29 La derivada y el problema de la recta tangente. Larson. 116-123

96
CAPÍTULO 2
Derivación
La derivada y el problema de la recta tangente
2.1
Hallar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto.
Usar la definición de límite para calcular la derivada de una función.
Comprobar la relación entre derivabilidad y continuidad.
■
■
■
El problema de la recta tangente
Mary Evans Picture Library
El cálculo se desarrolló a la sombra de cuatro problemas en los que estaban trabajando los
matemáticos europeos en el siglo XVII.
1.
2.
3.
4.
ISAAC NEWTON (1642-1727)
Además de sus trabajos relativos al Cálculo,
Newton aportó contribuciones a la Física
tan revolucionarias como la Ley de la
Gravitación Universal y sus tres leyes del
movimiento.
y
P
x
El problema de la recta tangente (sección 1.1 y esta sección)
El problema de la velocidad y la aceleración (secciones 2.2 y 2.3)
El problema de los máximos y mínimos (sección 3.1)
El problema del área (secciones 1.1 y 4.2)
Cada uno de ellos involucra la noción de límite y podría servir como introducción al
cálculo.
En la sección 1.1 se hizo una breve introducción al problema de la recta tangente.
Aunque Pierre de Fermat (1601-1665), René Descartes (1596-1650), Christian Huygens
(1629-1695) e Isaac Barrow (1630-1677) habían propuesto soluciones parciales, la primera solución general se suele atribuir a Isaac Newton (1642-1727) y a Gottfried Leibniz
(1646-1716). El trabajo de Newton respecto a este problema procedía de su interés por la
refracción de la luz y la óptica.
¿Qué quiere decir que una recta es tangente a una curva en un punto? En una circunferencia, la recta tangente en un punto P es la recta perpendicular al radio que pasa por P,
como se muestra en la figura 2.1.
Sin embargo, en una curva general el problema se complica. Por ejemplo, ¿cómo se
podrían definir las rectas tangentes que se observan en la figura 2.2? Afirmando que una
recta es tangente a una curva en un punto P si toca a la curva en P sin atravesarla. Tal definición sería correcta para la primera curva de la figura 2.2, pero no para la segunda. También
se podría decir que una recta es tangente a una curva si la toca o hace intersección en ella
exactamente en el punto P, definición que serviría para una circunferencia pero no para
curvas más generales, como sugiere la tercera curva de la figura 2.2.
y
y
Recta tangente a una circunferencia
y
Figura 2.1
y
f(x)
P
P
y
y = f (x)
f(x)
P
x
x
Recta tangente a una curva en un punto
Figura 2.2
EXPLORACIÓN
Identificación de una recta tangente Utilizar una herramienta de graficación para representar la función ƒ(x) 2x3 4x2 3x 5. En la misma pantalla, dibujar la gráfica
y x 5, y 2x 5 y y 3x 5. ¿Cuál de estas rectas, si es que hay alguna, parece
tangente a la gráfica de ƒ en el punto (0, 5)? Explicar el razonamiento.
x
SECCIÓN 2.1
y
(c
f (c
x , f(c
x))
x)
f (c) = y
(c, f(c))
97
En esencia, el problema de encontrar la recta tangente en un punto P se reduce al de
calcular su pendiente en ese punto. Se puede aproximar la pendiente de la recta tangente
usando la recta secante* que pasa por P y por otro punto cercano de la curva, como se muestra en la figura 2.3. Si (c, ƒ(c)) es el punto de tangencia y (c
x, ƒ(c
x)) es el otro
punto de la gráfica de ƒ, la pendiente de la recta secante que pasa por ambos puntos se encuentra sustituyendo en la fórmula
y 2 y1
x 2 x1
xD
f Sc
Sc
xD
m
x
x
msec
Recta secante que pasa por (c, ƒ(c)) y
(c
x, ƒ(c
x))
Figura 2.3
La derivada y el problema de la recta tangente
f Sc
msec
f ScD
c
xD
x
f ScD
Cambio en y
.
Cambio en x
.
Pendiente de la recta secante.
El miembro de la derecha en esta ecuación es un cociente de incremento o de diferencias.
El denominador x es el cambio (o incremento) en x y el numerador y ƒ(c
x)
ƒ(c) es el cambio (o incremento) en y.
La belleza de este procedimiento radica en que se pueden obtener más aproximaciones
y más precisas de la pendiente de la recta tangente tomando puntos de la gráfica cada vez
más próximos al punto P de tangencia, como se muestra en la figura 2.4.
EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE
En 1637 el matemático René Descartes
afirmó lo siguiente respecto al problema de
la recta tangente:
x 0
(c, f(c))
y
y
“Y no tengo inconveniente en afirmar que
éste no es sólo el problema de Geometría más
útil y general que conozco, sino incluso el
que siempre desearía conocer.”
(c, f(c))
x
(c, f(c))
x
y
(c, f(c))
y
x
x
(c, f(c))
(c, f(c))
y
y
x
x
(c, f(c))
(c, f(c))
x 0
Tangent
line
Recta
tangente
Tangent
line
Recta tangente
Aproximaciones a la recta tangente
Figura 2.4
DEFINICIÓN DE LA RECTA TANGENTE CON PENDIENTE m
Si ƒ está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite
lím
x
0
y
x
lím
x
0
f Sc
xD
x
f ScD
m
entonces la recta que pasa por (c, ƒ(c)) y cuenta con una pendiente m es la recta
tangente a la gráfica de ƒ en el punto (c, ƒ(c)).
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto (c, ƒ(c)) se llama también
pendiente de la gráfica de f en x c.
* El uso de la palabra secante procede del latín secare, que significa cortar, y no es una referencia a la función
trigonométrica del mismo nombre.
98
CAPÍTULO 2
Derivación
EJEMPLO 1
La pendiente de la gráfica de una función lineal
Encontrar la pendiente de la gráfica de
ƒ(x)
2x
3
en el punto (2, 1).
f(x)
y
3
2
y
2x
3
x
฀1
Solución Para encontrar la pendiente de la gráfica de ƒ cuando c 2, aplicar la definición
de la pendiente de una recta tangente como se muestra a continuación:
lím
x
฀2
f S2
xD
x
0
f S2D
lím
lím
m=2
(2, 1)
lím
0
x
x
1
2
3G
x
4
2 x
3
x
F2S2D
4
3G
3
2 x
x
lím 2
3
La pendiente de ƒ en (2, 1) es m
xD
0
x
1
F2S2
0
x
0
x
2
2
La pendiente de ƒ en (c, ƒ(c))
Figura 2.5
(2, 1) es m
2, como se observa en la figura 2.5.
NOTA En el ejemplo 1, la definición de la pendiente de ƒ por medio de límites concuerda con la
definición analizada en la sección P.2.
La gráfica de una función lineal tiene la misma pendiente en todos sus puntos. Esto no
sucede en las funciones no lineales, como se puede observar en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 2
Calcular las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de
y
ƒ(x)
4
f(x) = x 2
2
1
Recta tangente
en (0, 1)
x
1
1
Solución Sea (c, ƒ(c)) un punto cualquiera de la gráfica de ƒ. La pendiente de la recta
tangente en él se encuentra mediante:
lím
2
x2
en los puntos (0, 1) y ( 1, 2), que se ilustran en la figura 2.6.
3
Recta
tangente
en (
Rectas tangentes a la gráfica de una función no lineal
1
2
0
f Sc
xD
x
f ScD
lím
x
lím
La pendiente de ƒ en un punto cualquiera
(c, ƒ(c)) es m 2c
x
c2
2cS xD
2cS xD
0
lím S2c
x
1G
x
0
lím
Figura 2.6
xD 2
0
x
x
FSc
0
Sc 2
S xD 2
x
1D
1
c2
1
S xD 2
x
xD
2c.
De tal manera, la pendiente en cualquier punto (c, ƒ(c)) de la gráfica de ƒ es m 2c. En el
punto (0, 1) la pendiente es m 2(0) 0 y en ( 1, 2) la pendiente es m 2( l)
2.
NOTA
x
0).
Observar que en el ejemplo 2, c se mantiene constante en el proceso de límite (cuando
SECCIÓN 2.1
y
lím
x
f Sc
xD
x
0
(c, f (c))
x
La gráfica de ƒ tiene recta tangente vertical
en (c, ƒ(c))
Figura 2.7
99
La definición de la recta tangente a una curva no incluye la posibilidad de una recta
tangente vertical. Para éstas, se usa la siguiente definición. Si ƒ es continua en c y
Recta
tangente
vertical
c
La derivada y el problema de la recta tangente
f ScD
o
lím
x
0
f Sc
xD
x
f ScD
la recta vertical, x c, que pasa por (c, ƒ(c)) es una recta tangente vertical a la gráfica de
ƒ, por ejemplo, la función que se muestra en la figura 2.7 tiene tangente vertical en (c, ƒ(c)).
Si el dominio de ƒ es el intervalo cerrado [a, b], se puede ampliar la definición de recta
tangente vertical de manera que incluya los extremos, considerando la continuidad y los
límites por la derecha (para x a) y por la izquierda (para x b).
Derivada de una función
Se ha llegado a un punto crucial en el estudio del cálculo. El límite utilizado para definir la
pendiente de una recta tangente también se utiliza para definir una de las dos operaciones
fundamentales del cálculo: la derivación.
DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La derivada de ƒ en x está dada por
f SxD
lím
x
f Sx
xD
x
0
f SxD
siempre que exista ese límite. Para todos los x para los que exista este límite, f es
una función de x.
Observar que la derivada de una función de x también es una función de x. Esta “nueva”
función proporciona la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto (x, ƒ(x)),
siempre que la gráfica tenga una recta tangente en dicho punto.
El proceso de calcular la derivada de una función se llama derivación. Una función es
derivable en x si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a, b) si es
derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo.
Además de ƒ (x), que se lee “ƒ prima de x”, se usan otras notaciones para la derivada
de y ƒ(x). Las más comunes son:
f SxD,
dy
,
dx
y,
d
F f SxDG,
dx
Dx F yG.
Notaciones para la derivada.
La notación dyYdx se lee “derivada de y con respecto a x” o simplemente “dy, dx”. Usando
notaciones de límites, se puede escribir
dy
dx
lím
x
0
lím
x
0
f SxD.
y
x
f Sx
xD
x
f SxD
100
CAPÍTULO 2
Derivación
EJEMPLO 3
Cálculo de la derivada mediante el proceso de límite
Calcular la derivada de ƒ(x)
x3
2x.
Solución
fx lím
x0
Cuando se use la
definición para encontrar la derivada de
una función, la clave consiste en volver
a expresar el cociente incremental
(o cociente de diferencias), de manera
que x no aparezca como factor del
denominador.
AYUDA DE ESTUDIO
lím
x0
lím
x0
lím
x0
lím
x0
lím
x0
f x x f x
x
Definición de derivada.
x x3 2x x x3 2x
x
3
2
x 3x x 3xx 2 x3 2x 2x x3 2x
x
2
2
3
3x x 3xx x 2x
x
2
x 3x 3xx x 2 2
x
2
3x 3xx x 2 2
3x 2 2
Cabe recordar que la derivada de una función ƒ es en sí una función, misma que puede
emplearse para encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto (x, ƒ(x)) de la gráfica
de ƒ.
EJEMPLO 4
Uso de la derivada para calcular la pendiente en un punto
Encontrar ƒ (x) para ƒ(x)
x. Calcular luego la pendiente de la gráfica de ƒ en los puntos
(1, 1) y (4, 2). Analizar el comportamiento de ƒ en (0, 0).
Solución
Se racionaliza el numerador, como se explicó en la sección 1.3.
f x x f x
x0
x
x x x
lím
x0
x
fx lím
y
lím
3
x0
(4, 2)
2
(1, 1)
m
(0, 0) 1
1
2
f (x) =
x
3
4
La pendiente de ƒ en (x, ƒ(x)), x ฀ 0, es
m 1Y?2 x x
x x x
x x x
x
x x
x x x x x
lím
x0
x x
x x 1
lím
x0 x
x x
x0
x
2
x x x
lím
1
4
m
Definición de derivada.
1
, x > 0
2x
Figura 2.8
En el punto (1, 1) la pendiente es ƒ (1) ฀ ,N . En el punto (4, 2) la pendiente es ƒ (4) ฀ ,I . Ver
la figura 2.8. En el punto (0, 0) la pendiente no está definida. Además, la gráfica de ƒ tiene
tangente vertical en (0, 0).
SECCIÓN 2.1
La derivada y el problema de la recta tangente
101
En muchas aplicaciones, resulta conveniente usar una variable independiente distinta
de x, como se manifiesta en el ejemplo 5.
Cálculo de la derivada de una función
EJEMPLO 5
Encontrar la derivada de la función y
Solución
dy
dt
Considerando y
f St
lím
ƒ(t), se obtiene
tD
t
0
t
2Yt respecto a t.
f StD
Definición de derivada.
2
t
t
t
2t 2St
tD
tSt
tD
t
2 t
tStDSt
tD
2
t St
tD
2
t
lím
0
t
lím
0
t
4
y
2
t
lím
0
t
lím
0
t
0
6
2t
y
4
En el punto (1, 2) la recta y
2t
tangente a la gráfica de y 2Yt
4 es
tD
2YSt
tD y f StD
2Yt.
Combinar las fracciones del numerador.
Cancelar el factor común t.
Simplificar.
2
.
t2
(1, 2)
0
f St
Evaluar el límite cuando t
0.
TECNOLOGÍA Se puede utilizar una herramienta de graficación para corroborar el
resultado del ejemplo 5. Es decir, usando la fórmula dyYdt
2Yt2, se sabe que la pendiente de la gráfica de y 2Yt en el punto (1, 2) es m
2. Esto implica que, usando la
forma punto-pendiente, una ecuación de la recta tangente a la gráfica en (1, 2) es
y
Figura 2.9
2
2(t
1) o
2t
y
4
como se muestra en la figura 2.9.
Derivabilidad y continuidad
La siguiente forma alternativa como límite de la derivada es útil al investigar la relación que
existe entre derivabilidad y continuidad. La derivada de ƒ en c es
y
(x, f (x))
f ScD
(c, f (c))
x−c
f (x) − f (c)
x
x
Cuando x tiende a c, la recta secante se
aproxima a la recta tangente
Figura 2.10
x
x
c
f SxD
x
f ScD
c
Fórmula alternativa de la derivada.
siempre que dicho límite exista (ver la figura 2.10). (En el apéndice A se demuestra la equivalencia de ambas fórmulas.) Observe que la existencia del límite en esta forma alternativa
requiere que los límites unilaterales
lím
c
lím
c
f SxD
x
f ScD
c
y
lím
x
c
f SxD
x
f ScD
c
existan y sean iguales. Estos límites laterales se denominan derivada por la izquierda y
por la derecha, respectivamente. Se dice que ƒ es derivable en un intervalo cerrado [a, b]
si es derivable en (a, b) y existen además la derivada por la derecha en a y la derivada por
la izquierda en b.
102
CAPÍTULO 2
Derivación
Si una función no es continua en x
la función parte entera o mayor entero
y
2
f SxD
1
1
1
3
2
f (x) = [[x]]
2
lím
f SxD
x
f S0D
0
lím
f SxD
x
f S0D
0
0
x
c. Por ejemplo,
VxB
no es continua en x 0, y en consecuencia no es derivable en x
Esto se comprueba con sólo observar que
x
2
c, no puede ser derivable en x
VxB
lím
0
Derivada por la izquierda.
x
0
x
0 (ver la figura 2.11).
y
La función parte entera no es derivable en
x 0, ya que no es continua en ese punto
Figura 2.11
0
x
VxB
lím
0
0.
x
0
x
Derivada por la derecha.
Aunque es cierto que derivable implica continua (como se muestra en el teorema 2.1), el
recíproco no es cierto. En otras palabras, puede ocurrir que una función sea continua en
x c y no sea derivable en x c. Los ejemplos 6 y 7 ilustran tal posibilidad.
EJEMPLO 6
La función
y
3
f(x)
2
Una gráfica con un punto angular
1
m
1
2
3
2\
que se muestra en la figura 2.12 es continua en x
1
m
\x
f SxD
2
x
lím
f SxD
x
f S2D
2
lím
f SxD
x
f S2D
2
x
1
x
4
2
\x
lím
2
x
x
2\
0
2. Sin embargo, los límites unilaterales
1
2
Derivada por la izquierda.
y
ƒ no es derivable en x 2, porque las
derivadas laterales no son iguales
x
Figura 2.12
2
lím
\x
2
x
x
2\
0
2
1
Derivada por la derecha.
no son iguales. Por consiguiente, ƒ no es derivable en x
recta tangente en el punto (2, 0).
EJEMPLO 7
y
Una gráfica con una recta tangente vertical
La función
x 1/3
f(x)
ƒ(x)
1
x1Y3
es continua en x
x
2
1
1
2
lím
x
1
0
f SxD
x
0, como se observa en la figura 2.13. Sin embargo, como el límite
f S0D
0
lím
x
ƒ no es derivable en x 0, porque tiene
tangente vertical en ese punto
x1Y3
0
0
x
0
lím
x
Figura 2.13
2 y la gráfica de ƒ no tiene una
1
x 2Y3
es infinito, se puede concluir que la recta tangente en x
derivable en x 0.
0 es vertical. Por tanto, ƒ no es
En los ejemplos 6 y 7 se puede observar que una función no es derivable en un punto
donde su gráfica cuenta con un punto angular o una tangente vertical.
SECCIÓN 2.1
TECNOLOGÍA Algunas herramientas de graficación utilizan los
programas de cálculo Maple, Mathematica y TI89, para realizar una
derivación simbólica. Otros la hacen
numérica, calculando valores de la
derivada mediante la fórmula
f x f x x f x x
2x
La derivada y el problema de la recta tangente
103
TEOREMA 2.1 DERIVABLE IMPLICA CONTINUA
Si ƒ es derivable en x
c, entonces ƒ es continua en x
c.
Para comprobar que ƒ es continua en x c bastará con mostrar que ƒ(x)
DEMOSTRACIÓN
tiende a ƒ(c) cuando x
c. Para tal fin, usar la derivabilidad de ƒ en x c considerando
el siguiente límite.
donde x es un número pequeño como 0.001. ¿Observa algún
problema con esta definición? Por
ejemplo, usándola ¿cuál sería la
derivada de ƒ(x) UxU en x 0?
f xx cf c
f x f c
lím x c lím
xc lím f x f c lím x c
xc
xc
xc
xc
0 f c
0
Puesto que la diferencia ƒ(x) ƒ(c) tiende a cero cuando x
lím f x f c). De tal manera, ƒ es continua en x c.
c, se puede concluir que
xc
Los siguientes enunciados expresan en forma resumida la relación que existe entre
continuidad y derivabilidad:
1.
2.
2.1
Si una función es derivable en x c, entonces es continua en x c. Por tanto, derivable
implica continua.
Es posible que una función sea continua en x c sin ser derivable. En otras palabras,
continua no implica derivable (ver el ejemplo 6).
Ejercicios
En los ejercicios 1 y 2, estimar la pendiente de la curva en los
puntos (x1, y1) y (x2, y2).
1.
a)
Con el fin de resolver los ejercicios 3 y 4, utilizar la gráfica que se
muestra a continuación.
b)
y
y
y
(x1, y1)
(x2, y2)
(x2, y2)
(x1, y1)
x
x
6
5
4
3
2
1
(4, 5)
f
(1, 2)
x
1 2 3 4 5 6
3.
2.
a)
b)
y
y
4.
(x1, y1)
(x2, y2)
Identificar o trazar en la figura cada una de las cantidades siguientes.
a)
f 1 y f 4
c)
y
(x1, y1)
f 4 f 1
x 1 f 1
41
Escribir un símbolo de desigualdad ( o ) entre las cantidades
dadas.
x
x
b) f 4 f 1
a)
f 4 f 3
f 4 f 1
41 43
b)
f 4 f 1
f 1
41 (x2, y2)