Modelo de Romer: Equilibrio

Macroeconomı́a III, curso 2008-09
Profesor: Matthias Kredler
Práctica 10
Modelo de Romer: Equilibrio
Fecha de entrega: 10 de diciembre
Se puede trabajar en grupo, pero se requiere que cada alumno entregue su versión de las
soluciones (no fotocopiadas). También se pueden entregar las soluciones por email (escaneadas o
en formatos Word y pdf ) a la dirección [email protected].
Modelo de Romer: Equilibrio
Problema 1. Condición de no-arbitraje en tiempo discreto. Suponga que un inversor que dispone
de una cantidad Q0 de bienes finales tiene dos opciones en el tiempo t = 0:
• Puede invertir en capital K. Unidades de capital se pueden arrendar a otras empresas por el
precio r1 (en términos del bien final) al principio del periodo 1. Después del uso, una parte δ
de la unidad del capital deprecia y el capital se puede vender otra vez.
• Puede invertir en una patente, que le cuesta Q0 unidades de bienes finales en t = 0. Al
principio del periodo 1 se puede realizar un beneficio fijo π1 en términos del bien final (con
seguridad). Después de realizar el beneficio, la patente se puede vender a por Q1 unidades
del bien final (también con seguridad).
Suponga que una unidad de capital siempre se puede convertir en una unidad del bien final (y vice
versa). El inversor sólo está interesado en maximizar la cantidad de bienes finales en t = 1 que
puede conseguir invertiendo los Q0 unidades del bien final en t = 0.
1. Calcule la cantidad de bienes finales (en t = 1) que el inversor puede obtener con cada una
de las dos opciones de inversión.
2. ¿Cuál es la condición de no arbitraje entre las dos opciones? ¿Qué pasarı́a si no se cumpliera?
3. Calcule la ganancia en bienes finales que tiene el inversor con respecto al periodo 0. Compare
tu resultado con la condición de no-arbitraje del modelo en tiempo continuo:
πt + Q̇t = Qt (rt − δ)
(Recuerde que Qt+1 −Qt = ∆Qt ≃ Q̇t .) Interprete los términos de la condición de no-arbitraje
en tiempo continuo.
Problema 2. Romer con otra función de producción de ideas. Considere la siguiente versión del
modelo de Romer. Hay un único bien final producido según la siguiente tecnologı́a:
1−α
Yt = (Lyt )
ZAt
(Xjt )α dj
0
donde Lyt , es el trabajo dedicado al sector de la producción del bien final y Xjt la cantidad
demandada de cada uno de los bienes intermedios. Cada bien intermedio es producido por un
único productor quién previamente ha comprado la patente de producción de ese bien a un sector
1
que se dedica a inventar nuevas ideas. El productor del bien intermedio produce segun la siguiente
función de producción
Xjt = Kjt
En el sector de innovación existe una única empresa que produce patentes de acuerdo a la siguiente
función de producción (tomando salarios wt y el precio de la patente Qt como dados):
Ȧt = LA,t Bt ,
donde Bt es un factor de productividad que satisface Bt = At /Lt . La tasa de crecimiento de la
población satisface L̇t /Lt = n.
1. Obtenga la ecuación de salarios y la función de demanda de cada uno de los bienes intermedios.
2. Resuelva el problema del productor del bien intermedio. Obtenga la cantidad ofertada de
cada uno de los bienes intermedios, el precio y los beneficios.
3. Resuelva el problema del innovador y obtenga el valor que cargará el inventor al vender la
patente. Obtenga también la ecuación de salarios del sector de I+D. ¿Cómo se determina
el valor que cada comprador de patentes está dispuesto a pagar por una patente de un bien
intermedio?
4. Obtenga la tasa de crecimiento de la renta per cápita en función de la parte de la población
que se dedica a trabajar en el sector de I+D.
5. Obtenga el valor de LA,t en estado estacionario . (Pista: Se obtiene de la ecuación de salarios.)
6. Analice el efecto de un incremento en α sobre la tasa de crecimiento de la renta per cápita y
discuta los resultados.
Problema 3. Crecimiento por imitación. Considere el siguiente modelo con dos paı́ses donde la
función de producción del bien final viene dada por
Yt = (Kit )α (Ait Lit )1−α
donde Ait representa el stock de conocimiento de la economı́a. En el paı́s 1, la tasa de crecimiento
de la productividad agregada es constante e igual a g, es decir, A1,t = egt . En el paı́s 2, el
conocimiento avanza sin embargo por imitación de las patentes del paı́s 1, en concreto:
Ȧ2,t = (A2,t )γ (ht A1,t )φ
donde ht indica el capital humano por trabajador de la economı́a. En concreto el capital humano
sigue la siguiente ley de movimiento:
ḣ = eψu h
y se supone que φ < 1 − γ.
1. Calcule la tasa de crecimiento de la renta per cápita en el paı́s 2. ¿De qué depende?
2. Recordando que en estado estacionario,
cápita en el estado estacionario.
k̇
k
= yẏ , halle la tasa de crecimiento de la renta per
3. Considere dos paı́ses que tienen todos los parámetros iguales excepto ψ. ¿Están creciendo los
dos a la misma tasa en estado estacionario?
4. Halle los niveles de renta per cápita en estado estacionario de cada uno de los paı́ses y calcula
1t
.
el ratio yy2,t
2