V m

ENERGÍA POTENCIAL DE UN RESORTE
El trabajo de la fuerza de Hooke de un resorte para un desplazamiento de
una posición inicial x1 hasta una posición final x2 es:
x2
x2
x2
1 2 1 2 1 2 1 2
 1 2
L = ∫ Fdx = ∫ (−kx)dx = − kx  = − kx2 + kx1 = kx1 − kx2
2
2
2
2
 2
x
x1
x1
1
El cambio de energía potencial (fuerza conservadora) es igual al trabajo
en negativo:
1 2 1 2
∆U = − L = kx2 − kx1 = U 2 − U1
2
2
La energía potencial de un resorte es:
1 2
U = kx
2
ENERGÍA EN UN MAS
Y=(1/2)kx2 (k=100)
La fuerza de Hooke es una fuerza
conservadora: la energía mecanica
total E se conserva.
E=K+U=constante
F
E
K=
K
1 2
mv
2
Energía cinética
U
-A
+A
x
En x=0 U=0, E=K
U=
1 2
kx
2
Energía potencial
1 2 1 2
E = mv + kx = const
2
2
En x=|A| E=U, K=0
La energía total está relacionada directamente con la amplitud A del
movimiento. En x= ±A la velocidad es cero y la energía es sólo potencial:
x=A
1 2 1 2 1 2
E = mv + kx = kA = const
2
2
2
=0
En x=±A:
1 2 1 2
1
mv + kx = U (± A) = kA2
2
2
2
1 2 1
mv = k ( A2 − x 2 )
2
2
k
Velocidad del cuerpo en desplazamiento x
v=±
A2 − x 2
m
E=
La velocidad es máxima en x=0, donde E=K:
E=K=
1 2
2E
mvmax ⇒ vmax =
2
m
E=
1 2
kA ⇒ vmax
2
1
2 kA2
k
2
=
=
A = ωA
m
m
Con estas ecuaciones se puede encontrar de manera formal la ecuación del
movimiento:
dx
k
v=
A2 − x 2
=
dt
m
∫
dx
k
dt
=
∫
2
2
m
A −x
k
x
t +C
arcsin  =
m
 A

 k
x = A sin 
t + C 

 m
Ejemplo 13.4
Un sistema resorte-masa, con m=0.5 kg y k=200 N/m oscila con amplitud
A=0.02m.
a) Calcule las velocidades máxima y mínima que alcanza el cuerpo al oscilar.
b) Calcule la aceleración máxima.
c) Determine la velocidad y la aceleración cuando el cuerpo se ha movido a la
mitad del camino hacia el centro desde su posición inicial.
d) Determine las energías total, potencial y cinética en esta posición.
a)
b)
k
v=±
A2 − x 2
m
vmax/ min
k
200 / m
=±
A=±
(0.02m) = ±0.4m / s
m
0.5kg
k
200 / m
ax = ω A = A =
(0.02) = 8 m / s 2
m
0.5kg
2
c) x=A/2=0.01 m
v=−
k
200 / m
A2 − x 2 = −
(0.02m) 2 − (0.01m) 2 = −0.35 m / s
m
0.5kg
a x = −ω 2 x = −
k
200 / m
x=−
(0.01) = −4 m / s 2
m
0.5kg
d) La energía total tiene el mismo valor en todos los puntos:
1 2 1
kA = (200 / m)(0.02 m) 2 = 0.04 J
2
2
1 2 1
U = kx = (200 / m)(0.01 m) 2 = 0.01J
2
2
1 2 1
K = mvx = (0.5kg )(−0.35m / s ) 2 = 0.03J
2
2
E=
FORMULARIO
Constantes:
pa = 1.013 105 Pa
Cambio de presión
p = p0 + ρgh
kg
m3
pa = 1.013 105 Pa
Principio de Arquímedes
kg
= 1 .3 3
m
Ecuación de continuidad
ρ agua = 1000
ρ aire
ρ Hg = 13600
kg
m3
FLUIDOS
Densidad:
Presión:
m
ρ=
V
F
p=
A
B = ρ fluidoVg
A1v1 = A2 v2
Razón de flujo de volumen
V
Av =
t
Ecuación de Bernoulli
1 2
p + ρgh + ρv = const
2
Tubo de Venturi
2∆p
vA = a
ρ ( A2 − a 2 )
MAS
x = A cos(ωt + φ )
v = −ωA sin(ωt + φ )
a = −ω 2 A cos(ωt + φ )
1. Un cubo de plástico flota en el mar (ρ=1030 kg/m3). La fracción de volumen
bajo el agua es el 60% (Vsum/V=0.60). Calcule la densidad del cubo.
2. ¿Qué presión manométrica (en Pa) debe producir una bomba para subir
agua del fondo del Gran Cañón (elevación 730 m) a Indian Gardens
(elevación 1370)?
3. La velocidad de una masa de 1.5 kg en un resorte está dada en función del
tiempo por:
vx (t ) = −(1.5cm / s ) sin[(3rad / s )t + π ]
Calcule la constante de fuerza del resorte, el periodo, la amplitud y la
aceleración máxima.
Un cubo de plástico flota en el mar (ρ=1030 kg/m3). La fracción de volumen
bajo el agua es el 60% (Vsum/V=0.60). Calcule la densidad del cubo.
B = mg
ρ aguaVsum g = ρ plVg
ρ agua
Vsum
kg
kg
= ρ pl = 1030 3 0.60 = 618 3
V
m
m
¿Qué presión manométrica (en Pa) debe producir una bomba para subir agua
del fondo del Gran Cañón (elevación 730 m) a Indian Gardens (elevación
1370)?
p − p0 = ρg (h2 − h1 ) = 1000
kg
m
3
9
.
8
(
1370
m
−
730
m
)
=
6272
10
Pa
3
2
m
s
La velocidad de una masa de 1.5 kg en un resorte está dada en función del
tiempo por:
v x (t ) = −(1.5cm / s) sin[(3rad / s )t + π ]
Calcule la constante de fuerza del resorte, el periodo, la amplitud y la
aceleración máxima.
k
= 3rad / s ⇒ k = ω 2 m = 9(rad / s) 2 (1.5kg ) = 13.5 / m
m
ω=
T=
2π
ω
=
2π
= 2.09s
3rad / s
Aω = 1.5cm = 0.015m ⇒ A =
0.015m
ω
0.015m
=
= 0.005m
3rad / s
amax = Aω 2 = (0.005m)(3rad / s ) 2 = 0.045m / s 2