C´ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I REGLAS - Canek

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
REGLAS DE DERIVACIÓN, DERIVADAS LATERALES, INFINITAS Y DE
ORDEN SUPERIOR
1. Reglas de derivación
Tenemos el siguiente resultado:
• Si f es derivable en un punto entonces es continua en dicho punto.
Luego si una función no es continua en un punto tampoco es derivable en él.
Como la derivada de una función en un punto se calcula mediante un lı́mite, podemos usar los
resultados que obtuvimos para evaluar un lı́mite para calcular la derivada de una función y ası́
obtenemos reglas para derivación.
• f (x) = c ⇒ f 0 (x) = 0 para cualquier x ∈ R .
Para x ∈ R donde f (x) y g(x) sean derivables, se tienen los siguientes resultados:
• (cf ) 0 (x) = cf 0 (x)
• (f ± g) 0 (x) = f 0 (x) ± g 0 (x); esta fórmula se generaliza para el caso de tener la suma de más
de dos funciones.
• (f · g) 0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
Esta fórmula también se generaliza para el caso de un producto de más de dos funciones.
0
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
f
(x) =
•
g
g 2 (x)
• f (x) = xn ⇒ f 0 (x) = nxn−1 , para n ∈ Q por ahora
• (Regla de la cadena) Si f (x) es derivable en x0 & g(x) es derivable en f (x0 ) ⇒
(g ◦ f ) 0 (x0 ) = g 0 [f (x0 )] · f 0 (x0 )
Ejemplos
(1) Sea f (x) = (1 + x3 )2 = 1 + 2x3 + x6
Como la derivada de una suma es la suma de las derivadas y la derivada de un monomio es
otro monomio, tenemos que la derivada de una función polinomial es otra función polinomial
de grado una unidad menor. Ası́, para cualquier x ∈ R :
f 0 (x) = (1 + 2x3 + x6 ) 0 = 0 + 6x2 + 6x5 = 6x2 + 6x5
Si pensamos que g(x) = 1 + x3 & l(x) = x2 , tenemos que f (x) = (l ◦ g)(x) donde g(x) &
l(x) son derivables en cualquier punto x ∈ R ; luego
f 0 (x) = (l ◦ g) 0 (x) = l 0 [g(x)] · g 0 (x)
Como l 0 (x) = 2x & g 0 (x) = 3x2 , tenemos por último también:
canek.azc.uam.mx: 29/ 10/ 2003.
1
2
REGLAS DE DERIVACIÓN
(l ◦ g) 0 (x) = l 0 (1 + x3 ) · g 0 (x) = 2(1 + x3 ) · 3x2 = 6x2 (1 + x3 ) = 6x2 + 6x5
(2) g(x) = [f (x)]n ⇒ g 0 (x) = n [f (x)]n−1 · f 0 (x), donde f (x) sea derivable.
Es claro, si pensamos que h(x) = xn ⇒ g(x) = (h ◦ f )(x) y ası́:
g 0 (x) = h 0 [f (x)] · f 0 (x) = n [f (x)]n−1 · f 0 (x)
√
1
1
1
x
1 − x2 = (1 − x2 ) 2 ⇒ g 0 (x) = (1 − x2 )− 2 (−2x) = −
2
1 − x2
Donde Dg = [−1, 1] y Dg 0 = (−1, 1)
(3) g(x) =
2. Derivadas laterales
Nuevamente, como la derivada de una función f(en un punto x0 es un lı́mite, podemos extender
derecha
el concepto y definir derivadas laterales por la
según si tomamos el lı́mite por la
izquierda
(
derecha
izquierda
f 0 (x±
0 ) = lı́m±
f (x) − f (x0 )
x − x0
f 0 (x±
0 ) = lı́m±
f (x0 + h) − f (x0 )
h
x→x0
ó:
h→0
Y ası́:
• Una función f es derivable en x0 ⇔ f es derivable en x0 por la derecha y por la izquierda y
ambas derivadas laterales son iguales.
Y este resultado se aplica para probar la no derivabilidad de una función en un punto.
• Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en dicho punto.
Ejemplos
(1) f (x) = | x | es continua en 0, lı́m f (x) = 0 = f (0), pero como f (x) cambia de signo en 0,
x→0
calculemos las dos derivadas laterales en o:
f (x) − f (0)
|x| − |0|
x−0
x
= lı́m+
= lı́m+
= lı́m+ = lı́m+ 1 = 1
x→0
x→0
x→0
x→0 x
x→0
x−0
x
x
f
(x)
−
f
(0)
|
x
|
−
|
0
|
−x
−
0
−x
= lı́m−
= lı́m−
= lı́m−
= lı́m− −1 = −1
f 0 (0− ) = lı́m−
x→0
x→0
x→0
x→0
x→0
x−0
x
x
x
0 +
0 −
0
Como f (0 ) 6= f (0 ), no existe f (0), f (x) = | x | no es derivable en 0 aunque es continua.
f 0 (0+ ) = lı́m+
REGLAS DE DERIVACIÓN
3
Obsérvese que en 0 la gráfica de f (x) = | x | tiene un “pico” y la gráfica de una función
derivable en un punto no tiene que tener “pico” en dicho punto.
Ejemplo
3
(1) f (x) = x 2
S
El dominio es R + {0} por lo que no es derivable en 0, de hecho f (x) ni siquiera contiene
un intervalo abierto que contenga a 0. Si contiene un intervalo de la forma (0, b) con b > 0,
luego solo tiene sentido calcular la derivada en 0 por la derecha:
3
1
f (x) − f (0)
f (x)
x2
= lı́m+
= lı́m+
= lı́m+ x 2 = 0
f (0 ) = lı́m+
x→0
x→0
x→0
x→0
x−0
x
x
0
+
3. Derivadas infinitas
Puede ocurrir que una función f no tenga derivada en un punto x0 , y que:
0 −
0 +
0 −
f 0 (x+
0 ) = +∞, f (x0 ) = +∞, f (x0 ) = −∞ o que f (x0 ) = −∞
Si ocurren dos de esos cuatro casos diremos que la gráfica de f tiene una tangente vertical en x0 .
f 0 (a) = +∞; f 0 (b) = −∞; f 0 (c− ) = +∞; & f 0 (c+ ) = −∞; f 0 (d− ) = −∞ & f 0 (d+ ) = +∞
En a, b, c & d la gráfica de f tiene tangente vertical.
Ejemplos
√
(1) g(x) =
1 − x2
g(−1 + h) − g(−1)
=
h→0
h
r
p
√
1 − (−1 + h)2
2h − h2
2h − h2
= lı́m+
= lı́m+ √
= lı́m+
=
h→0
h→0
h→0
|h|
h2
h2
r
2
= lı́m+
− 1 = +∞
h→0
h
g 0 (−1+ ) = lı́m+
4
REGLAS DE DERIVACIÓN
Y
g(1 + h) − g(1)
=
h→0
h
r
p
√
1 − (1 + h)2
−2h − h2
−2h − h2
√
= lı́m−
= lı́m+
= − lı́m+
=
h→0
h→0
h→0
−|h|
h2
− h2
r
2
= − lı́m+ − − 1 = −∞
h→0
h
g 0 (1− ) = lı́m−
(2) f (x) =
√
3
1
x = x3
√
3
f (0 + h) − f (0)
f (h) − f (0)
h
1
= lı́m±
= lı́m±
= lı́m± 2 = +∞
f (0 ) = lı́m±
h→0
h→0
h→0
h→0
h
h
h
h3
0
±
2
(3) f (x) = x 3
2
f (0 + h) − f (0)
f (h) − 0
h3
1
= lı́m+
= lı́m+
= lı́m+ 1 = +∞
f 0 (0+ ) = lı́m+
h→0
h→0
h→0
h→0
h
h
h
h3
Y:
f 0 (0− ) = lı́m−
h→0
(4) f (x) = |
√
3
±
1
h3
= −∞
x|
f (0 + h) − f (0)
f (0 ) = lı́m±
= lı́m±
h→0
h→0
h
0
1
√ 3 h
h
√
±3h
±1
= lı́m±
lı́m+ 2 = ±∞
h→0
h h→0 h 3
REGLAS DE DERIVACIÓN
5
4. Derivadas de orden superior
De una función f se “deriva” otra función: la función derivada f 0 cuyo dominio es el subconjunto
del dominio de la función f de los puntos donde la función f es derivable y en ellos f 0 les hace
corresponder precisamente el valor de la derivada de f en dichos puntos, es decir
f 0 (x0 ) = lı́m
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
o bien
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
f 0 (x0 ) = lı́m
0
f : Df 0 → R , donde Df 0
x0 7−→ f 0 (x0 ) = lı́m
f (x) − f (x0 )
= x0 ∈ Df existe lı́m
=
x→x0
x − x0
f
(x
+
h)
−
f
(x
)
0
0
= x0 ∈ Df existe lı́m
h→0
h
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lı́m
h→0
x − x0
h
Derivar f (x) o encontrar la derivada de f significa hallar f 0 .
A su vez esta función derivada f 0 puede ser a su vez derivable, y su derivada es la segunda derivada
de f .
Notación f 00 (x0 ) = lı́m
x→x0
f 0 (x) − f 0 (x0 )
f 0 (x0 + h) − f 0 (x0 )
ó f 00 (x0 ) = lı́m
h→0
x − x0
h
En general la énesima derivada de una función f es la derivada de la ene menos uno ésima derivada
de la función f , i.e. f (n) (x) = [f (n−1) (x)] 0 . Nótese que ponemos el orden de derivación entre
parentesis, para no confundirlo con un exponente.
Hay funciones que poseen derivadas de todos los ordenes en todo su dominio, como las polinomiales
y las funciones racionales.
Ejemplos
6
REGLAS DE DERIVACIÓN
(1) La derivada de una función polinomial es otra función polinomial de grado una unidad menor
que el grado de la polinomial original:
f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ⇒
f 0 (x) = n a0 xn−1 + (n − 1)a1 xn−2 + · · · + 2an−2 x + an−1
Ası́ la enésima derivada de una función polinomial es la constante
n(n − 1)(n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1 = n! multiplicada por el coeficiente “lider” a0 , el coeficiente del
término de mayor grado:
f 00 (x) = n(n − 1)a0 xn−2 + (n − 1)(n − 2)a1 xn−3 + · · · + 3 · 2an−3 x + 2an−2
f 000 (x) = n(n − 1)(n − 2)a0 xn−3 + (n − 1)(n − 2)(n − 3)a1 xn−4 + · · · + 3 · 2an−3
..
.
f n (x) = n!a0
y las sucesivas derivadas son todas iguales a 0:
f (k) (x) = 0 si k > n
(2) La derivada de una función racional es otra función racional con el mismo dominio.
P (x)
Efectivamente si f (x) =
con P & Q funciones polinomiales entonces
Q(x)
P 0 (x)Q(x) − P (x)Q 0 (x)
f 0 (x) =
[Q(x)]2
y todas las expresiones que aparecen en esta expresión P 0 (x), Q 0 (x), P 0 (x)·Q(x), P (x)Q 0 (x),
P 0 (x)Q(x) − P (x)Q 0 (x) y [Q(x)]2 son funciones polinomiales.