Uso del efecto Talbot para calibrar el haz de referencia en un

Revista Colombiana de Física, vol. 45, No. 2, 2013
Uso del efecto Talbot para calibrar el haz de referencia en un sistema de
medición frente de onda basado en un arreglo de microlentes HartmannShack
Calibration of the Reference Beam of an Optical System to Measure the Wavefront Based on a
Hartmann-Shack Microlenses Array
J.C. Galeano, Y. Mejía
Grupo de Óptica Aplicada, Departamento de Física
Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá.
Recibido febrero 17 de 2011; aceptado mayo de 2011.
Resumen
A partir del efecto Talbot y el efecto fraccional de Talbot se propone un montaje experimental para
verificar la colimación del haz de referencia empleado en un sistema óptico que incluye un arreglo de
microlentes Hartmann-Shack para medir aberración de frente de onda. Empleando la imagen formada
por los puntos focales de las microlentes y sus correspondientes primera y segunda auto-imágenes se
garantiza que el haz de referencia está bien colimado.
Palabras claves: Efecto fraccional de Talbot, microlentes Hartmann-Shack.
Abstract
Based on the Talbot effect and the fractional Talbot effect we proposed a method to check the quality
of a reference beam of an optical system for measuring wavefront. The optical system is based on a
Hartmann-Shack microlens array. Comparing the foci array and the corresponding first and second
self-images we can determine is the reference beam is properly collimated (plane waves).
Keywords: Talbot effect, fractional Talbot effect, microlens array.

Email: [email protected]
Este trabajo es publicado por la Sociedad Colombianade Física y distribuido en open acces según los términos de la licencia Creative
Commons Attibution.
Revista Colombiana de Física, vol. 45, No. 2, 2013
1. Introducción
Las imágenes de Fresnel son distribuciones de irradiancia del campo óptico producidas en la región de
Fresnel por un objeto periódico sobre planos perpendiculares al eje óptico. Las auto-imágenes, también conocidas como efecto Talbot y efecto fraccional de Talbot, son un caso particular de las imágenes de Fresnel, donde se encuentran réplicas del
objeto difractante. Llevan este nombre ya que Talbot en 1836 demostró que una rejilla producía distintos patrones periódicos en ciertos planos cerca a
ésta, pero en 1881 fue Rayleigh quien demostró que
cuando se usa luz colimada la imagen de un objeto
periódico se puede observar a intervalos iguales de
distancia dados por 2d 2  (distancia de Talbot),
donde d es el periodo espacial del objeto y  es la
longitud de onda del haz incidente [1]. También se
encuentra que en ciertas fracciones de la distancia
de Talbot se puede observar auto-imágenes, que
pueden ser una réplica del objeto periódico (con un
cambio de fase de ) o imágenes que siguen la
estructura del objeto periódico [2] (por ejemplo,
estructuras similares al objeto pero con un periodo
espacial igual a la mitad del periodo del objeto).
Un arreglo de microlentes tipo Hartmann-Shack [3]
se puede considerar como un objeto periódico de
sólo fase, el cual, dentro de la región de Fresnel,
transforma una onda plana en un arreglo de puntos
focales uniformes de igual irradiancia. Este arreglo
de puntos focales se puede tomar como un arreglo
de iluminadores (denominado TAIL’s, del inglés
Talbot array illuminators), siendo así un nuevo
objeto periódico [4]. Para describir el proceso de
formación de imagen de estos arreglos se suele
suponer que cada punto focal es la imagen generada
de forma independiente por cada microlente.
Con el fin de verificar la colimación del haz de
referencia de un sistema óptico diseñado para medir
frente de onda usando un arreglo microlentes Hartmann-Shack, en este artículo, se utilizan las autoimágenes de Fresnel generadas por el arreglo de
puntos focales y que están localizadas a la mitad de
la distancia de Talbot y a la distancia de Talbot [56]. En el primer caso tendremos una réplica de los
puntos focales pero con un desplazamiento lateral
de la mitad del periodo espacial y en el segundo
caso tendremos en efecto una réplica de los puntos
185
4
focales. Comparando la escala del arreglo de puntos
focales con sus correspondientes primera
( z  d 2 /  ) y segunda ( z  2d 2 /  ) autoimágenes se determina si el haz está bien colimado.
2. Teoría
Supongamos que un arreglo (infinito) de microlentes periódico en las direcciones ortogonales x y y
con periodo p es iluminado por una onda plana y
que los puntos focales se localizan en el plano z = 0,
Fig. 1.
Fig.1. Sistema coordenado para el arreglo de puntos
focales.
La amplitud de onda compleja u( x, y, z  0) de los
focos se puede representar por la convolución de la
amplitud A( x, y) de un sólo foco y la función generadora del arreglo g ( x, y) :
u( x, y, z  0)  A( x, y)  g ( x, y)
(1)
donde el símbolo  representa la operación de
convolución, y
g ( x, y ) 


  x  kp  y  lp
(2)
k  l  
La amplitud medida en un plano paralelo al plano
focal en z  z 0 se puede calcular a partir de la propagación del espectro angular de ondas planas [7],
es decir
J.C. Galeano et al.: Uso del efecto Talbot para calibrar …
 
u ( x, y , z 0 ) 

  
  exp{iz 0  (k 2  l 2 ) / p 2 }
p 2 k l 
 exp{i 2 (kx  ly) / p}
(9)
G( x, y, z 0 ) 
u~ (v x , v y ) exp{i 2 ( z 0 / )
  
 [1  2 (v x  v y )]1 / 2 }
2
2
(3)
 exp{i 2 (v x x  v y y ) dv x dv y
donde  es la longitud de onda de la luz, v x y v y
donde el factor de fase   exp{i 2z 0 / } .
son las frecuencias espaciales y la función
u~(v x , v y ) es la transformada de Fourier de
Si el término exp{iz 0 (k 2  l 2 ) / p 2 } de la Eq.
(9) vale 1, teniendo en cuenta la expresión de g
dada por la Eq. (6), entonces la función G representa nuevamente (salvo por el factor de fase  ) la
expansión en series de Fourier de la función generadora del arreglo de puntos focales, por lo tanto, en
este caso, la Eq. (4) será una réplica del arreglo de
puntos focales descrito por la Eq. (1). La distancia
z 0 estará dada por la condición:
u( x, y, z  0) . Aplicando el teorema de la convolu-
ción y usando las Eqs. (1) y (2), u( x, y, z 0 ) se puede escribir como
u( x, y, z0 )  A( x, y)  G( x, y, z0 )
(4)
Con
 
G ( x, y , z 0 ) 
  g (v , v
~
x
y
 z 0 (k 2  l 2 ) / p 2  2 s ,
) exp{i 2 ( z 0 / )
  
siendo s un entero. Despejando z 0 se tiene que
 [1  2 (v x  v y )]1 / 2 }
2
(10)
2
 exp{i 2 (v x x  v y y ) dv x dv y
z0  2  p 2 / 
(11)
(5)
con   s /(k 2  l 2 ) . En el caso particular en que
  1 , la distancia z 0 corresponde la distancia de
donde g~ representa la transformada de Fourier de
g. Esta transformada se calcula de manera conveniente si primero se expresa g como una serie de
Fourier, es decir:
1
p2
g ( x, y) 

Talbot zT  2 p 2  y se tiene la segunda autoimagen de Talbot (imagen idéntica al arreglo de
puntos focales). Por otra parte, si el término
exp{iz 0 (k 2  l 2 ) / p 2 } de la Eq. (9) vale –1,
ahora se estará sumando un término de fase de  a
todas
las
frecuencias
espaciales
exp{i 2(kx  ly) / p} de Fraunhofer (ondas planas),
lo que se traduce en un cambio de contraste en la
transmitancia del objeto periódico. Por lo tanto, en
este caso, la Eq. (4) será una réplica del arreglo de
puntos focales descrito por la Eq. (1) pero con un
desplazamiento lateral igual a la mitad del periodo
espacial. La distancia z 0 estará dada por la condición:

  exp{i2 (mx  ny) / p} , (6)
m n 
por lo tanto
1
g~(v x , v y )  2
p


k
   p  v
k  l  
x
 l

   v y  . (7)
 p

Es bien conocido que las auto-imágenes ocurren
solamente si la función u~ toma valores diferentes
de cero cuando se tienen frecuencias espaciales
2
2
pequeñas [8], ( v x  v y  1 2 ). En este caso, la
raíz cuadrada en las Eqs. (3) y (5), se puede aproximar por los dos primeros términos de su serie de
Taylor (aproximación parabólica), es decir:
[1  2 (v x  v y )]1 / 2  1 
2
2

2
2
(v x  v y )
2
z 0 (k 2  l 2 ) / p 2   (2s  1)
(12)
Despejando z 0 se tiene que
2
(8)
z0   p 2 / 
(13)
con   (2s  1) /(k 2  l 2 ) . En el caso particular en
Usando las Eqs. (7) y (8) la función G de la Eq. (5)
se puede expresar como:
que   1 , la distancia z 0 corresponde la distancia
fraccional de Talbot z1 / 2  p 2  y se tiene la primer auto-imagen de Talbot (imagen del arreglo de
186
4
Rev. Col. Fís., 45, No 2, 201.
Una vez que se tiene el haz de referencia adecuado,
éste pasa por un divisor de haz BS e incide sobre la
superficie de prueba (espejo de prueba) y luego se
refleja “2” regresando al divisor de haz donde nuevamente es reflejado “3” y se dirige hacia un arreglo de microlentes tipo Hartmann-Shack (25×19
lentes de 0.252 mm de diámetro y 25 mm de distancia focal, empaquetadas en una cuadrícula cartesiana) con el que se mide la forma del frente de onda
reflejado. Cada micro lente muestrea una pequeña
región del frente de onda reflejado y luego esta
porción del frente de onda es enfocada en el plano
focal del arreglo que está a una distancia 25 mm.,
Fig. 2. Midiendo la posición de cada punto focal es
posible reconstruir la forma del frente de onda [9].
La intensidad del haz del láser (5 mW.) se controla
mediante un filtro de densidad neutra ND. La imagen de los puntos focales se registra con una cámara
CCD blanco y negro (0 a 255 niveles de gris) en un
formato 640(H)  480(V) pixeles. El tamaño de
cada pixel es de 9.8 μm  9.8 μm. La cámara CCD
se monta sobre un carro de desplazamiento axial de
250 mm de recorrido y con un nonio de 0.1 mm.
Si la superficie de prueba en la Fig. 2 es un espejo
plano de referencia (calidad de la superficie /4
error pico-valle), el frente de onda reflejado será un
plano, entonces los puntos focales formarán un
arreglo cuadriculado de puntos. Como se mencionó
en la sección anterior, este arreglo de puntos focales
constituye un objeto periódico, de modo que en
planos posteriores será posible encontrar autoimágenes del arreglo de puntos focales. Por lo tanto,
verificando que la escala del arreglo de puntos focales y sus correspondientes auto-imágenes sea la
misma es posible obtener un haz de referencia bien
colimado, es decir, un frente de onda plano.
Siguiendo la teoría de la formación de imágenes de
Fresnel, para los parámetros de nuestro montaje
experimental, periodo espacial p  0.252 mm, longitud de onda   632.8 nm, las auto-imágenes se
encontrarán en planos separados 100.35 mm entre
sí, es decir, la primer auto-imagen estará a 100.35
mm del plano focal del arreglo de microlentes y la
segunda auto-imagen estará a 200.70 mm del plano
plano focal del arreglo de microlentes. En nuestro
experimento, observaremos las tres imágenes del
arreglo de puntos focales, a saber: la imagen en el
plano focal del arreglo de microlentes y las dos
primeras auto-imágenes de Talbot. La pupila de
cada microlente del arreglo es cuadrada, por lo que
el patrón de difracción generado por cada una de
puntos focales desplazada lateralmente p / 2 tanto
en x como en y).
3. Experimento
En la Fig. 2 se muestra un sistema óptico diseñado
para medir el frente de onda de un campo luminoso
reflejado en una superficie (reflectora) de prueba.
Generalmente, el campo óptico incidente en la superficie de prueba es una onda plana (haz de referencia), de modo que la deformación del frente de
onda reflejado es una medida de la forma de la
superficie de prueba.
CCD
Plano focal
del arreglo
Microlentes
3
Superficie
(reflectora)
de prueba
Pinhole
Laser
ND
OM
1
LC
2
BS
Fig.2 Sistema óptico para medir frente de onda mediante
un arreglo de microlentes Hartmann-Shack.
El haz de referencia se genera de la siguiente manera: el haz de un láser He-Ne (632.8 nm, 5mW) se
enfoca mediante un objetivo de microscopio OM en
un pinhole (agujero de 10 m de diámetro) con el
propósito de realizar un filtrado espacial. Luego el
haz diverge del pinhole e incide sobre una lente
acromática positiva LC (lente colimadora), la cual
está localizada a una distancia aproximadamente
igual a su distancia focal. Lo anterior permite que el
haz refractado por la lente colimadora se transforme
en una onda plana “1” (haz colimado), siempre y
cuando la posición de la lente colimadora sea la
adecuada, es decir, que la distancia entre el pinhole
y el plano principal anterior de la lente colimadora
sea igual a la distancia focal. Para controlar la posición de la lente colimadora, ésta se monta sobre un
sistema mecánico de desplazamiento axial con
tornillo micrométrico. De este modo, es posible
controlar la colimación del haz de referencia. Si la
distancia entre el pinhole y el plano principal anterior de la lente colimadora es menor que la distancia
focal de la lente colimadora el haz refractado será
divergente, si la distancia entre el pinhole y el plano
principal anterior de la lente colimadora es mayor
que la distancia focal de la lente colimadora el haz
refractado será convergente.
187
4
J.C. Galeano et al.: Uso del efecto Talbot para calibrar …
2
zT  2 p 2  , respectivamente. Las Figs. 3(b), 3(d)
y 3(f) son los perfiles de irradiancia siguiendo los
máximos de algunos puntos focales para las Figs.
3(a), 3(c) y 3(e), respectivamente. Tomando el
promedio del periodo espacial (en dirección horizontal) para cada uno de los patrones se obtuvo
0.252  0.001 mm, 0.252  0.001 mm y 0.251 
0.001 mm, respectivamente.
Lo anterior muestra que el haz de referencia se
encuentra bien colimado. Por otra parte, los perfiles
de irradiancia muestran que en los tres casos se
tienen funciones tipo sinc2(x) cuyos máximos están
separados 26 pixeles aproximadamente. La escala
de la distribución de irradiancia de los tres perfiles
no es absoluta, debido a que el láser que se empleó
no posee estabilidad en la intensidad del haz, por lo
que no se puede hacer una comparación de las irradiancias. Sin embargo, se nota que en la segunda
auto-imagen, en los bordes de la imagen hay una
disminución considerable en la irradiancia de los
máximos secundarios.
300
Intensidad (niveles de gris)
250
200
150
100
50
0
0
50
100
150
200
250
150
200
250
150
200
250
pixeles
(a)
(b)
300
Intensidad (niveles de gris)
250
200
150
100
50
0
0
50
100
pixeles
(c)
(d)
300
250
Intensidad (niveles de gris)
ellas (punto focal) es una función sinc (x) =
(sin(x)/x)2, como se puede apreciar en la Fig. 3.
Entonces, colocando el sensor de la cámara CCD en
el plano focal del arreglo de microlentes (a 25.0
mm) se ajustó la posición de la lente colimadora
hasta tener un patrón de puntos focales cuyos máximos se encontrarán separados 26 pixeles entre sí,
aproximadamente. Luego, conociendo de antemano
las distancias teóricas a las que se deben encontrar
las auto-imágenes, se desplazó el sensor de la cámara CCD una distancia de 100.3 mm con respecto al
plano focal y se verificó que los máximos del patrón
de puntos de esta auto-imagen estuvieran separados
25.7 (= 0.252/0.0098) pixeles, para lo cual se realizó un pequeño ajuste en la posición de la lente colimadora, y por último, se desplazó el sensor de la
cámara CCD a una distancia de 200.7 mm con respecto al plano focal y nuevamente se verificó que
los máximos del patrón de puntos de esta otra autoimagen estuvieran separados 25.7 pixeles mediante
un procedimiento similar al que se hizo con la primer auto-imagen. Para encontrar los máximos de
irradiancia en cada uno de los patrones se evalúo el
centroide de irradiancia [10].
Las Figs. 3(a), 3(c) y 3(e) corresponden a los patrones de: puntos focales del arreglo de microlentes
tipo Hartmann-Shack, primera auto-imagen en
y segunda
auto-imagen
en
z1 / 2  p 2 
200
150
100
50
0
0
50
100
pixeles
(e)
(f)
Fig.3 .(a) Imagen en el plano focal del arreglo de microlentes, (c) y (e) primera y segunda auto-imágenes del
arreglo de puntos focales, respectivamente; (b), (d) y (f)
perfiles de la irradiancia para algunos focos a lo largo de
la tercer fila en cada una de las imágenes respectivamente.
4. Conclusiones
Se verificó que los focos de un arreglo de microlentes tipo Hartmann-Shack forma una estructura periódica que puede generar auto-imágenes. Comparando el tamaño de las dos primeras auto-imágenes
(del efecto fraccional de Talbot y del efecto Talbot)
con el arreglo de puntos focales, se comprobó que
el haz de referencia está bien colimado. A medida
que el plano de observación se aleja, se pierden
órdenes de difracción (términos de alta frecuencias)
dentro de la región de la imagen, esto hace que la
irradiancia de los puntos focales disminuya pero sin
cambiar las posiciones de los mismos, es decir se
conserva la periodicidad tal como en el plano focal.
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