 3
=
n
n
x i =ai  x=−1
3i
n
La enésima suma de Riemann es
n
∑i=1
2
n
n
i 3
i
3
f  x i  x=∑i=1 f −13  =∑i=1 [−13 −1 2]
n n
n
n
=
=
n
∑i=1 f  x i  x
n
3i
2
3
n
9 i2
∑i=1 [ n −2 2] n =∑i=1  n2 −
n
∑i=1 27
12 i
3
42
n
n
i 2 36 18 27 n 2 36 n
18 n
− 2 i = 3 ∑i=1 i − 2 ∑i=1 i ∑i=1 1
3
n
n
n n
n
n
n1 2
n1
= 27 nn12 n1 36 nn1 18
[
]− 2 [
] n=9n1
n −18
18
3
6
2
n
2
n
n
n
el área de la suma de Riemann:
n
lim n  ∞ ∑i=1 f  x i  x=lim n  ∞ [9n1
2 n1 2
n1
n −18
18] = 9 -18 + 18 =9
2
n
Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de f  x=2 x23 , x=−2, x=0 y el eje x
mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann.
SOLUCION
2
2i
Se divide [-2,0]:  x= ; x i =−2
la énesima suma de Riemann es:
n
n
2
2
2
3
n
n
n
n1
2i
2
32 i 3 32 n 3 32 n n1
∑i=1 f  xi  x=∑i=1 2−2 n 2  n =∑i=1 n4 = n4 ∑i=1 i = n4 [ 4 ]=8 n2
se halla el límite :
n
lim n  ∞ ∑i=1
✔
n12
f  x i  x=lim n  ∞ 8
=8
n2
n
Evaluar lim n  ∞ ∑i=1  x i2−2 x i  x , donde
de la integral apropiada.
x o=1 , x 1=1 x , ... , x n=3 mediante el análisis
SOLUCION
x i se convierte en x
Esta suma de Riemann se debe cambiar a una integral:  x se convierte en dx,
y el intervalo de integración es [1,3].
3
3
3
3
x
3
1
2
2
2
2
lim n  ∞ ∑i=1  x −2 x i  x=∫1  x −2 x dx= −x  = −3 − −1 =
3
3
3
3
1
n
Evaluar
3
2
i
2

6
n
lim n  ∞ ∑i=1  x i1 −x i cos x i , donde x0=0,...,xn=
.
SOLUCION
Se reconoce que
n
x i1−x i = x y se obtiene
n


lim n  ∞ ∑i=1  x i1− x i cos x=lim n  ∞ ∑i=1  x cos  x=∫06 cos x dx= sen x06 =sen

−sen 0
6