Universidad Simón Bolívar
Departamento de Computación y Tecnología de la Información
Estructuras Discretas II. CI-2526
Práctica No 7
1.-
Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A, (A). Entonces,
(1) a A([a]R)
(2) [a]R = [b]R (a; b) R
(3) a, b A( [a]R [b]R = [a]R = [b]R)
(4) a A [a]R =A
2.-
Sean R,S relaciones de equivalencia sobre un conjunto A, (A ), y R S entonces
(1) a, b A( b [a]S ([a]S= [b]S ) )
(2) a, b A(b [a]S ([a]R [b]R [a] S)
(3) R S A/R es refinamiento de A/S
3.Suponga el conjunto {0, 1}8 constituido por las palabras de tamaño 8 de 0's y 1's y
se define la siguiente relación R sobre 0, 1}8 por:
R = {(x; y) {0, 1}8 {0, 1}8: x, y coinciden en los primeros cuatro dígitos}
(a) Demuestre que R es una relación de equivalencia sobre {0, 1}8
(b) Determine el número de clases de equivalencia distintas.
(c) Determine dos conjuntos de representantes para las clases de
equivalencia.
4.Suponga la relación S definida sobre el conjunto de los números reales R dada por
S = {(x; y) R R : x +(-y) Z}. Describa las clases [0]S, []S.
5.Sea un grafo G definido por una relación R, de equivalencia sobre un conjunto A
no vacío y, se aplica una coloración al grafo consistente con la relación, es decir dos
vértices v1, v2 en A tienen el mismo color si y solo si (v1; v2) R. ¿Cuántos colores
diferentes se deben usar para colorear el grafo?.
6.Sea G un grafo definido mediante un conjunto V (V ) y R una relación de
equivalencia sobre V. Entonces definimos una clique en el grafo G como un subconjunto B
de V en el cual se satisface lo siguiente: x, y B ( (x, y) R). ¿Es el conjunto de cliques
de tamaño máximo, es decir donde cada vértice de V pertenece a alguna clique, en el grafo
una partición de V?
7.-
Si R es una relación de equivalencia en A entonces n N (n > 0 Rn = R)
8-
Sea A = {a; b; c; d; e; f; g, h}. Hallar particiones de A tales que
(a) la partición tenga elemento de tamaño máximo
(b) la partición tenga un elemento de tamaño mínimo
(c) los elementos de la partición tengan un solo elemento
9.- Sea
el intervalo de números reales. II es un cuadrado de lado uno ( ),
que tiene borde el conjunto B formado por los elementos en
.
Aquí (0,1) se entiende por el intervalo abierto de extremos 0, 1. Definamos la relación
sobre
tal que
si y sólo si
1. Muestre que
es una relación de equivalencia.
2. ¿Quiénes son las clases de ?
3. Encuentre un conjunto de representantes para . ,
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