2.4 Consecuencia semántica

Consecuencia semántica: la noción de
verdad
La definición de la relación de consecuencia semántica ofrecida en [15] dice
proceder de un análisis de nuestras intuiciones más básicas al respecto. Es cierto que
en el discurso ordinario rechazar que un determinado enunciado sea consecuencia de
una clase de ellos entendidos como premisas puede ajustarse a lo que se dice en [15].
Sin embargo, mientras que en este último caso hablamos de la verdad o falsedad de
ciertos enunciados, en la definición semiformal que se ha ofrecido aquí la noción de
verdad aparece en un contexto un tanto extraño. Se habla de la verdad o falsedad de
fórmulas, no de enunciados.
Las fórmulas de LE han servido hasta el momento para representar la
estructura de los enunciados del lenguaje ordinario, pero ¿pueden recibir un valor de
verdad? ¿Es esta una categoría que pueda ser correctamente predicada de las
fórmulas de un lenguaje como LE? Si bien es cierto que los restos de gramaticalidad
que se conservan en las fórmulas de LE –“p→q” se lee “si p, entonces q”- permiten que
sean interpretadas como enunciados peculiares, y por tanto, como entidades que
pueden tener un valor de verdad, no es obvio en absoluto el modo de otorgarles uno.
Durante algún tiempo distó mucho de estar claro cuál podía ser el significado
de una expresión de estas características, debido en parte, a la inexistencia de
criterios claros acerca de los recursos idóneos para acometer esta tarea. ¿Qué
herramienta podemos emplear para asignar valores de verdad a las fórmulas de LE?
La respuesta a esta pregunta va a depender en buena medida de ciertas decisiones
previas acerca de la noción de verdad. No es cierto que la Lógica imponga un análisis
del concepto de verdad, como tantas veces se afirma, sino que en vez de esto lo que
Lógica de Enunciados
hace es traducir en términos absolutamente precisos decisiones previas de orden
intuitivo. Una de las ventajas del uso de la Lógica para el estudio de problemas de
orden intuitivo es que la imputación de la responsabilidad en las consecuencias de una
decisión no se diluyen fácilmente.
La forma más simple que hay de distinguir objetos dentro de una clase
previamente dada es considerar alguna propiedad que esos elementos puedan poseer
propiamente para proceder a continuación a concedérsela a algunos de ellos, pero no
a todos. Para que la clasificación sea perfecta desde un punto de vista epistemológico
hay que exigir que no haya objetos dudosos o en zona de penumbra. Esto es, no ha
de haber objetos de los que quepa afirmar tanto que poseen la propiedad en cuestión
como que no la poseen, ni tampoco objetos a los que no quepa asignar la propiedad,
pero tampoco afirmar que no les conviene. La noción de verdad que es empleada en
los tipos más elementales de análisis lógico se limita a ver en ella una noción que
satisface los requisitos que se acaba de exponer a la hora de distinguir entre
enunciados. Si esto es o no un análisis de la noción ordinaria de verdad es algo que
no corresponde analizar ahora. Creo que no es incorrecto afirmar que hay un cierto
uso de esa noción que coincide exactamente con el que se seguirá aquí, aunque
también creo correcto sostener que no es el único.
El modo en que decimos que un enunciado es verdadero responde, al menos
en parte, a una intención clasificatoria que es, por un lado, la más simple que cabe
imaginar, y por otro, completamente satisfactoria, ideal, incluso. No habrá ningún
enunciado, pues, que sea a la vez verdadero y no-verdadero, o que no sea verdadero
y tampoco no-verdadero. La clasificación es exhaustiva y excluyente. Una vez
asumido todo esto no importa ya hablar de verdadero y falso como los valores de
verdad que adoptarán las fórmulas de LE, entendiendo, eso sí, que falso no es un valor
de verdad por completo independiente, sino la contrapartida de verdadero bajo las
condiciones indicadas.
Las relaciones de dependencia entre verdad y falsedad son tan obvias que rara
vez se mencionan de manera explícita. Esto hace que se hable de la existencia de dos
110
Consecuencia semántica
valores de verdad -verdadero ,falso- como de los únicos elementos primitivos de un
cierto conjunto de valores de verdad. Esta forma de proceder puede resultar
confundente ya que lleva a ocultar la existencia de las conexiones implícitamente
asumidas entre esos valores. Tal vez sea esta la razón por al que en los últimos años
es cada vez más frecuente referirse a la existencia de un cierto espacio valuacional del
que se extraen los valores que cabe asignar a las fórmulas de un lenguaje formal. Un
espacio valuacional es, entonces, el resultado de indicar de forma explícita las
relaciones que guardan entre sí los elementos de un cierto conjunto de valores.
Profundizar más en este tema lleva a plantearse problemas de mayor alcance del
previsto, así que abandonaré por ahora su discusión. Me contentaré con esta especie
de aclaración para asumir en lo sucesivo lo que ha venido siendo común, considerar
que los valores de verdad se extraen de un conjunto de valores de cuya estructura
interna no se informa en principio.
¿Hay alguna herramienta idónea para asignar estos valores de verdad de
forma que se respeten esas relaciones que implícitamente estamos asumiendo? Las
funciones que son habituales en Matemáticas asignan un valor y sólo uno a todos y
cada uno de los elementos en su dominio, ¿por qué no servirse de ellas en este caso?
[1]
Una función de verdad es cualquier función cuyo dominio sea el
conjunto LE y su rango incluya al menos el conjunto formado por {V,F}.
Las funciones de verdad son, por tanto, funciones del tipo: f: LE→{V,F}.
Cada una de estas funciones representa una de las infinitamente muchas
formas que hay de atribuir valores de verdad a los enunciados de LE. Entre ellas
encontraremos, por ejemplo, las siguiente:
[2]
i. fi(p→q)=V, fi(p)=F, fi(p&q)=F, fi(q)=F, fi(pvq)=V...
ii. fj(p→q)=V, fj(p)=F, fj(p&q)=F, fj(q)=V, fj(pvq)=V...
111
Lógica de Enunciados
fi y fj continúan indefinidamente asignando un valor y sólo uno a cada fórmula en LE
operando, quizá, según una hipotética enumeración. ¿Son las funciones así descritas
asignaciones de valor de las que podamos fiarnos? Sin duda que no. fi se muestra
completamente incoherente con el significado ordinario que asignamos a la conectiva
simbolizada por “v” desde el momento en que asigna el valor falso tanto a p como a q,
mientras que dice de pvq que es verdadera. f j, por el contrario, no presenta, al menos
hasta donde ha sido descrita, ningún problema de este tipo. Las funciones de verdad
introducidas en [1] parecen contener, en consecuencia, muchas más de las que
realmente estamos dispuestos a considerar seriamente. Y todo ello por la violación de
lo que parece ser una interpretación previa del modo en que las conectivas determinan
el valor de verdad de un enunciado complejo a partir del valor de verdad de los
enunciados simples que ellas mismas conectan. Se impone conseguir que esas
interpretaciones sean respetadas en todas y cada una de las funciones de verdad con
que se vaya a trabajar en lo sucesivo.
Parece descartada la opción consistente en revisar una por una todas las
valuaciones introducidas en [1] eliminando de la lista aquellas que no respetan la
conducta que intuitivamente atribuimos a las conectivas presentes. No parece, desde
luego, algo que quede al alcance de nuestras limitadas capacidades, aunque sí lo
esté, tal vez, al alcance de las de un Dios omnipotente. Por otra parte, ¿en qué
consiste esa conducta que parecen poseer las conectivas y que hemos de respetar a
todo trance?
Puesto que no parece que seamos capaces de eliminar aquellas valuaciones
que sobran, tal vez, sí que podamos construir sólo aquellas que, en realidad, estamos
dispuestos a considerar admisibles. Y dado que el criterio de admisibilidad consiste en
respetar la conducta que las conectivas poseen en relación a la noción de verdad, lo
que parece necesario es construir cada posible valuación garantizando que respeta
esos criterios. Esto sólo se puede hacer conectando los pasos de dicha construcción
con reglas o normas que expongan el comportamiento de cada conectiva. Cada una
de esas reglas, normas, o como se las quiera llamar, constituyen implícitamente un
análisis formal de la partícula en cuestión. El procedimiento que voy a exponer a
112
Consecuencia semántica
continuación para el caso de la Lógica de Enunciados –para lo que empezaré a
considerar a partir de ahora como Lógica de Enunciados Clásica- es notable porque
constituye el modelo básico que la Lógica adopta para estudiar y desarrollar la
conducta de una partícula formal en relación a su significado, verdad en este caso. Es
en cierto modo irónico, y desde luego muy significativo del modo en que logramos
superar nuestras propias limitaciones, que la imposibilidad de manipular colecciones
infinitas de objetos sea la que conduzca a un análisis en el que el aumento de
conocimiento es evidente.
A continuación voy a enumerar las cláusulas que habremos de utilizar en la
definición del subconjunto del conjunto de funciones de verdad que interesa identificar:
[3]
c 0) Si A es una variable de enunciado, entonces v(A)∈{V,F}, donde v es
una función definida que asigna valores en {V,F}
c 1) v(¬A)=V syss v(A)=F
c 2) v(A&B)=V syss v(A)=V y v(B)=V
c 3) v(AvB)=V syss v(A)=V o V(B)=V
c 4) v(A→B)=V syss V(A)=F o v(B)=V.
De nuevo nos encontramos ante una definición de aquellas que en su momento
califiqué como recursivas o inductivas. La cláusula c 0 establece que el valor que cada
una de estas nuevas asignaciones otorga a los átomos son valores de verdad y más
en concreto, verdad –V- y falsedad –F-. Establece, además, que el modo de llevar a
cabo tal asignación es por medio de una función. Cada átomo recibe uno y sólo uno de
estos valores. El resto de ellas establecen las condiciones necesarias y suficientes –si
y sólo si, simbolizado mediante syss- para que una fórmula en la que la
correspondiente conectiva actúa como conectiva principal sea verdadera. Como se
puede ver, todas estas cláusulas, salvo la del condicional, utilizan las partículas que
hemos asociado de forma canónica a las cláusulas que se analizan. La impresión que
puede producir esta maniobra es de una cierta circularidad. Sin embargo, habremos
de reconocer que no se trata de un problema especialmente grave ya que el uso de
estas cláusulas basta para construir unas tablas o matrices en las que se desarrollan
113
Lógica de Enunciados
todas las posibles asignaciones de valor conformes a los criterios introducidos en [56].
Esto da lugar a lo siguiente:
[4] Matrices para {¬,&,v,→}
A
¬A
A
B
A&B
AvB
A→B
V
F
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
La confección de estas tablas muestra el modo en que las cláusulas ofrecidas en [3]
fijan por completo el significado de cada conectiva, al menos en el sentido que aquí
importa: su uso permite determinar el valor de verdad de un cada enunciado complejo
para cada una de las posibles combinaciones que presentan los enunciados simples
involucrados –lo que son sus subfórmulas inmediatas-.
Esta forma de actuar ilustra a la perfección uno de los principios constitutivos
de la Lógica: el principio de composicionalidad . Dado que se trata de una máxima
regulativa más que de un procedimiento concreto, su presentación presentación tiene
que ser necesariamente vaga. El principio de composicionalidad viene a postular que
cada propiedad o atributo que quepa predicar de una entidad compleja es el resultado
directo de las propiedades y atributos que se hayan asignado previamente a las partes
que la integran. No cabe duda de que lo anterior es un inmejorable ejemplo de este
principio.
De las cláusulas anteriores, la que finalmente provoca problemas es aquella
que desde un cierto punto de vista menos razones tendría para ello. Me refiero a la del
condicional material, que es la única que no hace uso de la partícula canónicamente
asociada a su interpretación informal, es decir, “si...entonces...”. Que no se sirva de
114
Consecuencia semántica
ella es, en realidad, una consecuencia del problema. Un breve análisis de esa
partícula canónica informal indica la existencia de considerables dificultades a la hora
de construir la matriz correspondiente en [4]. El punto que suele suscitar más
discrepancias entre aquellos que se encuentran por primera vez con este problema es
el que se refiere al valor que adquiere A→B cuando A es falso: en ese caso A→B es
verdadero. Sin embargo, ¿qué otra decisión se puede adoptar? La búsqueda de
alternativas a una tabla como la que se ofrece en [4] pronto muestra que las
modificaciones imaginables chocan con la intuición de formas más crudas aún, o bien,
hacen que el condicional se comporte como alguna otra conectiva ya identificada.
Pero, ¿cómo se llega, entonces, a definir una cláusula tan peculiar para el
condicional? Pese a que no nos sintamos por entero satisfechos de las circunstancias
bajo las cuales un condicional es verdadero, nada hay que objetar a aquellas en que
sostenemos que es falso. Una fórmula del tipo A→B es falsa sólo cuando dándose el
antecedente A comprobamos que el consecuente B no se da. ¿Por qué habríamos de
rechazar un condicional cuando la circunstancia crítica, que el antecedente sea
verdadero, no se cumple? Esto lleva al siguiente razonamiento:
[5]
i. v(A→B)=F syss v(A)=V y v(B)=F. Ahora bien, puesto que falso no es
sino no-verdadero,
ii. v(A→B)≠F syss No [v(A)=V y v(B)=F], lo cual se traduce tras un breve
análisis en
iii. v(A→B)≠F syss v(A)≠V o v(B)≠F, lo que reemplazando “≠V” por “=F”
y “≠F” por “=V” da lugar a
iv. v(A→B)=V syss v(A)=F o v(B)=V.
No cabe otra opción dentro del estrecho margen que se ha trazado aquí. Si el
tratamiento del condicional aún no nos convence tal vez hagamos bien en considerar
que aquello que resulta insuficiente es algo que va más allá de la noción de verdad tal
y como se ha venido manejando aquí. Esto no quiere decir que este análisis del
condicional sea inadecuado, sino que describe sólo parte de lo que es la conducta de
partículas más complejas emparentadas directamente con la que ahora se ha descrito.
115
Lógica de Enunciados
A continuación me voy a servir de [56] para definir el conjunto de funciones de
verdad que se manejará en lo sucesivo.
[6]
El conjunto de las interpretaciones admisibles o valuaciones para LE, Iv
en símbolos, consiste en Iv ={v/ v ha sido construida de acuerdo con las
instrucciones reunidas en [3]}.
Una vez queda fijado el comportamiento de las constantes lógicas que integran
la Lógica de Enunciados mediante la definición del conjunto Iv , se tiene algo que a
buen seguro va más allá de una simple decisión acerca de los componentes básicos
de la estructura lógica de los enunciados del lenguaje. Se trata de algo específico que
nos compromete con interpretaciones precisas de sus elementos. Lo mismo cabe decir
de la decisión que afecta al número y comportamiento de los valores de verdad. Todas
estas decisiones, resumidas aquí en la definición de Iv , nos sitúan en el contexto de
aquello que la tradición ha querido denominar Lógica Clásica de Enunciados, o Lógica
Proposicional Clásica. Por el momento nos limitaremos a desarrollar las
consecuencias y efectos de esta lógica particular.
La existencia de este conjunto Iv , así como el modo en que ha sido construido,
permite imaginar su uso para clasificar y comparar fórmulas a través de su
comportamiento en relación a la noción de verdad. A este fin se emplea un recurso
que recibe el nombre de tablas de verdad. Una tabla de verdad es una matriz en la
que se reúnen todas las posibles combinaciones de valores de verdad que pueden
darse a partir de los átomos presentes en una fórmula –o conjunto de ellas- para
hallar, a continuación, el valor de verdad que la fórmula en cuestión recibe en cada
caso. Para ello se procede a examinar, en primer lugar, las subfórmulas de menor
grado lógico determinando, con la ayuda de las matrices expuestas en [4], el valor de
la fórmula de la que forman parte, repitiendo entonces la operación hasta llegar a la
fórmula original. Si se toma la fórmula ((qvp)&¬q)→p como ejemplo, se obtiene:
116
Consecuencia semántica
[7] Tabla de verdad para ((qvp)&¬q)→p
p
q
qvp ¬q (qvp)&¬q ((qvp)&¬q)→p
V V
V
F
F
V
V F
V
V
V
V
F V
V
F
F
V
F F
F
V
F
V
Es obvio que el número de posibles distribuciones distintas de valores de
verdad en cada una de estas tablas depende sólo del número de átomos distintos en
la fórmula o fórmulas que se analizan de manera simultánea. Ahora bien, ¿basta una
de estas tablas para caracterizar completamente cada fórmula en LE desde el punto de
vista semántico? La respuesta a esta pregunta es, como cabe fácilmente imaginar,
positiva. No obstante, perderé algún tiempo estableciendo una serie de
demostraciones absolutamente precisas.
[8] Teorema: Los valores de verdad que posee una fórmula fbf de LE sólo
depende de los valores de verdad de las fbfs que forman el conjunto de
subfórmulas de la fórmula original.
Esquema de demostración: Se trata del primer teorema que establecemos en
este curso, por lo que conviene prestar atención al modus operandi.
Aprovecharemos la construcción inductiva del conjunto L E para proceder de
fórmulas de menos complejidad a otras de mayor complejidad. A este tipo de
demostraciones se les denomina con frecuencia inductivas.
Base de inducción: A es atómica. En ese caso es obvio que el valor de verdad
v(A) sólo depende por la cláusula c 0 en [3] del valor que v asigna a A, a la
sazón único miembro del conjunto de subfórmulas.
Paso de inducción: En realidad estableceremos algo más fuerte: que v(A) sólo
depende del valor que v asigna a su subfórmulas inmediatas.
117
Lógica de Enunciados
Caso 1: A=¬B. En tal caso, por c 1, v(A) vemos que sólo depende de v(B), y
puesto que la única subfórmula inmediata de A es B, el teorema se cumple.
Caso 2: A=B→C. En tal caso por c 4 en [3], se obtiene lo mismo que en el caso
anterior, y puesto que B y C son las subfórmulas inmediatas de A, de nuevo
vemos que se cumple el teorema.
Los casos restantes son idénticos, y puesto que el conjunto de
subfórmulas de una fbf puede considerarse como la unión de cada una de las
subfórmulas inmediatas de grado lógico menor a las anteriores hasta llegar a
los átomos de la fórmula original, se puede considerar demostrado el teorema.
Este resultado es trivial, pero ilustra perfectamente la técnica de prueba por
inducción. La división en una base, donde se establece el resultado para el caso más
simple, y un paso de inducción, en el que se analiza si el resultado se cumple para
cada posible modo de complicar los casos más simples, es la característica principal
de este procedimiento. Más adelante ya tendremos oportunidad de estudiar otros
casos de mayor interés y complejidad.
Lo que sigue es también trivial y sirve, simplemente, para justificar las
dimensiones de la tabla de verdad que se ha construido en [7]. Es común referirse a
cada línea en esa tabla como a una valuación –a veces se emplea el término mundo
posible, pero me parece mejor reservarlo para otros fines- produciendo una confusión
fácil de evitar. Según lo dicho en [6] una valuación es una función de verdad que
cumple con los requisitos introducidos en [3] para cada conectiva. Sucede entonces
que cada valuación asigna de hecho un valor y sólo uno a cada fórmula de LE . En
consecuencia, no resulta posible representar finitamente ninguna valuación. Lo que sí
se puede representar de ese modo es una especificación parcial de una valuación,
entendiendo por tal la relación de una serie finita de las asignaciones de valor que esa
valuación efectúa a ciertas fórmulas. Todo esto lleva a lo siguiente:
118
Consecuencia semántica
[9]
Teorema: Dado un conjunto finito X de fórmulas, el número
especificaciones parciales de cada valuación que hay que analizar para
determinar completamente el valor de verdad de las fbf en X es 2n,
donde n es el número de átomos distintos en las fbfs de X consideradas
simultáneamente.
Esquema de la demostración: Por el teorema anterior sabemos que cada
fórmula queda completamente determinada por el valor de verdad de sus
subfórmulas. No es difícil darse cuenta que esto lleva, en realidad, a que cada
fórmula depende sólo del valor de verdad de sus átomos, lo cual lleva a
considerar todos los posibles modos de asignar valores distintos a los átomos
de cada fbf en X. Un razonamiento combinatorio elemental lleva a que ese
número es 2n, donde 2 indica, simplemente el número de valores de verdad.
El uso de tablas de verdad para analizar expresiones de LE demuestra que el
tratamiento que la Lógica hace del significado –verdad- puede ser empleado de forma
rigurosa para clasificar y distinguir fórmulas: una tabla es un procedimiento que finaliza
en tiempo finito situando bajo la fórmula principal una columna de valores de verdad
que la identifica a todos los efectos. Si nos tomamos en serio esta observación, las
propiedades que puedan predicarse de las columnas de valores asociadas a una
fórmula en la tabla correspondiente, podrán ser empleadas para clasificar de manera
efectiva esas mismas fórmulas. Dicho de otra forma, los teoremas [8] y [9] permiten
que muchas de las propiedades de fórmulas relacionadas con los conceptos
semánticos que culminan en la noción de “valuación” sean efectivas. Es decir, existe
un modo de determinar en un número finito de pasos si una fórmula posee o no una de
esas propiedades. Las siguientes definiciones son un ejemplo de ello:
[10]
i. Aquellas fórmulas que toman el valor de verdad V para toda
interpretación admisible reciben el nombre de tautologías.
119
Lógica de Enunciados
ii. Aquellas fórmulas que toman el valor de verdad F para toda
interpretación admisible, reciben el nombre de antilogías o
contradicciones.
iii. Las fórmulas que no se encuentra en ninguno de los dos casos
anteriores, reciben el nombre de fórmulas contingentes.
El uso de tablas de verdad permite identificar de manera efectiva cada una de
estas circunstancias. Pero estas no son las únicas nociones que tiene sentido
introducir una vez se considera el comportamiento semántico –en relación al
significado, valor de verdad en este caso- de una fórmula. Por desgracia, ya no se
puede garantizar que su posesión pueda ser determinada con la misma facilidad de
antes.
[11]
i. Una fórmula es consistente o satisfacible si existe al menos una
interpretación admisible que le otorga el valor de verdad V.
ii. Un conjunto de fórmulas es consistente, satisfacible o
simultáneamente satisfacible si existe al menos una interpretación
admisible que hace verdaderas cada una de las fórmulas en ese
conjunto.
Por último, también es posible emplear este tipo de criterios a la hora de
comparar una fórmula con otra distinta. En esta ocasión decimos que,
[12]
Dos fórmulas A y B son lógicamente equivalentes si para toda
interpretación admisible sucede que v(A)=v(B).
El objetivo de este apartado era analizar el tratamiento formal de la noción de
verdad con el fin de ofrecer una definición absolutamente precisa de la relación de
consecuencia semántica. En la sección anterior se aludía a una serie de
circunstancias en las que si las premisas son todas ellas verdaderas la conclusión
también ha de serlo. Esta era, básicamente, la definición de la consecuencia
120
Consecuencia semántica
semántica. Parece claro que esas circunstancias no son sino las valuaciones, o
interpretaciones admisibles, que forman el conjunto Iv definido en [6]. Esto permite
obtener una relación de consecuencia la cual resume todas las decisiones adoptadas
hasta ahora:
[13]
Consecuencia semántica para LE (consecuencia clásica):
X√ E A syss para toda interpretación v∈Iv sucede que si para toda
fórmula xi∈X, v(xi)=V, entonces v(A)=V.
Dado un lenguaje formal L y una clase de interpretaciones admisibles definidas
sobre las expresiones de ese lenguaje siempre parece posible aplicar alguna
definición como la anterior destinada a establecer la extensión de la relación de
consecuencia. La reunión de todas las decisiones adoptadas a la hora de definir un
cierto lenguaje formal, junto con aquellas que permiten establecer la relación de
consecuencia semántica da lugar a un concepto que cada vez es más frecuente
presentar de forma independiente:
[14]
Un sistema formal es el par formado por un lenguaje formal L y una
relación de consecuencia semántica definida sobre dicho lenguaje, en
símbolos, <L,√>.
El caso que nos ocupa ahora viene dado por el par <LE, √ E>, en el cual quedan
subsumidas todas las decisiones adoptadas acerca del modo en que un lenguaje
como LE analiza la estructura de un argumento, así como aquellas otras que tienen
que ver con la noción de verdad y su comportamiento respecto a las conectivas
presentes. No hay un nombre suficientemente representativo para este
emparejamiento de componente así que me abstendré de brindar uno.
La formulación de [14] intenta no ligar en exceso la existencia de una cierta
relación semántica de consecuencia con el lenguaje sobre el que opera. En el estado
121
Lógica de Enunciados
actual del desarrollo de la Lógica no se puede proceder de otro modo. El sistema
formal que se acaba de introducir es uno de los muchos que pueden considerarse
para el lenguaje LE. Eso implica la posibilidad de considerar otros conjuntos de
interpretaciones admisibles diferentes de Iv , o incluso definiciones de la consecuencia
semántica ligeramente distintas a la que figura en [13]. De todos modos, aún no ha
llegado el momento de hablar de estas cosas.
A veces se emplea el término Lógica Clásica de enunciados para hacer
referencia a este sistema formal particular. No es un uso impropio, ciertamente, pero
quizá sea preferible usar en tales casos la expresión sistema formal asociado a la
Lógica Clásica de enunciados. Ya he dicho, no obstante, que no deseo acuñar
terminología nueva, así que aceptaré cualquiera de estos términos con tal de que no
haya confusión posible.
Para terminar esta presentación general de la consecuencia semántica para LE,
haré uso del teorema [9] para establecer un resultado absolutamente conocido:
[15]
Teorema: Dado un conjunto finito X de fórmulas de LE y una fórmula A,
también en LE, siempre existe un procedimiento finito capaz de
determinar si es o no el caso que X√ E A.
Esquema de la demostración: Por el teorema [9] se sabe que el número
de especificaciones parciales de valuaciones que es preciso considerar
para analizar completamente la conducta de una fórmula es siempre
finito. Extender esto al conjunto finito de fórmulas formado por XW{A} es
inmediato. La condición impuesta en [13] para afirmar que A es
consecuencia semántica de X se reduce a revisar los valores de verdad
de las premisas y la conclusión, con lo que siempre es posible
establecer si X√ E A es o no el caso mediante una tabla de verdad.
Un ejemplo ayudará a ver cómo se abordan estos asuntos en general:
122
Consecuencia semántica
[16] p→q, ¬q√ E ¬p
p
q
p→q
¬q
¬p
V
V
V
F
-
F
V
F
F
V
-
F
F
V
V
F
-
V
FF
FF
VV
V
V
Si
V
V
La tabla de verdad anterior se diseña teniendo en cuenta de forma simultánea
los átomos que aparecen tanto en las premisas como en la conclusión. Una vez
construida la tabla, cada fórmula se evalúa por separado. A continuación se analiza
cada una de las líneas que resultan de esa tabla buscando si alguna de ellas hace
verdaderas todas y cada una de las premisas. Si es así se identifica de algún modo,
mediante un recuadro, por ejemplo. Las líneas recuadradas se analizan a su vez
comprobando en tal caso si la conclusión es verdadera o falsa. En el caso anterior, la
única línea recuadrada satisface la condición relativa al valor de verdad de la
conclusión, de donde se desprende que el argumento analizado es aceptable. O lo
que es lo mismo, que la conclusión es consecuencia semántica de las premisas.
Es frecuente hablar en tales casos de argumentos válidos, entendiendo por
tales aquellos en los que la conclusión resulta ser consecuencia semántica de las
premisas.
Una rápida ojeada a este tipo de procedimientos sugiere una forma alternativa
de analizar la validez de un argumento cuyo conjunto de premisas sea finito. La
definición de la consecuencia semántica ofrecida en [13] hace uso de partículas del
castellano identificadas aquí con conectivas. En particular, afirma que para cada
123
Lógica de Enunciados
valuación ha de darse el caso de que si la primera premisa es verdadera, y la segunda
premisa es verdadera, y ....la n-ésima premisa es verdadera, entonces, la conclusión
es verdadera. Esto permite afirmar lo siguiente:
[17]
Sea X un conjunto finito de fórmulas de LE y sea A asimismo una
fórmula de LE. X√ E A es válido syss la fórmula x1&x2&...xi→A es una
tautología.
Este resultado puede llevar fácilmente a una conclusión errónea: que todo
argumento del tipo considerado aquí puede ser analizado o puesto en relación con una
fórmula como la que se introduce en [17]. Esto es obviamente falso en los casos en los
que X no es finito, circunstancia que aunque pueda resultar ideal desde un punto de
vista práctico, no ha sido descartada aquí. Un conjunto infinito de premisas no da lugar
a fórmula alguna ya que toda fórmula está formada por una cantidad finita de
expresiones extraídas de un cierto vocabulario. Pero también es incorrecto si
consideramos que uno de los posibles conjuntos de premisas a tener en cuenta es el
conjunto vacío, ι, en símbolos. Si se examina la definición [66], se aprecia sin especial
dificultad que en tal caso, que las premisas sean el conjunto vacío, los únicos
argumentos válidos son aquellos en los que la conclusión A es verdadera para cada
posible valuación. Esto da lugar a lo siguiente:
[18]
Una fbf A es una verdad lógica syss √ E A, es decir, syss A es verdadera
para toda valuación.
124
Consecuencia semántica
Orientación bibliográfica
[Quesada, 1985], cap. 4. Secc. 5, [Badesa, Jané y Jansana, 1998]¸ cap. 9 de
la Segunda Parte, [Garrido, 1974], cap. XI, secc. 8, etc. En esta sección casi cualquier
referencia de las habituales nos sirve. Para profundizar un poquito más sin dejar de
entender los contenidos fundamentales está [Hunter, 1969], Tercera parte, secc. 39.
Este es un manual centrado en la exposición de resultados de tipo metateorético, pero
con eso y con todo, es inteligible. Merece la pena entrar ya en contacto con él.
Como referencia histórica, [Tarski, 1930] y [Tarski, 1936].
125
Lógica de Enunciados
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