Tema V. EL ANOVA multifactorial 5.1. El ANOVA de múltiples

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Tema V. EL ANOVA multifactorial
5.1. El ANOVA de múltiples factores:
- Factorial (ortogonal): los no ortogonales no los veremos
- Factores fijos, aleatorios y mixtos (consecuencias prácticas)
- El Anova encajado
La variable que vamos a estudiar (dependiente) = valor de HDL en sangre
Igual número de réplicas en cada combinación
de los dos factores:
Los factores:
Enfermo/Sano
Fumador/No fumador
Muestra 1 (10 enfermos):
Muestra 2 (10 sanos):
Enfermo
Fumador
5 casos
No fumador
5 casos
Sano
5 casos
5 casos
Porcentage de HDL en sangre
No fumador
Fumador
120, 116, 114, 117, 114,
112, 107, 110, 111, 113
107, 108, 105, 107, 106,
111, 111 110, 111, 110
1
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Tema V. EL ANOVA multifactorial
5.2. El ANOVA de dos factores fijos:
- Ejemplo y datos
- Interpretación unifactorial versus multifactorial (las interacciones)
- La importancia de las interacciones
Los 2 factores y la
interacción
Factor Enfermedad
I.C. 95%
115.00
Vicio
]
112.50
]
107.50
HDL
HDL
110.00
112
Fumador
No Fumador
]
116
]
Sano
Enfermedad
Funifactorial = 12,14**
114.00
112.00
]
]
110.00
]
108.00
108
Enfermo
Factor Vicio
HDL
Muestra 1 (10 enfermos):
Muestra 2 (10 sanos):
Porcentage de HDL en sangre
No fumador
Fumador
120, 116, 114, 117, 114,
112, 107, 110, 111, 113
107, 108, 105, 107, 106,
111, 111 110, 111, 110
]
Fumador
104
Enfermo
Sano
Enfermedad
Fenfermedad
Fvicio
Finteracción
= 135,17***
= 0,03ns
= 35,17***
no Fumador
Vicio
Funifactorial = 0,20ns
2
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5.2. El ANOVA de dos factores fijos:
- Descripción de los posibles efectos:
. Enfermedad (E); Vicio (V) e interacción (I)
116
Vicio
Vicio
Vicio
Fumador
No Fumador
Fumador
No Fumador
Fumador
No Fumador
116
]
]
]
116
]
]
ENS
VNS
INS
108
104
Enfermo
HDL
]
]
112
108
104
Sano
E***
VNS
INS
]
108
104
]
]
ENS
V***
INS
Enfermo
Vicio
Fumador
No Fumador
Sano
Enfermedad
]
116
HDL
HDL
112
Sano
112
Vicio
Vicio
Fumador
No Fumador
Fumador
No Fumador
108
]
104
Enfermo
Sano
Enfermedad
]
]
]
Enfermo
Enfermedad
]
]
]
ENS
VNS
I***
]
104
Enfermo
Enfermedad
116
112
108
Sano
Enfermedad
116
HDL
112
HDL
HDL
]
E***
V***
INS
]
112
]
108
]
]
104
Enfermo
ENS
V***
I***
Sano
Enfermedad
3
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5.2. El ANOVA de dos factores fijos:
- Las fórmulas son una extensión del ANOVA unifactorial
- Se aplican igual para dos o más factores…
No fumador (1)
Enfermos (1): xab1, xab2, xab3,… xabn
Sanos
(a): xab1, xab2, xab3,… xabn
Fumador (b)
xab1, xab2, xab3,… xabn
xab1, xab2, xab3,… xabn
4
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5.2. El ANOVA de dos factores fijos:
- Los componentes de varianza y el test estadísticos:
. La mayoría de los PROGRAMAS aplican el modelo III (no se corrigen)
. Realización del test
No fumador (1)
Enfermos (1): xab1, xab2, xab3,… xabn
Sanos
(a): xab1, xab2, xab3,… xabn
Factores
Enfermedad (E)
Vicio (V)
Interacción (EV)
Residuo (w)
Enfermedad (E)
Vicio (V)
Interacción (I= ExV) 1
Residuo
Total
Fumador (b)
xab1, xab2, xab3,… xabn
xab1, xab2, xab3,… xabn
Componentes
CME =
CMV =
CMEV =
CMw =
Test
σ2w + bnσ2E/(a-1)
σ2w + anσ2V/(b-1)
σ2w + nσ2EV
σ2w
Gl
1
1
115
16
19
SC
115
3,2
115
52,4
CM
115
3,2
115
3,27
CME/CMw
CMV/CMw
CMEV/CMw
Test F
115/3,3 = 35***
3,2/3,3 = 0,9ns
115/3,3 = 35***
5
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5.2. El ANOVA de dos factores fijos:
- El test estadístico (modelo I):
. Salida de software especializado (SPSS/PC)
Variable dependiente: HDL
Fuente
Modelo corregido
Intersección
Enfermedad
Vicio
Enfermedad * Vicio
Error
Total
Total corregida
Suma de
cuadrados
tipo I
233.600a
246420.000
115.200
3.200
115.200
52.400
246706.000
286.000
gl
3
1
1
1
1
16
20
19
Media
cuadrática
77.867
246420.000
115.200
3.200
115.200
3.275
F
23.776
75242.748
35.176
.977
35.176
Significación
.000
.000
.000
.338
.000
a. R cuadrado = .817 (R cuadrado corregida = .782)
¡En cualquier caso la interacción es importante!
6
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5.2. El ANOVA de dos factores fijos:
- La magnitud de los efectos (uso de los eta2):
. Comparación de dos factores significativos
Enfermedad
Vicio
Enfermedad * Vicio
Error
Factores
Enfermedad (E)
Vicio (V)
Interacción (EV)
Residuo (w)
115.200
3.200
115.200
52.400
1
1
1
16
Componentes
Test
CME = σ2w + bnσ2E/(a-1)
CMV = σ2w + anσ2V/(b-1)
CMEV = σ2w + nσ2EV
CMw = σ2w
CME/CMw
CMV/CMw
CMEV/CMw
115.200
3.200
115.200
3.275
35.176
.977
35.176
.000
.338
.000
eta2EV = (CMEV – CMw) = 22,4
n
eta2E = (CME – CMw)(a-1) = 11,2
bn
Efecto EV >> Efecto E
]
HDL
116
112
]
¡La interacción es de hecho LO MÁS IMPORTANTE!
]
108
]
104
Enfermo
Sano
Enfermedad
7
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5.3. El ANOVA de dos factores aleatorios y mixto:
- Si imaginamos otro ejemplo con distintos factores:
. Aleatorio: la evaluación de los componentes E (aleatorio) V (aleatorio)
. Mixto: la evaluación de los componentes E (fijo) V (aleatorio)
- Se pueden deducir los componentes de cualquier ANOVA, a partir del sencillo
- Los software comerciales realizan estos cálculos automáticamente
- Se pueden estimar los componentes de la varianza (de forma parecida a los eta2)
ANOVA aleatorio
Factores
Enfermedad (E)
Vicio (V)
Interacción (EV)
Residuo (w)
Componentes
CME =
CMV =
CMEV =
CMw =
σ2w + nσ2EV + bnσ2E/(b-1)
σ2w + nσ2EV + anσ2V/(a-1)
σ2w + nσ2EV
σ2w
Test
CME/CMEV
CMV/CMEV
CMEV/CMw
ANOVA mixto
Factores
Enfermedad (E)
Vicio (V)
Interacción (EV)
Residuo (w)
Componentes
CME =
CMV =
CMEV =
CMw =
σ2w + nσ2EV + bnσ2E/(a-1)
σ2w + anσ2V
σ2w + nσ2EV
σ2w
Test
CME/CMEV
CMV/CMw
CMEV/CMw
8
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5.3. El ANOVA de dos factores aleatorio y mixto:
- El ejemplo anterior pero analizado mediante modelos mixto ó aleatorio:
Porcentage de HDL en sangre
No fumador
Fumador
120, 116, 114, 117, 114,
112, 107, 110, 111, 113
107, 108, 105, 107, 106,
111, 111 110, 111, 110
Muestra 1 (10 enfermos):
Muestra 2 (10 sanos):
ANOVA aleatorio
p
Fuente
Intersección
Enfermedad
Vicio
Enfermedad
* Vicio
Hipótesis
Error
Hipótesis
Error
Hipótesis
Error
Hipótesis
Error
Suma de
cuadrados
tipo I
246420.000
3.200
115.200
115.200
3.200
115.200
115.200
52.400
a. MS(Vicio)
b. MS(Enfermedad * Vicio)
c. MS(Error)
gl
1
1
1
1
1
1
1
16
Media
cuadrática
F
246420.000 77006.250
3.200a
115.200
1.000
b
115.200
3.200
.028
b
115.200
115.200
35.176
c
3.275
Significación
.002
.500
.895
.000
El mixto es muy parecido FV = 3,2/3,27
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5.4. El ANOVA de dos factores encajado:
- En algunos casos interesa la variación de un factor superpuesta a la variación en otro
- Factores encajados: los niveles dentro de cada tratamiento no son idénticos
Datos Antiguos
No fumador
Enfermos: 120, 116, 114, 117, 114,
Sanos:
107, 108, 105, 107, 106,
Fumador
112, 107, 110, 111, 113
111, 111 110, 111, 110
Datos Nuevos
Enfermos
Sanos
Año 1
Año 2
Año 1
Año 2
120
116
114
117
114
112
107
110
111
113
107
108
105
107
106
111
111
110
111
110
Año 1 y Año 2 no serían los mismos, necesariamente, en Enfermos y Sanos….
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5.4. El ANOVA de dos factores encajado:
- La partición de un ANOVA encajado: Enfermedad (Fijo), Año (encajado)
E (FIJO) y A (FIJO)
Factores
Enfermedad (E)
Año (A)
Interacción (EA)
Residuo (w)
G.L.
S.C.
a-1
SCE
b-1
SCA
(a-1)(b-1) SCEA
ab(n-1) SCw
Componentes
Test
CME = σ2w + bnσ2E/(a-1)
CMA = σ2w + anσ2A/(b-1)
CMEA = σ2w + nσ2EA
CMw = σ2w
CME/CMw
CMA/CMw
CMEA/CMw
E (FIJO) y A (ENCAJADO)
Factores
Enfermedad (E)
Año (A(E))
Residuo (w)
G.L.
S.C.
Componentes
Test
a-1
a(b-1)
ab(n-1)
SCE
SCA+SCEA
SCw
CME = σ2w+ nσ2A+bnσ2E/(a-1) CME/CMA
CMA = σ2w+ nσ2A
CMA/CMw
2
CMw= σ w
11
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5.4. El ANOVA de dos factores encajado:
- El ejemplo
Datos Nuevos
Enfermos
Sanos
Año 1
Año 2
Año 1
Año 2
120
116
114
117
114
112
107
110
111
113
107
108
105
107
106
111
111
110
111
110
Enfermedad
Año
Enfermedad * Año
Error
Enfermedad (E)
Año (A(E))
Residuo
Total
115.200
3.200
115.200
52.400
1
1
1
16
Gl
1
2
16
19
SC
115
118,4
52,4
115.200
3.200
115.200
3.275
CM
115
59,2
3,27
35.176
.977
35.176
.000
.338
.000
Test F
115/59,2 = 1,9ns
59,2/3,3 = 18,1***
Los efectos de la enfermedad no son reales si se promedian en años diferentes
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Tema V. EL ANOVA multifactorial
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5.5. El ANOVA de más de dos factores:
- No hay límite teórico, pero muchos diseños no son prácticos
- Hay que evaluar los grados de libertad del numerador y denominador (test F)
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Referencias Bibliográficas
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LIBROS:
Sokal,R.R., Rohlf, F.J. 1995. Biometry. Freeman and co., New York
Underwood, A.J. 1981. Techniques of analysis of variance in
experimental marine biology and ecology. Oceanogr. Mar.
Biol. Ann. Rev., 19: 513-605.
PÁGINAS WEB:
http://www.provalisresearch.com/simstat/simstatv.html
(Ejemplo de software aplicado de estadística que se puede descargar gratis por 30 días)
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