4 MA MB MC MD R r r MB MC MD MC MD MA MD MA MB MA

Problemas propuestos 221 – 225
Problema 221 (Propuesto por D.M. Batinetzu-Giurgiu, Bucarest, y Neculai
Stanciu, Buzau)
Sea ABCD un tetraedro y M un punto del espacio, distinto de los vértices del
tetraedro. Demostrar que
MA
MB
MC
MD
R + r 4r
+
+
+
≥
≥
MB + MC + MD MC + MD + MA MD + MA + MB MA + MB + MC
R
R
donde R y r son, respectivamente, el radio de la esfera circunscrita y el de
la esfera inscrita en el tetraedro.
Problema 222 (propuesto por el editor)
ABC
es
un
triángulo;
P
es
un
punto
variable
tal
que
m ⋅ BP ⋅ senAPB =n ⋅ CP ⋅ senAPC , donde m y n son constantes. Determinar
el lugar geométrico del punto P.
Problema 223 (propuesto por el editor)
Demostrar que si los lados de un cuadrilátero son las raíces de la ecuación
x 4 − 4 x3 + 6qx 2 + ( 8 − 12q ) x + s =
0
entonces el cuadrilátero tiene un círculo inscrito.
Problema 224 (propuesto por el editor)
Si n es un entero impar, y a,b,c,… son las n-1 raíces n-ésimas complejas de
la unidad, probar que
(a
(a
r
− 1)( b r − 1)( c r − 1) =
n
r
1
+ 1)( b r + 1)( c r + 1) =
si r es cualquier número primo con n.
Problema 225 (propuesto por el editor)
XAYB es una cuaterna armónica; P es un punto que no está en la recta XY,
tal que XP = p, YP = q, y el XPY = θ . Si x,y son las longitudes de las
perpendiculares desde X e Y a la tangente común a los dos círculos de
centros respectivos A y B, y que pasan por P, demostrar que xy
= pq ⋅ cos θ .
Observación del editor:se utiliza la notación inglesa para la cuaterna
armónica: los puntos X, A, Y, B están en ese orden sobre la recta.