Tema 3

Tema III.
Propagación de ondas sísmicas: Ondas Superficiales.
Anelasticidad y anisotropía.
I. Propagación en un medio semiinfinito: Ondas Rayleigh
II. Propagación en un medio y una capa: OndasLove
III. Modos de las ondas Love.
IV. Propagación de
estratificados.
las
ondas
Rayleigh
en
medios
V. Dispersión de ondas. Velocidad de fase y grupo.
Determinación de la velocidad de grupo y de fase.
Método de frecuencias instantaneas.
Determinación de la velocidad de grupo y de fase.
Método de análisis de Fourier.
VI.
Curvas de dispersión y estructura de la tierra.
VII. Anelasticidad y amortiguamiento.
Factor de calidad Q. Coeficiente anelástico γ.
Atenuacion: Ondas internas. Ondas superficiales. Ondas
Coda.
Propagacion de las ondas sísmicas en medios anisótropos.
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE ONDAS
SÍSMICAS: ONDAS SUPERFICIALES,
ANELASTICIDAD Y ANISOTROPIA
3.1 ONDAS RAYLEIGH EN UN MEDIO SEMIINFINITO
Existencia de superficies libre y de discontinuidad
Acoplamiento de energía
Ondas Superficiales
Propuestas por Lord Rayleigh en 1885 (sup. Libres)
Observadas por R.D Oldham en 1900
Su Amplitud disminuye con z, v < ondas S, desplazamientos en
el plano de incidencia (dirección paralela a la superficie)
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.1 ONDAS RAYLEIGH EN UN MEDIO SEMIINFINITO
Si la onda se propaga en x1
Los desplazamientos de las
ondas Rayleigh serán:
∂ φ ∂ψ
u1 =
−
∂ x1 ∂ x 3
u2 = u2
∂φ
∂ψ
u3 =
+
∂ x 3 ∂ x1
Para ondas sup. prop. en x1 con
velocidad de fase c y nº de onda k,
las soluciones de la ec. de onda, es
decir, φ, ψ y u2 son:
φ = A exp{− ikrx 3 + ik ( x1 − ct )}
ψ = B exp{− iksx 3 + ik ( x1 − ct )}
u2 = C exp{− iksx 3 + ik ( x1 − ct )}
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.1 ONDAS RAYLEIGH EN UN MEDIO SEMIINFINITO
Sustituyendo las ecuaciones en la ecuación de ondas se obtiene:
r=
c2
α
2
−1
s=
c2
β2
−1
Para que la amplitud de φ, ψ y u2 decrezca con z r y s han
de ser imaginarios positivos c < β < α
Son ondas que se propagan en la dirección x1 y se atenúan
exponencialmente en dirección negativa de x3.
La atenuación depende del nº de onda k.
Las ondas de alta frecuencia sufren mayor atenuación
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.1 ONDAS RAYLEIGH EN UN MEDIO SEMIINFINITO
Para evaluar A,B,C y c se aplican las condiciones de contorno
en la superficie libre (τ31 = τ32 = τ33 = 0)
τ 31
 ∂ u3 ∂ u1 
 =0
= µ
+
 ∂ x1 ∂ x 3 
τ 32
∂ u2
∂ u3
∂ u1
= µ
= 0 τ 33 = ( λ + 2 µ )
+λ
=0
∂ x3
∂ x3
∂ x1
• Sustituyo los valores de u1, u2 y u3
2rA-(1-s2)B=0 ;
[α2(1+r2)-2β2]A-2β2sB=0;
∃ solución si:
4rs β2-(1- s2) [α2(1+r2)-2β2]=0
C=0
Propagación
sólo en (x1, x3)
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.1 ONDAS RAYLEIGH EN UN MEDIO SEMIINFINITO
• Simplificando y sustituyendo los valores de r y s:
2

c2 
c2
c2
 2 − 2  = 4 1− 2 1− 2
β 
α
β

• Haciendo λ=µ α= (3)1/2β Defino incógnita y = (c / β)2 4
56
32
y 3 − 8y 2 +
y−
=0
y=
2+2/(3)1/2
3
3
2-2/(3)1/2 Compatible
con c < β
• Luego la velocidad de las ondas Rayleigh en este medio es:
cR = 0.9194 β Puesto que r = 0.85 i y s = 0.39 i
φ = A exp{0.85kx 3 + ik ( x1 − c R t )} • Propag. en x1 y atenuación en –x3
ψ = B exp{0.39 kx 3 + ik ( x1 − c R t )} • Interacción de ondas P y SV con
la superficie libre
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.1 ONDAS RAYLEIGH EN UN MEDIO SEMIINFINITO
• Los desplazamientos serán:
u1 = a (e 0.85kx3 − 0.58e 0.39 kx3 ) sen k ( x − c R t )
con a= -kA
u3 = a ( − 0.85e 0.85kx3 + 147
. e 0.39 kx3 ) cos k ( x − c R t )
• Si x3 = 0
u1 = 0.42a sen k ( x1 − c R t )
u3 = 0.62a cos k ( x1 − c R t )
El movimiento muestra un desfase de 90º entre el componente
vertical y el horizontal Trayectoria forma en cada periodo una
elipse de movimiento retrógrado. La amplitud disminuye con la prof.
y a una cierta prof. el componente horizontal = 0 y a partir, de ella
el movimiento es progrado
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.1 ONDAS RAYLEIGH EN UN MEDIO SEMIINFINITO
Velocidad menor que la de las ondas S. Gran daño en las estructuras.
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.2 ONDAS LOVE EN UN MEDIO Y UNA CAPA
Hecho experimental a partir de registros:
Existe ondas con movimiento horizontal y transversal que
precedían a las ondas Rayleigh.
1908: Knott y Wiechert proponen que es un efecto de
transmisión por la corteza terrestre.
1911: Love lo explica desarrollando la teoría de propagación
de ondas superficiales de componente transversal, en una capa
(corteza) sobre un medio semiinfinito, de distintas propiedades
elásticas (ondas Love)
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.2 ONDAS LOVE EN UN MEDIO Y UNA CAPA
• Solución de la ecuación de onda en un medio semiinfinito de
velocidades α y β y densidad ρ, con una capa de espesor H
superpuesta de velocidades α’ y β’ y densidad ρ’ con β > β’.
Esta solución ha de ser propagación paralela a la superficie y
disminución de su amplitud con la profundidad.
• ∃ 2 tipos de ondas:
.- Rayleigh (desplaz. Verticales)
.- Love (desp. Horizontal-transversal)
• Aparece el fenómeno de
dispersión, es decir, v = f( frec.)
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.2 ONDAS LOVE EN UN MEDIO Y UNA CAPA
• Por sencillez sólo estudiamos el problema de las ondas Love:
u2 ' = A'exp[iks' x 3 + ik ( x1 − ct )] + B'exp[ − iks' x 3 + ik ( x1 − ct )]
u2 = B exp[ − iksx 3 + ik ( x1 − ct )]
con: s =
c2
β2
−1
s' =
c2
−1
β '2
• Atenuación del desplazamiento con la profundidad s imaginario positivo
• Condiciones de contorno: esfuerzos nulos en la superficie libre
(x3 = H) y continuidad de esfuerzos y desplazamientos en la de
separación entre la capa y el medio (x3 = 0).
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.2 ONDAS LOVE EN UN MEDIO Y UNA CAPA
'
x 3 = H: τ 32
= µ'
∂ u' 2
=0
∂ x3
u2 = u' 2


∂ u' 2
∂ u2
x3 = 0 
= τ ' 32 = µ '
τ =µ
 32
∂ x3
∂ x3
Condiciones de
Contorno.
• Sustituyendo los valores de los desplazamientos:
∃ Solución si el determinante
A' e iks' H − B' e − iks ' H = 0
es nulo, s’ debe ser real
A' µ ' s'− B' µ ' s'+ Bµ s = 0
β’ < c < β ondas
A'+ B'− B = 0
propagándose hacia abajo y
hacia arriba dentro de la capa.
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.2 ONDAS LOVE EN UN MEDIO Y UNA CAPA
• La ecuación resultante es:
µs
= tg ks' H
iµ ' s'
• Sustituyendo los valores de s y s’ en función de c, β’ y β :
µ 1−
c2
µ'
β `2
c2


c2
= tg  kH
2 − 1
β`


−1
β2
Ecuación de dispersión (relaciona c con el número de
onda (o implícitamente la frecuencia)).
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.2 ONDAS LOVE EN UN MEDIO Y UNA CAPA
La ecuación dispersiva se puede obtener también a partir de
interferencia constructiva de ondas, que se reflejan en la
superficie de separación entre la capa y el medio, con un
ángulo i mayor que el crítico.
Las ondas Love, por tanto, se pueden considerar como el
resultado de la interferencia constructiva de ondas
supercríticas (SH), con reflexión total en la base de la capa
• Si xc es la distancia que coincide con la onda reflejada con
ángulo crítico Las reflexiones para x < xc son subcríticas
y para x > xc son supercríticas (reflexiones totales)
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.2 ONDAS LOVE EN UN MEDIO Y UNA CAPA
ONDA LOVE PROPAGÁNDOSE
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.3 DISPERSIÓN DE ONDAS. VELOCIDAD DE FASE Y
GRUPO.
Las ondas de distinto periodo viajan con distinta velocidad.
Hasta ahora hemos obtenido velocidades de fase o velocidad
a que se propaga la fase de cada componente armónico de las
ondas
Si Vfase = cte Vfase = Vgrupo (velocidad de transporte de
energía). A la inversa esto no ocurre.
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.3 DISPERSIÓN DE ONDAS. VELOCIDAD DE FASE Y
GRUPO.
dω
Defino velocidad de grupo como:
U=
dk
Sustituyo ω = k c(k) con c(k) velocidad de fase d c( k )
U = c+ k
dk
Recordando la relación
tg (0) k=0 c = β
entre c y k
c2
π
2
tg (π/2) k=∞ c = β’
0 < kH
−
1
<
c
2
2
β
`
µ 1− 2


β
c2
Luego β < c(k) < β’
= tg  kH
2 − 1
2
β`


c
La forma de la curva
µ'
−
1
β`2
depende de H (espesor)
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.3 DISPERSIÓN DE ONDAS. VELOCIDAD DE FASE Y
GRUPO.
Sustituyendo c(k)
obtengo la curva para U(k)
En el tren de ondas
llegarán primero las de
frecuencia baja (largo
periodo) (k=0) y más
tarde las de frecuencia alta´.
La mayor energía llega al final del tren correspondiendo a la
mínima velocidad de grupo.
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.3 DISPERSIÓN DE ONDAS. VELOCIDAD DE FASE Y
GRUPO.
Fase
Airy
Llegada de las ondas de distinto periodo a una distancia X.
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.4 MODOS DE LAS ONDAS LOVE.
Hemos acotado el argumento de la tg entre 0 y π/2 pero
también toma valores entre π y 3 π/2, 2 π y 5 π/2 ...
Para cada valor de H obtengo
una familia infinita de curvas.
Cada curva se denomina modo
de propagación. El correspondiente
a 0 y π/2 es el modo fundamental
y el resto modos superiores.
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.4 MODOS DE LAS ONDAS LOVE.
Frecuencia de corte para el modo de orden n:
nπ
kn =
H
β
−1
β'
Los desplazamientos de las ondas correspondientes a cada modo
tienen distinta distribución con la profundidad.
A' e
iks ' H
− B' e
− iks ' H
=0
B' = A' e i 2 ks ' H
Sustituyendo y tomando parte real:
x3  


u' 2 = 2 A' cos ks' H  1 −   cos k ( s' H + x1 − ct )

H

B = 2 A' cos( ks' H )e iks' H
u2 = 2 A' cos ks' H e ksx3 cos k ( s' H + x1 − ct )
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.4 MODOS DE LAS ONDAS LOVE.
En el medio la amplitud de los despl. disminuye exponencialmente
con la profundidad y en el interior de la capa viene modulada por
la función cos [kHs’(1-x3 /H)].
En x3=H (sup. libre), la amplitud siempre es máxima. Dentro de la
capa (0 < x3 < H) existen puntos donde se anula u2, sólo para los
modos superiores (1 para el 1º, 2 para el 2º,...)
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.5 ONDAS RAYLEIGH EN MEDIOS ESTRATIFICADOS.
• c también depende de f
• Hay modos de vibración:
simétricos y antisimétricos de
acuerdo con las condiciones
del movimiento en la superf.
libre y en la de separación.
• Para el modo fundamental
las velocidades máximas y
minimas son: cR y cR’
• Si λ <<H, la capa se comporta
como un medio semiinfinito y
si λ >> H, esta no afecta a la
propagación de la onda.
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.6 CURVAS DE DISPERSIÓN Y ESTRUCTURA DE LA
TIERRA.
¿De qué depende la forma de la curva de dispersión?
Parámetros que definen la estructura estratificada de las
capas superiores de la Tierra (espesores, velocidades P y S,
densidades)
• Las ondas superf. con periodo entre 15 y 100 s reflejan la estructura
de la corteza y el manto superior y los periodos mayores dan
información de las capas más profundas del manto.
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.6 CURVAS DE DISPERSIÓN Y ESTRUCTURA INTERNA
DE LA TIERRA.
• 1930, W. Roehrbach, D.S. Carder y M. Ewing: 1ºs estudios
de ondas superficiales.
• J.T.Wilson (1940 y 1948): Trabajos sobre la corteza del Atlántico
• 1949, M.Ewing, F. Press y J. Oliver: Determinación de estructuras
de la corteza y manto superior en zonas continentales y oceánicas.
• 1955, Y.Sato, introduce el análisis de Fourier (gran adelanto)
• Uso de ordenadores y FFT (algoritmo de Cooley y Tukey)
•1964 W.L. Pilant y L. Knopoff: Método del filtro de velocidad
de grupo (group-delay filter)
• 1968, Análisis espectral: Métodos para determinar v grupo y fase,
basados en correlación cruzada, filtrado múltiple
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.6 CURVAS DE DISPERSIÓN Y ESTRUCTURA INTERNA
DE LA TIERRA.
Caída Rápida debido
a la capa de agua.
Curva Oceánicas
Curva Continental
Dispersión de ondas Rayleigh en el Atlántico Norte y curvas
teóricas para modelos oceánico y de escudo continental.
TEMA 3: PROPAGACIÓN DE
ONDAS SÍSMICAS
3.6 CURVAS DE DISPERSIÓN Y ESTRUCTURA INTERNA
DE LA TIERRA.
Velocidad de Grupo
Velocidad de Fase
ANIMACION DE LA PROPAGACIÓN DE ONDA P
3.7 ATENUACIÓN ANELÁSTICA DE ONDAS INTERNAS Y
SUPERFICIALES
La Tierra no se comporta como un medio perfectamente elástico.
Disipación de energía en forma de calor por fricción interna.
Si el medio fuera elástico, la amplitud de las ondas disminuye por:
Dispersión geométrica: 1/ r (ondas internas o esféricas)
1/r1/2 (ondas superfic. o cilíndricas)
El medio no es elástico Mayor decrecimiento debido a:
Atenuación anelástica.
Atenuación en el espacio y el tiempo con mecanismos complejos
que dependen de la naturaleza de los materiales (at. intrínseca).
3.7 ATENUACIÓN ANELÁSTICA DE ONDAS INTERNAS Y
SUPERFICIALES
• Atenuación de ondas en el espacio y en el tiempo.
• Para el movimiento de una onda se puede definir un factor de
calidad Q(ω), función de la frecuencia:
1
1 ∆E
=
Q(ω ) 2π E
• 1/Q representa la razón entre la energía disipada E durante un
ciclo de un movimiento armónico de frecuencia y el máximo
o la energía media E, acumulada durante el mismo ciclo.
• Sea m.a de amplitud A que se atenúa y para un periodo A exp (-π/Q)
1 1 ∆A
E
1
1
∆

 2π  
=
=
y
2
∆ E = A 1 − exp −

Q π A
Q(ω ) 2π E
 Q


3.7 ATENUACIÓN ANELÁSTICA DE ONDAS INTERNAS Y
SUPERFICIALES
• Vamos a definir factores de calidad temporal (Qt) y espacial (Qe)
Qt : Atenuación de la onda con t para un punto fijo del espacio
durante un periodo.
Qe : Atenuación de la onda para un tiempo dado a lo largo de una
distancia de una longitud de onda.
u(x,t) = A exp [i (k’x-ω’t)] ::Ec. m.a.e. con k’=k+i k* y ω’= ω - i ω *
1
2ω *
=
Qt
ω
u(x) = A [exp(-k*x)] cos(kx- ω t)
1
2k *
u(t) = A [exp(-k ω *x)] cos(kx- ω t)
=
Qe
k
Como c’ = ω’/k’ y c’=c+ ic*, si ω * << ω y k* << k  ω * k *
*
+

c = c
k 
ω
u(x,t) = A exp [i (kx- ω t)-(k*x- ω *t)]
3.7 ATENUACIÓN ANELÁSTICA DE ONDAS INTERNAS Y
SUPERFICIALES
3.7.1 Atenuación de ondas internas
• Tomo valores complejos para las velocidades de P y S
α' = α + i α * y β ' = β + i β *
Las partes imaginarias de α y β están relacionadas con Qe
• Entonces:
1
2α *
=
Qα
α
y

i 

α' = α 1 +
2Qα 

y
1
2β *
=
Qβ
β

i 


β' = β 1 +
2Qβ 

• Tomo valores complejos para los coef. elasticidad µ
y
compresibilidad K : µ’= µ + i µ * y K’ = K + iK* y definir:
 µ *
1
= 2

Qµ
 µ
1/ 2
y
1
 K *
= 2

 K 
QK
1/ 2
3.7 ATENUACIÓN ANELÁSTICA DE ONDAS INTERNAS Y
SUPERFICIALES
3.7.1 Atenuación de ondas internas
• Los cuatro factores de calidad anteriores se hallan relacionados:
1
1
=
Qβ Qµ
y
2
2
1
4  β 1  4  β  1
=  
+ 1 −   
Qα
3  α  Qµ 
3  α   QK
si Q α y Q β >1
• En sismología Procesos puramente compresivos o de dilatación Que no hay disipación de energía QK = ∞
2
1
4  β 1
=  
Qα
3  α  Qβ
si β =0.25 y α = S3 β, Q α = 2.25 Qβ.
3.7 ATENUACIÓN ANELÁSTICA DE ONDAS INTERNAS Y
SUPERFICIALES
3.7.1 Atenuación de ondas internas
• Atenuación de la amplitud de una onda monocromática P en
el interior de la Tierra:
A: Amplitud pto observ.

ωs 
 = Ao e −ω t * Ao: Amplitud foco.
A = Ao exp −
 2αQα 
s: Distancia recorrida a
lo largo del rayo.
• Para un medio homogéneo t* = t / (2 Q α), donde t=s/α es el
tiempo de viaje de la onda P.
• Se puede hacer lo mismo para la onda S usando β y Qβ
3.7 ATENUACIÓN ANELÁSTICA DE ONDAS INTERNAS Y
SUPERFICIALES
3.7.1 Atenuación de ondas internas
Tierra esférica con simetría radial
y η(r) = r / v(r), Q = Q(r)
t* =
∫
ro
rp
η 2 (r )dr
rQ(r )[η 2 (r ) − p 2 ]1/ 2
Si Q es el valor medio de Q(r) y t es
el tiempo de viaje t* = t / 2 Q
• En la Tierra y para distancias epicentrales entre 30 y 90º,
t* es prácticamente cte: 1s para ondas P y 5 s para ondas S
Mayor atenuación
3.7 ATENUACIÓN ANELÁSTICA DE ONDAS INTERNAS Y
SUPERFICIALES
3.7.1 Atenuación de ondas internas
• Se desconoce la amplitud en el foco Método de las dos
estaciones (observaciones a lo largo de caminos de onda
similares)
 A2 (ω ) 
 = ln C − γ (ω ) ∆ x
ln
 A1 (ω ) 
γ(ω) es la atenuación total de la amplitud con la distancia
horizontal y C depende de la dispersión geométrica
γ(ω) = ω ∆ x/(2 α Q ) conα y Q valores medios
• Obsérvese la diferencia en la atenuación debida a dispersión
geométrica y atenuación anelástica.
3.7 ATENUACIÓN ANELÁSTICA DE ONDAS INTERNAS Y
SUPERFICIALES
3.7.2 Atenuación de ondas superficiales
• Atenuación anelástica de ondas sup. con distancia y tiempo
se expresa por los coeficientes γe y γt

 x 
u( x ) ≈ A exp  γ e x + iω  − t  
 c 


 x 
u(t ) ≈ A exp  γ t t + iω  − t  
 c 

γe =
ω
2cQe
y γt =
ω
2Qt
• Para ondas dispersadas, si ω o es la frecuencia instantánea, para
valores dados de x y t, el tiempo que las ondas tardan en viajar
a través del medio es t = x /U. Entonces la atenuación en t y x es:
 ωot 
 ωo x 
 = A exp −
 se deduce que:
A exp −
 2Qt 
 2UQe 
1 U 1
=
Qt
c Qe
3.7 ATENUACIÓN ANELÁSTICA DE ONDAS INTERNAS Y
SUPERFICIALES
3.7.2 Atenuación de ondas superficiales
• Si el semiespacio es homogéneo, las ondas Rayleigh no se
dispersan 1
1
1
=m
+ (1 − m)
con
QR
Qα
Qβ
(2 − b)(1 − b)
m=
con a =
(2 − b)(1 − b) − b / [a (1 − a )(2 − 3b)]
2
 c
 c
  yb=  
 α
 β
2
y c es la velocidad de las ondas Rayleigh.
• En un medio estratificado o uno con v=v(r) QR y QL
dependen de Q α, Q β, α(r) y β(r) y como r = r (ω ) QR(ω) y QL (ω).
3.7 ATENUACIÓN ANELÁSTICA DE ONDAS INTERNAS Y
SUPERFICIALES
3.7.2 Atenuación de ondas superficiales
• Usando el método de las dos estaciones:
 A2 (ω )  1  sen∆ 2 
ln
 = ln
 − γ (ω ) ∆ x
 A1 (ω )  2  sen∆ 1 
∆: distancias angulares desde el epicentro a las estaciones.
∆ x: distancia entre las estaciones.
γ(ω): atenuación anelástica de las ondas superficiales a lo largo de
la distancia entre las dos estaciones para cada frecuencia.
• Puedo obtener valores de Q a partir de:
ω
γe =
2cQe
3.8 LA ATENUACIÓN DE LAS ONDAS CODA
Ondas Coda: Ondas observadas al final de un sismograma
(Jeffreys, 1929).
Ondas de terremotos próximos que llegan tras las ondas Lg y
con Amplitudes exponencialmente decrecientes con t (Aki, 1969).
3.8 LA ATENUACIÓN DE LAS ONDAS CODA
• La atenuación se produce por dos mecanismos diferentes:
1. Anelasticidad:
Fricción interna (atenuación intrínseca o anelástica)
2. Scattering de ondas (obstáculos, heterogeneidades).
La energía se distribuye en el espacio y no llega al pto
de observación
• La atenuación total está dada por el factor Q de coda o Qc
Qi :atenuación intrínseca ≅ Qβ, las coda son
1
1
1
transversales, principalmente.
=
+
Qc Qi Qs
Qs :atenuación por scattering
v y ω velocidad y frecuencia, g = ∆I / (I L ) coef.
gv
1
=
de dispersión (energía de las ondas I y fracción (∆ I)
QS
ω
que se pierde al cruzar una capa de espesor L con heterog.
3.8 LA ATENUACIÓN DE LAS ONDAS CODA
• Muchos métodos para explicar atenuación de coda
Difusión pura (Qc = Qi)
Scattering simple y múltiple con interacción compleja de ondas
en obstáculos y heterogeneidades
• La atenuación de las ondas coda permite determinar:
Anelasticidad (Qi)
Heterogeneidad (Qs)
n
 ω
 ωt 

Qc (ω ) = Qo 
 con
A(ω , t ) = Ao exp −
 ωo 
 2Qc 
Qo : valor de
0.2 < n < 0.4 para altos valores de Qo
Q a ωo
n ≅ 1 para valores bajos de Qo
3.8.1 LA ATENUACIÓN EN LA TIERRA
• Determinación de la distribución de Q en el interior de la Tierra.
• Inversión simultánea de atenuación y velocidades.
• Se usan amplitudes de ondas internas, P, S, PcP, ScS,
superficiales, Rayleigh, Love y oscilaciones libres de la Tierra.
• Modelo SL8 (Anderson y Hart, 1978): Distribución de Q
Litosfera: 0 – 80 km con valores de 200 < Qβ < 500
Manto Superior: 80 – 250 km con valores Qβ ≅ 110
Manto Inferior: 500 – 2880 km con valores 150 < Qβ < 500
Núcleo Externo: Qβ ≅ 0
Núcleo Interno: 400 < Qβ < 800
QK = ∞ en el manto y QK = Qµ en el núcleo interno.
3.8.1 LA ATENUACIÓN EN LA TIERRA
• Debida principalmente a disipación de energía en movimientos
de cizalla
Corteza: Q ≅ 160
Bajo la corteza (50-100km): Q ≅ 500
Astenosfera (100-200 km): Q ≅ 125
• Qc relacionado con las condiciones
de la corteza superior.
• En las capas superficiales hay
fuertes variaciones de Qc (120-600)
• Alto Qc corteza homogénea (estable)
• Bajo Qc corteza heterogénea (inestable)
Qc
Sismicidad
Modelo SL8
3.9. PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS EN MEDIOS
ANISOTROPOS
• Los materiales de la Tierra no son isótropos.
• La desviación de isotropía es pequeña pero implica efectos
en la propagación de las ondas sísmica.
Cuerpo Elástico Isótropo:
τij = Cijkl ekl
Cijkl = λδij δkl + µ (δik δjl + δil δjk)
con:
C1111 = C2222 = C3333 = λ+ 2 µ
C1122 = C1133 = C2233 = λ
C1212 = C1313 = C2323 = µ
Y la energía relativa a la deformación es:
W = ½ λ (e11 + e22 + e33)2 + µ eij eij
3.9. PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS EN MEDIOS
ANISOTROPOS
CUERPO NO ISÓTROPO:
• El tensor de elasticidad tiene 21 componentes idptes.
•El número se reduce si hay alguna simetría:
9 para simetría ortorrómbica.
5 para simetría hexagonal.
3 para simetría cúbica.
La simetría hexagonal se usa frecuentemente en sismología.
Tiene un eje principal y se denomina simetría transversal.
C1111 = C2222 = A
C3333 = C
C3311 = C3322 = F
C2323 = C1313 = L
C1212 = N
C1122 = C2211 = A - 2N
3.9. PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS EN MEDIOS
ANISOTROPOS
CUERPO NO ISÓTROPO:
• La energía relativa a esta deformación está dada por:
W = ½ A (e211 + e222 ) +½ C e233 + F (e11 + e22)e33+
+(A-2N)e11 e22 + ½ L (e213 + e231 ) + N e212
Casos en los que podemos usar esta anisotropía en la Tierra:
.- Medios finamente estratificados con prop. elásticas alternando
entre capa y capa (eje principal perpendicular a las capas).
.- Material con fracturas alineadas en una dirección particular
(eje principal)
3.9. PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS EN MEDIOS
ANISOTROPOS
3.9.1 Ondas Internas
Eje principal en la dirección x3 y onda monocromática plana
propagándose en x3 y x1
  x3  
ui = Ai sen  ω  − t  

  c
  x1  
ui = Bi sen  ω  − t  

  c
Considerando la propagación en x3 se puede ver que aparecen
dos velocidades diferentes. Una con componente A3
correspondiente a una onda P con velocidad α = (C/ρ)½ y otra
con componentes A1 y A2 correspondiente a una onda S con
velocidad β = (L/ ρ)½
3.9. PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS EN MEDIOS
ANISOTROPOS
3.9.1 Ondas Internas
  x3  
u = (0,0, A3 ) sen  ω  − t   ; α = (C / ρ) 1/ 2

 α
  x3  
S
ui = ( A1 , A2 ,0) sen  ω  − t   ; β = ( L / ρ) 1/ 2

  β
P
i
Propagación similar
al medio isótropo
Considerando la propagación en x1 se puede ver que aparecen
tres velocidades diferentes. Una con componente B1
corresponde a una onda P con velocidad α = (A/ ρ)½ . B2 y B3 son
perpendiculares a la dirección de propagación y corresponden a
Ondas S diferentes, una en dirección x2 con velocidad β1 = (N/ ρ)½ y
otra en dirección x3 y velocidad β2 = (L/ ρ)½
3.9. PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS EN MEDIOS
ANISOTROPOS
3.9.1 Ondas Internas
  x1  
u = ( B1 ,0,0) sen  ω  − t   ; α = ( A / ρ) 1/ 2

 α
P
i
S1
i
  x1  
= (0, B2 ,0) sen  ω 
− t   ; β1 = ( N / ρ) 1/ 2
  β1  
S2
i
  x1

= (0,0, B3 ) sen  ω 
− t   ; β2 = ( L / ρ) 1/ 2

  β2
u
u
• Medio anisótropo con simetría hexagonal Ondas P se propagan
con diferentes velocidades a lo largo del eje principal de simetría (x3)
y a lo largo de una dirección perpendicular a él (x1).
• En el primer caso (x3), hay un solo tipo de onda S y en el segundo (x1)
hay dos. S1 corresponde a SH y S2 corresponde a SV propagándose a
dos velocidades diferentes (división de la onda S).
3.9. PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS EN MEDIOS
ANISOTROPOS
3.9.1 Ondas Internas
En la Tierra la división
de la onda S se da para
medios con un fino
apilamiento de capas con
rigideces altas y bajas
alternativas
Propagación de ondas P y S
En general tenemos tres tipos de onda propagándose:
onda cuasi-P, cuasi-SH y cuasi-SV cuyas velocidades cambian
con la simetría.
Anisotropía: Cambios en vel. P y división de onda S
3.9. PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS EN MEDIOS
ANISOTROPOS
3.9.2 Ondas Superficiales
• La anisotropía hace que muchas veces no puedan separarse
las ondas superficiales en Ondas Rayleigh y Love.
• Hay un acoplamiento de componentes que forma una onda
superficial dispersada de tipo general
Efectos de la anisotropía
.- Discrepancia entre velocidades de fase de ondas Rayleigh
y Love frente al medio isótropo.
.- Discrepancia en las velocidades de fase encontradas para
trayectorias a lo largo de diferentes azimutes en la misma región
.- Salida del plano de polarización de la onda Rayleigh de la
orientación vertical.
3.9. PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS EN MEDIOS
ANISOTROPOS
3.9.2 Ondas Superficiales
• La mayor longitud de onda de las ondas superficiales hace que
el tipo de anisotropía que las afecta este motivada por
heterogeneidades orientadas en direcciones preferentes.
• En este caso, para una propagación a lo largo de la dirección
del eje de simetría, las ondas Rayleigh se propagan a mayor
velocidad y las ondas Love a menor velocidad que en el
caso de isotropía.
• Para una trayectoria perpendicular, el efecto es opuesto.
3.9. PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS EN MEDIOS
ANISOTROPOS
Anisotropía en la Tierra
• Se han observado fundamentalmente dos tipos de anisotropía:
.- Transversal: dirección vertical y debida a estratificaciones o
alineamientos horizontales de naturaleza mineralógica o
estructural
Provoca división de la onda S, retrasos en SV y SH, y veloc.
de fase diferentes para las ondas Rayleigh y Love
.- Azimutal: Debida a alineamientos preferentes de cristales,
grietas o heterogeneidades a lo largo de un azimut dado.
Provoca cambios en las velocidades de propagación de las
ondas a lo largo de la trayectoria para un azimut dado en
comparación con aquellas perpendiculares a ellas.
3.9. PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS EN MEDIOS
ANISOTROPOS
Anisotropía en la Tierra
• Parte superficial de la corteza: Anisotropía debida a estratificación
de sedimentos
• Parte inferior de la corteza: Igual por estructura laminada.
• En la corteza también se observa anisotropía por grietas ya que
las grietas se orientan en la dirección de compresión y perpend.
a los esfuerzos tensionales
• Litosfera oceánica subcortical, flujo de material desde los márgenes
oceánicos que produce una orientación de cristales (anis. azimutal).
• Astenosfera: Fuerte anisotropía debida a flujo de material
(simetría por eje principal vertical mayor velocidad SH que SV
y anisotropía azimutal a lo largo de las líneas de flujo que
aumenta la velocidad de las ondas sísmicas)
3.9 PROPAGACIÓN DE ONDAS EN MEDIOS ANISOTROPOS
Anisotropía en la Tierra
• La anisotropía a profundidades inferiores a 400 km no es
apreciable y el manto inferior se puede considerar como
isótropo.
• Algunos autores consideran la zona de transición entre el
manto y el núcleo (CMB) como anisótropa (pocos datos).
• El material de núcleo interno se considera fuertemente
anisótropo con simetría hexagonal y eje principal en
la dirección del eje de rotación de la Tierra (alineación de
cristales de hierro)