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Geometrı́a Analı́tica I
Grupo 4054
TAREA 02
Parte 1
1. Haga dibujos que ilustren los postulados (v.0),
(v.1), (v.2), (v.3), (v.4) y (v.5). Explique de
forma breve y concisa por qué todos ellos están
relacionados.
4. Concluya la prueba de la Proposición I-15.
2. Enuncie y demuestre la Proposición I-12.
7. Concluya la prueba de la Proposición I-28.
3. Enuncie y demuestre la Proposición I-17.
8. Concluya la prueba de la Proposición I-29.
5. Concluya la prueba de la Proposición I-16.
6. Enuncie y demuestre la Proposición I-23.
Parte 2
f ) Dos rectas son paralelas, si y sólo si, la suma de los ángulos externos formados del
mismo lado por una recta transversal, es
igual a dos ángulos rectos.
1. Argumente por qué las siguientes proposiciones son equivalentes al 5◦ Postulado. Puede
apoyarse en las proposiciones de los Elementos que vimos en clase y haciendo dibujos.
2. Argumente por qué del Lema de Proclo se sigue el siguiente enunciado: Dadas dos rectas
paralelas, existe una transversal a éstas.
a) Dos rectas se cortan en un punto, si y sólo
si, la suma de los ángulos internos formados por una recta transversal del mismo
lado donde se cortan las rectas, es menor
a dos ángulos rectos.
3. Considere los ángulos:
b) Dos rectas son paralelas, si y sólo si, los
ángulos alternos internos, formados por
una recta transversal, son iguales.
c) Dos rectas son paralelas, si y sólo si, los
ángulos alternos externos, formados por
una recta transversal, son iguales.
Suponga que ∠α y ∠β no son ángulos rectos.
Argumente por qué alguno de ellos debe ser
mayor a un ángulo recto.
d ) Dos rectas son paralelas, si y sólo si, los
ángulos correspondientes del mismo lado,
formados por una recta transversal, son
iguales
4. Completa la prueba (con dibujos y todo) de la
implicación [(v.4) ⇒ (v.5)].
5. Pruebe directamente que [v.0] ⇒ [v.5] (Proposición I-32). Haga dibujos.
e) Dos rectas son paralelas, si y sólo si, la
suma de los ángulos internos del mismo
lado formados por una recta transversal,
es igual a dos ángulos rectos.
6. ¿Podrı́as hacer un dibujo (con argumentos
y todo) para comprobar directamente que
[(v.5) ⇒ (v.2)]?
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Parte 3.
1. En
tal
la siguiente figura, encuentre el tode pares de triángulos semejantes.
a) Demuestra que DB = CE.
Imagen tomada del libro Notas de Geometrı́a, del Prof.
Silvestre Cárdenas.
2. Sea 4ABC un triángulo isóceles, como el que se
muestra en la figura. Sea BD la perpendicular por
B a AC, y sea CE la perpendicular por C a AB.
Sea G donde CE y BD se cortan.
b) Demuestra que DC = EB (se sigue que
AD = AE).
c) Trace la bisectriz de ∠A y sea F donde corta al segmento BC (de modo que AF es una
altura de 4ABC) y sea G0 donde corta a
EC. Prueba que G conicide con G0 . (Se puede asumir que la bisectriz corta en dos partes
iguales el segmento BC.)
d ) Concluye que las alturas EC, DB y AF son
concurrentes en el punto G (el ortocentro).
Parte 4.
1. Definimos la función tangente como tan x =
sin x
cos x , x ∈ R. Determine el dominio y la imagen
de la función tangente, y esboza una gráfica.
gen de función secante. Esboza una gráfica.
3. Haga lo mismo para la función cosecante, definida como csc x = sin1 x , x ∈ R
2. Definimos la función secante como csc x =
1
sin x , x ∈ R. Determine el dominio y la ima-
4. Haga lo mismo para la función cotangente, definita como cot x = tan1 x , x ∈ R.
Parte 5.
1. Deduce las ecuaciones cartesianas y determina
el lugar geométrico de las ecuaciones polares
siguientes:
2. Deduce la ecuación cartesiana y determina el
lugar geométrico de las ecuación polar r =
|2 cos θ|.
a) r = 5.
4
b) r = cos(θ−c)
, donde c es constante.
c) r =
3. Demuestra que la curva descrita r = cos kθ tiene k pétalos si k es impar y 2k pétalos si k es
par.
4
2+cos θ .
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Parte 6. Haga un dibujo de la curvas paramétricas siguientes:
1. Curva lemniscata:
3. El óvulo de Cassini:
r4 + a4 − 2a2 r2 cos 2θ = b4 .
r2 = a2 cos 2θ,
La curva consta de dos trozos separados si
b ≤ a, y es una lemniscata si b = a. ¿Puede
demostrarlo?
donde a es constante.
2. El caracol de Pascal:
4. Obtenga la ecuación paramétrica de una curva hipocicloide, descrita por un punto de una
circunferencia que rueda sin resbalar dentro de
otra circunferencia fija.
r = b + a cos θ,
si a = b da lugar a la curva conocida como
cardioide.
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