Clasificación de los puntos críticos de una función

CLASIFICACIÓN DE LOS PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN:
MÁXIMOS, MÍNIMOS O PUNTOS DE INFLEXIÓN
Conceptos clave:
9. Valores extremos de una función
Se llama valores extremos de una función a sus máximos y mínimos.
10. Punto crítico
a) Un punto crítico se caracteriza, geométricamente, porque la gráfica de la
función en ese punto está momentáneamente horizontal, es constante.
b) Un punto crítico x1, se caracteriza, algebraicamente, porque la primera
derivada de la función vale cero cuando se evalúa en él: f(x1) = 0.
c) Una función f(x) tiene puntos críticos en los valores x del dominio que
hacen que la primera derivada valga cero.
11. Valor máximo
Geométricamente, un valor máximo es el más alto en una curva. Se llama
máximo local si es el punto más alto sólo de una región. Si lo es en todo el
dominio, se llama máximo absoluto.
12. Valor mínimo
Geométricamente, un valor mínimo es el más bajo en una curva. Se llama
mínimo local si es el punto más bajo sólo de una región. Si lo es en todo el
dominio, se llama mínimo absoluto.
13. En la región en que f(x) tiene un máximo, cambia de ser creciente a
decreciente, cuando recorremos el eje X de izquierda a derecha.
14. En la región en que f(x) tiene un mínimo, cambia de ser decreciente a
creciente, cuando recorremos el eje X de izquierda a derecha.
15. Geométricamente, un punto de inflexión se localiza donde la gráfica de
la función cambia de ser cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba o viceversa,
si existe la tangente en ese punto.
16. En la región en que f(x) tiene un punto de inflexión, no cambia su
carácter creciente o decreciente, cuando recorremos el eje X de izquierda a
derecha.
4 - 11
Comportamiento Gráfico y Problemas de Optimización
Ejemplo 1
A partir de cada una de las gráficas siguientes,
determinar las coordenadas de los máximos, mínimos y
puntos de inflexión de la función correspondiente. Decir
cómo cambia el carácter de la función (de creciente a
decreciente, viceversa o no cambia).
1.
3.5
8
3
6
2.5
2.
4
2
2
1.5
0
1
0
0
-1
1
2
3
4
5
6
2
3
-2
0.5
0
1
2
3
-0.5
-4
-6
-1
-8
-1.5
3.
4.
8
10
6
9
8
4
7
2
6
5
0
-3
4
-2
-1
0
1
-2
3
-4
2
1
-6
0
-1
4 - 12
0
1
2
3
4
5
-8
Comportamiento Gráfico y Problemas de Optimización
6.
5.
1.2
6
1
5
4
0.8
3
2
0.6
1
0.4
0
-1.5
0.2
-3
-2
-1
-0.5
-1
0
0.5
1
-2
-3
0
-4
-1
0
1
2
3
4
-4
-5
4 - 13
Comportamiento Gráfico y Problemas de Optimización
1.5