VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES

VARIABLES ALEATORIAS
INDEPENDIENTES
•
El concepto
t de
d variables
i bl aleatorias
l t i independientes
i d
di t está
tá
directamente relacionado con el de sucesos independientes.
• Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de
uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir,
P  A / B   P  A
• Con esta misma idea,
idea dos variables X e Y serán
independientes cuando el conocimiento del valor de una de
ellas, ppor ejemplo,
j p X = x, no modifica la distribución de
probabilidad de la otra variable, Y. Esto significa que la
distribución de la variable Y / X  x es la misma que la
di t ib ió de
distribución
d la
l variable
i bl Y.
Y
VARIABLES ALEATORIAS
INDEPENDIENTES
• IIguall que en ell caso de
d sucesos, ell concepto
t de
d
independencia de variables recoge también ideas intuitivas
• Ejemplo:
1. Para las variables
X: peso de un individuo;
Y: altura de un individuo
¿parecen X e Y variables
ariables independientes?
2. Si estudiamos las variables
X dduración
X:
ió de
d un componente
t de
d un ordenador;
d d
Y: tiempo de respuesta del equipo al procesar un trabajo
¿parecen X e Y variables independientes?
VARIABLES ALEATORIAS
INDEPENDIENTES
• ¿Cuál va a ser el tratamiento matemático para variables
aleatorias independientes?
• En el caso de sucesos:
1. A y B son sucesos independientes si y sólo sí:
P  A  B   P  A  P  B 
2. Para el caso de n sucesos, A1 , A2 ,..., An  son
independientes sí y solo sí, para cualquier subconjunto,
 Ai1 , Ai 2 ,..., Aik  se verifica que:
P  Ai1  Ai 2  ...  Aik   P  Ai1   P  Ai 2   ...  P  Aik 
• La idea que se recoge es que si varios sucesos son
independientes la probabilidad de cualquier intersección
independientes,
se calcula como PRODUCTO de probabilidades.
INDEPENDENCIA DE n VARIABLES
ALEATORIAS, X1,X2,...,Xn
Sean X1,X2,...,Xn variables aleatorias que toman los valores
x1, x2, ..., xn, respectivamente. Si las variables X1,X2,...,Xn
son INDEPENDIENTES,,
P  X 1  x1    X n  xn 
Si las variables son discretas, se calcula como:
P  X 1  x1   P  X 2  x2   ...  P  X n  xn 
• Si las variables son continuas, se va a medir mediante:
f X1  x1   f X 2  x2   ...  f X n  xn 
Estas igualdades se usarán en el tema de estimación.
PROPIEDADES DE
ESPERANZAS Y VARIANZAS
•
Sean X1,X2,...,Xn variables aleatorias y sean a1,a2,...,an,
b números reales.
Si
Siempre
se verifica
ifi que:
Ea1X1  a2 X2  an Xn b 
 a1E[X1] a2E[X2] anE[Xn]b.
•
(generalización de la propiedad E[aX+b] = aE[X]+b)
Solamente si X1,X2,...,Xn son independientes:
2
2
2
V aX

a
X


a
X

b

a
V
X

a
V
X



a
 1  1 2  2 
1 1
2 2
n n
n V Xn 
(generalización de la propiedad V(aX+b) = a2V(X))
EJEMPLO
Problema 7: X: número de bucles DO en un
programa e Y: número de ejecuciones necesarias
para depurar dicho programa.
xi
0
1
2
3
pi 0
0.210
210 0.298
0 298 0.277
0 277 00.215
215
a ) P  X  1 b) P Y  2 
yi
1
2
3
4
qi 00.267
267 00.397
397 00.302
302 00.034
034
c) P Y  2 / X  1 sabiendo
bi d que P Y  2   X  1   0.205
0 205
Determinar si X e Y son independientes.
d) Media y varianza de la variable Z = X-2Y+3