11.1.2 Clases de proposiciones 11.1.1 Definiciones fundamentales
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Usamos el término proposición para referirnos al contenido de las oraciones. De este modo, dos o
más oraciones diferentes que afirman lo mismo tienen el mismo significado, es decir, poseen la
misma proposición.
Ejemplo 2.- Los siguientes enunciados contienen la misma proposición:
i. La suma de dos números impares es un número par.
ii. Un número par es igual a la suma de dos números impares.
La lógica es la ciencia que permite distinguir un
buen razonamiento de uno malo.
Si una proposición la contrastamos con la realidad, encontraremos que su valor veritativo sólo puede
ser verdadero o falso pero no ambos a la vez.
Existe íntima relación entre la lógica y la informática debido al isomorfismo (igual forma) que se presenta entre los conectores lógicos y los circuitos
eléctricos.
En adelante debe tenerse en cuenta que si un enunciado no es ni verdadero ni falso entonces no es una
proposición.
i. El pisco es peruano.
(V)
El estudio de estas relaciones ha permitido construir el lenguaje de programación y los sistemas
electrónicos digitales.
ii. Machu Picchu fue construido por los mayas.
(F)
Ejemplo 3.- Indicar la veracidad con V y falsedad con F de cada proposición:
Las proposiciones, a diferencia de las oraciones, son independientes del lenguaje.
Ejemplo 4.- Las siguientes son oraciones en distintos lenguajes:
11.1.1 Definiciones fundamentales
11.1.1A. Enunciado
Llamamos enunciado a toda expresión del lenguaje en el que se transmite un sentimiento, una información o una orden, llamados enunciado expresivo, enunciado informativo o enunciado directivo,
respectivamente.
i. Yo estoy en la universidad.
ii. I am in the university.
Ambas oraciones o enunciados tienen el mismo significado y por lo tanto expresan una misma proposición.
11.1.2 Clases de proposiciones
Ejemplo.- Las siguientes oraciones son enunciados:
11.1.2A. Proposición simple (P.S)
a) Te extraño.
. . . (*) Enunciado expresivo
Es aquella proposición que contiene una sola afirmación.
b) Ximena viene de viaje.
. . . (*) Enunciado informativo
Toda proposición simple, o proposición atómica, se puede representar mediante una letra en cuyo
caso ésta se llama variable proposicional. Las letras que más se usan como variable proposicional son
las últimas del abecedario: p, q, r, s, etc.
c) Cierre la puerta por favor. . . . (*) Enunciado directivo
11.1.1B. Proposición
Ejemplo.- Las siguientes son proposiciones simples:
Se llama proposición a todo enunciado de tipo informativo que puede ser calificada como verdadera
o falsa.
i. Daniel es un niño honesto:
p
ii. Rocío estudia con sus mejores amigas:
q
La verdad (V) o falsedad (F) de una proposición se llama valor veritativo, o valor de verdad, que se
obtiene al ser contrastada con la realidad. Las proposiciones se caracterizan porque pueden expresarse
en forma de oraciones o de relaciones matemáticas.
iii. Marlon es ingeniero:
r
iv. 4 9 6 :
s
Ejemplo 1.- Son proposiciones:
11.1.2B. Proposición compuesta
a) La semana tiene siete días.
Una proposición compuesta, P.C, llamada también proposición molecular, es aquella que está formada por dos o más proposiciones simples o es la negación de una proposición simple.
b) 4 + 3 < 8
c) El cuadrado de todo número real es positivo.
En toda proposición compuesta las proposiciones simples están ligadas mediante algunas palabras
conocidas como conectivos lógicos.
726
Und. 11 – Lógica Matemática
Aritmética
727
Obsérvese que al negar una proposición se cambia su valor de verdad. En adelante utilizaremos un
esquema en el que se muestran los dos posibles valores de verdad de una proposición:
11.1.3 Conectivos lógicos
Un conectivo lógico, llamado también conector lógico, es una palabra que sirve para ligar dos proposiciones o para negar una proposición.
Los conectivos pueden ser de dos tipos:
a) Monádicos: Si anteceden una proposición: «no...»
b) Diádicos: Si ligan dos proposiciones: «y», «o», «entonces», «si y sólo si», etc.
Ejemplo.- Neguemos las siguientes proposiciones:
a) Junior es cantante:
Junior no es cantante:
p
~p
No, nunca, jamás, no es cierto que, es mentira que, no ocurre que, es
falso que, es imposible que, ni, ... etc.
b) A Rocío le gusta pintar:
A Rocío no le gusta pintar:
~q
Y, sin embargo, además, pero, también, no obstante, así como, del
mismo modo, de la misma manera, aún cuando, mas, y, etc
c) Todos los insectos son invertebrados:
r
Algún insecto es invertebrado:
~r
O, o sino, o bien, o también, o de lo contrario, y/o, salvo que, a
menos que, excepto que, a no ser que, ... etc.
11.1.4B. Conjunción
Símbolo
O .., o ....; o (en sentido excluyente), o bien … o bien, solamente si,
únicamente, excepto que solo, no es equivalente a.
Si ..., entonces ...; como, cuando … entonces ..., porque, o una
simple «coma».
Si, y sólo si; cuando y sólo cuando, porque y solamente si, es equivalente, es igual que, es condición necesaria y suficiente.
q
Dos proposiciones « p» y « q» vinculadas por el conectivo , forman una proposición compuesta
llamada conjunción, denotada por: p q.
La conjunción p q, se lee: « p y q»
Una conjunción sólo es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas. Para poder establecer las
diferentes combinaciones de verdad o falsedad de ambas proposiciones se recurre a un diagrama llamado « tabla de verdad» que describiremos más adelante.
Es importante recordar el tipo de conectivo lógico y las traducciones verbales que suelen emplearse
para ellas. Cuando convertimos una proposición compuesta en forma simbólica, la expresión obtenida
se llama fórmula proposicional.
En una fórmula proposicional las proposiciones están representadas mediante variables proposionales
mientras que las palabras de enlace o conectivos lógicos están representados por los símbolos de la
lista anterior.
Ejemplo.- La siguiente es una fórmula proposicional:
p q p q r
La tarea que tenemos ahora es saber expresar una proposición compuesta mediante una fórmula proposicional.
11.1.4 Clases de proposiciones compuestas
Ejemplos.- Las siguientes proposiciones son conjunciones:
i. Tanto Newton como Gaüss fueron matemáticos.
Es una proposición verdadera porque: Newton fue matemático
y Gaüss fue matemático
p: V
q: V
Y según la tabla de verdad: V V = V
ii.18 es múltiplo de 3 y 7:
11.1.4A. Negación
La negación es un tipo de proposición compuesta en la que se afirma que algo no existe, que no es
verdad, o que no es como alguien cree o afirma.
Si «p» representa una proposición, entonces para negarla se le antecede el conector negador (~),
quedando: ~p.
728
Aritmética
Esta proposición es equivalente a:
18 es múltiplo de 3
y 18 es múltiplo de 7
p: V
q: F
Y según la tabla de verdad: V F = F
Por consiguiente la proposición original es falsa.
Und. 11 – Lógica Matemática
729
Obsérvese que el número de combinaciones posibles de «V» y «F» está dado por 2n, donde «n» es el número de proposiciones enlazadas. En este último ejemplo n = 2, luego se tiene: 22 = 4 combinaciones.
11.1.4C. Disyunción
Dos proposiciones «p» y « q» vinculadas por el conectivo ,forman una proposición compuesta llamada
disyunción, denotada por: p q.
11.1.4E. Condicional
Dos proposiciones «p» y « q», vinculadas por el conectivo , forman una proposición compuesta
llamada condicional, denotada por p q.
En la condicional p q, «p» se llama antecedente y « q» consecuente, y se lee: «Si p entonces q ».
Una proposición condicional es falsa sólo si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
La disyunción p q, se lee « p o q».
Una disyunción sólo es falsa si ambas proposiciones
son falsas. Todas las demás opciones se muestran en
la siguiente tabla:
El disyuntor, o inclusor, es un término que sugiere quedarnos con una de las dos proposiciones o con
ambas, por ello la disyunción es verdadera cuando al menos una de las proposiciones es verdadera.
Ejemplo.- La siguiente es una disyunción: 72 = 6 . 11 ó 72 > 50
72 6 11 ó 72 > 50
p: F
q: F
Es un proposición falsa porque:
Según la tabla de verdad:
FF=F
11.1.4D. Disyunción fuerte
Dos proposiciones « p » y « q» vinculadas por el conectivo , forman una proposición compuesta
llamada disyunción fuerte, denotada por: p q.
Ejemplos.- Las siguientes son proposiciones condicionales:
i.
Si Lima está en Perú, entonces 3 – (-5) = -8.
Es una proposición falsa porque:
Y según la tabla: V F = F
Si Lima está en Perú entonces 3 (-5) - 8
p: V
q: F
ii. Si Madrid está en España, entonces 4 + 4 = 8.
Es una proposición verdadera porque: Si Madrid está en España entonces 4 4 8
p: V
q: V
Según la tabla de verdad: V V = V
La disyunción fuerte p q, se lee: « O p o q»
11.1.4F. Bicondicional
Una disyunción fuerte sólo es verdadera si una de las proposiciones es verdadera. Todas las demás
opciones se muestran en la siguiente tabla:
Dos proposiciones «p» y « q», vinculadas por el conectivo ,forman una proposición compuesta
llamada bicondicional, denotada por p q.
Una bicondicional es verdadera sólo si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
La bicondicional p q, se lee: « p si, y sólo, q »
Al disyuntor fuerte, llamado también exclusor, se le reconoce porque el término sugiere que la verdad o
falsedad de una proposición es incompatible con la verdad o falsedad de otro, respectivamente; es decir,
o el uno o el otro, pero no los dos a la vez.
Ejemplo.- Determinemos el valor veritativo de la siguiente disyunción fuerte:
O Maradona es argentino o (-7)2 > 50
Ejemplo.- La siguiente es una proposición bicondicional:
Trujillo está en La Libertad si, y sólo si, 6 + 7 = 14.
Es un proposición verdadera porque: O Maradona es argentino
o (-7)2 >50
p: V
q: F
Según la tabla de verdad: V F = V
Es una proposición falsa porque:
730
Und. 11 – Lógica Matemática
Aritmética
Según la tabla de verdad:
Trujillo está en La Libertad , si y sólo si 6 7 13
p: V
q: F
VF=F
731
Obsérvese que el análisis se ha realizado de arriba hacia abajo. Esto se hace, generalmente, cuando se
conocen los valores de verdad de cada proposición.
11.1.5 Evaluación de proposiciones
Llamaremos evaluación de proposiciones al proceso que se sigue para establecer el valor veritativo de
una proposición simple o de una proposición compuesta.
Existen dos procedimientos de evaluación de proposiciones lógicas que llamaremos: Método abreviado y Tablas de verdad.
11.1.5A. Método abreviado
Este método se aplica cuando conocemos el valor de verdad de las variables de una proposición
compuesta y se procede así:
1ro. Se anota debajo de cada variable su correspondiente valor de verdad conocido.
2do. Se aplican las reglas de verdad establecidas para los conectores lógicos según sus respectivas
tablas de verdad, y desde los signos de colección más interiores en estricto orden de jerarquía.
Los conectores vistos aquí verifican el siguiente orden de jerarquía descendente: , , , , , ~.
Ejemplo 1.- Determinar el valor de verdad del siguiente enunciado:
Si 8
3
-27 4 , entonces 5 + 8 = 12.
Luego de identificar las proposiciones simples aplicamos las reglas del método abreviado:
8 3 -27 4 5 8 12
F
F
Siendo F, V y F los valores de verdad de q, r y s respectivamente.
Primero anotamos los valores de verdad conocidos. Luego se analiza desde la derecha y hacia abajo,
por ser el sector conocido. Finalmente se sigue hacia la izquierda y hacia arriba:
(
p
q ) (
r
s)
F
?
F
V
F
(
p
q ) (
r
s)
?
F
V
F
F
F
V
F
F
Obsérvese, en el esquema de la izquierda, que los valores desconocidos para y deben ser V y F
respectivamente puesto que esa es la única forma como la implicación resulta falsa.
V
Por lo tanto el valor de verdad que le corresponde a «p» es FALSO.
Una tabla de verdad es una forma concisa de mostrar la relación entre el valor de verdad de una
proposición compuesta y los valores de verdad de sus variables.
36 1 7 .
Luego de identificar las proposiciones simples aplicamos las reglas del método abreviado:
9 72 58
36 1 7
V
V
F
V
Por lo tanto la proposición dada es VERDADERA.
Ejemplo 3.- Sabiendo que los valores de verdad para «p», « q » y « r » son F, V y F, respectivamente,
determinar el valor de verdad de: (p q) ~(q r).
Trabajando con los valores de verdad dados empezamos desde el interior de los paréntesis y de arriba
hacia abajo:
(
p
q ) (
q
r)
F
V
V
F
V
F
V
V
p q ( r s) , es falso.
11.1.5B. Tablas de verdad
Por lo tanto la proposición dada es VERDADERA.
Ejemplo 2.- Determinar el valor de verdad de: No es verdad que 9 + 72 = 58 o que
Ejemplo 4.- Determinar el valor de verdad de « p» si el siguiente enunciado:
Este método se aplica cuando no sabemos el valor de verdad de las proposiciones simples que están
presentes en una proposición compuesta y se procede así:
1ro. Se elabora un recuadro dividido en filas y columnas.
2do. En la parte superior se anota la proposición molecular que se analizará
asignándose una columna por cada variable.
3ro. El número de filas viene dado por 2n, siendo «n» el número de variables
proposicionales diferentes.
4to. En la 1ra columna, y en 2n/2 filas, se anotan valores de verdad Verdadero
y en las siguientes 2n/2 filas valores de verdad Falso.
5to. En la 2da y sucesivas columnas se anotan valores de verdad, por mitades alternadas de las inmediatamente anteriores, hasta que se logren alternar valores de verdad verdadero y falso consecutivamente
en la columna de la última variable.
6to. En cada fila de valores se evalúan los grupos de proposiciones componentes.
El proceso se inicia desde los signos de colección más interiores y concluye en la columna correspondiente al conectivo de mayor jerarquía.
La columna final de valores de verdad debajo del operador de mayor jerarquía se llama matriz principal
o característica tabular.
Por lo tanto la proposición dada es VERDADERA.
732
Aritmética
Und. 11 – Lógica Matemática
733
Ejemplo 1.- Mostrar la tabla de verdad de la proposición: ~(p ~q)
Por tratarse de sólo dos proposiciones diferentes elaboraremos una tabla con 2 2 = 4 filas. Veamos:
11.1.6 Principales resultados
11.1.6A. Tautología
Si la matriz principal contiene sólo valores de verdad verdaderos. Esto significa que la proposición
será siempre verdadera cualquiera que sean sus proposiciones componentes y cualquiera sea el valor
de verdad que se le atribuya a sus variables.
11.1.6B. Contradicción
Si la matriz principal contiene sólo valores de verdad falsos. Esto significa que la proposición será
siempre falsa cualquiera que sean sus proposiciones componentes y valores de verdad.
El proceso se inicia preparando los términos que contiene la proposición compuesta.
En el paso «1» se ha efectuado la negación de « q».
11.1.6C. Contingencia
Si la matriz principal contiene valores de verdad verdaderos y falsos.
En el paso «2» se ha efectuado la condicional de p y ~q.
En el paso «3» se ha determinado la negación de (p ~q).
Ejemplos.- Determinar el resultado de las siguientes proposiciones:
La operación se lleva a cabo con cada una de las filas y con cada uno de los conectivos lógicos.
a) (p q) (~p q)
Obsérvese que, en este ejemplo, el análisis se ha hecho de izquierda a derecha.
En este caso el conectivo de mayor jerarquía es el condicional:
Ejemplo 2.- Mostrar la tabla de verdad de la proposición:
(p q) ~p
Como en el ejemplo anterior y, por tratarse de dos proposiciones, elaboramos la tabla con cuatro filas:
Descripción:
En «1» se ha efectuado la disyunción fuerte de p y q: p q.
En «2» se ha efectuado la negación de « p».
Se trata de
una tautología.
b) (p ~q) (~p q)
Como en el caso anterior el conectivo de mayor jerarquía es el condicional, luego procedemos así:
En «3» se ha determinado la implicación de (p q) ~p
Ejemplo 3.- Mostrar la tabla de verdad de la proposición: (p q) ~(p q)
Es una
contingencia.
Para este ejemplo procederemos de otro modo. Empezaremos determinando el resultado de cada
paréntesis y terminaremos con el análisis de la bicondicional ubicada en la parte central. Veamos:
c) (p ~q) (~p q)
En este caso el conectivo de mayor jerarquía es el bicondicional, luego procedemos así:
Es una
contradicción.
La matriz principal viene indicada por la columna de valores ubicada debajo del doble implicador.
734
Aritmética
Und. 11 – Lógica Matemática
735
d. ~V F
..................... (
e. F ~V
01.- Indica con E, D o I si el enunciado es expresivo,
directivo o informativo, respectivamente:
d. La bisectriz y la altura son líneas notables.
...................................................
a. ¡Atención!
(
)
b. ¿Qué hora es?
(
)
e. Claudia aprobará matemática siempre y cuando resuelva sus ejercicios.
c. Hoy es viernes
(
)
...................................................
d. Prohibido fumar
(
)
02.- Indica con P o NP si la oración es o no, respectivamente, una proposición.
2
-2
)
b. Los insectos son ovíparos.
(
)
a. Luis va al colegio.
c. La gioconda baila reague.
(
)
...................................................
d. El Perú es una monarquía.
(
)
...................................................
(
)
c. Existen 3 800 variedades de papa.
(
)
d. El Huáscar fue piloteado por Grau.
(
)
04.- Identifica las proposiciones simples y el conectivo
lógico de cada proposición compuesta. A continuación
expresa la proposición dada en forma simbólica según
el ejemplo mostrado:
a. Luis va al colegio o a la universidad.
...................................................
2
b. 2x – 4 = 8 a menos que -x < -1.
...................................................
2
2
2
c. Es falso que (a – b) = a – 2ab + b .
...................................................
736
Aritmética
a.
V F
V V
10.- Analizar la expresión dada y anotar el valor de
verdad que debe tener la proposición «p» en cada
caso, si:
q=V, r=F, s=F
b.
...................................................
V F
V F
a. (p q) r , es verdadero
...............................................
c.
V V
F F
F F
b. (r q) p , es falso
d.
...................................................
)
b. Los mayas reinaron en México.
Si hoy
llueve
sale el sol
mañana
.
entonces
q
p
b. 2x – 4 = 8
...................................................
(
(
08.- Efectuar las siguientes expresiones anotando los
resultados parciales y el valor de verdad de toda la
expresión debajo de cada llave:
-1
a. Sí se puede.
a. 2 + 32 = 11
)
Método abreviado
f. 3 = 9 del mismo modo que 3 = 9 .
05.- Escribe al menos dos formas de negar cada una de
las siguientes proposiciones:
03.- Apelando a tu bagaje cultural anota el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
..................... (
c. ( F F ) ( V V )
)
...............................................
c. (p s) r , es verdadero
V V
06.- Si V y F son los valores de verdad y falsedad, anota
el valor de verdad resultante de cada expresión:
09.- Efectuando las expresiones indicadas, se pide anotar los resultados de cada paso y el resultado final:
a. F F
(
)
a. (V F ) ( F F )
b. F V
(
)
c. F F
(
)
d. F F
(
)
e. V F
(
)
f. ~F
(
)
...............................................
11.- Completar las siguientes tablas de verdad y anotar
el resultado principal:
a.
p
q
(p
q)
(p
q)
b.
p
q
(p
q)
(p
q)
c.
p
q
(~p
(p
q)
b. ( F V ) ( V V )
07.- Efectúa los cambios necesarios y determina el valor
de verdad resultante de cada expresión:
a. ~V ~F
..................... (
)
b. V ~F
..................... (
)
c. ~F V
..................... (
)
Und. 11 – Lógica Matemática
q)
737
Prob. 01
(UNALM 04 – II)
Determinar si es proposición o no:
I.
II. Es falso porque se trata de un enunciado
expresivo.
III. No es una proposición porque lo que se afirma no puede constrastarse con la realidad.
¿Qué hora es?
II. No fumar
IV. Un número par más un número par siempre te
da par.
A) FVFV
B) FFVV
D) VVVV
E) FFFF
I.
C) FFFV
Prob. 03
Falso, porque se trata de la negación de 2 = 4.
II. Falso porque no se conoce el valor
(UNPRG 02 – I)
IV. «Verdadero» porque la proposición se puede descomponer de la siguiente forma:
De la falsedad de: (~p q) r, determinar el
valor de verdad de: «p», «q» y «r», en ese orden.
No es proposición porque es un enunciado
de tipo expresivo.
II. No es una proposición; es un enunciado de
tipo directivo.
A) FVF
B) VVF
D) VFV
E) VVV
IV. Sí es una proposición dado que es un enunciado de tipo informativo cuyo valor de verdad es verdadero.
FFVV
C) FFV
(~ p q ) r
(Falso)
F
V
F
V
V
F
Podemos observar que los valores de verdad son:
q: V
(r s) r
Es falso que el número 3 no es par
(
A) Sólo I
B) Sólo II
D) Sólo II y IV
E) Sólo II y III
r: F
Prob. 04
Determine el valor de verdad de cada uno de los
siguientes enunciados:
(
)
III. x = 4; es proposición
(
)
A) VFF
B) VVV
D) FFV
E) VVF
C) FFF
I.
(cepre uni 06 – II)
2 4, es una proposición simple.
II. 2x + 4 = 5, es una proposición simple.
III. 2x + 4 5, es una proposición compuesta.
IV. 2 + 4 5, es una proposición compuesta.
I. La proposición «p: 3 no es par» es verdadera por lo tanto «Es falso que el número 3 no
es par» es falsa.
738
Aritmética
A) FFVV
B) FFFV
D) VFVF
E) FFFF
C) Sólo III
C) VFVV
y
s: V
Sustituyendo los valores de verdad de cada variable proposisional y reduciendo según cada
conectivo, se tiene:
I.
II.
Prob. 06
p q es falsa
III. ~q p es verdadera
son ciertas:
A) I
B) Todas
D) I y III
E) II y III
C) I y II
IV. ~r (r s)
Atendiendo las condiciones del problema se tiene:
)
II. ¡Viva el Perú! es una proposición
II. ~s r
III. ~r s
Indicar si es verdadero o falso:
I.
(cepre uni 07 – II)
Si «r» y «s» son proposiciones falsa y verdadera
respectivamente, indicar cuáles de las siguientes
proposiciones son verdaderas:
I.
Sólo II y III
II. r q es verdadera
r: F
FVF
(UNALM 05 – I)
(Falso)
I.
FFFV
En atención a las condiciones del problema tenemos que:
p: F
IV. ~ r ( r s )
V
F
V
F
F
Si la siguiente proposición: (p ~q) (p r) es
falsa, entonces se tiene que:
(2 4 5) o (2 4 5)
p
q
Prob. 05
III. Sí es una proposición dado que es un enunciado de tipo informativo cuyo valor de verdad es verdadero.
Prob. 02
I.
( Verdadero)
III. «Falso» porque no se precisan los valores de
x.
FFF
III. 3 + 2 = 5
Las proposiciones simples son aquellas que no
están ligadas por algún conector lógico ni afectados por él.
III. ~ r s
V
V
V
(r s) r
F
V
F
V
F
(Falso)
~s r
F
F
V
( Verdadero)
En atención a la condición del problema completamos los valores de verdad de abajo hacia
arriba.
( p ~ q ) ( p r ) (Falsa)
V
V
V
F
V
F
F
Luego los valores de verdad de las variables proposicionales son:
p: V ,
q: F ,
r: F
Sustituyendo los valores de verdad para cada
variable proposicional y reduciendo según los
conectivos lógicos, se tiene:
Und. 11 – Lógica Matemática
I.
p q
V F
V
( Verdadero)
739
II.
III. ~ q p
V
V
V
II.
( Verdadero )
r q
F
F
V
( Verdadero )
Todas son verdaderas
Prob. 07
(UNFV 03)
De la falsedad de: (p q) (~r t), determine
los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
I.
(q r )(r t)
V
V
V
F
V
F
F
(r p) (~r t)
III. p ( r t )
V
V
F
F
F
Prob. 08
(UNMSM 05 – I)
Determinar la matriz principal de la siguiente fórmula proposicional:
B) FVV
D) FVF
E) VVF
D) VVVVVFVV E) FFFFFFFF
Como no conocemos los valores de verdad de
cada proposición utilizamos una tabla de verdad.
( p q ) ( ~r t )
V
V
F
F
F
V
F
(Falsa)
Tratándose de 3 variables proposicionales, consideramos 23 = 8 filas.
Asimismo, identificamos, según los signos de
colección dados, que la fórmula proposicional es
implicativa (), por ello procedemos así:
A) VFVFF
B) FVFVV
D) VFVFV
E) VFVVF
Según el enunciado, del problema completamos los valores de verdad de abajo hacia
arriba:
i)
s t
V
V
V
( Verdadera)
p q
V
F
F
(Falsa)
iii) ~ p r
F
F
F
(Falsa)
ii)
r: V ,
q: Jorge es un asaltante
r: Jorge estuvo en la universidad
es un asaltante pero Jorge estuvo en la universidad
q
r
por lo tanto Jorge no es un asaltante
~q
Luego, el valor de verdad de las variables proposicionales son:
Finalmente hemos obtenido:
( p q) r q
p: V , q: F , r: F , s: V y t: V
Prob. 11
(crepre uni 06 – I)
Determine la forma más simple de:
Prob. 10
(UNMSM 05 – I)
Identifique la fórmula proposicional que corresponde a la siguiente inferencia:
t: F
I.
A) ( p q ) q p
Aritmética
p: Jorge estuvo en el lugar del asalto
Jorge estuvo en el lugar del asalto entonces
p
«Si Jorge estuvo en el lugar del asalto entonces es
un asaltante; pero Jorge estuvo en la universidad,
por lo tanto, Jorge no es un asaltante».
740
Identifiquemos las proposiciones simples y
asignemos una variable proposicional a cada
una.
Luego la fórmula proposicional de la expresión
es:
Ahora reemplazamos en cada proposición y reducimos de arriba hacia abajo:
( r p ) ( ~r t )
V
V
F
F
F
V
F
E) ( p q ) r q
C) VFFVV
VFFVV
Luego los valores de verdad de las variables proposicionales son:
q: V ,
D) ( p q ) r p
C) VFF
En atención a la condición del problema descubrimos los valores de verdad completando de
abajo hacia arriba.
p: V ,
Si se sabe que s t es verdadera, r s es falsa,
p q es falsa, ~p r es falsa, determinar los
valores de «p», «q», «r», «s» y «t».
p q p r p r
III. p (r t)
A) FFF
C) ( p q ) q r
FFF
A) VFFFVVVV B) VVVVVVVV C) FVFVVFVF
II. (q r) (r t)
Prob. 09
B) ( p q ) q q
T = p (p q)
Si:
A) p q
B) p q
D) p ~q
E) ~p q
C) ~p q
VFFFVVVV
Und. 11 – Lógica Matemática
741
Prob. 15
Analizando las distintas combinaciones de valores de verdad en la tabla mostrada, se puede
concluir que esta corresponde a la negación del
disyuntor débil, luego:
Dado que no conocemos el valor de verdad de
cada proposición, el proceso de simplificación lo
obtendremos por medio de la matriz principal
de la tabla de verdad de la proposición dada:
p q ~p q
a) p(4): 42 = 16 (V), q(3): 3 - 4 = 8 (F),
Dadas las premisas:
s(-3):
- Ninguno de los locos toca piano.
( 3) 3 0 (V)
p(4) q(3) s( 3)
V
F
V
F
F
- Ningún japonés deja de tocar piano.
- Todos los estudiantes son locos.
Reemplazamos esta equivalencia en «T»:
Elabora un diagrama de Venn - Euler y establece
una conclusión lógica.
T p p q
V
p( 4) q( 3) s(-3) es verdadero
T p ~ p q
T ~ p ~ p q
p ~ p q q V
Teniendo en cuenta los cuantificadores universales y existenciales, que se citan en las
premisas, elaboramos el siguiente diagrama:
b) p(3): 32 = 16 (F), r(3): 32 - 5 > 2 (V),
s(-1):
(1) 3 0 (V)
Ahora aplicamos las leyes lógicas en:
~ p ~ p q
~ p ~ p ~ q
De Morgan:
Absorción:
~ p ~ q
~ pq
De Morgan:
T = ~p q
Prob. 12
Prob. 13
Simbolizar lógicamente la expresión «Juan Pérez
saldrá elegido y será congresista si, y sólo si, obtiene apoyo en su provincia».
B) (p q) r
De donde se pueden deducir las siguiente conclusiones lógicas:
C) (p q) r
D) (p q) r
i)
p: Juan Pérez saldrá elegido
q: Juan Pérez será congresista
r: Juan Pérez obtiene apoyo en su provincia
Luego la fórmula proposicional de la expresión
es:
Entonces al simplificar la proposición:
p ~ p q q
se obtiene:
D) q
742
Ningún estudiante toca piano.
B) V
E) p q
Aritmética
C) p
Juan Pérez saldrá elegido y será congresista
p
q
sí y sólo si obtiene apoyo en su provincia
r
p q r
p( 3) r ( 3) s(-1) es verdadero
Prob. 16
ii) Ningún estudiante es japonés.
Determinar una proposición reducida y equivale a:
iii) Ningún loco es japonés.
E p q q p r t r t
(crepre uni 05 – II)
Identificamos a las proposiciones simples y le
asignamos una variable proposicional:
V
A) p (q r)
E) p (q r s)
Si es un operador lógico definido mediante la
siguiente tabla de verdad:
A) F
p(3) r (3) s( 1)
F
V
V
V
(UNI 01 – I)
Prob. 14
Dadas las siguientes funciones proposicionales:
p(x):
x2
= 16
q(x): x - 4 = 8
r(x):
x2 - 5
s( x ) :
>2
x3 0
Procediendo como en el ejercicio anterior, se
tiene:
E p q q p r t
r
t
determina el valor de la verdad de:
a) p( 4 ) q( 3 ) s( 3 )
b) p( 3 ) r( 3 ) s( 1 )
Nuestra estrategia consistirá en determinar el
valor de verdad de las funciones proposicionales para los valores indicados. A continuación aplicamos las reglas de los conectivos en
las proposiciones dadas.
Und. 11 – Lógica Matemática
Negación
Aplicando la ley de equivalencia en la negación
disyuntiva, se tiene:
E p q q p
r t r t
complementarios
Aplicando la ley del complemento, se tiene:
E p q q p V
identidad
743
Aplicando la ley de identidad, se tiene:
E p q q p
Condicional Condicional
Aplicando la ley del condicional, se tiene:
E p q q p
Aplicando la ley asociativa, se tiene:
E p p q q V q V
V q
Prob. 18
Sabiendo que:
2
x a a x a, a
Se plantea: si B x | 3 x 3 , se pide establecer la negación de las siguientes proposiciones y sus correspondientes valores de verdad:
a) x B , se cumple que: x 2 16
b) x B , tal que:
2x 3 5
Prob. 17
Simplificar la siguiente proposición:
(
p q ) ( q p ) ( q )
Se tiene que:
a) Aplicando la regla dada, se tiene:
2
x 16
Nuestra estrategia consistirá en aplicar las leyes
lógicas atendiendo la jerarquía de los signos de
colección:
q p ) ( q)
( p q ) (
Condicional
Aplicando la ley de equivalencia en la condicional, se tiene:
p q ) ( q p) ( q )
(
Condicional
Aplicando otra vez la misma ley, se tiene:
( p q ) ( q p) ( q )
Negación
Aplicando la ley de negación, o ley De Morgan,
en la disyunción se tiene:
p q ) ( q p ) ( q ) ( p q ) ( q )
(
Idénti cos
B = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}
4 x 4
C.S = {-4; -3;-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
De aquí descubrimos que: B C.S
es decir, todos los valores posibles de x, que
pertenecen al conjunto B, satisfacen la desigualdad dada.
x B x 5 0 es verdadero
b) Despejando:
2x + 3 = 5
2x = 5 – 3
x=1
Inspeccionando los elementos del conjunto «B»
descubrimos que al menos un valor de «x», que
pertenece a «B», satisface la desigualdad.
x B 2 x 3 5 es verdadero
Y aplicando la ley de absorción
( p q ) ( q ) (~ q)
744
Aritmética
Und. 11 – Lógica Matemática
745
01.- Determina el valor de verdad de p, de manera que las proposiciones compuestas resulten
verdaderas:
A) VVVV
B) FFVV
D) FFVF
E) VFVV
C) VVFV
I.
(23 1 7) p
04.- Descubre el conectivo lógico en cada caso:
II.
14 0,25 p
A)
B)
III. p( 2 3)
A) FFV
B) FVF
D) FVV
E) VVF
C) VFV
02.- Sean las proposiciones:
p: Fujimori gobernó durante 5 años.
q: Asunción es la capital de Paraguay.
r : Cervantes es el autor de «La vida es sueño».
Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I)
( r q) p
II) ( pr ) (q p)
III) ( p q) (r q)
A) VVV
B) FVV
D) FFV
E) VFV
C) VVF
03.- Aplicando la técnica del contra ejemplo, demuestra la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones categóricas:
a.
Todos los número múltiplos de 3 son múltiplos
de 6.
b. Ninguna palabra, en inglés, se escribe sin
consonante.
c.
103 no es el menor número primo de tres cifras.
d. 7 meses del año poseen 31 días.
746
Aritmética
Und. 11 – Lógica Matemática
A) ,
B) ;
D) ;
E) ;
C) ;
05.- El valor de verdad de los operadores & y
definen según las siguientes tablas:
A)
se
B)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
Elabora la tabla de verdad de: p & ( p q ) e indica
como respuesta la matriz principal.
A) FFVF
B) FVVF
D) FVVV
E) VVVV
C) VFFV
SUFICIENCIADE DATOS
En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos
datos para resolverlo. Debe determinar qué datos se
necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas.
a. El dato I es suficiente y el dato II no lo es.
b. El dato II es suficiente y el dato I no lo es.
c. Es necesario utilizar I y II conjuntamente.
747
d. Cada uno de los datos por separados es suficiente.
e. Se necesitan más datos.
* Para la información dada, se plantea una premisa y
se establece una conclusión. Lee cuidadosamente e
identifica el razonamiento lógico correcto de las preguntas 11 y 12.
06.- Determine el valor de verdad de:
10.- Información:
[ p ( q r )] p
Datos:
I.
Si un número es múltiplo de 6, entonces dicho número es múltiplo de 2.
p y q son verdaderos
A) 36 es múltiplo de 6. Luego, 36 es múltiplo de 3.
II. p es verdadero
A) e
B) c
C) b
D) d
E) a
D) 36 es múltiplo de 3. Luego, 36 no es múltiplo de 6.
p [ p (q r )]
Datos:
I. p es falso y q es verdadero.
II. r es falso.
A) a
B) c
C) e
E) 15 no es múltiplo de 2. Luego 15 no es múltiplo
de 3.
D) d
E) b
08.- Rocío realizó preguntas a sus amigos Pedro,
Luis y José, obteniendo las siguientes respuestas:
A) Pedro
B) Luis
C) Ninguno
D) Todos
C) José
A) Dejaré de jugar fútbol
B) Algún día jugaré fútbol
C) Siempre jugaré fútbol
D) No jugaré fútbol
748
Aritmética
14.- Si la proposición: ( p q) (r s ) es falsa.
Determinar el valor de verdad de p, q, r y s respectivamente.
A) VFVV
B) VFVV
D) FVFV
E) FVVV
C) FVVF
15.- Si ( p q) ( q r , es verdadera determina los valores de verdad de:
I)
( p q ) ( q q )
D) VFV
E) faltan datos
B) Sandra no es arquitecta, entonces no es idealista.
16.- ¿Cuáles de las siguientes proposiciones es una
tautología?
E) Kate es idealista, entonces es poeta.
II) ( p q) ( p q)
12.- Determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
III)
A) VFF
B) FFF
D) VFV
E) VVF
C) VVV
C) VFF
B) II
D) I y II
E) I y III
Julio:
C) III
A) P no jugará con A, pero sí con F
B) P jugará con A
I.
C) P no jugará con F
1 + 1 = 3 ó Lima está en París
D) P jugará con A o F
II. 2 < 4y -2 < -4
2
III. Si (-3) < (-2) , entonces - 3 > -2
E) No es cierto que P clasificó al mundial
Und. 11 – Lógica Matemática
«Ganó Víctor»
Ricardo: «Yo no gané»
17.- Se sabe que: «Si P clasifica al mundial, jugará
con A o F. Se sabe, además que P ya clasifico al
mundial. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye necesariamente de ellas?
13.- Establecer los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
20.- Cuatro amigos participaron en una carrera; cuando se les pregunta por el resultado, se obtuvieron
las siguientes respuestas:
Eduardo: «Ganó Julio»
( p q) p q
A) I
D) Ningún adolescente es ingenioso.
E) Todos los ingeniosos son adolescentes.
( p q) ( p q)
I)
2
19.- Si se sabe que: «Todos los adolescentes son
creativos, todos los creativos son ingeniosos. Ningún intransigente es ingenioso». ¿Qué se concluye?
C) Todos los creativos son adolescentes.
D) Luis no es ingenioso entonces es arquitecto.
III. 4 = (-4) , sí y sólo si 4 = - 4
C) Todo gato es bilingüe
B) Ningún adolescente es intransigente.
A) Raúl es arquitecto. Entonces Raúl no es poeta.
II. No es verdad que 3 + 3 = 5
B) Algún gato es vertebrado
A) Todos los ingeniosos son creativos.
II) p (q r ) p
B) VVF
Si 1 + 1 = 3, entonces 4 + 4 = 8
A) Todo bilingüe es invertebrado
E) Ningún bilingüe es gato
A) VVV
I.
18.- Se sabe que: «Todos los gatos son invetebrados
y algunos gatos son bilingües». Entonces, se deduce que:
D) Algún bilingüe es invertebrado
Todos los arquitectos son idealistas. Los poetas son
ingeniosas. Ningún ingeniero es idealista.
2
E) Algunas veces no jugaré fútbol
E) VVF
III) r t
2
09.- Identifica la negación de:
«No es mentira que nunca dejaré de jugar fútbol».
D) VFV
C) FFV
11.- Información:
C) Eva es poeta, luego, Eva no es ingeniosa.
Rocío sabe que uno de ellos miente siempre, otro
miente sólo una vez; y el último siempre responde
con la verdad. Por otro lado, si todos respondieran
con la verdad, todos darían la misma respuesta.
¿Quién es el que miente siempre?
B) VFF
B) 36 es múltiplo de 2. Luego, 36 es múltiplo de 3.
C) 36 es múltiplo de 3. Luego, 36 es múltiplo de 2.
07.- Establecer el valor de verdad de
A) FFF
Víctor:
«Julio mintió, cuando dije que yo gané».
Si se sabe que en la carrera no hubo empates, y que
solo uno de ellos está diciendo la verdad. ¿Quién
dice la verdad?
A) Ricardo
B) Víctor
C) Eduardo
D) Julio
E) No se puede saber
21.- Si la proposición: «Marco es feliz, si estudia
mucho», es verdadera, entonces se afirma que:
A) No es cierto que estudie mucho o que no sea
feliz.
B) No es cierto que estudie mucho y que sea feliz.
C) No es cierto que estudie mucho y que no sea
feliz.
749
D) No es cierto que no estudie mucho y que sea
feliz.
E) No es cierto que no estudie mucho y que no sea
feliz.
22.- Simboliza la siguiente expresión:
«No es el caso que Grau fuera chileno o Bolognesi
ecuatoriano, y se comunique esto a los alumnos».
Se obtiene:
A) ( p q) r
B) ( p q) r
C) ( p q) r
D) ( p q) r
23.- Formaliza la siguiente expresión y analiza si el
razonamiento es válido: «Adriana nació en Lima o
Huancayo si su papá trabaja ahí, si y solo si no nació en Huancayo, entonces no nació en Lima».
A) [( p (r q )] ( q p )
B) [( p ( r q)] ( q p)
C) ( pr ) [q ( q p)]
D) [( p( q r )] ( r q)
E) [( p r ) q) ( p r )
B) 4; 1 y 2
D) 8; 1 y 2
E) 6; 1 y 2
I.
[( p r ) ( q r )] ( p q )
II.
[( p q ) ( p q )] ( p q ) r
III.
[( p q r ) r )] [( p r )] r r
A) Sólo I
B) Sólo II
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
B) ( s t ) ( p r )
C) ( p r ) ( s t )
D) ( p r ) ( s t )
E) ( p r ) ( s t )
C) 4; 2 y 1
No es el caso que, hoy salga el sol y mañana
vamos a la playa
II. Hoy sale el sol y mañana vamos a la playa
III. Hoy no sale el sol o mañana no vamos a la playa
A) I
B) I y II
D) III
E) I y III
750
Aritmética
C) Sólo III
27.- Se define las siguientes proposiciones «p: la
selección peruana entrena», «r: la selección argentina entrena» «s: la selección argentina clasifica»,
«t : la selección brasileña siempre gana»
Representa simbólicamente el siguiente texto a partir de dichas proposiciones:
«La selección argentina no clasifica o la selección
brasileña siempre gana, porque la selección peruana entrena y la selección argentina no entrena».
¿Cuál de las alternativas representa a dicho texto?
25.- ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones
es equivalente a: «Si hoy sale el sol, entonces mañana no vamos a la playa»
I.
p
A) ( p r ) ( s t )
24.- ¿Cuántos conectivos lógicos conjuntivos,
disyuntivos y condicionales, en ese orden, se distinguen en el siguiente texto?. César tiene éxito, o es
inteligente y posee gran voluntad; Eva también es
inteligente, pero le falta perseverancia; Luis es un
poco apático y no muy inteligente, por ello no triunfa; en cambio, Raquel es audaz, y no se obsesiona si
no tiene las cualidades para algo.
A) 5; 1 y 2
26.- Si r, p y q son proposiciones lógicas con r tautología ¿Cuáles de las proposiciones siguientes son
tautología?
C) II
01
C
02
E
03
B
04
A
05
D
06
D
07
A
08
B
09
A
10
C
11
A
12
E
13
C
14
B
15
A
16
E
17
D
18
D
19
B
20
A
21
C
22
A
23
A
24
E
25
E
26
C
27
B
0
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