Más movimiento curvilíneo............301

XII. MÁS MOVIMIENTO
CURVILÍNEO
Aunque lo que hemos estudiado en el capítulo anterior corresponde a
lo más fundamental del movimiento curvilíneo, completaremos nuestro
estudio con tres temas más: las componentes polares, el movimiento circular y el movimiento relativo.
Componentes polares. Cinemática
Volveremos a estudiar el movimiento curvilíneo, pero ahora utilizando
un nuevo sistema de referencia. Cuando la posición de la partícula puede
definirse fácilmente mediante la magnitud y la dirección de un vector de
posición, entonces conviene emplear un sistema de referencia polar: el polo
u origen es un punto fijo respecto al cual se mide la distancia r a la partícula,
que sería una de las coordenadas, mientras que la otra sería el ángulo  que
el radio vector forme con cierta dirección conocida.
Tomemos un automóvil P que se
mueve en una carretera curvilínea, como se
muestra en la figura. Desde O se observa su
movimiento con un radar. La posición del
radar, O, será el polo. El segmento de recta
̅̅̅̅ = r,
que une el radar con el automóvil, 𝑂𝑃
será el vector de posición, que estará
contenido en el eje radial, cuyo sentido es
de O hacia P.
Más Movimiento Curvilíneo
El ángulo  que forma el vector r con la línea Oeste–Este (podríamos
elegir otra dirección conocida), será la dirección.
Además del eje radial, recurriremos a otro eje, perpendicular al primero, que llamaremos transversal. Y llamaremos er y e a los vectores
unitarios en las direcciones radial y transversal, respectivamente.
La posición del automóvil en cualquier instante se puede expresar
como
𝑟̅ = 𝑟𝐞𝐫
y la velocidad del automóvil se puede deducir derivando esta expresión con
respecto al tiempo, teniendo en cuenta que tanto la distancia r como el
vector unitario son variables:
𝑑𝑟
𝑑𝐞𝐫
𝑣̅ =
𝐞𝐫 + 𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝑡
que podemos escribir, aplicando la regla de la cadena al segundo término,
de la siguiente manera:
𝑑𝐞𝐫 𝑑𝜃
𝑣̅ = 𝑟̇ 𝐞𝐫 + 𝑟
𝑑𝜃 𝑑𝑡
Cuando estudiamos las componentes intrínsecas, dedujimos que la
derivada de un vector unitario respecto a su dirección es otro vector unitario
girado un ángulo recto en sentido positivo; o sea que
𝑑𝐞𝐫
𝑑𝐞𝛉
= 𝐞𝛉 ;
= −𝐞𝐫
𝑑𝜃
𝑑𝑡
La razón d/dt, que es la razón del cambio de dirección del vector al
tiempo, se puede llamar velocidad angular con toda propiedad; de modo
semejante, la razón del cambio de la velocidad angular al tiempo se puede
llamar aceleración angular. Simbólicamente
𝜃̇ =
𝑑𝜃
𝑑𝜃̇
; 𝜃̈ =
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Llevando estos valores a la expresión de la velocidad, obtenemos
284
Más Movimiento Curvilíneo
𝑣̅ = 𝑟̇ 𝐞𝐫 + 𝜃̇𝑟𝐞𝛉
Volveremos a derivar con respecto al tiempo para hallar la aceleración
del automóvil:
𝑎̅ = 𝑟̇
𝑑𝐞𝐫
𝑑𝐞𝛉
+ 𝑟̈ 𝐞𝐫 + 𝜃̈𝑟𝐞𝛉 + 𝜃̇𝑟̇𝐞𝛉 + 𝜃̇𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝑡
y empleando nuevamente la regla de la cadena y sustituyendo con los
valores que hemos obtenido arriba, llegamos a lo siguiente:
𝑎̅ = 𝑟̇
𝑑𝐞𝐫 𝑑𝜃
𝑑𝐞𝛉 𝑑𝜃
+ 𝑟̈ 𝐞𝐫 + 𝜃̈𝑟𝐞𝛉 + 𝜃̇𝑟̇ 𝐞𝛉 + 𝜃̇𝑟
𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑎̅ = 𝜃̇𝑟̇ 𝐞𝛉 + 𝑟̈ 𝐞𝐫 + 𝜃̈ 𝑟𝐞𝛉 + 𝜃̇ 𝑟̇ 𝐞𝛉 − 𝜃̇ 2 𝑟𝐞𝐫
𝑎̅ = (𝑟̈ − 𝜃̇ 2 𝑟)𝐞𝐫 + (𝜃̈𝑟 + 2𝜃̇𝑟̇)𝐞𝛉
Las dos expresiones enmarcadas nos ofrecen los valores de la velocidad y la aceleración en términos de sus componentes radial y transversal.
Ejemplo. Mediante un mecanismo,
que no se muestra en la figura, el
collarín A se mueve sobre la barra, alejándose de la articulación O, conforme a la expresión r = 5 + 2t2, en
donde r resulta en cm, si t se da en s. A
su vez, la barra OB gira alrededor de
O, según la ley  = 0.4t3, en la que si t
está en s,  resulta en rad. Determine
la posición, velocidad y aceleración
del collarín cuando t = 1 s.
285
Más Movimiento Curvilíneo
Obtendremos las primeras y segundas derivadas de r y respecto al tiempo
y sus valores para t = 1s.
𝑟 = 5 + 2𝑡 2
𝑟̇ = 4𝑡
𝑟̈ = 4
𝜃 = 0.4𝑡 3
𝜃̇ = 1.2𝑡 2
𝜃̈ = 2.4𝑡
𝑟1 = 7
𝑟̇1 = 4
𝑟̈1 = 4
𝜃1 = 0.4 rad = 22.9°
𝜃̇1 = 1.2 rad/s
𝜃̈1 = 2.4 rad/s 2
Por tanto
7cm
𝑣̅ = 𝑟̇ 𝑒𝑟 + 𝜃̇𝑟𝑒𝜃
𝑣̅ = 4𝑒𝑟 + 1.2(5)𝑒𝜃 = 4𝑒𝑟 + 6𝑒𝜃
𝑎̅ = (𝑟̈ − 𝜃̇ 2 𝑟)𝑒𝑟 + (𝜃̈𝑟 + 2𝜃̇𝑟̇)𝑒𝜃
𝑎̅ = (4 − [1.2]2 [5])𝑒𝑟
+(2.4[5] + 2[1.2]4)𝑒𝜃
𝑎̅ = −3.2𝑒𝑟 + 21.6𝑒𝜃
Para t = 1s, la posición, velocidad y
aceleración del collarín serán:
𝑟 = 7 cm
22.9°
𝑣 = √42 + 62
6
tan 𝛽 =
; 𝛽 = 56.3°
4
𝑣 = 7.21 cm⁄s
79.2°
𝑎 = √3.22 + 21.62
21.6
tan 𝛾 =
; 𝛾 = 81.6°
3.2
𝑎 = 21.8 cm⁄s2
286
58.7°
Más Movimiento Curvilíneo
Ejemplo. Mediante un radar colocado en tierra se sigue el vuelo de un
avión que viaja en línea recta con velocidad constante de 1200 ft/s. Sabiendo
que el avión vuela a 20 000 ft de altura y
que el rayo del radar y la trayectoria del
avión están en el mismo plano, calcule,
para el instante en que  = 45°: a) la
distancia entre el radar y el avión: b) la
rapidez y la aceleración con que el avión
se acerca al radar; c) la velocidad y la
aceleración angulares del rayo del radar.
v
20 000’
De la geometría podemos obtener la distancia r y las componentes polares
de la velocidad.
𝑠𝑒𝑛 45 =
20000
𝑟
𝑟 = 20000 (
2
)=
√2
40000
√2
𝑟 = 28 300 ft
√2
𝑣𝑟 = 𝑣𝜃 = 1200 ( 2 ) = 600√2
vθ
La rapidez con que el avión se
acerca al radar es 𝑟̇ , o sea
𝑟̇ = 𝑣𝑟
𝑟̇ = 849 ft⁄s
vr
Como 𝑣𝜃 = 𝜃̇𝑟
287
Más Movimiento Curvilíneo
2
√2
1200 ( ) = 𝜃̇(20000)
2
√2
1200 √2 √2
600
𝜃̇ =
( )
=
= 0.03
20000 2 2
20000
que es a velocidad angular del rayo:
𝜃̇ = 0.03 rad⁄s ⟲
Como el movimiento del avión es rectilíneo uniforme, a = 0
0 = 𝑟̈ − 𝜃̇ 2 𝑟
40000
𝑟̈ = 𝜃̇ 2 𝑟 = (0.32 )
√2
que es aceleración con que el avión se acerca al radar:
𝑟̈ = 2550 ft⁄s2
Además
45°
0 = 𝜃̈𝑟 + 2𝜃̇ 𝑟̇
𝜃̈ = −
2𝜃̇𝑟̇
2(0.3)600√2
=−
√2
𝑟
40000
𝜃̈ = −0.018
La aceleración del rayo es:
𝜃̈ = 0.018 rad⁄s2 ⟳
Aaa
288
Más Movimiento Curvilíneo
Componentes polares. Cinética
Por supuesto, las expresiones que nos servirán para resolver problemas cinéticos, conforme a la segunda ley de Newton, serán las siguientes:
∑ 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑟
∑ 𝐹𝜃 = 𝑚𝑎𝜃
O bien:
∑ 𝐹𝑟 = 𝑚(𝑟̈ − 𝜃̇ 2 𝑟)
∑ 𝐹𝜃 = 𝑚(𝜃̈𝑟 + 2𝜃̇𝑟̇ )
Un ejemplo será suficiente para ilustrar el caso.
Ejemplo. Un pequeño cilindro de
medio kilogramo de peso, se puede mover dentro de un tubo liso de 0.5 m de
largo, que gira alrededor de un eje vertical con rapidez angular constante de 20
rad/s. En cierto instante, el cilindro tiene
una rapidez, relativa al tubo, de 8 m/s, O
hacia afuera del tubo y se halla a 0.25 m
del eje de rotación. Determine la magnitud de la fuerza horizontal que el tubo
ejerce sobre el cilindro en el instante en
que éste se halle a punto de abandonar
aquel.
En el sistema de referencia, el eje radial iría de O a B, y el transversal
sería también horizontal y perpendicular al anterior.
289
Más Movimiento Curvilíneo
En un instante cualquiera, el
diagrama de cuerpo libre del cilindro,
en planta, sería el siguiente (el peso y
la reacción vertical no pueden aparecer
en el diagrama).
∑ 𝐹𝑟 = 𝑚(𝑟̈ − 𝜃̇ 2 𝑟)
0.5
(𝑟̈ − [202 ]𝑟)
9.81
𝑟̈ = 400𝑟
0=
Podemos decir que
𝑟̈ =
𝑑𝑟̇ 𝑑𝑟̇ 𝑑𝑟
𝑑𝑟̇
=
= 𝑟̇
𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡
𝑑𝑟
O sea que
𝑟̇
𝑑𝑟̇
= 400𝑟
𝑑𝑟
Separando variables e integrando
∫ 𝑟̇ 𝑑 𝑟̇ = 400 ∫ 𝑟𝑑𝑟
𝑟̇ 2
= 200𝑟 2 + 𝐶
2
𝑆𝑖 𝑟 = 0.25,
𝑟̇ = 8
82
= 200(0.252 ) + 𝐶 ; 𝐶 = 19.5
2
𝑟̇ 2
= 200𝑟 2 + 19.5
2
𝑟̇ = √400𝑟 2 + 39
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 0.5
𝑟̇ = 9.43 m⁄s
que es la rapidez con que abandona el tubo
∑ 𝐹𝜃 = 𝑚(𝜃̈𝑟 + 2𝜃̇𝑟̇ )
290
Más Movimiento Curvilíneo
Como 𝜃̇ es constante, 𝜃̈ = 0
𝐹𝐻 =
0.5
(2[20]9.43)
9.81
𝐹𝐻 = 19.23 kg
Movimiento circular
El movimiento circular de la partícula es un caso particular del
movimiento curvilíneo, que reviste especial importancia. Se puede estudiar con facilidad tanto utilizando coordenadas intrínsecas como polares.
En el primer caso, el eje normal va de la partícula al centro de la trayectoria, mientras que en el segundo, tiene sentido contrario, si se toma el
centro como polo. Los ejes tangencial y transversal coinciden.
Empleando las componentes radial y transversal, y sabiendo que r es
constante e igual al radio de la trayectoria, tenemos
𝑣̅ = 𝑟̇ 𝐞𝐫 + 𝜃̇𝑟𝐞𝛉
𝑟̇ = 0
𝑣̅ = 𝜃̇𝑟𝐞𝛉
La velocidad tiene una magnitud igual a 𝜃̇ 𝑟 y es perpendicular al radio
de la trayectoria.
𝑎̅ = (𝑟̈ − 𝜃̇ 2 𝑟)𝐞𝐫 + (𝜃̈𝑟 + 2𝜃̈ 𝑟̇)𝐞𝛉
Como tanto 𝑟̇ como 𝑟̈ son nulas
𝑎̅ = −𝜃̇ 2 𝑟𝐞𝐫 + 𝜃̈𝑟𝐞𝛉
La componente radial tiene la misma magnitud de la componente
normal, 𝑎𝑛 = 𝜃̇ 2 𝑟, pero sentido contrario.
Las componentes transversal y tangencial son iguales en magnitud, 𝜃̈𝑟,
y en dirección.
𝑎̅ = 𝜃̇ 2 𝑟𝐞𝐧 + 𝜃̈𝑟𝐞𝐭
291
Más Movimiento Curvilíneo
Movimiento relativo
Todos los movimientos de la partícula que hemos estudiado hasta este
momento, han sido absolutos, es decir, hemos considerado que el origen
del sistema de referencia permanece fijo. Llamaremos movimiento relativo
al que se estudia desde un punto de observación, un origen, móvil.
Pensemos en un pasajero que camina sobre la cubierta de un buque, de
babor a estribor, con una velocidad de 2 m/s. Si el buque está anclado, la
velocidad absoluta de la persona es de 2 m/s, dirigida hacia el Este. Pero si
el buque navega hacia el Norte con una rapidez de 10 m/s. entonces la
velocidad de 2 m/s (→) será la velocidad relativa del pasajero con respecto
al buque; y su velocidad absoluta será la suma vectorial de su velocidad
relativa al buque más la velocidad absoluta del buque:
10 m/s
vP
vB=10

2 m/s
vP/B=2
10
2
78.7°
𝑣𝑃 = √102 + 22 ; tan 𝜃 =
𝑣𝑃 = 10.2 m/s
Dividiremos el estudio del movimiento relativo en dos partes: en la
primera, los ejes del sistema de referencia móvil conservarán su dirección
durante el movimiento, en la segunda, dicho ejes cambiarán de dirección.
292
Más Movimiento Curvilíneo
Ejes con traslación pura
Decimos que los ejes se mueven con traslación pura si conservan su
dirección original durante el movimiento.
En la figura, O es un punto fijo, y origen
del sistema de referencia absoluto, y Q es un
punto en movimiento, origen del sistema de
referencia móvil. P es la partícula en estudio,
cuyas coordenadas son (x, y), respecto al
sistema móvil. Como fácilmente se puede
observar, la posición absoluta de P es igual a
la suma vectorial de la posición relativa de P
respecto a Q, más la posición absoluta de Q.
𝑟̅𝑃 = 𝑟̅𝑃/𝑄 + 𝑟̅𝑄
La ecuación anterior se puede escribir también así:
𝑟̅𝑃 = 𝑥𝐢̂ + 𝑦𝐣̂ + 𝑟̅𝑄
𝑣̅𝑃 = 𝑣𝑥𝐢̂ + 𝑣𝑦𝐣̂ + 𝑣̅𝑄
𝑎̅𝑃 = 𝑎𝑥𝐢̂ + 𝑎𝑦𝐣̂ + 𝑎̅𝑄
y, para obtener la velocidad y la aceleración, derivamos con respecto al
tiempo, teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes, ya
que no cambian ni de magnitud ni de dirección:
𝑣̅𝑃 = 𝑣̅𝑃/𝑄 + 𝑣̅𝑄
𝑎̅𝑃 = 𝑎̅𝑃/𝑄 + 𝑎̅𝑄
en donde los dos primeros términos del segundo miembro corresponden a
la velocidad y la aceleración relativas de P respecto a Q.
N
Ejemplo. Un buque A navega hacia
el Este con una rapidez de 20 nudos,
mientras otro, B, se dirige hacia el noreste con una velocidad de 16 nudos. Determine la velocidad relativa de B respecto de A.
293
16 nudos
E
20 nudos
Más Movimiento Curvilíneo
Como tenemos que investigar la velocidad relativa de B respecto de A,
la ecuación que hemos de emplear es
𝑣̅𝐵 = 𝑣̅𝐵/𝐴 + 𝑣̅𝐴
Con ella a la vista, dibujamos los vectores que representan esa suma y,
a continuación, resolvemos el triángulo mediante la ley de cosenos.
2
𝑣𝐵/𝐴
= 202 + 162 + 2(20)16 cos 45°
𝑣𝐵 = 16
𝑣𝐵/𝐴
45°
2
𝑣𝐵/𝐴
= 400 + 256 − 320√2
𝜃
𝑣𝐵/𝐴 = 14.26
𝑣𝐴 = 20
Y con la ley de senos calculamos la dirección.
sen 𝜃 sen 45°
=
16
14.26
sen 𝜃 =
16√2
2(14.26)
𝜃 = 52.5°
Por tanto
𝑣𝐵/𝐴 = 14.26 nudos
52.5°
Por supuesto, la velocidad del buque A respecto del B tiene la misma
magnitud, pero sentido contrario.
Ejemplo. Un avión A vuela con
rapidez constante de 720 km/h describiendo una circunferencia horizontal de 4000 m de radio. Simultáneamente, otro avión, B, vuela en
línea recta, hacia el Este, con una
rapidez de 600 km/h, la cual aumenta a razón de 10 m/s2. Calcule
la velocidad y la aceleración relativas del avión A respecto al B, en el
instante mostrado en la figura.
294
A
B
Más Movimiento Curvilíneo
La ecuación que debemos emplear para la determinación de la
velocidad relativa es
𝑣̅𝐴 = 𝑣̅𝐴/𝐵 + 𝑣̅𝐵
y el diagrama correspondiente de vectores
𝑣𝐵 = 600 𝑘𝑚/ℎ
𝑣𝐴 = 720 km/h
𝑣𝐴/𝐵
Como puede apreciarse, la velocidad relativa de A respecto a B se
obtiene mediante una suma algebraica:
𝑣̅𝐴/𝐵 = 1320 𝑘𝑚/ℎ ←
Para obtener la aceleración relativa, la ecuación a utilizar es
𝑎̅𝐴 = 𝑎̅𝐴/𝐵 + 𝑎̅𝐵
La aceleración de A no tiene componente tangencial, y es igual a
𝑎𝐴 =
𝑣=
𝑣2
𝑟
720 𝑚
⁄𝑠 = 200 𝑚/𝑠
3.6
𝑎𝐴 =
2002
= 10 ↓
4000
Por tanto, el diagrama de los vectores es
𝑎𝐵 = 10
𝑎𝐴/𝐵 = 10√2
𝑎𝐴 = 10
𝑎𝐴⁄
𝐵
𝑎𝐴/𝐵 = 14.14 m⁄ 2
s
295
45°
Más Movimiento Curvilíneo
Ejemplo. Dos vehículos, A y B,
recorren una curva circular de 440
ft de radio. En el instante representado en la figura, ambos llevan una
rapidez de 30 mi/h, pero mientras
que A la está reduciendo a razón de
4 ft/s2, B la aumenta a razón de 3
ft/s2. Determine la aceleración relativa dela automóvil B respecto al A.
Puesto que las aceleraciones de los automóviles tienen dos componentes cada una, la resolución de este problema implica trabajar con cinco vectores. Por lo cual, elegiremos un sistema de referencia que nos permita
utilizar un lenguaje vectorial. Una vez elegido, calcularemos las componentes de las aceleraciones y las expresaremos en función de dicho sistema.
𝑓𝑡
30 𝑚𝑖⁄ℎ = 44 ⁄𝑠
𝑣 2 442
(𝑎𝐴 )𝑛 = 𝐴 =
= 4.4 ←
𝑟
440
(𝑎𝐴 )𝑡 = 4 ↓
𝑎̅𝐴 = −4.4𝐢 − 4𝐣
(𝑎𝐵 )𝑛 = 4.4 60°
(𝑎𝐵 )𝑡 = 3
30°
(𝑎𝐵 )𝑛 = −2.2𝑖 − 2.2√3𝐣
(𝑎𝐵 )𝑡 = −1.5√3𝐢 + 1.5𝐣
La ecuación de la aceleración relativa que hemos de emplear es la
siguiente, y reemplazaremos en ella los valores obtenidos.
𝑎̅𝐵 = 𝑎̅𝐵/𝐴 + 𝑎̅𝐴
−2.2𝐢 − 2.2√3𝐣 − 1.5√3 − 1.5𝐣 = 𝑎̅ 𝐵⁄ − 4.4𝑖 − 4𝐣
𝐴
𝑎̅𝐵/𝐴 = (−2.2 − 1.5√3 + 4.4)𝐢 + (4 − 2.2√3 − 1.5)𝐣
𝑎̅𝐵/𝐴 = −0.398𝐢 − 1.311𝐣
296
Más Movimiento Curvilíneo
𝑎𝐵/𝐴 = √0.3982 + 1.3112
1.311
tan 𝜃 =
0.398
𝑎𝐵/𝐴 = 1.37 ft⁄s2
73.1°
Ejes con rotación
Estudiaremos ahora el caso del movimiento relativo, permitiendo rotar o girar al sistema de referencia móvil. El planteamiento inicial es
idéntico al del caso en que los ejes se mueven con traslación pura.
Para facilitar las expresiones que tendremos que deducir, asociaremos
la velocidad angular a un vector perpendicular al plano del movimiento,
cuya magnitud sea la de dicha velocidad, y cuyo sentido siga la regla de la
mano derecha. Es decir si el plano de este papel es el xy, y un disco gira en
sentido antihorario con una velocidad angular de 8 rad/s, el vector que
representará su velocidad angular será 𝜔
̅ = 8 𝐤[rad/s]. De modo semejante, asociaremos otro vector perpendicular al plano de movimiento con la
aceleración angular siguiendo el mismo criterio; si el disco del ejemplo
reduce su rapidez angular a razón de 15 rad/s2, el vector representativo será
𝛼̅ = −15𝐤[rad/s2 ].
En la figura, O es un punto fijo, y
origen del sistema de referencia absoluto,
y Q es un punto en movimiento, origen
del sistema de referencia móvil. P es la
partícula en estudio, cuyas coordenadas
son (x, y) respecto al sistema móvil. Como fácilmente se puede observar, la posición absoluta de P es igual a la suma vectorial de la posición relativa de P respecto
a Q, más la posición absoluta de Q. Llamaremos ω a la velocidad angular del sistema de referencia.
297
Más Movimiento Curvilíneo
𝒓̅𝑷/𝑸 = 𝒙𝐢 + 𝒚𝐣
𝑑𝑟̅𝑃/𝑄
𝑑𝐢 𝑑𝑥
𝑑𝐣 𝑑𝑦
=𝑥 +
𝐢𝑦 + 𝑦 +
𝐣
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
Para derivar los vectores unitarios emplearemos la regla de la cadena,
y recordaremos que la derivada de un vector unitario respecto a su dirección
es otro vector unitario girado 90 grados en sentido anti horario.
𝑑𝐢 𝑑𝐢 𝑑𝜃 𝑑𝜃
=
=
𝐣 = 𝜔𝐣
𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝐣 𝑑𝐣 𝑑𝜃 𝑑𝜃
=
=
𝐣 = −𝜔𝐢
𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑡
Por lo tanto
𝑑𝑟̅𝑃/𝑄
= 𝑣𝑥 𝐢 + 𝑣𝑦 𝐣 + 𝜔𝑥𝐣 − 𝜔𝑦𝐢 … … … (1)
𝑑𝑡
Antes de volver a derivar con respecto al tiempo,
ecuación la siguiente forma.
𝑣̅𝑃/𝑄 = 𝑣̅𝑟𝑒𝑙 + 𝜔
̅ × 𝑟̅𝑃/𝑄
El último término se justifica porque
𝐢 𝐣
(𝑥𝐢
0
0
𝜔
̅ × 𝑟̅𝑃/𝑄 = 𝜔𝐤 ×
+ 𝑦𝐢) = |
𝑥 𝑦
En resumen la velocidad absoluta de P es
le daremos a esta
𝐤
𝜔|
0
𝑣̅𝑃 = 𝑣̅𝑟𝑒𝑙 + 𝜔
̅ × 𝑟̅𝑃/𝑄 + 𝑣̅𝑄
Para obtener la aceleración absoluta, derivamos la ecuación (1) respecto al
tiempo
𝑑2 𝑟̅𝑃/𝑄
𝑑𝐢 𝑑𝑣𝑥
𝑑𝐣 𝑑𝑣𝑦
𝑑𝐣
𝑑𝑥
𝑑𝜔
=
𝑣
+
𝐢
+
𝑣
+
𝐣
+
𝜔𝑥
+
𝜔
𝐣
+
𝑥𝐣
𝑥
𝑦
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝐢
𝑑𝑦
𝑑𝜔
− (𝜔𝑦 + 𝜔
𝐢+
𝑦𝐢)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
298
Más Movimiento Curvilíneo
Sustituyendo las derivadas de los vectores unitarios por sus valores y
haciendo
𝑑𝜔
𝑑2 𝜃
= 𝛼 (= 2 ) tenemos,
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑎̅𝑃/𝑄 = 𝜔𝑣𝑥 𝐣 + 𝑎𝑥𝐢 − 𝜔𝑣𝑦 𝐢 + 𝑎𝑦 𝐣 − 𝜔𝑥𝐢 + 𝜔𝑣𝑥 𝐣 + 𝛼𝑥𝐣
𝑑𝐢
𝑑𝑦
𝑑𝜔
− (𝜔𝑦 + 𝜔
𝐢+
𝑦𝐢)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Ordenando, tenemos:
𝑎̅𝑃/𝑄 = 𝑎𝑥 𝐢 + 𝑎𝑦 𝐣 − 𝜔𝑥𝐢 − 𝜔𝑦𝐣 + 𝛼𝑥𝐣 − 𝛼𝑦𝐢 + 2(𝜔𝑣𝑥 𝐣 − 𝜔𝑣𝑦 𝐢)
𝑎̅𝑃/𝑄 = 𝑎̅𝑟𝑒𝑙 − 𝜔2 𝑟̅𝑃/𝑄 + 𝛼̅ × 𝑟̅𝑃/𝑄 + 2𝜔
̅ × 𝑣̅𝑟𝑒𝑙
El segundo término del segundo miembro a veces se escribe así:
−𝜔2 𝑟̅𝑃/𝑄 = 𝜔
̅ × (𝜔
̅ × 𝑟̅𝑃/𝑄 )
La aceleración absoluta de P es:
𝑎̅𝑃 = 𝑎̅𝑟𝑒𝑙 − 𝜔2 𝑟̅𝑃/𝑄 + 𝛼̅ × 𝑟̅𝑃/ + 2𝜔
̅ × 𝑣̅𝑟𝑒𝑙 + 𝑎̅𝑄
Si se observa detenidamente, la única diferencia entre la aceleración
absoluta estudiada con ejes con traslación y esta que acabamos de obtener
es el término 2𝜔
̅ × 𝑣̅𝑟𝑒𝑙 , que se llama aceleración de Coriolis (¹).
Ejemplo. Un buque navega descriy
biendo un arco de circunferencia de 50
m de radio con una rapidez constante
de 10 m/s. Un pasajero se mueve de babor a estribor con una velocidad constante, relativa al buque, de 2 m/s. Determine la velocidad y la aceleración 0
absolutas del pasajero en el instante en
que pasa por el centro G del buque.
𝑣𝐵 = 10 m/s

G
x
vP = 2 m/s
50 m
(¹) Gustave Coriolis (1792-1861) fue un matemático e ingeniero francés
que descubrió este término de la aceleración relativa.
299
Más Movimiento Curvilíneo
El movimiento relativo al buque del pasajero es muy simple, se trata de
un movimiento rectilíneo uniforme. Pero el hecho de que el buque esté virando
provoca que el movimiento absoluto sea bastante complejo.
El sistema de referencia fijo que conviene elegir, tiene su origen en O,
que es el centro de la trayectoria de la embarcación, Y el sistema de referencia
móvil tendrá el mismo origen O, que carece de movimiento, pero sus ejes
tendrán una cierta velocidad angular ω, pues rotará junto con el buque.
𝑣𝐵 10
=
= 0.2 rad/s ⟲
𝑟
50
Velocidad absoluta
𝑣̅𝑃 = 𝑣̅𝑟𝑒𝑙 + 𝜔
̅ × 𝑟̅𝑎/𝐵 + 𝑣̅𝐵
𝑣̅𝑃 = 2𝐢 + 0.2𝐤 × 50𝐢 + 0̅
𝑣̅𝑃 = 2𝐢 + 10𝐣
𝜔=
𝑣𝑃 = 10.2 m/s
Aceleración absoluta
𝑎̅𝑃 = 𝑎̅𝑟𝑒𝑙 − 𝜔2 𝑟̅𝑃/𝐵 + 𝛼̅ × 𝑟̅𝑃/0 + 2𝜔
̅ × 𝑣̅𝑟𝑒𝑙 + 𝑎̅0
2 (50𝐢)
̅
̅
𝑎̅𝑃 = 0 − 0.2
+ 0 + 2(0.2𝐤 × 2𝐢) + 0̅
𝑎̅𝑃 = −2𝐢 + 0.8𝐣
𝑎𝑃 = 2.15 m/s2
Ejemplo. En cierto instante, el impulsor de una bomba centrífuga de 0.5 ft
de radio tiene una velocidad angular de
10 rad/s y una aceleración angular de 20
rad/s2. Una gota de agua está a punto de
abandonarla en el punto A, con una velocidad, relativa al impulsor, de 4 ft/s, en
la dirección mostrada en la figura, y que
aumenta a razón de 16 ft/s2. El radio de
curvatura del álabe en el punto A es de
0.8 ft. Diga cuáles son la velocidad y
aceleración absolutas de la gota de agua
en el instante mencionado.
300
21.8°
78.7°
Más Movimiento Curvilíneo
Velocidad absoluta. Llamaremos 𝑣̅𝐺 a la velocidad absoluta de la gota.
𝑣̅𝐺 = 𝑣̅𝑟𝑒𝑙 + 𝜔
̅ × 𝑟̅𝐺/0 + 𝑣̅0
𝑣̅𝐺 = −2𝐢 + 2√3𝐣 + 10𝐤 × 0.5𝐣
𝑣̅𝐺 = −7𝐢 + 2√3𝐣
𝑣𝐺 = √72 + (2√3)
𝑣̅𝑟𝑒𝑙 = −2𝐢 + 2√3𝐣
𝜔
̅ = 10𝐤
𝑟̅𝐺/0 = 0.5𝐣
𝑣̅0 = 0̅
2
2√3
7
𝑣𝐺 = 7.81 ft/s
tan 𝜃 =
26.3°
Tanto el origen del sistema de referencia fijo como el del sistema móvil
(que girará junto con el impulsor) serán el centro O del impulsor.
Será 𝑎̅𝑎 la aceleración absoluta de la gota.
Como la gota de agua se mueve sobre el álabe del impulsor aumentando su rapidez relativa se trata de un movimiento curvilíneo en que la aceleración tiene tanto como componente normal como tangencial.
𝑎̅𝑟𝑒𝑙 = (𝑎̅𝑟𝑒𝑙 )𝑡 +(𝑎̅𝑟𝑒𝑙 )𝑛
𝑎̅𝑟𝑒𝑙 = 16𝐞𝐭 +
𝑎̅𝑟𝑒𝑙
𝑣2
𝐞
𝜌 𝐧
42
= 16𝐞𝐭 +
𝐞
0.8 𝐧
𝑎̅𝑟𝑒𝑙 = 16𝐞𝐭 + 20𝐞𝐧
301
Más Movimiento Curvilíneo
𝑎𝑟𝑒𝑙 = √162 + 202 = 25.61
En el sistema móvil x-y:
𝑎̅𝑟𝑒𝑙 = 25.61(−𝐢 𝑠𝑒𝑛 81.3° + 𝐣 cos 81.3°)
𝑎̅𝑟𝑒𝑙 = −25.3𝐢 + 3.86𝐣
Entonces:
𝑎̅𝐺 = 𝑎̅𝑟𝑒𝑙 − 𝜔2 𝑟̅𝐺 + 𝛼̅ × 𝑟̅𝐺 + 2𝜔
̅ × 𝑣̅𝑟𝑒𝑙
0
0
+ 𝑎̅0
𝑎̅𝐺 = −25.3𝐢 + 3.86𝐣 − 102 (0.5𝐣) + 20𝐤 × 0.5𝐣 +
2[10𝐤 × (−2𝐢 + 2√3𝐣)] + 0̅
𝑎̅𝐺 = −25.3𝐢 + 3.86𝐣 − 50𝐣 − 10𝐢 − 40√3𝐢 − 40𝐣
𝑎̅𝐺 = −104.6𝐢 − 86.1𝐣
𝑎𝐺 = √104.62 + 86.12
tan 𝜃𝑥 =
86.1
104.6
𝑎𝐺 = 135.5 ft/s 2
39.5°
El estudiante podrá darse cuenta de que la velocidad absoluta de la gota
de agua es igual a la suma vectorial de la velocidad del punto A del álabe
del impulsor más la velocidad relativa de la gota. Y que su aceleración
absoluta corresponde a la suma vectorial de la aceleración absoluta de A,
más la aceleración relativa de la partícula, más la aceleración de Coriolis.
302
Más Movimiento Curvilíneo
Serie de ejercicios de cinética
MÁS MOVIMIENTO CURVILÍNEO
1. El brazo OA de la figura gira
alrededor de O conforme a la ecuación
𝜃 = 𝑡 2 /2, donde sí t esta en segundos, θ
resulta en rad/s. El collarín P se aleja de O
según la expresión 𝑟 = 4 + 𝑡 2 , en la que
r está en mm y t en s. Determine la
velocidad y la aceleración del collarín
cuando t = 2 s.
(Sol .𝑣 = 16.49 m⁄s
10.6°;
2
𝑎 = 38.4 mm⁄s
75.9°)
2. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un mecanismo
semejante al del problema anterior son 𝜃 = 𝜋/2 y 𝑟 = 10 − 4𝑡, donde θ
está en rad, r en in y t en s. Diga cuáls serán la velocidad y la aceleración
lineales del collarín cuando θ = 0°.
(Sol. 𝑣 = 5.46 in⁄s 42.9°; 𝑎 = 8.82 in⁄s 2 65.1°)
3. En cierto instante del movimiento curvilíneo de una partícula, los
parámetros de sus componentes polares alcanzan los siguientes valores:
𝑟 = 20 mm, 𝑑𝑟⁄𝑑𝑡 = 30 mm⁄s, 𝑑 2 𝑟/𝑑𝑡 2 = 300 mm⁄s, 𝜃 = 45°,
𝑑𝜃⁄𝑑𝑡 = −2 rad⁄s y 𝑑 2 𝜃⁄𝑑𝑡 2 = 16 rad⁄s2 . Determine la rapidez de la
partícula y la magnitud de las componentes radial y transversal de su
aceleración.
(Sol. 𝑣 = 50 mm⁄s ; 𝑎𝑟 = 220 mm⁄s2 ; 𝑎𝜃 = 200 mm⁄s2 )
4. Un niño camina sobre el radio de un
tiovivo, alejándose del centro, a razón constante
de 8 ft/s. El tiovivo lleva una aceleración angular, también constante, de 5 rad⁄s2 . Calcule
las magnitudes de la velocidad y aceleración
lineales del niño cuando se encuentre a 4 ft del
centro, si en ese instante la rapidez angular del
tiovivo es de 3 rad⁄s.
(Sol. 𝑣 = 14.42 ft⁄s ; 𝑎 = 76.9 ft/s2 )
303
Más Movimiento Curvilíneo
5. Un buque B navega con una velocidad
constante de 40 ft/s en la dirección mostrada. Un
radar O en la costa sigue su movimiento. En el
instante representado, la distancia entre el buque
y el radar es de 2000 ft. Calcule cuáles son, en
dicho instante, la velocidad angular del radar y la
rapidez con la que el buque se aleja del radar.
(Sol. 𝜃 = 0.01 rad⁄s ; 𝑟 = 34.6 ft/s)
6. Un jet que vuela horizontalmente con
velocidad constante a una altura de 8 km es rastreado por un radar situado exactamente debajo de
su trayectoria. Cuando la inclinación del radar es
de 60° respecto a la horizontal, dicho ángulo decrece a razón de 0.025 rad/s. Tomando el radar
como polo del sistema de referencia, determine
para dicho instante: a) la componente transversal
de loa velocidad del avión; b) la rapidez del avión;
c) la componente radial de la velocidad del avión;
d) la acele-ración angular del radar, y e) la aceleración con que el jet se aleja del radar.
(Sol. 𝑎) 𝑣𝜃 = −231 m⁄s ;
𝑏) 𝑣 = 267 m/s; 𝑐) 𝑣𝑟 = 133.3 m/s;
𝑑) 𝜃 = 7.22𝑥10−4 rad⁄s ; 𝑒) 𝑟 = 5.77 m/s2 )
7. En una lámina vertical se practica una
ranura espiral cuya ecuación es 𝑟 = 0.5𝜃, donde
si θ se da en rad, r resulta en cm. Dentro de ella
se desliza una corredera por la acción de un brazo
ranurado que tiene una aceleración angular constante de 5 𝑟𝑎𝑑 ⁄𝑠 2 en sentido antihorario. Determine todas las fuerzas externas que actúan sobre
la corredera cuando θ = π, sabiendo que cuando θ
= 0° la rapidez angular del brazo es nula y que la
corredera pesa 80 g. Tanto el brazo como la ranura son lisas.
(Sol. 0.08kg ↓; 0.401k𝑔 17.7°; 0.24kg ↓)
304
Más Movimiento Curvilíneo
8. El movimiento de la corredera A
dentro de la ranura circular de 0.3 m de radio se
gobierna mediante la guía horizontal que se
eleva con una rapidez constante de 5 m/s.
Calcule la velocidad y la aceleración de la
corredera cuando 𝜃 = 30°.
(Sol. 𝑣 = 5.77 m⁄s 60°;
𝑎 = 128.3 m⁄s2 ←)
9. Un buque A navega con una rapidez
de 10 nudos y otro, B, a 14 nudos, en las
direcciones que se indican en la figura. ¿Cuáles
son la magnitud y la dirección de la velocidad
relativa de A respecto a B?
(Sol.𝑣𝐴/𝐵 = 14.95 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠
70.2°)
10. La cuña A se mueve se mueve hacia
la derecha según la ley 𝑠 = 𝑡 3 − 3𝑡 2 + 3𝑡, en
la que si t está en s, s resulta en m. Cuando t =
3 s, el cuerpo B, que desciende sobre el plano
inclinado, tiene una rapidez, relativa a la cuña,
de 13 m/s. Determine, para dicho instante, la
velocidad absoluta de B. (Sol.𝑣𝐵 = 5 m/s ↓ )
11. Una lancha cruza un río de 100 m de
ancho, en dirección normal a la corriente, en un
minuto. Si la rapidez del agua es de 8 km/h,
¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la velocidad lineal con que debe la lancha cruzar el
río para llegar precisamente al punto opuesto?
(Sol. 𝑣𝐿/𝐶 = 10 km⁄h 36.9°)
305
Más Movimiento Curvilíneo
12. Un camión que viaja al oeste a 40
km/h, lleva sobre el techo un banderín que ondea formando un ángulo de 15° con el lado
negativo de la dirección del camión. Si, simultáneamente, la veleta de un edificio tiene un
acimut de 150°, calcule la rapidez del viento.
(Sol. 𝑣𝑣 = 14.64 km/h)
13. Dos trenes A y B viajan en la misma dirección cobre vías
paralelas. A aumenta su rapidez uniformemente a razón de 16 km/h cada
minuto, mientras B reduce la suya, también uniformemente, 8 km/h cada
minuto. ¿Cuál es la aceleración relativa de A respecto a B. Exprese el
resultado en m/s2.
(Sol. 𝑎𝐵/𝐴 = 0.1111 m/s2 )
14. Dos automóviles, A y B, corren con rapidez constante en una
pista circular de 400 m de diámetro, de modo que sus radios giran en el
sentido contrario de las manecillas del reloj. En cierto instante, A se
encuentra al este de la pista y B al norte. Si la velocidad de A es de 72 km/h
y su aceleración, respecto a B, de 4 m/s2, ¿cuál es la rapidez de B?
(Sol. 𝑣𝐵 = 94.8 km/h)
15. Un coche A viaja por una carretera
recta aumentando su velocidad a razón de
m/min cada segundo cuando se halla en la posición indicada en la figura. Simultáneamente, un automóvil B viaja sobre una trayectoria circular aumentando su rapidez 1.5 m/s2;
cuando se encuentra en la posición mostrada,
su velocidad es de 36 km/h, y el radio de
curvatura de su trayectoria, de 100 m. ¿Cuál
es la aceleración relativa de A respecto a B.
(Sol. 𝑎𝐴/𝐵 = 2.42 m/s 2
48.1°)
306
Más Movimiento Curvilíneo
16. Un tren acelera uniformemente en 5 min de 54 a 162 km/h. Si
está lloviendo y la lluvia cae verticalmente, calcule la aceleración lineal
relativa de las gotas de agua con respecto al tren, a los tres minutos de haber
comenzado a acelerar, sabiendo que el tren recorre entonces una curva
circular de 270 m de radio.
(Sol. 𝑎𝐵/𝐴 = 387 cm/s2
42.1°)
17. Una persona camina con velocidad
constante de 4 m/s sobre el radio de un tiovivo,
alejándose del centro. El tiovivo gira con una rapidez angular constante de 30 rpm. Determine las
magnitudes de la velocidad y la aceleración absolutas de dicha persona cuando se halle a 2 m del
centro del tiovivo.
(Sol. 𝑣 = 7.45 m/s; 𝑎 = 32 m/s2 )
18. Un niño corre con una rapidez constante de 25 ft/s sobre el perímetro del tiovivo, el
cual tiene un radio de 8 ft y gira con una velocidad
angular constante de 4 rad/s. Calcule las magnitudes de la velocidad y de la aceleración absolutas
del niño si: a) corre a favor del movimiento del
tiovivo. b) Corre en sentido contrario.
(Sol. a) 𝑣 = 57 ft⁄s ; 𝑎 = 406 ft⁄s2
b) 𝑣 = 7 ft⁄s ; 𝑎 = 6.13 ft/s2 )
19. El impulsor de una bomba centrífuga
aumenta su rapidez angular a razón de 10 rad/s2.
El agua se desliza sobre las aspas con una aceleración relativa a ellas de 400 mm/s2. Calcule la
velocidad y la aceleración lineales absolutas de
una partícula P de agua, cuando se halla a 150
mm del centro de rotación del impulsor, sabiendo
entonces que la rapidez lineal relativa de la
partícula es de 300 mm/s (en el mismo sentido de
la aceleración relativa) y la angular del impulsor,
de 20 rad/s.
(Sol. 𝑣̅ = 0.3𝑖 + 3𝑗[𝑚⁄𝑠];
𝑎̅ = −59.4𝑖 + 13.5𝑗[m/s2 ])
307
Más Movimiento Curvilíneo
20. La manivela OA del mecanismo de
retroceso rápido gira con una velocidad angular
constante 20 rad/s. en sentido antihorario. Para
la configuración mostrada en la figura, calcule
la rapidez y la aceleración angulares del
balancín BC, articulado en B y que desliza
dentro del collarín A.
(Sol.𝜔 = 5.71 rad/s ↺; 𝛼 = 42.4 rad/s2 ↺)
21. La barra AB gira alrededor de A con
rapidez angular constante de 120 rpm en el
sentido contrario de las manecillas del reloj.
Sabiendo que la barra BD tiene una longitud de
4 ft, determine las magnitudes de la velocidad y
de la aceleración absolutas de su extremo D en
el instante en que θ = 90°.
(Sol. 𝑣𝐷 = 11.97 ft⁄s ; 𝑎𝐷 = 59 ft⁄s2 )
308