ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 43, Núm. 147, 2001, págs. 5 a 24 Aproximación a una medida de la discrepancia entre tablas demográficas por ERNESTO JESUS VERES FERRER Departamento de Economía Aplicada Universidad de Valencia RESUMEN El esquema del modelo analítico conocido como "tabla demográfica" permite medir la influencia que sobre un único fenómeno demográfico tiene el tiempo, entendido éste como "duración o edad". Cuando nos encontramos con dos tablas demográficas, descriptoras de un mismo fenómeno demográfico, nos preguntamos con frecuencia por su posible semejanza. En este trabajo se define una medida que permite establecer el grado de acercamiento o de alejamiento entre los niveles de un mismo fenómeno demográfico expresados en sendas tablas demográficas. Finalmente, y para ilustrarla, se aplica la metodología expuesta a las tablas-tipo correspondientes a tres niveles consecutivos de mortalidad. Palabras clave: análisis longitudinal, análisis transversal, calendario, intensidad, mortalidad, tabla demográfica, tabla-tipo de mortalidad. Clasificación AMS: 62F03, 62G10, 62P05, 62P25, 92H20. 6 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA 1. INTRODUCCIÓN El modelo conocido como tabla demográfica permite analizar un fenómeno demográfico F a través de cierto suceso característico A, que supondremos irrepetible. La información para el análisis es proporcionada por la observación de la incidencia del suceso A sobre una cohorte, estudiándose la frecuencia con la que ese suceso característico va apareciendo desde una edad inicial -que denotamos por x0- hasta una edad final en la que el suceso deja de hacer su aparición -denotada por xω -. En la literatura de manuales demográficos son muchos los ejemplos de descripción del modelo tabular (Leguina, 1981; Livi-Bacci, 1993; Tapinos, 1990; Vinuesa, 1994). Frente a métodos más elementales de análisis desagregado -métodos de población-tipo, de tasas-tipo y de los números índice- utilizables para controlar o medir la influencia de cualquier tipo de variable, el método tabular tiene su aplicación estricta cuando la variable a controlar es el tiempo, entendido éste como duración o edad. Este trabajo pretende definir una medida, con sentido de globalidad, sobre el grado de acercamiento o alejamiento entre tablas demográficas referidas al mismo fenómeno demográfico F. Se comprende, pues, su posible aplicabilidad a la hora de elegir entre tablas-tipo como descriptoras del comportamiento del hecho demográfico F y para una población cualquiera. Esto es, dadas dos tablas demográficas, podemos preguntarnos hasta qué punto difiere en más o en menos la descripción que realizan del mismo fenómeno F, o, lo que es lo mismo, hasta qué punto los niveles del fenómeno F expresados en ambas son semejantes. Al respecto, es conocido que los distintos niveles de incidencia del fenómeno F suelen describirse a través de indicadores sintéticos como, por ejemplo, la esperanza o el valor medio del calendario. De hecho, la diferencia entre los niveles de incidencia del fenómeno se miden, en muchas ocasiones, comparando estos indicadores. Sin embargo, la medida propuesta en este trabajo tiene en cuenta la incidencia de las diferencias observadas edad por edad, respecto una estructura base de comparación, asegurándose así la homogeneidad de la misma. Por otra parte, en el desarrollo metodológico que define la medida propuesta, se utiliza el artificio formal de explicar una estructura transversal -la de los supervivientes de la tabla demográfica- relacionándola con un análisis longitudinal retrospectivo, y bajo la hipótesis de estabilidad en la intensidad y calendario del fenómeno demográfico estudiado. La distinción entre los análisis longitudinal y transversal es ampliamente tratada en Ryder (1956), Whelpton (1954) y Henry (1956). En Veres (2000) se presenta una aplicación del contraste estadístico de homogeneidad para decidir sobre la significatividad estadística en la igualdad de dos APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS 7 tablas demográficas. Este enfoque supone incorporar al estudio de las tablas demográficas técnicas que son propias de los Métodos Estadísticos. Este es también el sentido del presente trabajo, en el que, como ya se ha indicado, se define una medida del alejamiento de los niveles del fenómeno expresado por ellas. 2. DESCRIPCIÓN DE UNA TABLA DEMOGRÁFICA: NOTACIÓN Una tabla demográfica queda definida a partir de las tres series biométricas fundamentales siguientes: – serie de individuos no alcanzados por A antes de la edad x, denotada por ω (serie de supervivientes); 0 {lx }xx=x – serie del flujo relativo del suceso A entre dos edades consecutivas x y x+1, denotada por {D( x, x + 1)}xx ω=−x10 (serie de flujo de sucesos); y, – serie de probabilidades de que un individuo, en el momento de llegar a la edad − x , sea alcanzado por el suceso A antes de llegar a x+1 , denotada por {qx }xxω= x10 (serie de probabilidades de ocurrencia del suceso A). Suponiendo una cohorte ficticia con l0 efectivos iniciales (generalmente, 104 ó 105 individuos), las relaciones entre las tres series anteriores son las siguientes: D( x, x + 1) = l x − l x+ 1 qx = D( x, x + 1) lx por lo que, conocida una cualquiera de las series, son conocidas las otras dos. La intensidad y el calendario son dos índices analíticos básicos que se deducen fácilmente de una tabla demográfica. La intensidad I -expresada en términos absolutos- representa el número de individuos que acaban por ser alcanzados por el suceso A a lo largo de la vigencia del fenómeno estudiado. Esto es: I = lx 0 − lx ω = x ω −1 ∑ D( x, x + 1) x = x0 mientras que, en términos relativos, esa intensidad puede definirse como el porcentaje de individuos alcanzados por A sobre el total de efectivos iniciales lx 0 , esto es: 8 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Ir = l x0 − l x ω lx 0 = 1− lx ω lx 0 El calendario d(x,x+1) representa la distribución por edades de la intensidad anterior. Se trata de una distribución de probabilidad condicional, de expresión: d( x, x + 1) = D( x, x + 1) I De las dos posibles aproximaciones al análisis de un hecho demográfico, la lo ngitudinal o la transversal, ésta ha sido la comúnmente utilizada en la construcción de las correspondientes tablas demográficas, dada sus menores exigencias en la disponibilidad de datos. Frente a la visión diacrónica empleada por el análisis longitudinal, el análisis transversal efectúa una visión sincrónica, primando en ella la proximidad al momento de la observación. Los problemas inherentes a este enfoque, derivados de la coexistencia en el análisis de diferentes cohortes en observación, son resueltos considerando a todas ellas como si fueran una sola, de manera que los acontecimientos experimentados por aquéllas se asimilan a la vivencia de esta cohorte ficticia o imaginaria. 3. LECTURA ALTERNATIVA DE UNA TABLA DEMOGRÁFICA Consideremos la serie básica de los supervivientes de una tabla demográfica, construida transversalmente. La estructura de sus supervivientes, en el momento temporal de referencia de la tabla, es consecuencia de la evolución experimentada por el fenómeno en años anteriores. Por ello, haciendo un ejercicio de análisis longitudinal retrospectivo, y suponiendo, formalmente, que la intensidad y el calendario del fenómeno descrito en la tabla no han sufrido alteración en períodos pasados, esto es, que retrospectivamente se han mantenido estables, podemos establecer una relación entre la actual estructura de supervivientes -siempre que la población sólo estuviera afectada por el fenómeno descrito en la tabla-, con las que deberían proceder referidas a ciertos momentos anteriores. Sea, pues, el siguiente esquema: 9 APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS Edad de cada l0 en t0 t-ω x0 x1 x2 x3 ... xω -1 xω t-(ω-1) ... l0 ... l0 l1 Tiempo cronológico ← ... t-3 t-2 t-1 t0 ... ... ... ... ... ... ... l0 l1 l2 ... lω -2 lω -1 l0 l1 l2 l3 ... lω -1 lω l0 ... lω -4 lω -3 l0 l1 ... lω -3 lω -2 El esquema anterior pone en relación el análisis transversal propio de la tabla demográfica referida al momento t0, con el análisis longitudinal retrospectivo compatible bajo la hipótesis de igualdad o estabilidad de la intensidad y calendario del fenómeno F. En términos de los flujos de sucesos A necesarios para pasar de una estructura de supervivientes en t-i a la que corresponde en t-i+1 , resultaría el siguiente esquema: Edad de cada l0 en t0 x0 x1 t-ω a t-(ω-1) 0 0 t-(ω-1) a t-(ω-2) 0 0 ... ... … x2 0 0 ... x3 0 0 … ... xω -1 ... 0 xω D( x 0 , x 1) Tiempo cronológico ← t-3 a t-2 a t-2 t-1 0 0 0 0 0 D( x 0 , x 1) ... ... ... D( x 0 , x 1) … D(x ω−4 ,x ω−3 ) D( x1, x 2 ) ... D(x ω−3 , x ω−2 ) D( x 0 , x 1) D( x1, x 2 ) ... D(x ω−3 , x ω− 2 ) D(x ω− 2 , x ω−1 ) t-1 a t0 0 D( x 0 , x 1) D( x1, x 2 ) t0 l0 l1 l2 l3 D( x 2, x 3 ) ... ... D( x ω− 2 , x ω− 1) lω -1 D(x ω−1, x ω ) lω en donde suponemos que los cortes del tiempo cronológico son de la misma amplitud que los empleados en la estructura de los supervivientes: años simples, ó quinquenios, etc.; y, por facilidad en la notación, que lx i = li . La suma, por filas, de los elementos del anterior esquema son siempre iguales a la potencia L 0 de la tabla demográfica: 10 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA x− 1 ∑ D( xi ,x i+1) + lx i= x0 = lx 0 con x=x1,x2,...,xω Considerando, pues, la matriz D 0 0 0 D = ... 0 D( x 0 , x1) lx 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... D(x 0, x 1) l x0 D( x 0 , x1 ) l x0 D( x 1, x 2 ) l x0 ... ... ... ... D(x 0, x 1) D( x ω− 4 , x ω−3 ) ... l x0 l x0 D(x 1, x 2 ) D( x ω− 3, x ω− 2 ) ... l x0 l x0 0 D( x ω−3 , x ω− 2 ) l x0 D( x ω−2 , x ω−1) l x0 ... D( x ω− 2 , x ω−1) lx 0 D( x ω−1, x ω ) lx 0 D( x 0 , x1) lx 0 D( x1, x 2 ) lx 0 D( x 2 , x 3 ) lx 0 y los vectores L 0 y Lx lx 0 lx 0 L0 = ... lx 0 l x1 lx 2 Lx = ... lx ω se verifica que D ⋅ L0 + Lx = L 0 y, consecuentemente, que L 0 = (1 − D) −1 ⋅ L x expresiones que resumen las relaciones existentes entre las series que definen la tabla demográfica. El elemento dik de la matriz D se interpreta como la cantidad de afectados por el suceso característico A en el período t-ω +k-1 , que en t0 tendrían la edad i, exigido por el incremento de una unidad en la potencia de la tabla, siempre que sea cierta la hipótesis de estabilidad formulada. 11 APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS Cabe destacar la semejanza formal de la metodología aquí desarrollada y el esquema de relaciones, en forma de igualdades contables, del análisis económico Input-Output (Alcaide, 1969). 4. MEDIDA PARA LA COMPARACIÓN DE DOS TABLAS DEMOGRÁFICAS Sean dos tablas demográficas -que denotaremos por 1 y 2- que intentan acercarnos al comportamiento de cierto fenómeno demográfico sobre dos poblaciones que corresponden a territorios o momentos diferentes. Sean {l } 1 xω x x= x0 y {l } 2 xω x x= x0 las respectivas series de supervivientes y consideraremos a la tabla 1 como la tabla base para la comparación. Supondremos, además, que los supervivientes finales de las dos tablas son iguales: l1ω = l2ω La metodología anterior aplicada sobre las dos tablas demográficas proporciona las siguientes ecuaciones matriciales: L10 = (1 − D1 )−1 ⋅ L1x {1} L20 = (1 − D2 ) −1 ⋅ L2x en donde la aplicación de la respectiva matriz (1-D)-1 , sobre la respectiva estructura de supervivientes de la tabla demográfica, proporciona el vector constante cuyos elementos son iguales a la potencia de la tabla. Por tanto, la aplicación de (1-D 1)-1 sobre L2x da información a partir de la que puede construirse una medida del grado de representatividad de la tabla 1 al comportamiento del fenómeno F descrito por la tabla demográfica 2. A mayor diferencia entre el vector (1 − D1 )−1 ⋅ L2x y el vector L20 -que es constante- se concluye que la descripción de F por parte de la tabla demográfica 1 está más alejada de su verdadera incidencia sobre la población que la descrita por la tabla 2. El siguiente resultado confirma la aseveración anterior: Proposición 1 Sean dos tablas demográficas, tales que l1ω = l2ω . Siendo D1 la matriz obtenida por aplicación de la metodología anterior sobre la tabla demográfica 1, la aplicación de la matriz (1-D 1)-1 sobre el vector columna L2x de supervivientes al suceso característico A de una segunda tabla demográfica, da como resultado un vector cons- 12 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA tante sólo, y sólo si, ese vector columna de supervivientes coincide con el de la primera de las tablas. Esto es, y con la notación desarrollada: 1 -1 2 1 2 (1-D ) .L x = K ⇔ L x = L x donde K es un vector constante. En efecto, la implicación inversa es evidente, por misma construcción del esquema desarrollado en el apartado 3 anterior, al ser: 1 -1 1 1 (1-D ) .L x = L 0 constante. Para la implicación directa, siendo K un vector columna constante tal que 1 -1 2 (1-D ) .L x = K entonces 2 1 L x = (1-D ).K 1 1 1 L x = (1-D ).L 0 De ahí que 1 2 ⋅ L x = (1 − D1 ) ⋅ I k 1 l10 ⋅ L x = (1 − D ) ⋅ I 1 1 donde I es el vector unidad, k es la constante que define al vector K y l10 la potencia de la tabla 1. Por lo tanto 1 2 1 1 ⋅ Lx = 1 ⋅ Lx k l0 Dado que los vectores L 1x y L2x tienen, por hipótesis, igual el último elemento, la 1 condición anterior conduce a la igualdad entre las constantes k y l 0. Lo que, en definitiva, implica la coincidencia entre los vectores columna de supervivientes de ambas tablas demográficas. c.q.d. 13 APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS En particular, la hipótesis de la proposición anterior es satisfecha por las tablas de fenómenos demográficos de intensidad unidad, cuyos supervivientes finales son cero. La medida propuesta para definir el grado de acercamiento o de alejamiento de la incidencia del fenómeno F medida en las tablas demográficas 1 y 2 debería tener en cuenta, pues: 1º el carácter constante, y por tanto, lineal, de los vectores definidos en {1}; y 2º el alejamiento existente entre los vectores L 20 y L̂20 =(1-D 1)-1 .L2x. De ahí que se proponga como medida la siguiente expresión, en donde el numerador es la media de los cuadrados de las desviaciones entre los elementos de L20 y L̂20 : xω ∑ ( l̂02,i − l20 )2 + i =x 1 M=+ ω (l20 )2 = xω ∑ ( l̂02,i − l20 ) 2 i = x1 {2} ω ⋅ (l02 ) y en donde l̂02,i es el elemento i-ésimo del vector L̂20 ; l20 la constante que define al vector L 20 y que es también la potencia de la tabla demográfica 2. Su inclusión en el denominador y la consideración de la raíz en la expresión de la medida persiguen adimensionarla y reducirla a una misma escala de comparación. Como puede apreciarse, el alejamiento (acercamiento) de M al cero expresa un aumento (una disminución) de la diferencia entre los niveles del fenómeno F descritos por ambas tablas demográficas, lo que permite su interpretación. Con notación matricial, la medida anterior tiene la siguiente expresión {3}: M=+ 1 ω ⋅ (l02 )2 [ ] [ ' ] [ ' ][ ] × L2x ⋅ (1 − D1)−1 − (1 − D 2 )− 1 ⋅ (1 − D1)−1 − (1 − D 2 )− 1 ⋅ L2x , donde A ′ expresa la matriz transpuesta de A. El resultado de la proposición anterior asegura que M -que, por construcción, no puede tomar valores negativos-, para una estructura de supervivientes, L2x, distinta 1 de L x, no será nula: 14 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Corolario 1 1 2 M = 0 ⇒ L x = L x ó, equivalentemente, 1 2 L x≠ L x ⇒ M>0 En efecto: M = 0 ⇔ ∀i l̂02,i = l 20 ⇒ L̂20 es un vector constante ⇔ 1 2 ⇔ (proposición) ⇔ L x = L x (c.q.d.) La implicación inversa también es cierta siempre que la potencia de las dos tablas sea la misma, l10 = l20 : Corolario 2 Siendo l0 = l0 , se verifica: 1 2 1 2 L x= L x⇒ M=0 En efecto: 1 2 L x = L x ⇔ (proposición) ⇔ 1 −1 ⇔ L̂20 = (1 − D1 ) − 1 ⋅ L2x = (1 − D ) ⋅ Lx = L 0 es un vector constante. 1 1 Al ser l0 = l0 ⇒ l̂02,i = l 20 ∀i ⇔ 1 2 ⇔M=0 (c.q.d.) La medida aquí definida lo ha sido bajo la hipótesis de igualdad entre los supervivientes finales de las dos tablas. Sin embargo, dadas dos tablas demográficas distintas, lo más habitual será que no coincidan esos supervivientes finales. Resulta pues necesario modificar la potencia l20 de la tabla 2, según la proporción siguiente: APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS Nl 02 = l1ω 2 lω 15 ⋅ l20 de manera que, por misma construcción de la tabla demográfica, la serie de supervivientes asociada a esa nueva potencia estará definida así: { } xω Nl 2x x= x 0 xω l1 = ω2 ⋅ l2x lω x = x0 Los supervivientes finales de la tabla 1 y de la transformada son, ahora, iguales: Nl 2ω = l1ω por lo que ya que puede aplicarse la expresión {2}. La proposición siguiente asegura la coincidencia del valor obtenido de la medida, cuando se aplica sobre la serie de supervivientes transformada. Proposición 2 La medida {2} es invariante cuando se modifica la potencia de la segunda tabla demográfica según un factor de proporcionalidad k. { } En efecto, siendo Nl 2x xω x = x0 la nueva serie de supervivientes correspondiente a la segunda tabla transformada, se verifica: Nl 2x = k ⋅ l2x ∀x=x0,x1,...,xω manteniéndose la misma proporcionalidad en la serie del flujo de sucesos: ND (x, x + 1) = Nl x − Nl x +1 = k ⋅ l x − k ⋅ l x +1 = k ⋅ D(x, x + 1) 2 Así pues, la matriz D que aparece en la expresión {3} de la medida no sufre variación 2 ND = D 2 dado que sus elementos están definidos por el cociente de dos series biométricas afectadas por igual por el factor de proporcionalidad k. Reformulando {3} según: 16 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA ' [ ] [ ' 1 L2x M=+ × 2 ⋅ (1 − D1 )−1 − (1 − D 2 )−1 ⋅ (1 − D1 )− 1 − (1 − D2 )−1 ω l0 ]⋅ Ll , 2 x 2 0 se aprecia su invarianza sobre la tabla transformada, al ser: ' NM = + [ ] [ 1 NL2x 1 −1 2 −1 ' × ⋅ (1 − D1 )−1 − (1 − ND 2 )−1 ⋅ (1 − D ) − (1 − ND ) ω k ⋅ l20 ]⋅ NL k ⋅l 2 x 2 0 con NL2x L2x = 2 k ⋅ l 20 l0 por lo que, finalmente, NM = M (c.q.d.) 5. APLICACIÓN Las tablas-tipo o tablas-modelo de mortalidad proporcionan las relaciones empíricas entre ciertos datos sobre la mortalidad conocidos, pero incompletos, y las series biométricas de una tabla de mortalidad abreviada. Su uso está muy extendido, y es de plena aplicabilidad en los procesos proyectivos. Tomando como base la tabla-tipo de mortalidad de Coale-Guo (1991) correspondiente al nivel 26 de la zona occidental, la aplicación permite valorar cuál de las tablas correspondientes a los niveles 25 y 27 están más próximas a la descripción que sobre la mortalidad realiza la tabla del nivel 26. En esta aplicación, en la que la intensidad del fenómeno estudiado es la unidad, no hay supervivientes finales, por lo que el último elemento del vector de supervivientes, los supervivientes finales, es cero. No es necesario proceder, pues, a la modificación de la potencia de las tablas. 26 -1 La matriz (1-D ) obtenida por la aplicación de la metodología propuesta a la tabla-tipo de Coale-Guo correspondiente al nivel 26 para las mujeres (con cuatro decimales significativos), es la siguiente: 17 APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS Tabla 1 TABLA (1-Q)-1 DEDUCIDA DE LA TABLA-TIPO DE MORTALIDAD DEL NIVEL 26 PARA LAS MUJERES Edad 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Final 0 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0004 0,0006 0,0010 0,0016 0,0022 0,0024 0,0021 0,0058 1 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0007 0,0013 0,0021 0,0031 0,0038 0,0076 0,0042 5 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0008 0,0013 0,0021 0,0032 0,0081 0,0056 0,0038 10 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0007 0,0011 0,0019 0,0069 0,0051 0,0044 0,0039 15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0007 0,0011 0,0059 0,0041 0,0038 0,0039 0,0043 20 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0007 0,0052 0,0034 0,0033 0,0038 0,0044 0,0046 25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0005 0,0048 0,0028 0,0027 0,0036 0,0049 0,0054 0,0053 18 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Tabla 1 TABLA (1-Q)-1 DEDUCIDA DE LA TABLA-TIPO DE MORTALIDAD DEL NIVEL 26 PARA LAS MUJERES (continuación) Edad 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Final 30 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0046 0,0024 0,0021 0,0031 0,0050 0,0062 0,0066 0,0063 35 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 1,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0004 0,0046 0,0022 0,0017 0,0025 0,0045 0,0065 0,0080 0,0083 0,0083 40 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 1,0002 0,0002 0,0003 0,0045 0,0022 0,0015 0,0021 0,0039 0,0062 0,0088 0,0106 0,0113 0,0118 45 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 1,0003 0,0045 0,0022 0,0015 0,0020 0,0035 0,0057 0,0088 0,0123 0,0152 0,0166 0,0174 50 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0045 1,0022 0,0015 0,0020 0,0034 0,0052 0,0083 0,0128 0,0184 0,0231 0,0252 0,0266 55 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0004 0,0045 0,0022 0,0015 1,0020 0,0034 0,0050 0,0075 0,0117 0,0187 0,0276 0,0347 0,0383 0,0387 60 0,0002 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0004 0,0046 0,0022 0,0015 0,0020 0,0034 1,0050 0,0071 0,0106 0,0173 0,0283 0,0415 0,0525 0,0564 0,0584 APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS 19 Tabla 1 TABLA (1-Q)-1 DEDUCIDA DE LA TABLA-TIPO DE MORTALIDAD DEL NIVEL 26 PARA LAS MUJERES (conclusión) Edad 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Final 65 0,0004 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0005 0,0046 0,0022 0,0015 0,0020 0,0034 0,0050 0,0071 1,0102 0,0158 0,0262 0,0428 0,0631 0,0781 0,0852 0,0884 70 0,0006 0,0007 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0048 0,0024 0,0017 0,0021 0,0035 0,0052 0,0075 0,0106 0,0158 1,0251 0,0417 0,0682 0,0985 0,1227 0,1330 0,1442 75 0,0010 0,0013 0,0013 0,0011 0,0011 0,0052 0,0028 0,0021 0,0025 0,0039 0,0057 0,0083 0,0117 0,0173 0,0262 0,0417 1,0696 0,1121 0,1632 0,2019 0,2232 0,2473 80 0,0016 0,0021 0,0021 0,0019 0,0059 0,0034 0,0027 0,0031 0,0045 0,0062 0,0088 0,0128 0,0187 0,0283 0,0428 0,0682 0,1121 1,1830 0,2668 0,3367 0,3784 0,4021 85 0,0022 0,0031 0,0032 0,0069 0,0041 0,0033 0,0036 0,0050 0,0065 0,0088 0,0123 0,0184 0,0276 0,0415 0,0631 0,0985 0,1632 0,2668 1,3989 0,5174 0,5773 0,5503 90 0,0024 0,0038 0,0081 0,0051 0,0038 0,0038 0,0049 0,0062 0,0080 0,0106 0,0152 0,0231 0,0347 0,0525 0,0781 0,1227 0,2019 0,3367 0,5174 1,6779 0,7181 0,5984 95 0,0021 0,0076 0,0056 0,0044 0,0039 0,0044 0,0054 0,0066 0,0083 0,0113 0,0166 0,0252 0,0383 0,0564 0,0852 0,1330 0,2232 0,3784 0,5773 0,7181 1,6933 0,5283 100 0,0058 0,0042 0,0038 0,0039 0,0043 0,0046 0,0053 0,0063 0,0083 0,0118 0,0174 0,0266 0,0387 0,0584 0,0884 0,1442 0,2473 0,4021 0,5503 0,5984 0,5283 1,4269 Los vectores de mujeres supervivientes correspondientes a los niveles 25 y 27 son los siguientes: 20 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Tabla 2 SUPERVIVIENTES MUJERES TABLAS-TIPO DE MORTALIDAD NIVELES 25 Y 27 Edad 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Final Nivel 25 993989 992244 991350 990605 989117 987341 985147 982422 978480 972374 962845 948220 926664 893498 841797 755921 616702 420447 213096 68287 11338 0 Nivel 27 997169 995975 995830 995702 995131 994005 992510 990837 988632 985174 979868 970592 959043 941853 917066 873253 783452 616249 378507 152458 32137 0 La aplicación de la matriz inversa (1-D 26)-1 sobre los dos vectores anteriores 26 -1 25 L̂25 0 =(1-D ) .L 26 -1 27 L̂27 0 =(1-D ) .L y que se recoge en la tabla 3: x x APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS 21 Tabla 3 27 VECTORES L̂25 0 y L̂ 0 MUJERES. NIVELES 25 Y 27 Edad 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Final Nivel 25 997443 996896 996314 995826 995235 994842 994400 993685 992437 990444 987242 982529 974957 963048 943720 913247 872922 834390 818319 828892 844671 856402 Nivel 27 1001838 1002395 1002890 1003282 1003797 1004126 1004529 1005213 1006412 1008328 1011417 1015451 1022845 1034572 1053877 1085463 1130393 1178947 1204920 1195407 1174418 1157765 permite calcular sendas estimaciones de la medida M propuesta, como expresión de las diferencias entre los niveles de mortalidad recogidos en las tablas-tipo de las mujeres para los niveles 25 y 27, respecto la tabla-tipo de nivel 26: 25/26 = 0,0863602 27/26 = 0,0946335 M M cuya comparación permite afirmar que el nivel de mortalidad descrito por la tablatipo del nivel 26 está más cercano al de la tabla-tipo del nivel 25 que al de la mortalidad descrito por la tabla-tipo de nivel 27. Conclusión distinta de la que podría suponerse al comparar las respectivas esperanzas de vida, que presentan diferencias constantes entre ellas de 2’5 años. 22 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA 6. CONCLUSIONES La medida propuesta se perfila como alternativa a los indicadores globales clásicos -esperanza de vida, número medio de hijos por mujer, edad media al matrimonio, etc.-, cuando éstos se utilizan como expresión de la diferencia entre niveles del fenómeno demográfico expresado a través de tablas demográficas distintas. Evidentemente puede criticarse la hipótesis de estabilidad que se formula en el desarrollo de la metodología. En efecto, es esencialmente difícil e improbable -y más cuando el horizonte temporal llega a ser tan amplio- que no existan ni siquiera suaves variaciones en el comportamiento de un fenómeno demográfico. Sin embargo, la formulación de la hipótesis es más operativa, obedece más a la técnica de trabajo, que real. En efecto, en ningún momento es necesario aceptar que la hipótesis responda al comportamiento real de una población, sino tan sólo la acepta para establecer un elemento formal y común de comparación de las dos tablas. En definitiva, la hipótesis se reduce a considerar que la supuesta estabilidad en el comportamiento del fenómeno demográfico afecta por igual a ambas tablas demográficas, esto es, que existe neutralidad en la pasada evolución del hecho demográfico en las dos poblaciones descritas por sus tablas respectivas. En este artículo no se pretende agotar la línea de investigación emprendida, sino más bien servir para futuros trabajos que se planteen la medición de la discrepancia o de la similitud de dos tablas demográficas. A modo de sugerencias, queda abierta la profundización en las propiedades satisfechas por la medida aquí definida; o la posible extensión de la metodología al caso de que al análisis transversal propio de la tabla se le acompañe, bajo la hipótesis de estabilidad, un análisis longitudinal continuo y, por tanto, proyectivo, que daría lugar a la definición de otra medida alternativa, de igual naturaleza, cuyo comportamiento y propiedades resultaría interesante contrastar con el de la definida en este trabajo; o, finalmente, avanzar en la ya apuntada aplicación del análisis Input-Output, que permita otra descripción de las relaciones entre los elementos que definen a una tabla demográfica. APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS 23 REFERENCIAS ALCAIDE , A. (1969): Análisis Input-Output. Guadiana de Publicaciones, Madrid. COALE , A. & GUO, G. (1991): «Utilización de nuevas tablas modelo de mortalidad para tasas de mortalidad muy bajas en proyecciones demográficas», en Boletín de Población de las Naciones Unidas, nº 30. Naciones Unidas. Nueva York. HENRY , L. (1956): Anciennes familles genevoises. Étude démographique: XVIe-XXe siècles. Cuaderno INED, 26. PUF, París. LEGUINA , J. (1981, 3ª revisada): Fundamentos de Demografía. Ed.Siglo XXI, Madrid. LIVI-B ACCI, M. (1993): Introducción a la demografía. Ariel Historia, Barcelona. RYDER, N.B. (1956): «La mesure des variations de la fécondité au cours du temps». Population, nº1. TAPINOS, G. (1990): Elementos de Demografía. Espasa Universidad, Madrid. VERES (2000): «Comparación de dos tablas demográficas: aproximación a su significatividad estadística». Qüestiió, Vol. 24, nº1. VINUESA , J. Y OTROS (1994): Demografía, análisis y proyecciones. Ed. Síntesis, Madrid. WHELPTON, P.K. (1954): Cohort Fertility. Native White Women in the United States. Princeton University Press, Nueva Jersey. 24 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA APPROXIMATION TO A MEASURE OF DIFFERENCE BETWEEN SUMMARY DEMOGRAPHIC TABLES SUMMARY The structure of the analytical model known as demographic table allows the measurement of the influence that time has over a single demographic phenomenom, know as duration or age. We find ourselves with two demographic tables, of a same demographic phenomenon, we ask ourselves frequently by their possible similarity. In this work is defined a measure that permits to establish the degree of approximation or of withdrawal between the levels of a same demographic phenomenon expressed in each demographic tables. Finally, and to illustrate it, it is applied the methodology exposed to model life tables corresponding at three consecutive mortality levels. Key words: longitudinal analysis, transverse analysis, calendar, intensity, mortality, demographic table, model life tables. AMS Classification: 62F03, 62G10, 62P05, 62P25, 92H20.