Inferencia no paramétrica con datos censurados

ESTADISTICA ESPAÑO^A
Vol. 33, Núm. 127, 1991, págs. 325 a 362
Inferencia no paramétrica con datos
censurados
WENCESLAO GONZALEZ MANTEIGA
Y
CARMEN CADARSO SUAREZ (*)
Departamento de Estadística e Investigación Operativa
Facultad de Matemáticas
Universidad de Santiago de Compostela
RESUMEN
En este trabajo se revisa la metodología de la inferencia no
paramétrica, con muestras en las que existen datos censurados,
desarrollada fundamentalmente en los últimos quince años. La
censura considerada es la aleatoria por la derecha. Los tópicos
aquí revisados son los relativos al estudio del estimador de
Kaplan-Meier, asi como sus aplicaciones a la estirnación funcional, los contrastes de hipótesis, intervalos y bandas de confianza,
regresión lineal, estimación de curvas y aplicaciones. A su vez,
recientes técnicas de estimación no paramétrica y paramétrica
son también revisadas y aplicadas a datos de interés suministrados por el Hospital General de Galicia relativos a tiempos de
vida en procesos tumarales.
Palabras clave.^ Censura aleatoria por la derecha, estimador de
Kaplan-Meier.
Clasificación A MS .^ 6 2 C; 0 5.
(')
Trabajo subvencionado por el proyecto de la Xunta de Galicia XUGA80505588.
f ^r ^^tai^;n^ ^ t ^E^^^ti^^i ^^
1.
UNA VISION GENERAL DE LOS PROBLEMAS DE INFEREI'VCIA
SIN CENSURA
Una situación general en la estimacicin funcional no paramétrica es la
descrita por los siguientes puntos:
a)
Se tiene una farnilia de distribuciones ^•^, ={ F,,, ^l E O}.
b)
Se dispone de una muestra { X,,...,X„ } de la distribución poblacional
F- Y
c) Se desea estimar el parámetro ^lo del espacio Cl, para el que F„o es la
distribución más cercana a F en algún sentido.
Diferentes puntos de vista de como F puede ser aproximada por F„o
resultan de la formulación general introducida por Stute (1 986):
'" l)o es el valor para el que se satisface la ecuación:
(1 .1 )
f T(x,tl^,F) dF(x) = 0
donde T es un funcional definido sobre Rx(^xl^; siendo f^ un espacio general
de distribuciones conteniendo a la poblacional ".
Si se pretende estirnar llo, la sustitucián de F por la distribución empírica
F,,, construída con la muestra inicial, da lugar a la familia general de
estimadores, resultante de la estima.cián de la ecuacián (1 .1 ) y solución de:
n
^
(1. 2 )
(1 /n ) ^ T ( X,, í1,,, F,^) = 0
,- ^
,.
La práctica totalidad de los estimadores f^„ (camo se puede ver para más
detalles en el libro de Serfling ( 1980) ) existentes en la literatura relativa a
la inferencia no pararnétrica sin censura, pueden ser obtenidos a partir de
1a formulación ( 1 .2). Basta con ver la siguiente relación amplia de ejemplos:
i) T(x,l), F) = 1(^^/^>^l) f„(x))/f„(x), donde f„ es la densidad asociada a F,,, da
lugar^ a la estimación de máxima verosimilitud.
iii T(x,(l,F) _`i'(x-ll), siendo `^' una función de R en R, representa la M
estimación.
r
iii)
T(x,(I,F) = J(F(x) ), can f o J(t)dt= 1, representa la L estirnación.
iv)
T(x,(I,F) = J( F(x) ) ^^(x-(1), la M-L estimación.
v) T(x, U, F) ^ J(( F(x)+ 1- F(2 O-x) )/ 2), con
estimación.
r (t)dt=0, representa la R
JoJ
^^7
I\F^f^Rf-^(^I^^ tiO P^^R^^ti1t ^TRI(^^^^ (^Ot O11Oti (^t ^^,t F21[^^(^ti
vi^ T(x,(^,F) _(F(x)-F„(x) )(^^/t>fl)F„(x},
de Cramer- Von M ises, ... etc.
la estimación de mínima distancia
Bajo condiciones de suavidad sobre el funcional T, del tipa:
" T(x, l^, F+th) = T(x, f1, F}+DT (x, fl, F) ( th) + O(t2), cuanda t tiende a 0, uniformemente en h, siendo h cualquier función uniformemente a^otada y donde DT
es la derivada de R iesz:
(1 . 3}
DT (x, D, F)(h} = J h ry) ,c^ (x, CI, F, dy)
con ^c la medida asociada resultante del teorema de representación de
Riesz",
se obtiene el resultado general ( Stute ( 1 986) }:
^n H' (f1O ) (lln - fl 0)
d
> N (O,c^)
(1.4)
con
H( fl )= JT (x, f1, F} dF (x) ,
^ = 1 (Q(y)- 1QdF)2dF(y)
Y
Q(y} = T(y,f^o,F) - f1y^ ^^(x,flo,F,dz) dF(x)
A
bajo el supuesto de consistencia en probabilidad de f^,,.
Este resultado viene a representar una unificación de todos los métodos
desarrollados en años anteriores. Obsérvese que la particularización ^^=0 da
lugar a la varianza asintótica de los estimadores de máxima verosimiiitud a
más generalmente la de los M estirnadores generalizando a Huber (1 964).
Otras particularizaciones de interés son las siyuientes:
i1 ^c(x,f1,F) _ (1 /2)J' ( (F(x)+1 -F(2U-x) )/2) (c)X-c)r2„_x^)
varianza asintótica de los R estimadores.
da
lugar a la
ii) ^^(x,(I,F) = J'(F(x) )t)x representa 1a varianza asintótica de los L estimadores, ... etc., resultando en cierta med^da que todos (os métodos descritos
en el libro de Serfling (1 980) tienen una varianza asintótica que puede ser
expresada de una forma unificada vía la derivada de Riesz.
Una visión todavía más general fué la introducida por Gon^ález Manteiga
(1990), sin más que tener en cuenta que el parámetro fl descanocido
pudiera ser realmente una curva ^l(x), asociada a una medición de depen-
f ^ 1^ I)Iti I I( ^ f^I' ^\t 11 i
dencia entre un vector de covariables X y una variable respuesta Y, definida
por la siguiente generalización de la ecuación (1 .1 ):
(1.5}
f T(y,^1(x), F(-/X-x) ) dF(y/X-x}=0
en ia que F(./X=x) representa la distribución condicionada.
Si de forma alternativa a{ 1.2) se sustituye ahora la distribución condicionada teórica por una estimación no paramétrica de la misma se obtiene de
forr^na unificada la varianza asintótica de todos los estimadores no paramétricos de la regresión existentes hasta la actualidad. En particular si se
utiliza un estimador no paramétrico tipo núcleo, por ejemplo el introducido
por Yang (1 981 )(con X unidimensional}:
^
^
F„(y/x) _ { 1 /nh„) ^^ ! y,- Y K ( (F„(x)-F„(X,) ) / h„)
a partir de una rnuestra inicial {(X,,Y, ^ ,...,(X,,,Y„) }, se verifica que el resultado análogo a! visto en ( 1 .3)-(1.4) con la terminología de { 1.5) es el
siguiente:
w
n h„ (r*1„(x) - (I (x) ) H' {l^(x} ) -----^
N (o,Var(Q{Y}lX=x) cK}
^
donde O„ es el estimador no paramétrico resultante de (1 .5), h„ es el valor
del parámetro ventana utilizado y eK=ÍK2{u)du, siendo K la función núcleo. ^
La varianza asintótica de todos los estimadores no paramétricos de curvas midiendo fas dependencias entre un vector de covariables y una variabie respuesta unidimensional puede también ser vista de forma unificada.
En base a esta visión genera! de la estimación no paramétrica funcional
uno puede deducir un cierto grado de teoría consolidada. Nuestro objetivo
en lo que sigue de trabajo va a ser la extensión de la estimación funcional
bajo la existencia de censura unidimensional considerando sus posibles
aplicaciones.
Así como bajo una situación tradicional los estimadores fundamentales
eran la función de distribución empírica o un estimador no paramétrico de
la distribución condicional, en un contexto de datos censurados, éstos
serán el estimador de Kaplan-Meier o una versión generalizada de éste,
para una situación de existencia de covariables.
I^f f Itf `( I\ tc) I^\Ft ^ti1f T Rlc \((}^ I) \ Tc ^ ti c f^^1 K\(x)^
2.
^^y
INTRODUCCION A LOS MODELOS CON CENSURA
Los modelos estadísticos con muestras censuradas son de especial interés en ciencias experimentales como la medicina, la ingeniería,... etc. y han
tenido un desarrollo muy intenso en los últimos años, siendo la censura
aleatoria por la derecha la desarrollada por nosotros a lo largo de todo el
traba jo.
La situación estándar para estos mecanismos de censura es la siguiente:
i^
La muestra aleatoria de interés es { T,,...,T„ }. T es la variable poblacio-
nal, representando muy frecuentemente el tiempo de vida de un enfermo,
la duración de una pieza electrónica, el tiempo de reparación de un sistema,... etc.
ii^ En ocasiones la variable T; no se observa debido a que se verifica la
realización de otra variable C;, que denominaremos de censura, antecediendo a la primera. A^ sí, por ejemplo, el tiempo de vida de un enferrno por una
determinada enfermedad, puede no ser observado debido a que éste muere
en un accidente de carretera. Por tanto surge una nueva muestra aleatoria
{ C,, ..., C„ }, que supondremos independiente de la primera, y que recibe el
nombre de muestra de censura.
iii)
Finalmente la muestra observada viene dada por:
{ (Z, rV, )....i (^ni ^n^ ^
en donde Z,= rnin { T;,C; } y ó,- ^{ r<
, c}
^ , ^- i ,..., n'
La consideración de esta muestra representa una alternativa a la forma
más simple de proceder, que resultaría si se eliminasen los datos censurados. Dicho de otra forma, con esta muestra, uno está considerando la
información que proporciona el tiempo de vida Z, que al menos vivió el
individuo iésimo respecto de la causa de interés cuando este dato es un
dato censurado.
Este mecanismo probabilístico que trae consigo la censura aleatoria por
la derecha viene descrito en gran medida por las siguientes curvas:
i)
La función de supervivencia de la váriable de interés T:
1 -F(t) = P(T > t)
ii)
La función de supervivencia de la variable que censura C:
1 -G (t) = P(G > t)
E ti r ^^ [^^^ i ic ^> f ^t^ ^ ^c ^^ .t
^ ^()
iii)
La función de supervivencia de la variable observada Z:
1-H(t} = P(Z > t)
en donde 1-H=(1 -F ^ (1-Gi, debido a la suposición de independencia entre
T y C. F, G y H son por tanto las correspondientes funciones de distribución
iv) La subdistribución de la variable observada Z cuando ésta es una
observación no censurada:
H, (t) = P(Z < t, ^S -- 1) -. P(Z < t,T < C) _ .^^ { 1-G (s) ) dF (s)
v) La subdistribución de la variable Z cuando ésta es una observación
censurada:
t
H2(t) = P(Z < t, ^S = 0) = P(Z ^ t,T > C) = Jo (1-F(s) ) dG Is}
con H(t) = H, (t) + H2(t).
vi)
La función de razón de fallo:
r(t^ = I i m (1 /^S) P (t<T < t+^S / T> t ^ = f(t) /( 1-F (t^ )
^ --^ o
^
en donde f es la función de densidad asociada a la variabie T. La función de
razón de fallo nos viene a indicar como es la probabilidad de supervivencia
en los momentos inmediatamente posteriores. Si esta probabilidad nos
interesa de forma acumulada resulta la razón de fallo acumulada:
.n ( t) _ .^a r( s } ds = -/n (1 - F ( t 1 ) _ .^o (1 - F ( s 1 ) ^' dF {s ) _
r
_ ^o {1-H(s) )-' dH,(si
A diferencia del contexto en el que no hay censura, no se puede estimar
la función de distribución F poblacional mediante la distribución empírica
en aquellas situaciones en las que por lo menos existe un dato censurado.
Alternativamente, uno puede, mediante las correspondientes empíricas, estimar H, H, y ^1 respectivamente por:
H„(t) _ (^ i // Z; < t } ),ln
H ,,,(t) = (^ { i% Z; ^ t , T, < C; } } /n
v
ItiF^^E^KE ti(^I^^ tit) f^'^^K.-^ti1f I^KI(^^^^ (^Oti I}^11O^ ( t^^l Ft^1[X)^
r
A „ ( t ) _ ^o
dH ^„ ( s )
^
^`^ ( t)
1- H„(s)
^-'
n-Rango(Z^)
^i ^
donde ^3;(t) = 1{z;s t. r;S c; ^Teniendo en cuenta el problema que encierra la posible presencia de la
observación Z^,,, no censurada, donde Z^,,, es el estadístico ordenado
máximo, es aconsejable la sustitución en los denorninadores de la expresión n„(t) por !as cantidades n- Rango (Z;) + 1. Con esta versión corregida y
en base a que 1-F(t) = exp {-A(t) }, resulta de forma natural un estimador
para la distribución F en el context0 de datos censurados a través de
1 - F„(t) = exp { -n„(t) }
(2.1 )
Por otro lado, utilizando el desarrollo de Taylor de primer orden de la
función
exp{ x}
en
torno
punto
al
cero
y
aplicándolo
a
exp{ -^;(t)/(n-Rango(Z^)+1 )}; j=1,...,n en (2.1 ), resulta el conocido estimador de Kaplan-Meier (1 958)
(
^
1-F„(t)
0
n - Rango (Z^)
^ is,{^^
si t < Z^,,,
n - Rango (Z;) + 1
(2.2 )
en el resto
EI estimador de Kaplan-Meier (2.2) es el estimador básico en el contexto
de datos censurados lo mismo que el empírico en el marco sin censura.
Presenta la propiedad de ser el estimador máximo verosírnil no pararnétrico, siendo éste el mecanismo a través del cual se ilega a fa expresión (2.2)
en el artículo de Kaplan-Meier (1 958). Ante la ausencia de censura este
estimador es la supervivencia empírica, es decir, 1-F„(t), con F„ la distribu,
,.
c^on ernp^r^ca.
3.
PROPIEDADES DEL ESTIMADOR DE KAPLAN-MEIER
^os años setenta y ochenta fueron pródigos en obtención de resultados
relativos a distintas propiedades del estimador de Kaplan-Meier. En cierta
medida se obtuvieron propiedades paralelas a las de la distribución empírica, que ya estaban perfectamente desarrolladas en el libro de Billingsley
{ 1 968). Una constante común a todas estas propiedades es su generaliza-
^ ^^^r^^^r>i^r^ic^.^ r tiF^^^^^^^ ^^
cián relativa a!as de la distribución empírica. En efecto, como veremos a!o
largo de este epígrafe, en el caso particular de ausencia de censura resultarán las propiedades conocidas de la distribución empírica.
Los resultados más notables obtenidos en !os últimos veinte años son a
nuestro juicio los siguientes:
i) (Breslow-Crowley (1 974) ). " Bajo la suposición de que las distribuciones F y G sean continuas, se verifica puntualmente en cada x E R, con
x< To y H(To} < 1, lo siguiente:
^
^ n ( F„(x) - F(x} )
d -^ N (o,cr^(x) )
X
con cr^ (x) _ (1- F(x) ) 2 Jo (1 /(1- H (x) )^) dH , (x) ".
ii) (Breslow-Crowley (1 974) ). '" Bajo las suposiciones anteriores se verifica globalmente en el intervalo [O,To] :
d---^. Z(.1
^ñ t F„ - F)
siendo Z un proceso Gaussiano de rnedia cero y función de covarianza:
Cov(Z(s), Z(t) } _ (1-F(s) ) (1-F(t) } Jp 1 /(1-H)2 dH,
cuando s < t ".
iii) (Fáldes-Rejto (1981) ). " En las condiciones de i) o ii) se cumple el
siguiente orden de convergencia uniforme:
s u p ( FnÍx) - F lx) ^= O^
o`- x` To
log n^.
n
de forrna casi segura ".
iv1 (Chang-Rao (1989) ). " Puntualmente, igual que en i), se verifica una
cota de tipo Berry-Esseen para el estimador de Kaplan-Meier, es decir
s up ^ P ^ rr(x) ^' f n^, F„(x) - F(x) ^
< y) - ^(y) I <
Y
< K(1 +V(x}')(1 - H(x))^2
si
donde
x
V(x)=f o i/(1 -H(y) )2dH, (y} y ^ es la función de distribución de una IV (0,1 }".
I?^t t Rk_ti(^I^^ tiO N^1K^1!^9ET^K!( ^1 t'Oti [)-^^f(15< f^^l ft^^[7K)^
^i^
Todas las propiedades anteriores resuttan las conocidas para {a distribución empírica en ausencia de censura. Esto es consecuencia de que, en
dicho caso, H es F, H, es también F y por tanto V(x)=F(x)/(1 -F(x) ). A su
vez, la distribución asintótica global puede extenderse a todo R, dando
{ugar a{ proceso Gaussiano, cuyo supremo en valor abso{uto tiene la distribución de Kolmogorov-Srnirnov, corno ya es conocido.
^ Otras propiedades de interés del estimador de Kaplan-Meier de notable
importancia son {as relativas a su eficiencia, cuando se trata de estimar ia
distribución F desconocida en cada punto x. Desde ese punto de vista
Fernández Sotelo-González Manteiga ( 1 986), prueban que el estimador de
Kaplan-Meier puede ser mejorado bajo el criterio del error cuadrático medio. En efecto, considerando la versión suavizada del mismo.
F„s(x) = J (1 /hn} K ( (x-u) /h„) d F„ ( u)
( 3.1 )
donde
I
K(z) = f_^ K(u) du es la función núcleo acumulada, se verifica
v)
^(n) - n
(f(x}/(1-G(x} ) } J 2zK(z}K(z) dz
nhn
(1 -F(x) )2 V(x)
li m
n -^ ^
siendo f la densidad asociada a F, K una función núcleo positiva de segundo orden, es decir, JK=1, f zK(z)dz-o, JK(z)z2dz> O y K positiva y h„ el
parámetro ventana de la suavización. Por otro lado i(n) es el va{or entero
para el que
i(n) = m i n{ 1 E N/ M S E( F, (x) )< M S E( F„S (x) )}
con MSE representando el error cuadrático medio.
Esta última propiedad nos viene a garantizar que si suavizamos el esti> ^ cuando
mador de Kap{an Meier, con una ventana que verifique nh„
h„
> 0, es posible obtener un estimador infinitamente más eficiente
desde el punto de vista del índice r(n). Es decir bajo las condiciones anteriores sobre la ventana, la diferencia entre i(n) y n tiende a^, necesitándose
tamaños muestrales infinitamente mayores que n, cuando se quiere que el
error cuadrático medio de1 estimador de Kaplan-Meier sea tan pequeño
como ei del estimador suavizado.
Esta idea de suavización del estimador de Kaplan-Meier generaliza a la
desarro{lada para la distribución empirica por Azzalini (1 981 ), Faraldo
Roca-Gonzá{ez Manteiga (1984) y Falk (1983, 1 984, 1 985}. Por otro lado
Z i^
F^ t^ i>i^, t ^r ^^^^^ t^^ ^^ ^
es especialmente interesante la suavización propuesta por Ghoray (1 989)
en un modelo de censura proporcional. En un modefo de este tipo.
(1-G (x) ) _ (1- F(x) )^s con %^ > 0
resultando de forma sencilla que la proporción de censura viene dada por
P(c^=1)=f(1-G)dF=(1/(1+/3))=a
y por tanto
(1 -F(x) } _ (1 -H (x} 1z
Un estimador naturai para este tipo de censura es el definido a través de
A
Fn(x) - 1
-(^- H n(a(j } xn
con
n
a„ _ ^ ^S; /n
,_ ^
1a proporción de censura empírica. Suavizando este estimador mediante el
mismo mecanismo que el desarrollado con el estimador de Kaplan-Meier
en (3.1 ) se obtienen análogas propiedades de eficiencia.
4.
A^ PLICAC!©NES A LA INFERENCIA ESTADlSTICA DEL
ESTI VIADOR DE KAPLAN-MEIER
Varias aplicaciones en la inferencia estadística surgen de manera natural
como consecuencia de la herramienta probabilístíca desarrollada relativa al
estimador de Kaplan-Meier. Nos centraremos fundamentalmente en los
intervalos de confianza puntuales, !as bandas de confianza y los contrastes
de hipótesis del tipo Kolmogorov-Smirnov o^.
IRITERVAL^S DE CONFIANZA.
Teniendo en cuenta la normalidad asintótica del estimador de KaplanMeier descrita en el apartado anterior es natural definir un intervalo de
canfianza de nivel aproximadamente a a través de:
r
^ F,^ (x) ^ zz^2 ^ 1 / n ) ^,^(x) l
I^.f 1 ftf ti( I^\(1 f' ^ft ^^1f l ftl( ^t (^(),. f)^^ I c)ti E f^ti1 Ft ^11x)ti
donde z,,2 es el cuantil correspondiente de la normal y c^„(x) la estimación
empírica de la desviación típica asintótica. Es decir
^rñ (x) _ (1 - F„(x) )2 ` n , ^ ^
t ^/Z^ `^.
(n - Rango (Z,) )^
.
A su vez el denominador de esta última expresión puede ser corregido para
evitar el problema del cero en el denominador.
BANDAS DE CONFIANZA.
Considerando [O,T°), con T° en las candiciones del apartado anterior, y en
base a la distribución asintótica global del proceso asociado a la distribución de Kaplan-Meier, descrito en el apartado anterior, Hall-Wellner (1980)
dan la siguiente versión reescalada del mismo
^ l
^
F„(x} - F (x)
(1 -F(x} ) / K(x)
d
^
> W (o K (xi )
donde
K(x) = 1-v(x) /(1 +v(x) ), con la función v previamente definida en el apartado anterior y W° el puente browniano en el intervala (0,1 ). Para más
detalles relativos a este proceso consultar el libro de Billingsley (1 968),
donde se puede ver que dicho proceso está definido como Wt-tW,, con W^
un proceso Gaussiano de media cero y función de covarianza Cov(s, t)= s si
S< t. Los procesos W y W° son conocidos también como movimiento
browniano y puente browniano respectivamente.
Tomando `-N una función continua y positiva en (0,1 ) se verifica
sup
o= X= To
^
F„(x1 - F(x)
^ `^ (K(x) )
_
^n ^
(1 -F(x) ) / K(x)
d
sup
^ W°(K(x) ) ^`^(Klx) Í=
O' x^ T 0
sup
u T KIT^ ^
>
Iw°(u)I ^(u)
^ Zh
f ^T 11)I^T I( -^ E ^N ^\OL ^>
De este modo poseyendo la tabulación correspondiente a la distribución
límite, es decir
P { s ^. ^ ^
a. ^< b
^ W°(u) ( ^ (u) < e^ } = 1 -a
es posible dar distintas bandas de confianza para distintas elecciones de ^.
Siendo de especial interés
^
a)
4'(u) = 1/ u(1 -u). La Ilamada banda de igual precisión de Nair
119 $4).
b1
4'(u) = 1/(1-u). Conocida como la banda de Renyi.
c)
4'(u) = 1. La banda de Hall-Wellner (1 980).
Así por ejemplo, considerando las correspondientes estimaciones empíricas y el eX adecuado, la banda de igual precisión viene dada por
[ F„(x) -±- (1 /^) er ^r„(x) ] con x tal que a ^ K„(x) ^ b donde K^ (t) es
la correspondiente estimación empírica de K. EI nombre de igual precisión
es obviamente atribuible a que la banda posee en cada punto x una
anchura directamente proporcional a la varianza empíricamente estimada
del estimador de Kaplan-Meier.
Iguales razonamientos se podrian aplicar a las otras bandas, observándose en general que la anchura de la banda resultante va a estar íntimamente
ligada a la función ^ utilizada. En esa línea de resultados se encuentran los
profundos estudios de simulación realizados por Nair(1984). Las conclusiones por é! obtenidas podrian resumirse de la siguiente manera:
i) EI funcionamiento de la banda de Renyi es ineficiente, siendo más
estrecha que las bandas de igual precisión y de Hali-Wellner únicamente
en la cola superior. Esto es obviamente consecuencia de la penalización
que imprime la función `l' en esos puntos, ya que para ellos u tiende a 1 y
por tanto 4' tiende a^, obligando a que la diferencia entre el estimador
de Kaplan-Meier y la función teórica desconocida sea cada vez más pe^
quena.
ii) Las bandas de Hall-Wellner y de igual precisión son muy competitivas. La primera es rnás estrecha en los puntos medios mientras que la
úitima lo es más en las colas. De análoga forma la explicación de este
hecho radica en la naturaleza de `^. A su vez el mejor funcionamiento de la
banda de igual precisión se incrementa a rnedida que aumenta la propor-
ción de censura.
iii) Los valores críticos asintóticos proveen aproximaciones razonables
para muestras finitas.
ftif F F^tf \( I^t 1(^ F'^^Ft ^!^1F i Rl('^^ C()^. [)-^ T<)ti ( f ♦ ^l Ft ^fX)^
^37
Por otro lado obsérvese que de las tres bandas citadas solo la de
Hall-Wellner es extensiá^ n de la clásica de Kolmogorov -Smirnov. En efecto
esta sale como consecuencia de particularizar a=0 y b=1. Es decir soporte
sin restricciones. Además a diferencia de ésta las bandas construidas con
censura son de anchura aleatoria, siendo necesario un mecanismo de
muestreo secuencial cuando se quiera construir una banda de anchura
acotada por un cierto valor d. En esta línea de actuación es interesante el
trabajo de Dikta-Kurtz-Stute (1 989) quienes consideran la banda de
Hall-Wellner secuencial.
CONTRASTE D E H I P©TES I S.
Las dos vías estudiadas para contrastar si la distribución poblacional
desconocida F es Fo, bajo el modelo de censura aquí tratado, son la
correspondiente extensión del contraste de Kolmogorov-Smirnov y del contraste ,^.
Respecto al primer mecanismo se actuaría en función de la banda utilizada rechazando la hipótesis en el caso de que en algún tramo la distribución
Fo esté fuera de la banda. EI mecanismo alternativo es el descrito por el
test ^ para este contexto. EI estudio del mismo fué desarrollado muy
recientemente por Akritas ( 1988). EI procedirniento en esencia es como
sigue. Si estamos interesados en contrastar la hipótesis F=Fo, que supondremos continua, estableciéndose una partición en R+ a través de
A^- [a; ,, a^), con ,j =1 ,..., k y ao < a, <... < ak= ^ se tienen las sigu ientes
probabilidades
po;= P(Z E A;,d=O) =JA (1-Fo)dG
^
p,^= P(Z E A;,^)= 1) = J,^; (1-G)DF^,
con j=1,...,k.
Como G es desconocida y teniendo en cuenta la independencia,
(1 -G) (1 -Fo) _ (1 -H), G es estimada por
..
G„= 1 - (1-H„)/(1-Fo)
y de esa manera resultan de forma natural las estimaciones ^pv,
Akritas ( 1988) prueba la siguiente propiedad asintótica ^2.
( N,; - np,;}
L
;= T
^
nP,;
d
^
Y
P,
I^I \I>lti11^
Z^?^
^ t1!'^tl)l ^
donde N,c es la frecuencia absoluta de individuos que están en el j-ésimo
elemento de la partición con ^)^ 1.
La conclusión más sorprendente de este resultado es el hecho de que
este estadístico no generaliza al clásico ^ en ausencia de censura, dando
más bien un test alternativo. En efecto el número de grados de libertad es
aquí k en contraposición a k-1 del método clásico. Akritas extiende este
mecanismo a la hipótesis compuesta en el mismo artículo. A su vez en
estudios de simulación comprueba el buen funcionamiento del nuevo método en ct^mparación al clásico en ausencia de censura.
LA ESTIMACION FUNCIONAL.
Como hemos visto en el apa^tado uno la estimación funcional en ausencia de censura está perfectamente desarrollada. Desde nuestro punto de
vista, y aunque existen algunos artículos de estimación funcional con censura, ver por ejemplo Schick-Susarla-Koul (1 ^881, una forma de extender
la metodología desarrollada en el apartado uno aplicando el estimador de
Kaplan-Meier consistiría en definir como estimador de U la solución de la
ecuación (1.1 ^ cuando se sustituye F por el estimador de Kaplan-Meier. En
cuyo caso la ecuación resultante sería
^
n
^
T (Z;, i^ n , F ^ ^ (S^
(1 in) ^
-0
(1 - G„ (Z,) )
..
donde G„ es el estimador de Kaplan-Meier de la variabie que censura.
Indudablemente este método ha de ser objeto de futuros trabajos.
REGRESioN PARAMETRICA CON DATOS CENSURADOS
En el estudio con datos censurados es frecuente la consideración de
covariables sobre la variable de interés T. Así por ejemplo cuando se
observa el tiempo de vida de un enferrno desde que se le diagnostica
de una determinada enfermedad puede ser de interés la edad en dicho
momento.
En una situación de existencia de covariables la muestra observada
viene dada por
(Z^)xy}"
i- 1
i^ 1^ i
donde camo antes z, = m in { T;, C; } y^S, = 1 t T;,, c^ ?, siendo x; _(x,,, ...,
iésimo vector de las covariables de interés.
I^+f f kf ti( I^ ^( ^ I'^^K ^ti1f I kl( ^^ c(1^, O^\ 1Oti ([ ttil K^(M ^ ^
^or otro lado las funciones de interés ya comentadas en ausencia de
censura pasan ahora a depender del valor de la covariable, es decir, F(./x,),
G{./x,) y H(./x,). Las interpretaciones de dichas funciones son también
análogas a la situación de ausencia de covariables.
De los modelos y métodos de estimación desarrollados en este contexto
destacaremos como más importantes los introducidos en los articulos de
Cox (1 972,1 975), Koul-Susaria y Van Ryzin (1981 a, 1981 b, 1 982), Miller
{ 1976) y Buckley-James (1979). EI factor común en todos los modelos
introducidos es ia dependencia lineal sobre las covariables, bien sea respecto del logaritmo de la razón de fallo condicional ( Método de Cax) o bien
respecto del logaritmo de la propia variable tiempo de vida (los métodos
restantes).
METODO DE COX.
, Basado en la idea de modelos de fallo proporcionales supone que la
razón de fallo condicional de la variable de interés T viene dada por
^.(t/x) _ ^^o(t)exp{xtj^ ^
donde x es el vector p-dimensional de covariables, ^3 el vector
p-dimensional de coeficientes a estimar y^o la razón de fallo de la variable
T para cuando x=0.
La estructura del modelo anterior permite construir de la siguiente forma ^
una función de verosimilitud parcial en ^^. Si R(t) son los individuos aun
vivos en el instante t- y si un paciente muere en el instante t, entonces la
probabilidad de que ese paciente sea el iésirr^o de entre los que están en
riesgo en R (t) es
e x p { ^ ^j }
exp { ^^ }
^
-_ R (tl
De esta manera si consideramos la muestra ordenada de las variables
observables Zr,^< ... c Z,,,^, resulta de forma natural la verosimilitud
exp ( xl /^ )
R
L=I1
,_^
^.
/ ^
R (Z^^)^
exp ( x` l^^ )
^^r;^
^
donde ^)^,^ es el correspondiente a la iésima Z ordenada.
FSTA[)I^TI( ^1 f S[,^^`t)[ A
Finalmente el valor de la estimación de ^3 resulta de la solución de la
ecuación de verosimilitud
c) log L/^)^ = 0
Posteriormente ^.o es estimada no paramétricamente o semiparamétricamente, Una visión más profunda sobre este tipo de estimaciones es desarrollada en el apartado posterior relativo a estimación de curvas.
METODO DE MILLER.
Bajo la suposición Fít/x) = F(t-^-x`^^) con F una distribución de media 0 y
por tanto verificándose la consiguiente dependencia lineal entre T y el
vector de covariables x, E(T/x) _^+xr/^, Miller (1 976) sugirió una extensión
del método de mínimos cuadrados a datos con respuesta censurada.
EI método desarrollado por Miller (1976i consiste en definir como estimadores para (:^,/^) aquellos que minimizen el funcional
n J t,'2 clF(^ ; a, b i
donde F(.;a,b) es el estimador de Kaplan-Meier basado en la muestra
{(^^,^^) }^^ ^ con é; = Z;-a-x; b, i=1,...,n 1os residuos estimados a través de una
estimación piloto inicial de (a,^^). Miller sugiere tomar como dicha estimación la de mínimos cuadrados con los datos no censurados.
EI mecanismo es por tanto iterativo resultando la siguiente relación recursiva en las estimaciones
..
^k+1-
r
ILX
X ^^^ ^ t W (^jk) ^ X - X^.,
l
J
-1
L
X- X^^ ] W(^^k) L
( 6.1 )
donde
X=((x,^^ ) es la matriz de variables predictoras,
n
,.
X`'' r(^ c^^;(^^k) x,^) es la matriz de promedios ponderada según los pesos
;-^
^
de los saltos del estimador de Kaplan-Meier
cl^,{ f3k), i=1,..., n, representantes
^
en (os puntos é, = Z,-x; ^jk correspondientes a la fase k-ésima de la recursívidad en la estimacíón y
.
{
^v,(^jk)
}
;
Z
(Z,,...,
Z„)`.
diagonal
W (f^k) r
Finalmente J3 es el estimador que se obtiene en una etapa k suficientemente grande estimándose posteriormente a como
á = ^ cv,(^^) (Z;-x; j^)
,^r
^tif t k^ ^^ i^^ ti^^ F^^^k^t^^t r ki^ -^ ^^^^^ r^^^^^^<^^ ^ F^^^ ^-^rx^ti
Uno de los problemas importantes que presenta este método en la
posibilidad de entrar en un bucle en el proceso recursivo.
METOD O D E B UCKL EY Y JA MES
EI método de Buckley-James ( 1979) está basado en la relación
E [ ^,Z; + (1 -cS,) E ( T; /T; > Z, ) / x; ] = a + ac; j3
Es decir, uno puede suplir la variable T; por
r^,Z, + (1 - ^^;) E ( T,/T; > Z,),
ya que ambas siguen el mismo modelo respuesta.
Como la última variable no es observable, Buckley-James ( 1 979) proponen, bajo un modelo de censura fija dado por los valores c,,...,c,,, la siguiente estimación de E(T;/T; > Z,) que hace que la nueva variable respuesta sea
obtenible en la práctica:
^(T;/T; > Z,) = x; j3k + E(T,-x; ^/ T;-x` j3 > c; - X` j3)
^
x; j^k +
^
^_e^^e;
-}
1- F ( é,; o, j^k )
^i ( ^jk ^ ^i
A
^
donde con la misma not^.ción del método anterior F es el estimador de
Kaplan-Meier basado en 1os residuos {(Z; - x; j3k, ^S,) }, siendo j3k la estimación
de ^3 en la etapa k-ésima.
Por tanto el método de Buckley-James es también recursivo. Considerando {as nuevas variables respuesta en una etapa k-ésima, el estirnador en la
etapa {k+1 ) viene dado, aplicando el criterio de minirnos cuadrados, por
^(k+ 11 = r ( X - i^ ^ t 1 %^ - /^ ) ] -1
L
[ i^ _ ^^ , t Z ( ^k )
( fj . 2 )
donde Z(j3k) es el vector de las nuevas variables respuesta, es decir
^
^,
)
Z( j _ ^; Z; +(1 - ^ E{ T; / T, > Z, ) s i ó; - 0
,^ky
T, si
^=1
^
i=1,...,n
y X es !a matrir de medias muestrales de Ia variable regresora.
Finalrnente la estimación de j^ se haría eligiendo un k suficientemente
grande, estimándose a de forma análoga al método anterior. BuckleyJames proponen como estimador pifoto en la etapa primera e1 de minimos
cuadrados con toda la muestra.
r w r ^r^r^ ric 1 r^F^ ^^<^^ ^t
M^ETDDDS DE KDUL -SUSA RLA Y V.4 N R Y^IN.
Basándose en la suposición restrictiva de que la función de supervivencía
de (a variable que censura G(./x,) es independiente de la covariable, es
decir, G, Koul-Susarla y Van Ryzin elaboran en los años 1981-1 982 ires
nuevos métodos de estimación en modelos de regresión con respuesta
censurada.
EI primero de ellos, Koul-Susarla y Van Ryzin (1981 a), siguiendo la
metodología de Buckley y James, consiste en sustituir la variable respuesta
Z, por una nueva variable que siga el modelo de regresión lineal adecuado.
Teniendo en cuenta que
^>, Z,
E^
/ x, ^ ^;z + x; ^^
1 - G (Z,/x,)
y bajo la suposición antes mencionada, se propone como variable respuesta
c^,Z,1 z ,.^
Z,
i=1, .., n.
1 - ^ (Z,)
^
donde G es el estimador de Kaplan-Meier de la varíable que censura
basado en ia muestra {(Z,,1 -^),) },n,, _y M„ es una constante dependiente de
n y de la muestra, que establece un truncamiento para evitar la inestabilidad del estimador de Kaplan-Meier en las colas.
Con fa correspondiente nueva variable respuesta, se aplicaría el método
de mínimos cuadrados para la obtención del nuevo estimador. A pesar de
no ser recursivo, este método tiene un gran problema ante la elección dei
valor M„ en la práctica.
EI segundo de ellos, Koul-Susarla-Van Ryzin (1 981 b), consiste en definir
como. nuevos estimadores aquellos que resulten de (a optimización de!
funciónal
,
.`^,. ^
^^
x 3 ` = L,
t^.^^
;_^
1 - G (z;)
1, z.i_ M;^
(Z, - a- X;1^)2
n
con la misma notación considerada en el método anterior.
INF=f^RF^t^1•1 `í) P1K^^41^ TKt(^1 (^O^ [)^^TOtit f^Sl R>Ik^ti
Finalmente el tercer método, Koul-Susarla-Van Ry2in (1 982 ^ , está basado en una extensión del método de óuckley-James al contexto de censura
aleatoria bajo la hipótesis común a todos los métodos de Koul-Susarla-Van
Ryzin.
Ya que bajo esta hipótesis la nueva variable respuesta satisface
Z*= ^^Z; + (1 -rS;) E (T,/T, > Z,}=rS,Z, + (1-h,} E(T,/ó,=O) _
=s,Z,+c1-a,) .
j s11 - G(s ^ 1 dFls-^-^^1
1 c ^-^ cS)} ^ c S-^-^ a^
,
estimando G de forma análoga a los métodos anteriores se posee la
variable respuesta estimada. Como también se necesita la estimación de
Kaplan-Meier de los residuos, una estimación inicial de x y^^ es necesaria.
Koul-Susarla-11an Ryzin proponen que se utilize su estimador introducido
en 1981 a) como piloto iniciai, siguiéndose un mecanismo recursivo análogo al desarrollo por Buckley-James.
Los cinco métodos introducidos tienen la interesante propiedad común
de ser los estimadores mínimo cuadráticos en ausencia de censura. Sin
embargo están elaborados en general bajo fuertes restricciones, como Ps el
caso de los métodos de Koul-Susarla--Van Ryzin, o padecen ciertas dificultades computacionales producidas por la recursividad de sus cálculos,
como es el caso de los métodos d e Miller y de Buckley-James. En la
siguiente sección, dedicada a la estimación de curvas con datos censurados, se describe un nuevo método de estimación de 1os parámetros de un
modelo de regresión lineal obtenido a partir de estimaciones de curvas para
esté contexto.
6.
ESTIMACION DE CURVAS COIV DATOS CENSURADOS Y
APLICACIO RI ES
Un campo de estudio de gran expansión en !a actualidad en Estadística
es el de la estimación de curvas. Los resultados obtenidos en dicho estudio,
para datos censurados, son reiativarnente recientes habiendose ctesarrollado fundamentalmente en los últimos diez años.
Las curvas que más han merecido atención en este contexto, y que
comentaremos en lo que sigue, son la función de densidad, la función de
razón de fallo, la función de distribución condicional y la función de re+gresión.
f ^ i^ f>I^ 1 Ic ^ t^,I' 1 Z(^l ^
EST1MACiON DE LA FUNCiCiN DE DENSiDAD.
E! método preferentemente desarrollado en este contexto, es el que se
obtiene como una extensi+ón dei clásico Rosenblatt (1 95^6) - Parzen { 1 962).
f^(X} ; (1 /nh„) ^ K 1
x - T,
=1 K(
i` 1
hn
X'u )(1/h„)dF„fu)
^n
^
también conocido como método núcieo, donde f„ es la estimación de ia
densidad f desconocida de 1a variable T, K la función núcleo, en genera! una
densidad, h„ el Ilamado parámetro ventana y F„ la función de distribución
empírica de la muestra de partida. Para una exhaustiva revisión sobre los
métodos de estimación de densidad sin censura ver ei excelente artículo de
Cuevas {1989).
La obtención natural de un método de estimación de la densidad en este
contexto es Ilevada a cabo sin más que carr^biar la distribución empirica F^
por el estimador de Kapian-Meier Fn, resultando
f„(x) ^ j K(
x
u 1/1 fh„) dF„(u) _
h„
i { 1 f nh^ ) ^
'-'
K { (x-Z,) /h„) ó;
..
( 1 - ^„(Z,) )
^
donde G„ es el estimador de Kaplan-Meier de la variable que censura.
Yandell (1 9$1 } obtiene el error cuadrático medio de dicho estimador
aportando fa correspondiente ventana óptima teórica. Marron y Padgett
{ 1 986) proponen el método de validación cruzada para este contexto
{cross validation), aportando propiedades de optimalidad asintótica de la
ventana "cross validation" respecto de ia óptima teórica. Finalmente Diehl
y Stute { 1 985) prueban propiedades de consistencia, dando errores de
convergencia del tipo logaritmo iterado. Asimismo prueban resultados relativos a la convergencia débil tanto puntuaimente como globaimente.
ESTIMACI^N DE LA FUNCICJN DE RAZON DE FALLO
Varios procedimientos fueron elaborad©s para !a estimación de fa función
de razón de failo r(t)=f(t)/(1 -F(t) ). La razón de ésto quizá sea atribuible a
la gran importancia que tiene la razón de fallo en el cantexto de la fiabiiidad, camp© de naturai aparición de los datos censurados.
I\F^F^^Kf \(^I ^\C1 1'^1Fi^^^1t T Rlt ^ (^O^ [)^T^Oti ( f^^l K^^f^x)S
^45
La primera idea también desarrollada por Yandell, siguiendo caminos
paralelos al de !a estimación de la densidad, consiste en suavizar la razón
de fallo acumulativa
A(t) = f o ^(s) ds
A
a través de la estimación empírica A previamente intraducida en el epígrafe segundo, resultando
^„(t) _ .(^ ( 1 /h„) K ( t
,^
= l 1 /h„) ^ K (
;_^
t - Zr;^
S
^ dñ (s) _
h„
) (ar;^/ (n-í+ 1) ^
h„
EI propio Yandell (1981, 1983) propone camo estimador natural, teniendo en cuenta la forma de la expresión de la razón de fallo, a
^
^
rntt) = f^(t)/(1 - F„(tl )
donde el numerador es la estimación de la densidad y en el denominador
aparece el estimador de Kaplan-Meier.
Teniendo en cuenta las propiedades de eficiencia del estimadar de
Kaplan-Meier suavizado, Fernández Sotelo y González Manteiga (1 986)
proponen sustituir la estimación de Kaplan Meier por la suavizada en el
estimador anterior.
Finalmente Tanner (1 983) y Cheng (1 987) proponen considerar en estimadores como las anteriores ventanas h„ que en vez de ser fijas dependan
de la distancia al k-ésima dato más cercano, probando la eficiencia de
estas estimaciones respecto de las anteriores en puntos de baja probabilidad.
ES TIMA CION D E LA FUNCION D E D lS TRIB UCION COND lCIONA L
Siguiendo la misma notación que en ^I epígrafe relativo a la regresión
paramétrica con datos censurados, uno puede disponer además de la información que proporciona un cierto vector de cavariables X que puede ser
determinístico, cuando se trata de un diseño fijo, o aleatorio cuando se
trata de este otro tipo de diseño. De esta forma la muestra de partida viene
dada por:
F^T -1[)ItiT I( ^^ f til'•^tit1^ 1
{ (^r^,.X,j },n,
donde como siempre Z, = min {T,,C,}.
Las distribuciones de interés son ahora las correspondientes condicionadas F(./X=x), G(./X=x) y H(./X=x), suponiéndose como siempre la independencia, en este caso condicional, entre T y C.
EI ob^ etivo fundamental es la estimacián de F(./X=x), funcián de distribución condicional de la variable T al valor particular x del vector de covariables. Ba ^ o el contexto de censura son escasos los trabajos realizados en
esta linea, destacanda Beran (1 981 ), Hórvath (1 981 ) y Dabrowska (1 987,
1989). En todos ellos se sigue un camino paralelo al contexto de ausencia
de covariables, descrito previamente en este trabajo, estimándose inicialmente la razón de fallo acumulativa y posteriormente la función de distribución.
EI problema más importante que resulta de dichas estimaciones es la no
aplicabilidad a la estimación de la funcián de regresión
m (x) = E tT/X^x)
por la dificultad que entraña el desconocimiento de los saltos de la funcián
de distribución condicional estimada usada en los articulos de Dabrovvska
(1987, 1 989). Por esta razón recientemente hemos aportado (González
Manteiga y Cadarso Suárez (1 989) ) un nuevo método de estimación del
tipo Kaplan-Meier generalizado con covariables para la supervivencia condicianal 1-F(./X=x) dado por
n
1 - ^ 1 {zr^ zJ} Bn,(X)
^
^- r
S n ( tlX=x}=
1
^^.,1^^
, S1
t^ Z ln1
^ 1 {zr y zJ^ f^^,(X) + B„^,(X)
r-1
,en el resto
dande
J^^(t) = 1{z1,, ^.^,^__, }
e^ emplo del tipo
Bn^(x} una sucesión generai de pesos, por
y
n
Bnr(X) = K/^(x-Z^) / t ^ K,,ix-Z^) )
1=1
con Kh(u) ={ 1/h) K{u/h), siendo K una fun-ción núcleo y h= h„ el parámetro
ventana (Nadaraya (1964}-Watson (1964) i, o bien del tipo
ItiF F.Kf.^( 1-1 tiO P-1K^1ti11 TFtI( ^(()ti l)•^lOti (. (`til K^^(X)ti
Cin,(X)
= I 1 /n) K,,(x'Z,)
(Priestley-Chao (1972) ), ... etc.
La formulación de este nuevo estimador es consecuencia natural de
seguir los mismos pasos constructivos, pero en la versión condicional,
Ilevados a cabo para obtener el estimador de Kaplan-Meier sin covariables
a partir del estimador (2.1 ^.
En efecto, dicho método de estimación generaliza a los existentes, así:
i) Si no hay covariables B,,,(x) = 1/n,
Kaplan-Meier previamente introducido.
resultando el estimador de
ii^ Si hay covariables pero no censura resulta la clásica estimación no
paramétrica de la función de distribución condicional, y finalmente
iii)
Si no hay censura ni covariables resulta el estimador ernpírico.
Por otro lado, de este estimador es fácil conocer los saltos dando lugar
de forma natural a un estimador no paramétrico de la función de regresión
con datos censurados (el primero a nuestro juicio en la literatura existentel,
resultando
m„(x) = J t d(1 - ^ „(t/X=x) )= E
r=
(
Z; ó; B,,; (x)
1 - G„ (Z;^X=X)
]
r
donde G„ es el estimador de Kaplan-Meier generalizado con covariables de
la distribución de la variable que censura.
Este estirnador generaliza a los existentes para el contexto de ausencia
de censura, ya que en ese caso ^ „=0 y ^,=1 para todo i, resultando la
formulación general de los estimadores no paramétricos de la función de
regresión ( H^rdle ( 1 990) ).
A PL lCA CIONES.
Una de las aplicaciones más importante, consecuencia de la elaboración
de un estimador no paramétrico de la función de regresión con datos
censurados, es la consiguiente estimación de los parámetros de un modelo
de regresión lineal con datos censurados. En efecto siguiendo la línea de
González Manteiga (1 988 ^ , suponiendo el modelo
T = A`(X) f^ + F
t ti 1^[)tti T I( ^[^T'^1tO[ ^^
en él que ^.^ es un parámetro ,p-dimensional, objetivo de nuestra estimación,
y A un funcional de RQ en R^', y considerando e! estimador no paramétrico
de la función de regresión previamente introducido, bajo la suposición de
que ^ sea un error aleatorio de media cero se define una nueva clase de
estimadores de %3 como aquélla que minimiza el funcional
`^ (j^) = .^ (m„(x1 - A`(x)Í^)^ d^„(x)
donde S2„ es una función de ponderación.
En base a la muestra inicial con datos censurados y tomando como S^„ la
distribución empíríca sobre las cavariables { X,,...,X„ }, el nuevo estimador
viene dado por
^
[ G.
i-1
A(x;) A`(x;? ] -^ r ^ ^(x;),nn(x;) ]
(, i-1
donde obviamente m„ es cuálquier estimador no paramétrico piloto inicial.
Este método no adolece de ias dificultades computacionales de los métodos de Miller (1 976} y Buckley-James (1979), ya que no es recursivo. Por
otro lado esta elaborado sin hípótesis restrictivas, propias de las métodos
de Koui-Susarla-Van Ryzin { 1981 a, i 981 b, 1 982). A su vez es una generalización del método de mínimos cuadrados para situaciones de ausencia
de censura, sin mas que tomar como estimador no paramétrico el degenerado
n
ll^n{Xj = ^
^ ^ T; ^
r-1
Una buena propiedad que presenta esta clase de estimadores, cuando no
existen datos censurados, es la eficiencia en muestras pequeñas con respecto al estimador de mínimos cuadrados. Dado que nuestro contexto es el
de datos censurados, realizamos en lo que sigue un estudio de simulación
comparando !a nueva clase con todos los métodos introducidos en e!
epígrafe anterior. Para ello se simula el modelo
Z; = m i n { T;, C; }
donde
T;=2+0.01Z,;+0.5Z2;
C; = 2+ 0.01 Z,, + 0.5Z2i +^;
con i= 1,...,n, siendo ^; una normai de media cero y desviación típica ^r y^,
una normal independiente de la anterior de media tl y desviación típica rr,
garantizándose de esta forma la independencia condicional entre T y C.
I^IF^E RF.tiI('1-1 ti() P-^R7!^1E TR1('A ('<)ti DA-T-()S ('f tiSl R^1[X1S
^^y
EI número de réplicas con que se simula el modelo anterior es N para
distintos valores de n,^ y 0. Por otro lado se considera en la simulación que
las covariables Z del modelo siguen una distribución uniforme en el cuadrado unidad ^0,1 J x[0,1 ]. A su vez el criterio con él que se comparan los
distintos métodos es el error cuadrático medio multidimensional, es decir
,.
,.
?
M.S.E.(^)= ^
;=o
[1
N
;_^ ^i^,-^^1^
/
+(1^N)^
1
aproximación, en base a las distintas réplicas, del error cuadrático medio
^.
multidimensional teórico, en donde, ^; , representa la estirnación de la
i-ésima
^ componente de ^^ construída a partir de la j-ésima muestra simulada y^; es el promedio de dichas estimaciones.
Finalmente el porcentaje de censura puede ser bien cantrolado en función de las distribuciones de los errores simulados resultando
% Censura = ^ 1 - ^ ^
-^
Q^
^ ^ 100%
donde ^ es la función de distribución de la normal estándar.
Considerando simulaciones previas hemos seleccionado como métodos
competitivos los de Miller (1976), (6.1), Buckley-James (1979), (6.2) y el
de
Buckley-James
modificado
introducido
por
Koul-Susarla-Van
Ryzin (1982). A su vez para la nueva clase de estimadores se toma como
estimador no paramétrico de la función de regresión el método núcleo de
Nadaraya-Watson con núcleo uniforme y con las distintas ventanas 0.6,
0.6 5, 0.7 5 y 0.8, obten iéndose los resu Itados descritos en las tablas 1-12.
De dichos resultados se puede deducir el buen funcionamiento de los
nuevos estimadores que presentan un error cuadrático medio enormemente más pequeño respecto a los otros métodos a medida que aumenta la
varianza del error o el porcentaje de censura. Cuando la desviación típica es
muy pequeña el efecto de la suavización inicial se hace despreciable presentando un funcionamiento similar a los métodos del tipo Buckley-James
pero peor que el método de Miller (1 976).
f^ tii 11)Iti l l( ^^ t til'ttit)I ^1
Por otro iado la elección de los cuatro valores distintos para la ventana
está únicamente encaminada a analizar la posible forma de U del error
cuadrático medio y es obviamente independiente del tamaño muestral.
Dicha farma para la función error cuadrático medio es apreciada en porcentajes bajos de censura. En efecto cuando el porcentaje aumenta la
ventana óptima se encuentra para valores superiores a ios elegidos para el
estudio de simulación. A su vez en estudios elaborados por nosotros recientemente parece apreciarse un buen funcionamíento del método de
validación cruzada para una eiección automática inicial de la ventana
tGanzález Manteiga-Cadarso Suárez (1 990) ).
TABLA 1: n-25, 16°I° de ce^sura y N= 1000
rr
0. 1
MlLLER
0 . 02581
BUCKLEY
JAMES
0 . 1 7008
BUCKLEY
JAMES MOD.
0,27376
ESTIIVIACION
SUAViZADA
0.28293
0.26103
0.261 97
0.27054
0.4231 7
0.5
0.40053
0.65244
0.69927
0.33482
0.29297
o.287sa
0.68680
.
1
1 . 57567
2 . 01 6+D2
1.95569
0.5091 7
0.37390
0.341 87
1 .62361
2
6 . 24627
7 . 23230
7.16742
1.12500
0.671 84
0.5571 6
I^I 1 Ftf ^+( I^ ti(1 f' ^ft ^tit{ I kl( \(()\ f) 1 T(1^, ^ F\^,I K^Ix^ti
TABLA 2: n=25, 33% de censura y N= 1000
^
MILLER
BUCKLEY
BUCKLEY
ESTIMACION
JAMES
JAMES MOD.
SUAVIZADA
,
0.1
0.5
1
2
0.03944
0.52823
2.04109
8.08201
0.36190
0.54301
0.95236
2.631 16
9,01742
0.65451
0.48877
0.33499
0.31058
1.01301
0.84245
0.61971
0.38599
0.342 74
2.56330
1.28759
0.90604
0.50726
0.42751
8.69837
2.68961
1 .83080
0.93486
0.73327
TABIA 3: n=2 5, 50% de censura y N= 10t^0
c^
MILLER
gUCKLEY
JAM ES
BUCKLEY
JAM ES MOD.
ESTIMACION
5UAVIZADA
1 .401 52
0.1
0.5
0.06487
0.74603
0.97369
0.97065
1.71338
1.69312
0.98577
0.57198
0.47448
1 .681 13
1.1 1 139
0.60014
Q.50220
2.43340
1
2
2.87294
1 1.31367
4.39953
13.91292
,
4.25516
13.70472
1 .60733
0 82730
0.65721
4.64209
3.05158
1 .50346
1.13734
^5?
FS T-1 [)I^T I(^ ^ f tiF' ^ tiC3t A
TABLA 4: n=25, 67% de censura y N= 1000
a
0,1
MILLER
0.12893
BUCKLEY
JAMES
1.18697
BUCKLEY
JAMES MOD.
1.7 4233
ESTIMACION
SUAVIZADA
3.{J5742
2" 13021
1 .1 2051
0.84533
3.14021
0.5
2.39126
4.1 1 C^26
3.75469
2.21491
1 .1 6584
0.89282
3.?9464
1
2
9.36609
37.25566
7.98803
22.12668
6.$7453
17.34526
2.73035
1.46332
1.14852
5.93612
4.33053
2.39933
1.91 902
TA B LA 5: n- 50, i 6 % de censura y N= 1000
a
MILLER
BUCKLEY
BUCKLEY
ESTIMACION
JAMES
JAMES MOD.
SUAVIZADA
0.18272
0.1
0.5
1
0.01067
0.16842
0 . 65419
O.C^3233
0.22156
0 . 78910
0.0245E
0.23412
0.7031 1
0.19396
0.23425
0.2551 1
0.24499
0 . 22950
0.24434
0.25976
0.38438
0.32189
0.28527
0.28706
2
2.61338
2.99318
2.86345
0.83(J48
0.63027
0.43297
0.39397
i`^F f KF ^<'I^1 tit) I'-^R ^titf ^T RI( 1 (`()\ [)^^^ 1(1^ ( E\^1 Ft ^fX)1
TABLA fi: n=50, 33°^6 de censura y N= 1000
a
0.1
MILLER
0.02078
BUCKLEY
JAMES
0.05981
BUCKLEY
JAMES MOD.
ESTI MACION
SUAVIZADA
0.04869
0.32 504
0.28378
0.26496
0.26988
0.47949
0.5
1
0.25393
0.97448
0.30879
1.00613
0.32876
0.97656
0.37498
a.28828
a.28o62
0.73232
0.54765
0.35556
0.32 542
1.55648
2
3.82797
3.69026
3.58654
1.1 1016
0.60719
0.50133
TABLA 7: n=50, 50% de censura y N= 1000
Q
MILLER
BUCKLEY
JAMES
BUCK^LEY
JAMES MOD.
ESTIMACION
SUAVIZADA
0.77755
0.1
0.03738
0.11376
0.09563
a.60720
0.402 8 8
0.35054
0.5
1
0.35452
1.33385
0.40308
1.24980
0.47632
0.92302
0.6581 1
0.40012
0.35596
1.16655
1.33125
0.9342 5
0.52142
0.4442 7
2.5421 4
2
15.24449
4.46359
4.25786
1.75938
0.90663
0.72650
Ftit ^()Itiflt ^ F^F'^\t)t >
TABLA 8: n-SU, 67% de censura y N= 1000
^
MILLER
BUCKLEY
JAMES
BUCKLEY
JAMES MOD.
ESTIMACION
SUAVIZADA
1 .84808
0.1
0.05460
0.3001 5
0.1 9840
1.34107
0.7 3 503
0.59590
1 .89907
0.5
0.5á125
0.71262
O.fi4367
1.32506
0.7241 7
0.59014
1
2.14146
1.97736
1.54685
2.49239
1.73859
0.94183
0.76129
4.28461
2
8 . 43407
6 . 62410
6 . 43898
3^Q1 508
1 .61045
1.29007
TABLA 9: n=100, 1 6% de censura y N= 1000
^
MILLER
gUCKLEY
JAMES
BUCKLEY
JAMES MOD.
ESTIMACICJN
SUAViZADA
0.1 81 24
0.1
0.00579
^J.O1023
0.00854
0•23830
0.29083
0.32407
0.5
0.09998
0.10441
0 . 10035
0.2U1 72
0.24343
0.28703
0.31 635
0.2491 1
1
2
0.39452
1.55499
0.38478
1.49812
0.3654$
1.35$02
0.26370
0.29567
0.31 957
0.41 544
0.34460
0.33547
0.34529
Itil f Kt ti( I ^ ti(^ f'^K ^titf I KI( ^ c(^^ O^ Ic^ti ^ I"I K 1fN>ti
TABLA 10: n=100, 33% de cens^^ra y N= 1000
rr
0. 1
MILLER
0 . 01 15$
BUCKLEY
JAMES
0 . 01439
BUCKLEY
JAMES MOD.
0 . 01245
ESTIMACION
SUAVIZADA
0.22320
0 . 2 5002
0.28823
0.31937
0. 5
1
2
0 . 14760
0.57399
2.26951
0 . 12180
0.43960
1.69044
0.11658
0.26592
0.25650
0.2 8100
0.304 7 5
0.44389
0.35466
0.28791
0.2 912 0
0.308 7 6
1.63987
0.65663
0.4191 5
0.35080
0.34746
TABLA 1 1: n=100, 50% de censura y N= 1000
^r
MILLER
BUCKLEY
JAMES
BUCKLEY
JAMES MOD.
ESTIMACION
SUAVIZADA
0.3472 7
0.1
0.5
1
0.02088
0.21681
0.82 2 59
0.02161
0.14973
0.52 610
0 . 02087
0.13677
0.50643
0.29532
0.29974
0.31832
0.39002
0.29868
0.29216
0.30676
0.53666
0.36080
0.31936
0.32262
1 .^1^201
2
3.22168
2.00237
2 . 00221
0.57^50
0.4^-^ 12
0.4037 5
t^^r ^^^ c^i ^; r ic .^ t ti r-^ `c^ t^^
TABLA 12: n=100, 67% de censura y N= 1000
^
MILLER
BUCKLEY
JAMES
BUCKLEY
JAMES MOD.
ESTIMACION
SUAVIZADA
1.40991
0.1
0.03815
0.04052
0.04115
0.77695
0.47323
0.3 5108
1.73601
0.5
0.3381 1
0.21507
0.23417
0.86299
0.49810
0.36806
1 .1 5791
1
2
1.26498
4.95585
0.73553
2.76028
0.71231
2.11345
0.63314
0.45074
0.42327
2.092 51
1.08331
0.71462
0.64022
A pesar del buen funeionamiento ^que presenta !a nueva clase de estimadores en !a práctica uno ha de ser prudente en ia elección del estimador
piloto no paramétrico inicial. En efecto exponemos en lo que sigue un
ejemplo ilustrativo relativo a la importancia de esta elección.
Se considera una muestra de tamaño n=70 correspondiente al logaritmo
en base 10 de !os tiempos de seguimiento correspondientes a enfermos de
adenocarcinoma renal desde el día en que se les somete a tratamiento
quirúrgico, siendo la entrada de pacientes serial desde Enero de 1970
hasta enero de 1990. EI conjunto de estas datos ha sido aportado por el
Servicio y Cátedra de Urología del Hospital General de Galicia.
De entre las covariabies de interés tratadas en ei estudio de estos datos
(Cadarso Suárez 11 990) ) nos centraremos aquí para nuestro propósito en
la covariable velocidad de sed^mentación globular (VSG ). Representando
por + el dato censurado y por x el no censurado, la figura 1 3 muestra un
plot de los datos con un 38,6°I° de censura. A su vez muestra la estimación
no paramétrica de la función de regresión en trazo continuo y la correspondiente estimación paramétrica lineal con la nueva metodología, utilizándose
una ventana de validación cruzada con el método núcieo en el estimador
piloto no paramétrico.
I`f f Ftf `(^I ^ tic^ f^1Ft^ltitf Tltlc ^ (()^ f)^T^^ti( E^tit El ^()c^ti
^57
^a tendencia de crecimiento proporcionada por !a recta es contraria a la
opinión a priori proporcionada por los urólogos, Por otro lado la estimación
no paramétrica y por tanto la paramétrica presenta unos valores bajos de
carácter pesimista en función del VSG también en contra de la opinión
generalizada de los médicos. Un análisis más profundo de los datos nos
indicó el carácter asimétrico de la censura, observándose que en general
los datos censurados eran los más grandes produciendo estimaciones, no
paramétricas basadas en promedios de los valores más bajos.
Una estrategia adecuada para la corrección de este defecto en este
conjunto de datos fué la consideración de otro estimador no paramétrico
que tuviese más en cuenta los datos censurados. De esta forma teniendo
en cuenta la misma idea de Buckley-James (1 979) de sustituir la variable
T no observable en general por otra que siga el mismo modelo dada por
,.
Z^ = rS Z+(1 -^) E(Z/T > Z)
cón
n
^ Zj^1 -C^^jÍ B„^ ^X^
É(Z/T > Z)= É(Z/^S=o)=
j=1
n
^ í1-ój^ g„jÍx)
J=1
es posible definir un nuevo estimador no paramétrico de la función de
regresión a través de
n
m„ (x) _ ^ Z * B,,; (x)
,^ ^
Tomando este estimador como piloto no paramétrico y aplicándolo en la
estimación de los parámetros del modelo de regresión lineal con la nueva
metodología resultan las gráficas reflejadas en la figura 1 4. En dicha gráfica
se puede observar el pesimismo corregido de la otra estimación no paramétrica y la tendencia lineal esperada por los urólagos.
AGRADECIMIENTOS
Nuestros agradecimientos a los dos referees por su lectura crítica y
constructiva que sin duda mejoró notablemente la presentación de este
trabajo.
^St^
Fsr^tt^itir^t :^ E ^F^^^^c^t a
_..____^...^
^ LOGC T) _C DI^S)
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3. 2
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64 .^
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128. C^_ 6^. P^
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Figura: 13
LOG( T) _ C DI^S) ^
--+-------
40
3. 2
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3
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+
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^
^
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x
+
x
x
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+
x
x
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x
x
xx
x
-^-
x
x
x
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x
x
8
x
x
--^c
r
@
Figura: 14
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64, @
9^. @
128. ^16@. 0
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7.
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J.A.S.A., 76, 658-662.
NONPARAMETRIC INFERENCE WHIT CENSORED DATA
SUMMARY
In this paper the nonparametric inference with censored data,
developed in the last fifteen years is reviewed. The topics here
considered are relative to the random right censoring including
the Daplan-Meier estimator with its applications to functional
estimation, testing hypothesis, confidence intervals, linear regression and c:^rve estimation. Some application are also included and compared with the reviewed methods using simulations
and rea^ data.
Key wo^ds.^ Kaplan-Meier estimator, random right censoring.
^4 MS Classifíeation: 6 2 G 0 5.