Segundo parcial de Matemáticas III SUPLETORIO
Semestre 02 de 2007
Noviembre 13 de 2007
Escuela de Matemáticas
Universidad Nacional de Colombia- Sede Medellı́n
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Carné :
Profesor:
Duración: 2 horas
Observaciones: - Justifique cuidadosamente sus respuestas.
- Cualquier tentativa de fraude es causal de anulación del examen.
1. (25%) Halle el punto en el plano x + y + 2z = 1 más cercano al punto (0, 0, 1).
2. (25%) Sea W el subconjunto del primer octante de R3 limitado por los planos x+y = 6,
z = 0, y = 0 y x = 0 y por la superficie x2 + z 2 = 4. Escriba la integral triple correspondiente
al volumen de W de tres formas distintas usando coordenadas cartesianas y diferentes órdenes
de integración.
Nota: no es necesario que calcule la integral, sólo déjela planteada.
3. (25%) Sea Ω ⊂ R3 el conjunto definido por
Ω := {(x, y, z) | 1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 9 ; z ≥
p
3(x2 + y 2 )}.
Calcule la integral triple de la función f (x, y, z) = x2 + y 2 sobre la región Ω.
4. (25%) Calcule el volumen de la región E ⊂ R3 que está limitada inferiormente por el
plano XY , superiormente por el paraboloide z = 16 − 4x2 − 9y 2 y lateralmente por el cilindro
4x2 + 9y 2 = 1.
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