II.2 CUERPOS DE DESCOMPOSICIÓN. • Cuerpo de descomposición de f (X) ∈ F [X]. Cor. al Tma. de Kronecker. Todo polinomio f (X) ∈ F [X] tiene un cuerpo de descomposición. • Polinomio separable; cuerpo perfecto; elemento separable, extensión separable; F p = {a ∈ F | ∃ b ∈ F, bp = a}. Ejemplos. (1) Si ch(F ) = 0, todo polinomio de F [X] es separable. (2) Si ch(F ) = p y q(X) ∈ F [X] es irreducible entonces, q(X) separable ⇐⇒ q 0 (X) 6= 0. Lem.II.10. Sea ch F = p y n > 0. n X p − a ∈ F [X] es irreducible sobre F si y solo si a 6∈ F p . Tma.II.11. F es perfecto si y solo si ch F = 0 o ambos ch F = p y F p = F . Cor. Todo cuerpo finito es perfecto. Si F es finito y ch(F ) = p, el automorfismo de Frobenius de F es σp : F → F : a 7→ ap . • Lem.II.12. Sean ψ: F → F0 ψ ∗ : F [X] → F 0 [X] y un isomorfismo de cuerpos y su isomorfismo de a.c.u. inducido. Sean p(X) ∈ F [X] irreducible y p∗ (X) = ψ ∗ (p(X)) ∈ F 0 [X]. Si (i) β es una raı́z de p(X) (en una extensión de F ) y (ii) β 0 una raı́z p∗ (X) (en una extensión de F 0 ), entonces existe un único isomorfismo ψe : F (β) → F 0 (β 0 ) e que extiende ψ y tal que ψ(β) = β 0. Tma.II.13. Sea ψ: F → F0 un isomorfismo de cuerpos. Sea f (X) ∈ F [X] y f ∗ (X) = ψ ∗ (f (X)) el correspondiente polinomio en F 0 [X]. Sean E y E 0 cuerpos de descomposición de f (X) sobre F y de f ∗ (X) sobre F 0 , respectivamente. Entonces, (i) existe un isomorfismo ψe : E → E 0 que extiende ψ, y e (ii) si f (X) es separable entonces ψ tiene exactamente [E : F ] extensiones ψ. Cor.1. Sea f (X) ∈ F [X]. Cualesquiea dos cuerpos de descomposición de f (X) sobre F son isomorfos, con un isomorfismo que deja fijo F punto a punto (su restricción a F es la identidad). Obs. Si E es cuerpo de descomposición de f (X) ∈ F [X] entonces la extensión E/F es finita. Cor.2. Para cada p primo y n ≥ 1 existe un único cuerpo, salvo isomorfismo, con q = pn elementos. Cuerpo de Galois (notación GF (pn ) ó Fq con q = pn y p primo). 7