TEMA 38 - Educajob.com

TEMAS DE MATEMÁTICAS
(Oposiciones de Secundaria)
TEMA 38
TRIGONOMETRÍA PLANA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
1. .Conceptos sobre trigonometría.
1.1. Definición.
1.2. Razones de ángulos complementarios.
1.3. Otra definición de razón trigonométrica.
1.4. Razones de ángulos obtusos.
1.5. Angulos suplementarios
1.6. Ángulos que difieren en 90º.
1.7. Ángulos opuestos.
1.8. Razones trigonométricas de ángulos fundamentales.
2. Resolución de triángulos.
2.1. Resolución de triángulos rectángulos.
2.1.1. Conocido un lado y un ángulo del rectángulo.
2.1.2. Conocidos dos lados.
2.2. Resolución de triángulos oblicuángulos.
2.2.1. Expresión trigonométrica de la altura.
2.2.2. Teorema de los senos.
2.2.3. Teorema del coseno.
2.2.4. Resolución por teorema del seno
2.3. Radio de la circunferencia circunscrita.
2.4. Resolución de triángulos con el teorema del coseno.
2.4.1. Conocidos dos lados a y b y el ángulo C.
2.4.2. Conocidos los tres lados.
3. Teorema de las tangentes. Fórmulas de Briggs.
3.1. Analogías de Mollweide y de Neper.
3.2. Teorema de las tangentes.
3.3. Resolución de triángulos.
3.4. Fórmulas de Briggs.
4. Área de un triángulo.
5. Fórmulas de adición.
5.1. Coseno de la suma y diferencia.
5.2. Seno de la suma y diferencia.
5.3. Tangente de la suma y diferencia.
5.4. Fórmulas del ángulo doble.
5.5. Fórmulas del ángulo mitad.
5.6. Transformaciones en productos de sumas y diferencias.
5.7. Expresiones trigonométricas en función de la tangente del ángulo mitad.
6. Aplicaciones.
6.1. Aplicaciones a la topografía.
6.2. Determinación de la altura de un punto de pie accesible.
6.3. Resolución de planos inclinados en física.
6.4. Resolución de problemas en estática y en dinámica.
1/20
TEMA 38
TRIGONOMETRÍA PLANA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
1. CONCEPTOS SOBRE TRIGONOMETRÍA.
1.1. Definición
Dados dos triángulos rectángulos PQR y P’QR’, se dice que son semejantes si tienen un mismo ángulo α en el vértice Q
R'
Por ser semejantes se cumple que las relaciones
que hay entre dos lados cualesquiera de uno de los
triángulos son las mismas que las que hay entre los
lados equivalentes del otro triángulo.
Tales relaciones dependen del ángulo α, y si éste
varía, también varían las relaciones que se establecen.
Las relaciones los podemos definir de la siguiente
forma:
sen α =
RP R' P'
=
RQ R' Q
cosecα =
1
RQ
=
senα RP
R
Q
α
P
cos α =
PQ P' Q
=
RQ R' Q
tg α =
secα =
1
RQ
=
cosα PQ
cotg α =
P'
RP R' P'
=
PQ P' Q
1
PQ
=
tg α RP
Una vez definidas estas relaciones trigonométricas básicas podemos intentar establecer, a su vez, otras relaciones entre ellas.
Utilizando el teorema de Pitágoras tenemos que:
2
2
RP + PQ = RQ
2
2
2
y dividiendo toda la ecuación por RQ resulta
2
 RP   PQ 

 

 RQ  +  RQ  = 1

 

⇒
sen 2 α + cos 2 α = 1
Por otro lado:
RP
sen α
RP RQ sen α
tg α =
tg α =
=
=
⇒
cos α
PQ PQ cos α
RQ
Por último, utilizando la ecuación
sen 2 α + cos 2 α = 1 y dividiéndola por
cos2 α, obtenemos:
2/20
sen 2 α cos 2 α
1
`+
=
2
2
cos α cos α cos 2 α
tg 2 α + 1 = sec 2 α
⇒
1.2. Razones de ángulos complementarios.
Si tomamos un triángulo rectángulo igual que el anterior y le calculamos las razones
trigonométricas al otro ángulo distinto del ángulo α y distinto del ángulo recto (o sea,
del ángulo en R), podemos relacionarlas con las de α, Además, como el otro ángulo es
de 90−α grados, lo llamaremos ángulo complementario al α, porque la suma de ambos
da 90º.
sen (90 − α) =
PQ
= cos α
QR
tg (90 − α) =
cos (90 − α) =
R
RP
= sen α
QR
90-α
PQ cos α
=
= cotg α
RP sen α
α
Q
P
1.3. Otra definición de razón trigonométrica.
Si trazamos una circunferencia de radio r y sobre ella tomamos un punto P y creamos con ese punto, con el centro de la circunferencia y con el punto del eje OX que es
caída perpendicular de P sobre el eje (punto A) un triángulo, se cumple que:
sen α =
AP
r
P
AC
cos α =
r
tg α =
r
α
AP
AC
C
A
Definición Definiendo un triángulo de la misma forma que antes, pero sobre
una circunferencia de radio unidad r=1, se tiene que se define el seno de α como la longitud del cateto vertival de dicho triángulo y el coseno de α como la longitud del cateto
horizontal de dicho triángulo.
1.4. Razones de ángulos obtusos.
Si creamos triángulos igual que antes pero tomando puntos de la circunferencia que
no están en el primer cuadrante, las razones del ángulo que forma la hipotenusa con
respecto a la parte positiva del eje OX, vienen dadas por:
3/20
r
y
α
x
sen α =
y
r
cos α =
x
r
tg α =
2
x 2 + y2 = r 2
Pero como (x,y) está en el 2º
cuadrante, se tiene que, por definición, el seno es positivo, el coseno
es negativo y la tangente es negativa.
y
x
Análogamente podemos comprobar que:
2
 x  + y  =1
   
r r
⇒
⇒
sen 2 α + cos 2 α = 1
A todos los ángulos α definidos de esta forma, es decir, que son superiores a 90º ,
se les llama obtusos
1.5. Ángulos suplementarios.
Definición. Dados dos ángulos x e y, se dice que x e y son suplementarios si su
suma es 180º, o sea x+y=180º.
Bajo estas condiciones tenemos:
sen y = sen (180 − x ) = sen x
y
x
cos y = cos(180 − x ) = − cos x
tg y = tg (180 − x ) = − tg x
1.6. Ángulos que difieren en 90º.
Definición. Dados dos ángulos x e y se dice que son ángulos que difieren 90º si
verifican que y=90+x:
sen y = sen(90 + x ) = cos x
y
x
cos y = cos(90 + x ) = − sen x
tg y = tg (90 + x ) = −cotg x
4/20
1.7. Ángulos opuestos
Definición. Dados dos ángulos x e y se dice que son ángulos opuestos si se verifican que y=−x :
sen y = sen(− x ) = − sen x
cos y = cos(− x ) = cos x
x
y
tg y = tg (− x ) = − tg x
1.8. Razones trigonométricas de ángulos fundamentales.
• cos 0º = 1 ; sen 0º = 0 ; tg 0º = 0
• Tomando un triángulo equilátero, tenemos que
2
l
h +   = l 2 ⇒
2
2
Como
30
l
l
h
h2 = l2 −
60
l 2 3l 2
=
4
4
⇒
h=
entonces:
l/2
l
l 2 1
=
l
2
sen 30 o =
3l 2
3
=
l
2
cos 30 0 =
sen 30 o =
cos 30 0 =
h
=
l
sen 30 o
12
1
tg 30 =
=
=
0
cos 30
3 2
3
tg 30 0 =
0
1
2
3
2
1
3
Como
sen 60 o = sen (90 − 30 ) = cos 30 =
cos 60 0 = cos(90 − 30 ) = sen 30 =
5/20
3
2
1
2
sen 60 o =
cos 60 0 =
3
2
1
2
3
l
2
tg 60 0 =
sen 60 o
3 2
=
= 3
0
cos 60
12
tg 60 0 = 3
• Tomando ahora un cuadrado de lado l resulta:
d 2 = l 2 + l 2 = 2l 2
45
d
l
45
⇒
d = 2l
sen 45 o =
l
l
1
2
=
=
=
d
2
2l
2
⇒ sen 45 o =
2
2
cos 45o =
l
l
1
2
=
=
=
d
2
2l
2
⇒ sen 45 o =
2
2
l
tg 450 =
sen 45
=
cos 45
2 2
2 2
=1
tg 450 = 1
⇒
2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS.
2.1. Resolución de triángulos rectángulos.
2.1.1. Conocido un lado y un ángulo del rectángulo.
a) Si conocemos la hipotenusa a y un ángulo agudo, por ejemplos B tenemos que:
C=90º − B
C
a
B
pues A=90º
sen B =
b
a
⇒
b = a sen B
cos B =
c
a
⇒
c = a cos B
b
A
c
resultando entonces:
b) Si conocemos un cateto, el b, y un ángulo agudo, el B, por ejemplo, tendremos:
C= 90º − B y A=90º luego
sen B =
b
a
⇒ a=
b
sen B
y
tg B =
b
c
⇒
c=
b
tg B
2.1.2. Conocidos dos lados.
a) Conocida la hipotenusa a y un cateto b por ejemplo, tendremos:
sen B =
b
a
⇒ B = arc sen
b
a
y como C= 90º − B. pues A=90º y C = a 2 − b 2
6/20
b) Conocidos los dos catetos b y c, tenemos que:
A = b2 + c 2
tg B =
b
c
y como A=90º
⇒ B = arc tg
b
c
tenemos que:
C = 90º − B
y
2.2. Resolución de triángulos oblicuángulos.
2.2.1. Expresión trigonométrica de la altura h.
Dados los triángulos
C
En este caso tenemos que:
a
h
sen B =
b
c
H
h
a
⇒
h = a sen B
B
A
C
En este caso tenemos que:
b
h
A
a
c H
sen A =
h
b
⇒
h = b sen A
B
2.2.2. Teorema de los senos.
Utilizando las expresiones que hemos obtenido, tenemos que, como h = a sen B y
h = b sen A resultará igualando ambas:
a sen B = b sen A
⇒
sen A sen B
=
a
b
y haciendo lo mismo con la altura que parte del vértice A, obtendríamos que esta igualdad se puede ampliar a:
sen A sen B sen C
=
=
a
b
c
⇒
que es el llamado Teorema de los senos.
7/20
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
2.2.3. Teorema del coseno.
Si tomamos el teorema de Pitágoras generalizado, tenemos que:
 con signo menos si A < 90 o

a 2 = b 2 + c 2 ± 2bn  con signo más si A > 90 o
 tomaremo s n = 0 si A = 90 o

B
B
c
c
n
b
a
h
a
h
A
siendo
n
C
H
b
H
A
C
Si tomamos la proyección n, de AB sobre la recta AC, tenemos:
cos A =
n
(1ª figura) o
c
Si n = c cos A
pero si n = −c cos A
cos A = − cos(180 − A) = −
⇒
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
⇒
a 2 = b 2 + c 2 + 2b (−c cos A) = b 2 + c 2 − 2bc cos A
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
resultando en ambos casos:
y análogamente:
n
(2ª figura)
c
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
y
2.2.4. Resolución por teorema del seno.
a) Conocidos dos ángulos A y B y el lado a, tenemos que:
resulta:
a
c
=
sen A sen C
⇒
c=a
sen C
sen A
y
a
b
=
sen A sen B
⇒
b=a
sen B
sen A
C=180-A-B
b) Conocidos los lados a y b y el ángulo A opuesto a a:
haciendo:
a
b
=
sen A sen B
⇒
sen B =
b
sen A
a
Ante esta situación tenemos dos posibilidades:
8/20
⇒
b
B = arc sen  sen A 
a

• 0 < B ≤ 90 o
• 90 o < B < 180 o
b sen A
≤1
a
Pero siempre debe ocurrir que
o sea
1) Si
b sen A = a
⇒
sen B = 1
⇒
2) Si
b sen A < a
⇒
sen B < 1
entonces:
b sen A ≤ a
B = 90 o
i) Si A < 90 o puede haber dos soluciones o una, dependiendo de que a < b o no.
ii) Si A > 90 o sólo hay una solución.
C = 180º − A − B.
Utilizando lo anterior tenemos que:
2.3. Radio de la circunferencia circunscrita.
El ángulo D y el ángulo A de los triá ngulos DCB y ACB respectivamente, son iguales por tener el mismo arco, pero por otra parte, el ángulo M en el punto C es un ángulo
recto por ser DB el diámetro de la circunferencia. Entonces tenemos que:
a
2r
=
sen D sen 90
luego:
⇒
sen D =
C
D
b
a
a
2r
r
A
c
a
sen A =
2r
2r =
por tanto:
M
B
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
2.4. Resolución de triángulos con el teorema del coseno.
2.4.1. Conocidos dos lados a y b y el ángulo C.
Como c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
tenemos que
c = a 2 + b 2 − 2ab cos C
Utilizando el teorema del seno calcularemos los ángulos A y B.
2.4.2. Conocidos los tres lados.
Hacemo s:
cos A =
b 2 + c2 − a 2
2bc
cos B =
a2 + c 2 − b 2
2ac
Obtenemos así los ángulos A, B y C del triángulo.
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cos C =
a2 +b2 −c2
2ab
3. TEOREMA DE LAS TANGENTES. FÓRMULAS DE BRIGGS.
3.1. Analogías de Mollweide y de Neper.
Sea un triángulo ABC tal que
a>b y llevemos b sobre a y a su vez
sobre su prolongación a partir de C.
Obtenemos así los puntos N y M y
por lo tanto, el triángulo AMN cuyos ángulos queremos calcular.
A
c
b
A+B
B
a-b
N
a
C
b
M
Tenemos que el ángulo ACM es
igual a A+B puesto que es exterior al triángulo ABC. También el ángulo ANM es
(A+B)/2 y además AMC=C/2. Finalmente ANB=90º+(C/2) por ser exterior al triángulo
ANM.
Entonces si aplicamos a los triángulos ABM y ABN el teorema de los senos resulta:
a+b
c
=
A − B  sen C

sen  90o +

2
2 

a −b
c
=
A− B
C

sen
sen 90 o + 
2
2

⇒
⇒
A− B

sen  90 o +
 cos A − B
a+b
2

=
2
=
C
C
c
sen
sen
2
2
a−b
=
c
A−B
A−B
sen
2
2
=
C
 o C
cos
sen  90 + 
2
2

sen
y estas igualdades son las llamadas analogías de Mollweide.
3.2. Teorema de las tangentes.
Teorema de las tangentes: La diferencia de los lados es a su suma como la tangente
de la semidiferencia de los ángulos opuestos es a la tangente de la semisuma de los
mismos ángulos.
Demostración. Por las analogías de Mollweide, tenemos que:
A−B
2
a −b
C
A− B
C
cos
sen
sen
a−b
2 =
2 ×
2 = tg A − B × tg C
= c =
a + b a + b cos A − B cos A − B cos C
2
2
c
2
2
2
C
sen
2
sen
10/ 20
C
A+B
= 90 o −
2
2
y puesto que:
resulta:
A− B
tg
a−b
2
=
a + b tg A + B
2
Nota: a esta igualdad la llamamos analogía de Neper.
3.3. Resolución de triángulos.
Conocidos los lados a y b y el ángulo C de un triángulo, tenemos:
tg
A − B a −b A + B
=
tg
2
a+b
2
cotg
C
A + B
A+B

= cotg  90  = tg
2
2 
2

tg
A−B
2
de donde obtenemos
C
A+B
= 90 o −
2
2
con
por lo tanto
entonces
A − B a −b
C
=
cotg
2
a +b
2
que junto con
A+ B
C
= 90 o −
2
2
resolvemos y calcula-
mos así A y B.
Para calcular c hacemos:
a+b
=
c
A− B
2
C
sen
2
cos
⇒
C
2
c=
A−B
cos
2
(a + b) sen
3.4. Fórmulas de Briggs.
Si tenemos un triángulo ABC entonces el radio de la circunferencia inscrita en
él, tiene por radio:
C
p-c
ρ=
p-c
b
a
p-a
p-b
O
donde
r
A
p-a
( p − a )( p − b)( p − c )
p
c
p-b
B
entonces:
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p=
a +b +c
2
tg
A
ρ
=
=
2 p−a
tg
B
ρ
=
=
2 p−b
tg
C
ρ
=
=
2 p −c
( p − b)( p − c ) 

p( p − a)

( p − a )( p − c ) 
 Fórmulas de Briggs
p ( p − b)

( p − a )( p − b) 
p( p − c )

4. ÁREA DE UN TRIÁNGULO.
Si tomamos la expresión del área de un triángulo, tenemos:
S=
1
a.h
2
pero sustituyendo en la expresión h = b.sen C = c. sen B resulta:
S=
1
1
1
a.b sen C = a.c sen B = b.c sen A
2
2
2
pero si resulta que conocemos A, B y a, podemos hacer C=180º −(A+B) y por lo tanto
tomaremos:
sen B
b=a
sen A
que sustituyendo en la expresión anterior tenemos finalmente:
S=
1
sen B
a.a
sen C
2
sen A
⇒
S=
1 2 sen B × sen C
a
2
sen A
Si conocemos a, b y A calcularemos los ángulos B y C mediante el teorema del
seno y aplicaremos:
1
S = a.b sen C
2
y por último, si conocemos los tres lados a, b y c del triángulo calcularemos el área mediante la fórmula de Herón:
S=
p ( p − a)( p − b )( p − c)
5. FÓRMULAS DE ADICIÓN.
5.1. Coseno de la suma y diferencia.
Si sobre una circunferencia de radio unidad, construimos dos ángulos que llamaremos α=XOA y β=AOB de manera que α+β=XOB
12/ 20
Se cumple que la proyección perpendicular de B
sobre el radio OA es el punto C y la proyección so- Y
bre el eje OX es el punto B’, de manera que:
B
a
cos(α + β) = OB '
cos β = OC
sen β = BC
y
A
E
Por otro lado, el punto C se proyecta sobre el eje
OX en el punto D y sobre la recta BB’ en el punto E.
Esto implica que el ángulo EBC sea α, por lo tanto:
b
a
O
sen α =
EC
BC
⇒
EC = BC sen α
cos α =
OD
OC
⇒
OD = OC cos α
y como OB’= OD − B’D = OD − EC
C
B'
D
X
resulta
cos(α + β) = OC . cos α − BC . sen α
y sustituyendo las expresiones anteriores:
cos(α + β) = cos α. cos β − sen α. sen β
siendo ésta la expresión de la suma de los ángulos.
El coseno de la diferencia vendrá expresado por:
cos(α − β) = cos (α + ( −β) ) = cos α. cos( − β) − sen α. sen( − β)
resultando:
cos(α − β) = cos α. cos β + sen α. sen β
5.2. Seno de la suma y diferencia.
De la misma figura se deduce que sen(α + β) =BB’=BE+EB’
y como resulta que:
siendo:
cos α =
sen β =
BE
BC
⇒
BC BC
=
= BC
BO
1
BE = sen β. cos α
también en la figura se deduce que
EB' = CD
13/ 20
BE = BC cos α
y sustituyendo en la anterior:
y como resulta que:
siendo:
CD
⇒
OC
OC OC
cos β =
=
= OC
OB
1
sen α =
CD = OC. sen α
sustituyendo en la anterior:
CD = cos β. sen α
sen(α + β) = sen α. cos β + cos α. sen β
luego:
Análogamente al caso anterior:
sen(α − β) = sen (α + ( −β) ) = sen α. cos( −β) + cos α. sen( −β)
resultando:
sen(α − β) = sen α. cos β − cos α. sen β
5.3. Tangente de la suma y diferencia.
Las fórmulas análogas de tangentes de la suma y diferencia de ángulos son:
sen α. cos β + cos α. sen β
sen( α + β) sen α. cos β + cos α.sen β
cos α. cos β
tg(α + β) =
=
=
cos(α + β) cos α. cos β − sen α.sen β cos α. cos β − sen α. sen β
cos α. cos β
resultando:
tg(α + β) =
tg α + tg β
1 − tg α. tg β
sen α. cos β − cos α.sen β
sen( α − β) sen α. cos β − cos α. sen β
cos α. cos β
tg(α − β) =
=
=
cos(α − β) cos α. cos β + sen α. sen β cos α. cos β + sen α.sen β
cos α. cos β
resultando:
tg(α − β) =
tg α − tg β
1 + tg α. tg β
5.4. Fórmulas del ángulo doble.
sen 2α = sen(α + α) = sen α. cos α + cos α. sen α
⇒
sen 2α = 2 sen α. cos α
cos 2α = cos(α + α) = cos α. cos α − sen α. sen α
⇒
cos 2α = cos 2 α − sen 2 α
tg 2α = tg( α + α) =
tg α + tg α
1 − tg α. tg α
⇒
14/ 20
tg 2α =
2 tg α
1 − tg 2 α
5.5. Fórmulas del ángulo mitad.
Tomando las expresiones:


cos 2 α − sen 2 α = cos 2α 
sen 2 α + cos 2 α = 1
sumándolas miembro a miembro tenemos:
2 cos 2 α = 1 + cos 2α
por lo tanto, haciendo que α =
⇒
cos 2 α =
1 + cos 2α
2
A
se tiene finalmente:
2
cos
A
1 + cos A
=±
2
2
pero si las expresiones anteriores:


cos 2 α − sen 2 α = cos 2α 
sen 2 α + cos 2 α = 1
las restamos miembro a miembro tenemos:
2 sen 2 α = 1 − cos 2α
y haciendo que α =
⇒
sen 2 α =
1 − cos 2α
2
A
se tiene finalmente:
2
sen
A
1 − cos A
=±
2
2
La tangente del ángulo mitad será:
1 − cos A
A
±
A
2
2 =
tg =
2 cos A
1 + cos A
±
2
2
sen
⇒
tg
A
1 − cos A
=±
2
1 + cos A
5.6. Transformaciones en productos de sumas y diferencias.
Si consideramos las expresiones
sen(α + β) = sen α. cos β + cos α.sen β

sen(α − β) = sen α. cos β − cos α. sen β
y sumamos y restamos ambas expresiones, resulta
sen(α + β) + sen(α − β) = 2 sen α. cos β
sen(α + β) − sen(α − β) = 2 cos α.sen β
15/ 20
α + β = p

α − β = q
Haciendo ahora el siguiente cambio:
p+q
2
α=
de donde se deduce:
y
β=
p−q
2
p+q
cos
2
p+ q
sen p − sen q = 2 cos
sen
2
sen p + sen q = 2 sen
2α = p + q

2 β = p − q
⇒
y sustituyendo:
p−q
2
p−q
2
Haciendo lo mismo con el coseno, tenemos:
cos(α + β) = cos α. cos β − sen α. sen β

sen(α − β) = cos α. cos β + sen α. sen β
que nos proporciona, sumando y restando las expresiones:
cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α. cos β
cos(α + β) − cos(α − β) = −2 sen α.sen β
y haciendo el mismo cambio anterior, tal que:
α=
p+q
2
y
β=
p−q
2
y sustituyendo
p+q
p−q
cos
2
2
p+q
p−q
cos p − cos q = −2 sen
sen
2
2
cos p + cos q = 2 cos
5.7. Expresiones trigonométricas en función de la tangente del ángulo mitad.
α
α
cos
2
2
α
α
α
2 sen cos
cos 2
2
2 =
2
sen α =
= ...
α
α
α
2
2
2
2α
cos
+ sen
cos
+ sen
2
2
2
2
α
cos 2
2
2 sen
y
16/ 20
α
2
luego sen α =
α
1 + tg 2
2
2 tg
α
α
− sen 2
2
2
α
α
α
cos 2 − sen 2
cos 2
2
2 =
2
cos α =
= ...
α
α
α
2
2
2
2 α
cos
+ sen
cos
+ sen
2
2
2
2
α
cos 2
2
cos 2
y
α
2
α
1 + tg 2
sen α
2 = ...
tg α =
=
α
cos α 1 − tg 2
2
α
1 + tg 2
2
α
2
luego cos α =
2 α
1 + tg
2
1 − tg 2
2 tg
α
2
tg α =
α
1 − tg 2
2
2 tg
luego
6. APLICACIONES.
6.1. Aplicaciones a la Topografía.
Los problemas de trigonometría tienen especial aplicación en todo lo que afecta a
mediciones sobre el terreno. La medición de grandes distancias es, en efecto, más penosa que las mediciones de ángulos, por ello vamos a medir indirectamente las distancias
resolviendo triángulos.
Supongamos que nos interesa conocer la
distancia de un punto A que está a un lado del
río, con otro punto P que está al otro lado del
río. Elegimos otro punto B de modo que la distancia AB sea cómoda de medir y basándonos
en A y en B medimos con un teodolito, los ángulos α y β formados entre la recta AB y las
visuales trazadas desde P.
Π
Θ
Ρ ο
Α
α
β
γ
Β
Con estos elementos podemos calcular AP y BP resolviendo el triángulo ABP.
6.2. Determinación de la altura de un punto de pie accesible.
B
Consiste en medir la altur a de una torre vertical cuyo pié,
A, es accesible. Se elige una base AC=b.
h
Si A=A’ el cálculo es inmediato.
Si AC no es horizontal, se puede medir el ángulo BCA,
el ángulo BCA’ y se tiene que:
17/ 20
C
β
α
b
A
A'
B = 90 o − (α + β)
⇒
h=
b sen β
cos(α + β)
6.3. Resolución de planos inclinados en física.
Dado un cuerpo de masa m que se desliza
sobre un plano inclinado un ángulo α sobre la
horizontal, podemos calcular la aceleración que
tiene en su deslizamiento hacia abajo a lo largo
del plano inclinado.
∑F
∑F
X
Y
= ma
⇒
=0
⇒
mg sen α − FR = ma 

N = mg cos α

Ν
ΦΡ
α
µ γσενα
α
µ γχοσα
Π=µ γ
α
y considerando que FR = µN se resuelve el sistema de ecuaciones planteado y obtenemos el valor de la aceleración de caída del cuerpo.
6.4. Resolución de problemas en estática y en dinámica
Aplicaciones importantes tiene la trigonometría en la resolución de estructuras en
estática, como el que se expone a continuación. Un cilindro macizo de peso P se encuentra apoyado sin fricción en el interior de un ángulo diedro formado por dos planos
contiguos inclinados α y β con la horizontal. Para calcular las reacciones sobre los apoyos consideraremos las condiciones de equilibrio.
∑F
x
=0
R1 sen α − R2 sen β = 0
∑F
y
=0
R1 cos α + R2 cos β − P = 0
sen α
de la 1ª R2 = R1
y sustituyendo en la 2ª
sen β
R1 cos α + R1
R1cosα
α
α
R1 (sen β. cos α + sen α. cos β ) = P sen β
R2 = R1
⇒
R1 =
β
sen β
P
sen (α + β)
sen α
sen α
sen β
sen α
P = R2
=
P
=
sen β sen (α + β ) sen β sen (α + β )
18/ 20
R2cosβ
R2senβ
R1senα
P=mg
sen α
cos β − P = 0
sen β
R1 sen (α + β) = P sen β
R2
β
Otra aplicación importante de la trigonometría la tenemos en la resolución del
siguiente problema de dinámica. Un cuerpo de masa m desliza sin rozamiento por un
carril que finaliza en un rizo vertical, partiendo del reposo a altura h. Desciende por el
carril y prosigue por el interior del rizo de radio R. Deseamos ajustar la posición de P de
manera que el cuerpo abandone el rizo en un punto y en el subsiguiente movimiento
pase por el centro de la circunferencia O. Hallar el ángulo α correspondiente a la posición en que el cuerpo abandona el rizo.
Tomemos como sistema de referencia, el sistema cartesiano XY centrado en el punto M, donde el cuerpo
se despega del rizo vertical. El vector
de posición de la bolita cuando está en
O (centro del rizo) vendrá dado por la
expresión:
r
r
r
1
R = v0 t cos α.i +  v0 t sen α − gt 2  j
2


r
r
r
R = R. sen α.i + ( − R. cos α) j
e identificando ambas:
siendo, en la figura:
v 0 t . cos α = R. sen α
v 0 t . sen α −
despejando t de la primera:
t=
1 2
gt = − R. cos α
2
R. sen α
v0 cos α
y sustituyendo en la segunda, resulta
 R. sen α 
1  R 2 sen 2 α 
 = − R cos α
 sen α − g  2
v 0 
2  v 0 cos 2 α 
 v 0 cos α 
Condición que ha de cumplir la bolita en M para separarse del carril: que la
componente radial del peso sea la fuerza centrípeta para mantener la trayectoria circular:
mg. cos α = m
v 02
R
R
R
→
v 02 = Rg . cos α
sustituyendo en la anterior:
sen 2 α 1  R 2 sen 2 α 
 = − R cos α
− g
cos α 2  Rg . cos α. cos 2 α 
sen 2 α R. sen 2 α
−
= − R cos α
cos α
2 cos 3 α
→
→
sen 2 α sen 2 α
−
= − cos α
cos α 2 cos 3 α
sen 2 α
sen 2 α
+ cos α =
cos α
2 cos 3 α
19/ 20
→
→
→
1=
sen 2 α + cos 2 α sen 2 α
=
cos α
2 cos 3 α
1 2
tg α
2
→
→
tg α = 2 = 1'4142 →
1
sen 2 α
=
cos α 2 cos 3 α
→
1=
sen 2 α
2 cos 2 α
α = arctg 1'4141 = 54'7356 o = 54º44’8”
-------------------------------------------
20/ 20