Vibraciones y Ondas - U

Vibraciones y Ondas
Tarea 1
Prof: Felipe Barra
Problema 1
a) Sea Qi = Qi (q j , t) y L′ (Qi , Q̇i , t) = L(q j (Qi , t), q̇ j (Qi , Q̇i , t)). Demuestre que
∂L′
∂L
d ∂L
∂Qj d ∂L′
−
− i =
dt ∂ q̇ i
∂q
∂ q̇ i dt ∂ Q̇j
∂Qj
(1)
comente el significado de esta igualdad.
b) Demostrar que:
d
dt
∂∆
∂ q̇ i
−
∂∆
≡0
∂q i
(2)
i
si y sólo si ∆ = df (qdt ,t) .
A partir de lo anterior demuestre que las transformaciones de la forma
~ (t)t
r~′ = ~r + V
t′ = t
(3)
que dejan invariantes las ecuaciones de Euler-Lagrange (i.e. Newton) son transformaciones de Galileo i.e. V~ (t) es
constante.
Problema 2
a) En el formalismo visto en clases obtuvimos que las ecuaciones de movimiento se pueden escribir como
∂T
d ∂T
−
= Qj
dt ∂ q̇j
∂qj
∂V
d ∂V
Muestre que si Qj = − ∂q
+ dt
∂ q̇j entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange siguen siendo validas con el Laj
grangiano L = T − V .
b) Una partı́cula cuya carga es q que se mueve en presencia de campos electromagnéticos experimenta una fuerza
(llamada fuerza de Lorentz) que depende de las velocidades:
v
F = q E + × B 6= −∇V (r) .
c
donde los campos eléctricos y magnéticos se obtienes del potencial escalar y vectorial de acuerdo a E = −∇φ −
y B=∇×A
Muestre que si
1 ∂A
c ∂t
q
V (r, ṙ, t) = qφ(r) + v · A(r, t)
c
Entonces la fuerza generalizada Q da origen a la fuerza de Lorentz si consideramos las coordenadas cartesianas como
los grados de libertad.
∂Ai
i
Para esto use que [v × (∇ × A)]i = ∂i (v · A) − dA
dt + ∂t
c) Considere ahora el caso de fuerzas viscosas sobre la partı́cula i es de la forma Fi = −γvi muestre que Qj =
P
con F = γ2 i vi2 (conocida como función disipación de Rayleigh).
Problema 3
∂F
∂ q̇j
2
g
m
l, k
r
0
Z
FIG. 1: problema 3
p
Considere una partı́cula puntual de masa m que se mueve en la superficie de revolución r = r0 +az 2 (r = x2 + y 2 ).
La partı́cula, además, está unida al origen por un resorte de largo natural l y constante k. Despreciando la gravedad:
a) Elija los grados de libertad apropiados y construya el Lagrangiano L = T − V .
b) Obtenga las ecuaciones de movimiento (Ecs. Lagrange).
c) ¿Cuáles son las cantidades conservadas? Justifique su respuesta desde el punto de vista de la mecanica de Lagrange
[espere la clase del lunes 5 de abril para contestar esto].
d) Obtenga una ecuación diferencial de segundo orden para una de las coordenadas generalizadas.
e) ¿Qué cambios cualitativos introduce la gravedad ?