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Integración
Problema 198 La densidad longitudinal de masa ρ(x) de una varilla a una distancia x de un extremo de dicha
varilla es la masa que tendrı́a una varilla de una unidad de longitud que tuviera la misma composición y grosor que
tiene en x en todas partes. Una varilla delgada de 3 cm de longitud tiene densidad longitudinal
1 x+5
·
kg/m
20 x + 1
a una distancia x del extremo más grueso de la varilla. Hallar la masa de la varilla.
Para aproximar la masa total de la varilla podemos dividirla en n trozos iguales, y suponer que la densidad
longitudinal en cada trozo es constante:
Mn =
n
X
i=1
ρ(x∗i )(xi − xi−1 )
La masa exacta de la varilla será el lı́mite de la sucesión ası́ formada. Dado que la función ρ(x) es continua y en
consecuencia integrable, este lı́mite existe y coincide con el valor de la integral entre 0 y 3. (Tenemos que asegurarnos
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Integración
de que la función es integrable para poder afirmar que el método es el adecuado).
n
X
i=1
0
3
→
ρ(x∗1 ) ρ(x∗2 ) ρ(x∗3 )ρ(x∗4 )
Mn =
xn−1 3
→
→
x2 x3 x4
→
x1
→
0
ρ(x∗n )
ρ(x∗n )(xi − xi−1 )
Z
M=
3
ρ(x) dx
0
La masa es:
Z
3
0
1
x+5
·
dx =
2000 x + 1
Ejercicios resueltos de Cálculo.
Z
3
0
3
1
3 + 4 log 4
1
4
(1 +
) dx =
(x + 4 log(x + 1)) =
2000
x+1
2000
2000
0
c
Agust
ı́n Valverde
414
Integración
Problema 199 La densidad de superficie de masa (masa por unidad de área) se define para una lámina delgada
de material de modo análogo a la de densidad longitudinal de masa del ejercicio anterior. Una lámina delgada de
material cubre la región plana limitada por y = (x − 2)2 e y = 1. Si las unidades están en metros y el área de
densidad de masa de (x, y) es x/2 kg/m2 , hallar la masa de la lámina.
ρ(x∗1 )
x2
x3
x1
ρ(x∗2 ) ρ(x∗3 )
→
→
→
1
→
(Ver el problema anterior). Sea f (x) = 1 − (x − 2)2 ; el área de la region descrita es la integral de esta función f
entre 1 y 3.
3
xn−1
ρ(x∗n )
Como ya sabemos, para aproximar este área podemos considerar una partición del intervalo [1, 3] en n trozos iguales;
P
la aproximación será An = ni=1 f (x∗i )(xi − xi−1 ). A partir de esta expresión y suponiendo que en cada trozo la
Ejercicios resueltos de Cálculo.
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Agust
ı́n Valverde
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Integración
densidad es constante, podemos obtener una aproximación de la masa de la lámina:
Mn =
n
X
i=1
ρ(x∗i )f (x∗i )(xi − xi−1 );
dado que
Z 3las funciones ρ y f son continuas, el lı́mite de la sucesión ası́ formada nos da la masa exacta de la lámina
ρf . Por tanto,
y vale:
1
Z 3
Z 3
x
4
ρ(x)f (x) dx =
M=
(1 − (x − 2)2 ) dx =
2
3
1
1
Por último, hay que observar que el planteamiento anterior lo hemos podido hacer porque la densidad de la lámina
dependı́a solamente de la coordenada x, en otros casos, tendremos que recurrir a integración multiple (capı́tulo 13).
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Agust
ı́n Valverde
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