calor y termodinámica

FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
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CALOR Y TERMODINÁMICA
Calor y Primer principio de la Termodinámica
Generalidades
Calor y temperatura son conceptos asociados a la sensación que producen
el contacto o la proximidad de ciertos objetos, a los que calificamos subjetivamente de fríos o calientes. Se ha visto que la temperatura es un indicador
estadístico de la energía específica (por unidad de masa) de las partículas
en las que se pueden considerar constituídos los cuerpos extensos. El calor,
como resultado de la temperatura extendida a toda la masa de un cuerpo o
sistema, puede entenderse como un tipo de energía asociada a la materia,
diferente a la energía mecánica. El sabio griego Aristóteles (384-322 AC) ya
lo consideraba como una propiedad de la materia. Mucho después, el franciscano inglés Roger Bacon (1214-1294) suponía que el calor se debía a las
vibraciones rápidas de las partículas que constituían la sustancia. Los sabios
franceses Lavoisier(1743-1794) y Laplace (1749-1827) observaron que la
propagación del calor tiene gran analogía al movimiento de un fluído que
corre a través de la materia. Estas concepciones diversas, lejos de contradecirse se complementan, como veremos a lo largo del estudio.
Cantidad de calor – calor específico
Para llevar a un cuerpo de masa m de una temperatura T a otra muy próxima T+dT es necesario entregarle una cantidad de calor dQ proporcional a la
masa y a la diferencia de temperatura, de tal modo que dQ=m.ce.dT
La constante de proporcionalidad ce se llama calor específico de la sustancia en cuestión a la temperatura T. El calor específico de la mayoría de las
sustancias puede considerarse constante dentro de ciertos límites de temperatura, sin embargo, para no perder generalidad debe tenerse presente que
siempre es una función de ésta.
La cantidad de calor se mide usualmente en calorías. La caloría (pequeña
caloría) es la cantidad de calor necesaria para elevar 1 ºC una masa de 1
gramo de agua pura de 0º a 1 ºC. El calor específico del agua queda así
1
definido como 1 cal/ºC/g a 0ºC
Teniendo en cuenta la equivalencia entre calor y trabajo mecánico cuando
1
Para elevar la temperatura de 1 g de agua de 0ºC a 100ºC hacen falta 100,5 cal.
Esto demuestra que el calor específico del agua aumenta con la temperatura
156
éste se transforma íntegramente en aquél, se puede expresar la cantidad de
calor directamente con unidades de energía, sabiendo que se producen 0,24
calorías cuando se transforma íntegramente en calor un trabajo de 1 Joule.
Equivalente
térmico del
trabajo
Esta equivalencia entre calor y energía fué determinada por el físico inglés James Prescott Joule
(1818-1889), quién midió el aumento de temperatura
que se producía en el agua de un recipiente aislado
agitada por el movimiento de un molinete, el cual a su
vez estaba accionado por una pesa que descendía
por gravedad. El aparato estaba hecho con cuidados
especiales como para hacer mínimos los rozamientos
en partes móviles fuera del líquido, que no producirían efecto computable. La energía potencial de la
pesa se transformaba así casi íntegramente en calor
al cabo del descenso.
Calorímetro de agua
Para medir las cantidades de calor de cuerpos o sistemas, se aprovecha el
principio de conservación del mismo: cuando se ponen en contacto dos
cuerpos a diferente temperatura fluye calor del más caliente al más frío hasta
que las temperaturas se igualan. La cantidad de calor perdida por el cuerpo
o sistema más caliente es igual a la ganada por el más frío. La evolución de
ambas temperaturas que convergen hacia la final de equilibrio se realiza con
leyes exponenciales que se acercan asintóticamente, aunque prácticamente
se puede considerar que el equilibrio se alcanza pasado un tiempo finito.
Como sistema de referencia se emplea generalmente una masa m 1 de agua
a temperatura bien determinada T1 en un recipiente aislado, como en la
experiencia de Joule para determinar el equivalente térmico del trabajo. En el
agua se sumerge el otro sistema, de masa m2 a una temperatura T2 . El
equilibrio se alcanza a temperatura final Tf de manera que ∆Q1=-∆
∆ Q2, o sea
m1.c1.(T1-Tf) = -m2.c2.(T2-Tf) . El conjunto es una calorímetro de mezclas.
Termómetro y temperatura
La temperatura se mide de ordinario con un termómetro de dilatación,
aparato que emplea la propiedad de algunos líquidos (mercurio o alcohol
absoluto) de aumentar de volumen por el calor en forma proporcional a la
temperatura (véase más adelante, dilatación de los líquidos por el calor). Al
aumentar el volumen del mercurio de la ampolla (bulbo) éste desplaza al que
está en el tubo de sección constante. Se gradúa el termómetro con una escala lineal cuyo cero corresponde al extremo de la columna mercurial colocando todo el termómetro en hielo fundente, y asignando el valor cien a lo
que marca todo el aparato en el vapor en equilibrio en agua en ebullición a
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2
la presión atmosférica normal . Esta escala se llama de Celsius o centígra3
da. La temperatura en grados Celsius o Centígrados (ºC), se relaciona con
la temperatura absoluta T a través de la relación T=t+273. Como se recuerda, la escala absoluta (en grados Kelvin) se define en base a la ecuación de
los gases ideales T=p.v/n/R, por la cual el producto de la presión y el volumen ocupado por un gas es proporcional a una variable que es una medida
macroscópica de la energía interna del gas. Más adelante veremos que la
escala absoluta de temperaturas queda también definida por consideraciones termodinámicas, por lo cual también se la llama “escala termodinámica”.
4
En países anglosajones aún se usa la escala termométrica Fahrenheit (ºF),
que asigna al agua hirviente el valor 212ºF y al hielo en fusión 32ºF. Está
completamente abandonada la antigua escala de temperaturas Reaumur,
cuyo cero coincide con el de la escala centígrada, pero que divide al intervalo entre hielo y vapor de agua hirviente en 80 partes en vez de cien.
Ejemplo: Un trozo de metal de 900g calentado en contacto con agua hirviente se
sumerge en un calorímetro muy bien aislado que tiene 1 litro de agua a 15ºC. La
temperatura del agua asciende hasta estabilizarse en 23ºC. ¿Cuál es el calor específico del metal?
Solución: Planteamos la ecuación calorimétrica de equilibrio
m1.c1.(t1-tf) = -m2.c2.(t2-tf)
para m1=1Kg, m2=0,9Kg, t1=15ºC t2=100ºC tf=23ºC
c2/c1 = m1/m2.(tf-t1)/(t2-tf) = 1/0,9 x (23-15)/(100-23) = 0,11
Respuesta: el calor específico del metal es algo mayor que un décimo del del agua
Dilatación de los cuerpos por el calor
Todos los cuerpos se dilatan por el calor. Esa dilatación es relativamente
pequeña en los sólidos, mayor en los líquidos y mayor aún en los gases. De
estos últimos hemos ya estudiado las relaciones entre temperatura, presión y
volumen, así que nos dedicaremos ahora a los dos primeros.
Dilatación de los sólidos
Dilatación lineal
Si sometemos al calor a una varilla sólida de longitud inicial Lo a la temperatura To , observamos que su longitud crece con la temperatura T, según la
ley L = Lo + Lo.α
α.(T-To) = Lo [1+α
α.∆
∆T] . El coeficiente α se llama de dilatación lineal, y puede considerarse como una constante propia de cada material dentro de cierto rango de temperatura.
2
Cuando sólamente el bulbo del termómetro está en el sistema cuya temperatura se
quiere determinar, es necesario hacer una corrección que tenga en cuenta la diferente
dilatación de la columna (corrección por columna emergente).
3
Inventada en 1742 por el astrónomo sueco Andrés Celsius
4
Esta escala se debe al físico alemán Daniel Gabriel Fahrenheit (siglo XIX)
158
COEFICIENTES DE DILATACIÓN LINEAL DE ALGUNOS SÓLIDOS
MATERIAL
MATERIAL
α(1/ºC)
α(1/
α(1/ºC)
α(1/ )
Vidrio
0,9 x 10-5 Plata
2 x 10-5
Platino
0,9 x 10-5 Aluminio
2,6 x 10-5
-5
Hierro
1,1 x 10
Cinc
2,9 x 10-5
Cobre
1,8 x 10-5 Plomo
2,9 x 10-5
-5
Latón
2 x 10
Azufre
7,4 x 10-5
La ley anterior puede ponerse de la forma (L-Lo)/Lo=α
α.∆
∆T lo que nos dice
que el alargamiento relativo a la longitud primitiva es proporcional al aumento
de la temperatura.
Ejemplo: ¿Qué aumento de longitud se producirá en una viga de hierro que tiene 6 m
de longitud a 20ºC cuando la temperatura ambiente sube a 30ºC?
-5
-1
∆ L = L.α.(
α.(T-To) = 6m.1,1 x 10 (ºC) 10ºC = 0,66 mm
30 cm
Consideración: Si a esta viga se le impidiera dilatarse, por ejemplo empotrándole los extremos y suponiendo que no hay pandeo (flexión lateral), ejercería
una fuerza sobre los vínculos equivalente a la que le
produciría un acortamiento ε = ∆L/L = 0,66/6000 =
0,00011 . De acuerdo a lo visto en resistencia de
materiales, el acortamiento produce un esfuerzo de
compresión σ en el hierro de la viga igual a σ = E.εε =
11
6
2
2
2,2x10 x 0,00011 = 24,2 x 10 N/m = 247 Kg/cm .
Supongamos que la viga en cuestión fuera un perfil
2
de ala ancha Nº 30, que posee 121 cm de sección.
Al estar impedida de dilatarse libremente por el calor,
ejercería sobre los apoyos una fuerza de 247x121= 23887Kg
Dilatación cúbica
Considerando que un cubo de material sufrirá una dilatación lineal en cada
arista de longitud Lo con la misma ley anterior, podemos plantear la variación
de volumen del cubo con la temperatura, según la siguiente expresión:
Vo=Lo3 ; V = L3 = Lo3(1+α.∆T)3 = Lo3 [1+3.α.∆T+3.α2.∆T2+α3.∆T3]
Como α es un valor muy pequeño, se pueden despreciar los términos en los
que aparece al cuadrado y al cubo, quedando muy aproximadamente que
V≈
≈ Vo.[1+3.α
α.∆
∆T]. Comparando esta fórmula con la de la dilatación lineal se
ve que el coeficiente de dilatación cúbica equivalente vale 3 veces el de
dilatación lineal. De la misma forma se demuestra que el coeficiente de dilatación superficial resulta 2α
α
Dilatación de los líquidos
El coeficiente de dilatación de los líquidos en general varía con la temperatura, de manera que la ley que relaciona volumen y temperatura no es lineal.
El agua, por ejemplo, se contrae de 0ºC a 4ºC. De allí en adelante se dilata.
Por lo tanto a 4ºC el agua alcanza su máxima densidad. En cambio el mercu-
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rio posee un coeficiente de dilatación cúbica casi constante, igual a 2x10-4,
hecho que lo hace muy apropiado para la construcción de termómetros.
La movilidad de los fluídos y su propiedad de variar de densidad con la temperatura permite su calentamiento o enfriamiento por convección natural,
esto es por el movimiento de ascenso de porciones menos densas y el descenso de las más densas. Este mecanismo en el caso del agua, que tiene
densidad máxima a 4ºC hace que un lago enfriado por un viento helado se
congele superficialmente recién cuando toda el agua llega a 4ºC
Primer principio de la Termodinámica
Como recordarán, el principio de conservación de la energía mecánica
dice que en un sistema aislado, en el que no pueda entrar ni salir materia y
energía, se conserva la energía y la materia total. La energía puede pasar
de cinética Ec a potencial V y viceversa, pero su suma o total permanece
constante, es decir Ec+V=cte y consecuentemente su variación es nula, es
decir ∆(Ec+V)=0
Si el sistema está en relación con el medio externo o medio ambiente, puede haber con éste intercambio de energía, de materia o de ambas. Se llaman
sistemas cerrados los que pueden intercambiar sólo energía con el exterior.
Si pueden intercambiar también materia se llaman sistemas abiertos. En
sistemas cerrados la energía mecánica se intercambia a través de un trabajo
L hecho a costa de la variación de su energía total. Es usual la convención
de tomar como positivo al trabajo realizado contra el medio exterior y negativo si el exterior realiza trabajo contra el sistema. Considerando una evolución del sistema desde un estado inicial i a otro final f, y con la convención
de signos antedicha es: (Vf+Ef)-(Vi+Ei)+L=0, o sea ∆(V+Ec)+L=0
Si se reconoce a la cantidad de calor ∆Q como otra forma posible de energía
además de la mecánica, podemos incluirlo en el principio de conservación,
que pasa a llamarse entonces “primer principio de la termodinámica” para
sistemas cerrados.
Tomando al flujo de calor ∆Q como positivo cuando entra al sistema y negativo cuando sale (al revés que el trabajo) resulta: ∆(V+Ec)-∆
∆Q+L=0 y también
∆(V+Ec) = ∆Q - L
La energía interna U
Hemos visto que la energía potencial V de un cuerpo rígido es igual a su
masa m multiplicada por la aceleración de la gravedad y por la altura del
centro de gravedad h con respecto a un nivel de referencia (por ejemplo el
nivel del mar). Así entonces expresamos V=m.g.h .
160
También sabemos que un cuerpo rígido de masa m cuyo centro de gravedad
se mueve a velocidad uniforme v posee una energía cinética de traslación
Ec=1/2 m.v2
La materia sólida puede modelizarse como cuerpo rígido sólo en primera aproximación, cuando se trate de cuerpos poco deformables y siempre que no estén en estudio
fenómenos calóricos. La difusión y transmisión del calor requieren un modelo de materia formada por átomos, moléculas, cristales, o partículas pequeñas en general, como
vimos para los fluídos. Sin embargo, y a diferencia de éstos, las partículas constitutivas de los sólidos están vinculados entre sí por fuerzas de cohesión (responsable de
la transmisión de esfuerzos tangenciales) que les imponen condiciones de movilidad
mucho más restringida que en el caso de los fluídos. Las partículas del sólido sólamente pueden vibrar o rotar alrededor de una posición de equilibrio y no hay transporte o convección de materia dentro del cuerpo, como puede haberlo en un fluído.
Si en vez de un cuerpo rígido consideramos a la materia de cualquier tipo
como un sistema formado por un gran número de individuos de masa m i
(i=1,2...n), distinguibles o no desde el punto de vista estadístico, cuya masa
total vale m=Σ
Σmi, y que poseen velocidades individuales vi si se trata de un
fluído y energías de deformación y vibración ui en el caso de sólidos, resulta
que además de la eventual energía potencial o cinética de traslación del
conjunto, debe considerarse la suma de la energía individual de cada una de
sus partes, que puede ser cinética Ec’=Σ
Σ ½ mi.vi2 o también la suma de la
energía potencial y de vibración de cada partícula V’=Σ
Σui
A toda esa energía que no proviene del movimiento o la posición del centro
de gravedad del sistema, sino de la suma de las energías individuales de los
elementos constitutivos del mismo, la llamaremos energía interna U, y en
nuestro caso será U = V’+E’ c
Así entonces la energía total de un sistema vale Et = Ec + V + U
Entonces el primer principio de la termodinámica se escribe:
∆V + ∆Ec + ∆U = ∆Q – L
En el caso frecuente de que el centro de gravedad del sistema en estudio se
mantiene inmóvil a través de los cambios o transformaciones que va sufriendo, será Ec=0 y ∆V=0 , en cuyo caso el primer principio de la termodinámica
puede expresarse en la forma ∆Q = ∆U + L
Trabajo
El término L que figura en el primer principio se genera cuando un sistema
cambia de volumen (se expande o se contrae) bajo una determinada presión. Esa presión que actúa sobre una superficie se traduce en una fuerza,
que ejecuta trabajo al desplazarse por la expansión o la compresión que
sufre el sistema.
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
161
El ejemplo más claro es el de un gas encerrado en
un cilindro de superficie S con un pistón móvil. La
fuerza que el gas ejerce sobre el pistón vale p.S . Si
el
pistón se desplaza un trecho dx hacia afuera, el
dx
sistema ejecutará contra el medio un trabajo
dL=p.s.dx , pero S.dx es el volumen dv barrido por el pistón en su carrera
infinitesimal. Así entonces dL=p.dv.
p
S
En una evolución finita entre dos volúmenes v1 y v2 el trabajo total será
v2
L1,2 = ∫ p.dv
v1
Evolución isotérmica
Así, en el caso de un mol de gas perfecto a temperatura constante (evolución isotémica), la expansión entre volúmenes v1 y v2 produce un trabajo
igual a dL=RT/v.dv=RT d(lnv), con lo cual L1,2 = R.T.ln(v2/v1)
Ejemplo: ¿Qué trabajo entrega al medio una masa de 1 Kg de aire que evoluciona a
20ºC (293 ºK) desde un volumen inicial al doble de éste?
L1,2 = n.R.T.ln(2) = 1Kg / 0,0144 Kg/mol x 8,3 J/ºK/mol x 293ºK x 0,693 = 117060 J
Como la evolución es isotérmica, es nula la variación de energía interna. Entonces, de
acuerdo al segundo principio debe ser ∆Q=L , es decir que el trabajo se ha efectuado
a costa del calor que ha ingresado en el sistema, necesario para mantener la temperatura constante durante la evolución.
Energía interna y temperatura:
Que la energía interna U depende de la temperatura se desprende de las
consideraciones anteriores. Existe una célebre experiencia realizada por
Joule para comprobar si la energía interna de un sistema depende exclusivamente de la temperatura. Se dispone en un calorímetro de agua perfectamente aislado térmicamente (con paredes que no pueden conducir el calor) dos botellones de gas unidos por una válvula. Uno de ellos contiene gas
a presión y el otro está al vacío. Cuando se abre la válvula, el gas del lleno
pasa al vacío hasta que se igualan las presiones: el volumen pasa al doble y
la presión a la mitad. El agua del baño no acusa ninguna variación de temperatura al cabo del proceso, lo que revela que el cambio de volumen de un
gas que no realiza trabajo es adiabático, esto es sin intercambio de calor con
el exterior. El primer principio nos dice que el calor intercambiado es igual a
la variación de energía interna más el trabajo efectuado. Como calor y trabajo son necesariamente nulos en el proceso descripto, podemos afirmar
que la variación de energía interna también lo es. Como es seguro que el
volumen y la presión variaron en la evolución efectuada por el gas, y la temperatura permaneció constante, igual que la energía interna, ésta sólo puede
ser función de aquélla.
162
Una variación de energía libre responde pués a una variación de temperatura, de tal modo que dU=cv.dT. La
constante cv se llama “calor específico a volumen constante” porque coincide con ∆Q/∆T cuando el volumen de la
evolución no varía, es decir cuando el trabajo es nulo.
El resultado de la experiencia de Joule recién descripta ejecutada
con gran precisión revela sin embargo una pequeña disminución
de la temperatura del sistema. Este efecto, estudiado por W
Thomson se emplea en enfriar gases, expandiéndolos sin la
ejecución de trabajo. Se conoce como efecto Joule-Thomson, y
es explicable teniendo en cuenta que entre las moléculas de los gases reales existen
fuerzas de atracción. Para vencerlas durante la expansión se requiere efectuar una
trabajo interno a costa de la temperatura del gas.
Evolución a presión constante
Aplicando el primer principio a una evolución para un mol de gas perfecto a presión
constante, en la que L=p(vf-vi) resulta dQ=cv.dT+R(Tf-Ti)=(cv +R).dT , pero como la
evolución es a presión contante, su calor específico también lo será, es decir que
dQ=cp.dT de donde cv +R=cp, y R=cp-cv . Por supuesto que esta expresión tiene validez general, a pesar de haber sido deducida para un caso particular de evolución.
Evolución adiabática
Una evolución sin pasaje de calor (por ejemplo, un gas que se expande en
un cilindro aislado térmicamente) implica que el trabajo entregado o recibido
es a costa de la propia energía interna del sistema. Tales evoluciones se
llaman adiabáticas. Un gas que sufre una evolución adiabática lo hace según
una ley que trataremos de deducir del primer principio. Según éste es
dQ=dU+p.dv. Como dQ=0 según lo planteado, resulta dU=-p.dv. Pero vimos que dU=cv.dT, entonces cv.dT=-p.dv=-R.T.dv/v. De lo anterior sale que
cv.d[ln(T)]=-R.d[ln(v)] , e integrando resulta cv.ln(T)=-R.ln(v)+C (C = constante de integración) . Tomando antilogaritmos es (para K=ln(C))
Tcv = K.v–R , pero como T=p.v/R es pcv.v R+cv =k.R , y extrayendo en ambos
miembros la raíz cvésima queda p.v(R/cv+1) = (k.R) 1/cv = constante
Como, por lo visto en el estudio de una evolución a presión constante es
R=cp-cv, la relación entre presión y volumen de un gas perfecto que evoluciona adiabáticamente puede ponerse p.v(cp/cv)=constante. Para el aire es
cp/cv=1,4 .
Para cualquier gas es cp >cv . Es fácil darse cuenta de ello considerando que la cantidad de calor necesario para producir un mismo incremento de temperatura dT en un
sistema a volumen constante dU = cv .dT es menor que dQ = cv .dT+p.dV = cp.dT en
otro a presión constante, cuyo volumen varía durante la evolución. El primero no puede efectuar trabajo y todo el calor incide en un aumento de temperatura, mientras que
el segundo requiere más calor adicional para efectuar el trabajo contra el medio.
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
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Trabajo en una evolución adiabática
Vimos que en una evolución adiabática entre estados p1,v1 y p2,v2 se cumple
la ley p1.v1(cp/cv) = p2.v2(cp/cv) = cte
De ésta se deducen:
p2/p1 = [v2/v1]-(cp/cv)
v2/v1 = [p2/p1]-(cv/cp)
El trabajo que realiza el gas durante la evolución adiabática, en la que dQ=0
resulta por lo tanto igual a la variación de energía interna cambiada de signo,
es decir: dL=-dU=-cv.dT. Integrando entre T1 y T2 es
L1,2=cv (T1-T2)=cv.T1(1-T2/T1)
Como T1=p1.v1/R ; T2=p2.v2/R y R=cp-cv es
T2/T1=(v2/v1)(1-cp/cv) = p2/p1(1-cv/cp)
Así entonces
L1,2 = cv/(cp-cv).p1.v1.[1- (v2/v1)(1-cp/cv)] =
= cv/(cp-cv).p1.v1.[1- (p2/p1)(1-cv/cp)]
n=∞
∞
Evoluciones generalizadas – politrópicas
cualquier evolución gaseosa
p p= cte/vn n=(c-cp)/(c-cv) Prácticamente
en equilibrio que una dos puntos en el espacio p,v se puede representar con la fórn<0
mula generalizada p.v n=cte , eligiendo
adecuadamente el exponente n. Éste can=0
racteriza la evolución y se define como
n=(c-cp)/(c-cv) , donde c es el calor específico de la evolución en cuestión, definido,
como ya se vió por el cociente entre cantin<1
dad de calor intercambiado y diferencia de
n=1
n=cp/cv
temperatura, es decir c=dQ/dT
v
Esta evolución general se llama politrópica de grado n . Casos particulares
se dan como ejemplo a continuación:
•
•
•
•
Una isotérmica tiene calor específico infinito, ya que dT=0 y dQ≠
≠ 0 . De
acuerdo a la fórmula anotada antes para el exponente n, el límite de
este cociente vale 1 para c=∞
∞ y en tal caso p.v1=p.v=cte (Ley de BoyleMariotte)
Una adiabática tiene calor específico nulo, ya que dQ=0 y dT≠
≠ 0 . De
acuerdo a la fórmula, n=cp/cv , lo que está de acuerdo a lo ya visto para
este tipo de evoluciones.
Una isobárica o evolución a presión constante tiene por definición un
calor específico c=cp, con lo cual n=(c-cp)/(c-cv)=0 y entonces
p.v0=p=cte, que indica presión invariable.
En una evolución a volumen constante o isócora es c=cv de donde
n
n=∞
∞. La representación de la función p=k/v para n muy grande da un
trazo prácticamente vertical, que responde aproximadamente a una
evolución a volumen constante.
164
Función Entalpía – Trabajo de circulación – Calores de reacción
Resulta útil para estudiar evoluciones a presión constante, como las que
ocurren por ejemplo en sistemas en comunicación con la atmósfera, definir
una nueva función termodinámica llamada entalpía I = U+p.v , cuya expresión diferencial es dI = dU + p.dv + v.dp = dU + dL + dLc = dQ + dLc
De los tres términos, la suma del primero y segundo término (energía interna
y trabajo) nos da la cantidad de calor dQ. El tercer término dLc = v.dp representa el trabajo diferencial necesario para hacer circular un volumen de fluído v entre las presiones p y p+dp . Por tal motivo se
lo llama “trabajo de circulación” , para distinguirlo del
2
p2
trabajo de expansión o compresión con cambio de
volumen, que vimos vale dL=p.dv
Trabajo de
circulación
p2
∫v.dp
p1
1
p1
v2
v1
La cuestión se aprecia considerando un compresor a
pistón que aspira una masa unitaria de gas de volumen específico v1 a presión p1, lo comprime hasta p2
y lo envía a un depósito a la misma presión p2.
El trabajo total que el compresor efectúa en este ciclo es la suma de:
•
el trabajo que efectúa el medio sobre el compresor –p1.v1
•
el trabajo de compresión ∫p.dv entre v1 y v2
•
el trabajo para expulsar el gas hacia el depósito +p2.v2
Los tres términos están representados sobre el gráfico p,v por sus respectivas áreas. Se ve que la suma de estas áreas con sus signos respectivos da
la parte sombreada en celeste, encerrada por la curva de la evolución y el
eje de presiones, y que viene representada por la integral ∫v.dp definida
entre p1 y p2
La entalpía es una función potencial, es decir que no depende más que de
los estados final e inicial del sistema en cuestión. Así es que
∆I = I2-I1 = ∆U + ∆(p.v) = U2-U1 + p2.v2 - p1.v1.
La diferencia de entalpías entre estados final e inicial de un sistema mide el
flujo de calor que entra o sale mientras la presión se mantenga constante.
De tal manera, el calor específico de una evolución a presión constante, que
por definición es cp=(dQ/dT)p=cte coincide con cp=dI/dT . (Recuérdese que el
calor específico a volumen constante cv=dU/dT)
La diferencia de entalpía mide el trabajo de circulación en evoluciones de
sistemas abiertos aislados (dQ=0), por ejemplo el trabajo que se produce por
el paso del fluído que hace funcionar una turbina (agua, vapor o gas).
Termoquímica - Calores de reacción
La química pasó a ser ciencia exacta a partir de los trabajos de Lavoisier,
que establecieron los principios de conservación de la masa, y del aporte de
la termodinámica. En particular, el primer principio de la termodinámica apli-
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
165
cado a sistemas en los que se producen reacciones químicas permite trabajar con las energías térmicas de los procesos incluídos en las ecuaciones,
como veremos a continuación.
Los calores producidos en las reacciones químicas a presión atmosférica se
miden por sus respectivos saltos entálpicos.
.
Por ejemplo, se estudia en química que la combustión del carbón está representada por la ecuación C(sólido) + O2 (gas) = CO2 (gas) - 391667 J , lo
que indica que cuando 12,01 g de carbono puro (grafito o diamante) se
queman a presión constante combinándose con 32 g de oxígeno gaseoso
completamente (por eso el signo = entre ambos miembros), producen 44,01
g de dióxido de carbono gaseoso y que la reacción está acompañada desde
el punto de vista energético por una diferencia de entalpía de [(-391667)J].
El signo negativo de ∆I = I2-I1 indica que la entalpía I2 de los productos de
la reacción es menor que la entalpía I1 del sistema antes de la reacción. De
acuerdo a la convención de signos adoptada, esa cantidad negativa indica
calor que sale del sistema, o sea producido por la reacción química, que
5
como se realiza a presión contante coincide con la diferencia de entalpía .
Las reacciones que producen calor se llaman exotérmicas.
Consideremos ahora la ecuación de reducción del dióxido de carbono a
monóxido por medio del hidrógeno, que también es exotérmica
CO2 (gas) + H2 (gas) = CO (gas) + H20 (vapor) – 46670 J
La entalpía es una función potencial, o sea que sólamente depende del estado inicial y final del sistema. Por otra parte, las reacciones químicas pueden expresarse con una igualdad matemática que describe un balance entre
las masas de sustancias reaccionantes y productos de la reacción. No hay
inconvenientes en sumar ambas ecuaciones con sus términos de masa y de
entalpía como si fueran pasos intermedios hacia un estado final, resultado
de la reacción completa de 12 g de carbono más 32 gramos de oxígeno más
2 gramos de hidrógeno para obtener un mol de monóxido de carbono más
uno de agua al estado de vapor:
C(sólido) + O2 (gas) = CO2 (gas)
- 391667 J
CO2 (gas) + H2 (gas) = CO (gas) + H20 (vapor)
- 46670 J
----------------------------------------------------------------------------------------------------C(sólido) + O2 (gas) + H2 (gas) = CO (gas) + H20 (vapor) – 438337 J
Si se lleva a cabo una reacción como esa, se obtiene dentro de los límites
del error experimental una diferencia de entalpía que se ajusta a la suma de
5
A volumen constante el valor absoluto del calor de reacción es menor que la diferencia de entalpías anotada, ya que no contiene el término de trabajo de expansión. Esto
quiere decir que si quemamos carbón en un recipiente cerrado y rígido, obtendremos
menos calor que en el hogar de una caldera, o en un brasero a cielo abierto.
166
ambas, esto es 438337 J.
En 1840, el químico ruso-suizo Germán E. Hess fué el primero en señalar que el calor
producido o absorbido en una reacción química determinada es una cantidad fija e
independiente del camino o del número de pasos intermedios. Hess empleó este
principio para calcular calores de reacción combinando adecuadamente reacciones de
calores conocidos. Aunque esta “ley de Hess” es consecuencia directa del primer
principio aplicado a la química, mantiene su identidad como tal, como muchas otras
leyes y principios descubiertos antes de la teoría que viniera después a justificarlos
Segundo Principio de la Termodinámica
Si bien el trabajo puede convertirse íntegramente en calor, la inversa no es
cierta. Sólo una parte del calor puede transformarse en trabajo. Esa proporción de trabajo obtenido frente a calor empleado aumenta con la diferencia
de temperatura entre la fuente que suministra el calor (por ejemplo la caldera
de la central Costanera) y el lugar donde se sume ese calor después de
utilizado (por ejemplo el agua del Río de la Plata, que enfría el vapor de
escape de las turbinas).
En 1824, un oscuro oficial del ejército francés alejado de los asuntos militares y dedicado a cuestiones científicas y técnicas, Nicolás Leonardo Sadi
Carnot, publicó una célebre memoria donde consignó dos cuestiones principales:
a) El calor puede generar trabajo cuando fluye a través de un dispositivo
adecuado: una máquina térmica. Fluir significa escurrir, correr como lo
hace un fluido. Los fluidos circulan desde un lugar de mayor altura o presión a otro de menor nivel. Nunca al revés. Carnot reconoció que también
el calor puede considerarse como un fluido que fluye sólo si hay una diferencia de temperatura: No puede pasar calor entre dos fuentes de igual
temperatura, y menos aún puede pasar calor de lo frío a lo caliente. Este
sencillo aserto es la base de la termología moderna: se lo llama “segundo principio de la termodinámica”. Una manera de enunciarlo es que
no puede transformarse calor en trabajo mecánico si no existen dos
fuentes a temperatura diferente, así como no puede convertirse en trabajo la energía potencial del agua de un dique si no hay un lugar más
bajo donde verterla, después de su paso por las turbinas hidráulicas.
b) Toda evolución espontánea de un sistema se verifica en un solo sentido:
el que lleva al mismo a una energía menor. Además esa evolución irreversible implica necesariamente una pérdida de eficiencia tanto mayor
cuánto más irreversible sea la transformación. Esa pérdida de eficiencia o
rendimiento era la que Carnot buscaba minimizar, soñando seguramente
con un navío a vapor más eficiente que diera a Francia la supremacía en
los mares. No hay mal que por bien no venga, ya que de esta aspiración
bélica, buena para los galos y mala para sus posibles enemigos, surgió
una ciencia que indudablemente benefició a toda la humanidad. Carnot
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
167
diseñó una máquina que evolucionaba muy lentamente en forma prácticamente reversible. Si se la hacía andar ”al derecho” transformaba calor
en trabajo aprovechable en su eje. Si se invertía su sentido de marcha
funcionaba como refrigerador, bombeando calor desde la fuente fría a la
fuente caliente a costa del trabajo entregado en su eje. Carnot demostró
con un razonamiento impecable a la vez que simplísimo, que una máquina así era la de mayor rendimiento posible, solamente dependiente de la
diferencia de temperatura entre fuentes caliente y fría.
Evoluciones:
Cuando un sistema evoluciona, cambia. Cambia de lugar, de composición o de temperatura. Todos los fenómenos naturales se traducen en cambios. El vapor se calienta, se enfría, se condensa. Los gases se dilatan o se contraen. Los cuerpos se mue6
ven, caen suben o bajan. Los seres vivos nacen, crecen y mueren .
Por el contrario, los sistemas inanimados evolucionan siempre espontáneamente
hacia estados de mayor equilibrio: los cuerpos caen hacia abajo porque así van hacia
una situación de menor energía potencial, que es en definitiva una situación de mayor
equilibrio. De la misma manera el calor fluye de la fuente caliente a la fría. El azúcar
en una taza de café tiende a difundirse por todo el café, porque es la situación de
menor energía. Una ráfaga de viento desordena las hojas secas apiladas por el jardinero.
Nunca se ha observado que a partir de una taza de café dulce se forme en su fondo
un terrón de azúcar y el café pase a ser amargo. Nunca se observó que espontáneamente el viento apile las hojas secas de la plaza en montones ordenados. Nunca se
observó que se enfríe la pava y se caliente la hornalla.
Se admite sin embargo que estos ejemplos “al revés” tengan una remota probabilidad
de ocurrir. Pero es tan escasa que si alguien afirma que un hermoso cuadro es producto del azar al caerse del estante algunos frascos de pintura, será llevado al manicomio o a la cárcel.
Lo anterior nos muestra que evolución espontánea implica desorden, o lo que es lo
mismo, que ordenar un sistema requiere algo que está afuera del mismo. Un sistema
inanimado como el universo requiere pues naturalmente una fuerza ordenadora exterior. Evidentemente esa fuerza ordenadora emana del Creador, único motor inmóvil
capaz de ordenar sin desordenarse él mismo, al decir de Santo Tomás.
Es frecuente en el estudio de la Termodinámica que, como en este caso, se llegue por
necesidad en forma mucho más manifiesta que en otras ciencias al Principio Único, o
sea a Dios. La Termodinámica es, desde este punto de vista, una ciencia de categoría
superior, que se roza con la Filosofía y la Metafísica. Sus principios, no demostrables,
existen y se cumplen siempre en todo el universo. Sirven para contrastar cualquier
6
Solamente los seres vivos pueden evolucionar hacia situaciones de menor equilibrio.
La vida es eso: escalar hacia estados de organización y funcionamiento difíciles e
inestables, que van en contra del estado de equilibrio por antonomasia: la muerte.
168
teoría. Decía nuestro querido profesor Staricco que cuando una teoría falla o una
hipótesis hace agua, es casi seguro que contradice alguno de los principios de la
Termodinámica.
Evoluciones reversibles: sucesión de estados de equilibrio
Un sistema está en equilibrio interno cuando sus partes cesan de intercambiar energía. El equilibrio con el medio externo también se caracteriza por la
cesación de intercambio de energía entre sistema y medio. Desde ese punto
de vista, una evolución interna o contra el medio de un sistema en equilibrio
7
es imposible porque la fuerza o tendencia impulsora es precisamente el
apartamiento del estado final.
Carnot reconoció estos hechos en la teoría de la máquina de vapor a través
de una ley inexorable de la Naturaleza: la transformación espontánea de un
sistema es irreversible, es decir que avanza en un sentido que no admite
marcha atrás. Esta evolución sin posibilidades de volver por donde vino,
importa una pérdida de calidad en el sistema que es tanto mayor cuánto más
alejado esta del punto de equilibrio. En el caso de una máquina térmica, la
irreversibilidad de su ciclo significa un peor aprovechamiento del calor
transformado en trabajo.
Para mejorar este aprovechamiento Carnot inventó una máquina de rendimiento óptimo, haciéndola funcionar con evoluciones que no se apartaran
sensiblemente del estado de equilibrio. La sucesión de estados de equilibrio
que comportan este tipo de evoluciones las hace reversibles, porque la fuerza impulsora es casi nula y puede insensiblemente hacerse de signo contrario invirtiendo así el sentido de la transformación sin saltos.
Las evoluciones reversibles o en estado de equilibrio son las únicas que en
rigor pueden representarse por una sucesión de puntos en el diagrama (p,v
por ejemplo). Cada punto corresponde a las coordenadas de presión , volumen y temperatura iguales para todas las porciones del sistema en un instante. Por el contrario, el estado de un sistema no homogéneo, en el que hay
porciones con un par de coordenadas y otras con otro, no es representable
por un punto, ni su evolución con una línea. Algunos prefieren dibujar una
mancha y una línea borrosa, que abarque la zona probable o el estado promedio del sistema. Otros prefieren una línea punteada. Si la evolución está
muy alejada del equilibrio, deben indicarse los estados inicial y final del sistema, prescindiendo de los intermedios, que son irrepresentables con puntos
o líneas.
7
Los anglosajones llaman “driving force” a esa fuerza propulsora de la evolución del
proceso en cuestión. Por ejemplo la “driving force” de una transmisión de calor es la
diferencia de temperatura entre fuente y sumidero. La de un proceso de convección es
la diferencia de densidad.
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
169
Generalmente una evolución reversible se ejemplifica con una evolución muy
lenta. Esto es así porque la rapidez o brusquedad en la evolución de un
sistema implica inhomogeneidades y fenómenos transitorios que consumen
energía. Por ejemplo, la compresión brusca de una masa de gas en un cilindro por un pistón que avanza rápidamente supone una zona más comprimida en la vecindad de éste. Esa onda de presión se propaga por el sistema
generando una oscilación que en definitiva se amortigua con disipación de
energía. Una compresión lenta da tiempo a que a cada posición del pistón
corresponda un gas homogéneo en todo el cilindro.
Después de Carnot vinieron otros que reconocieron que la irreversibilidad era siempre
sinónimo de ineficiencia y desorden, no solo para una máquina térmica sino para
cualquier sistema. Desorden, ineficiencia e irreversibilidad son conceptos cuantificados
por una función termodinámica llamada Entropía, de la que nos ocuparemos a continuación, en forma sucinta, y con todo detalle al tratar el ciclo de Carnot.
La entropía
Un físico-matemático polaco seguidor de Carnot, Rodolfo Julio Emanuel Clausius
(1822-88), descubrió la manera de medir el desorden a través de la teoría de la máquina de vapor. Encontró que la suma de las cantidades de calor transferidas divididas
por la respectiva temperatura absoluta a la que se realizan, dan cero en el caso de
ciclos reversibles, como el de Carnot. Si todo o parte del ciclo es irreversible, esa
suma da menor que cero. Ese hecho lo llevó a relacionar reversibilidad con esa fun8
ción que es nula en un ciclo reversible y a la que llamó con la palabra entropía .
Se designa a la entropía normalmente con la letra S. Así, se define matemáticamente
a la variación de entropía de una evolución reversible en la que de transfiere una
9
cantidad de calor ∆Q a la temperatura absoluta T como el cociente: ∆ S=∆
∆ Q/T
La entropía pasó a ser más que una mera variable físico-matemática y pronto fue
relacionada con un concepto probabilístico gracias a los trabajos de Boltzmann y
Maxwell sobre gases, de los que ya hablamos en esta obra. Ambos estudiaron a los
gases desde el punto de vista microscópico. Sabían que estaban formados por enjambres de partículas (moléculas) que chocaban ente sí desordenadamente. Asemejaron
a un sistema de gran cantidad de partículas en movimiento interactivo a un bolillero
con gran cantidad de bolillas. Estudiaron como se distribuirían esas bolillas en categorías según su energía cinética. Para ello, no podían calcular la velocidad y situación de
las bolillas/moléculas siguiendo a cada una de ellas como se podría hacer si fueran
unas pocas bolas de billar en la mesa durante una carambola: eran demasiadas bolas
de billar para hacer semejante cálculo.
En cambio emplearon un método estadístico, tratando de calcular qué porcentaje del
total de moléculas tendrían velocidades comprendidas entre dos límites determinados.
Así llegaron por vía puramente teórica a la ya vista ley de distribución de las velocidades o energías de las moléculas de un gas. La teoría de Maxwell y Boltzmann coincidía bastante bien con los resultados de experimentos con gases reales.
8
9
La etimología de entropía recuerda a tendencia o dirección (tropos)
Este tema se trata más adelante en el párrafo “Ciclos reversibles – Función entropía”
170
Resultó que de esos estudios, que la probabilidad que un enjambre de partículas
tuviera una determinada distribución de velocidades estaba relacionada con la entropía, ya que ambas, probabilidad y entropía, aumentaban con la evolución natural del
sistema hacia su destino final de equilibrio. Efectivamente, ese estado final suponía
probabilidad máxima.
Y así la entropía tuvo además de la interpretación macroscópica de Clausius, una
interpretación fina o microscópica, que la relacionaba con el estado de caos natural de
los sistemas inanimados de muchas partículas.
Cuando se desarrolló la teoría de la información gracias a los trabajos del ingeniero
electrónico norteamericano Claude B. Shannon (1948) se generalizó aún más el concepto de entropía.. Información es la forma o configuración que toma una noticia o
mensaje. Información es lo contrario a desorden, caos o ruido en los datos: así se
relaciona a la degradación que sufre un mensaje con el aumento de entropía. Pero
esto es otro tema que está desarrollado al tratar sobre la transmisión de información
por ondas electromagnéticas.
La máquina de Carnot
En la época de Carnot era ampliamente conocida la máquina de vapor perfeccionada por el ingeniero escocés James Watt en 1765, sobre anteriores
10
ingenios de los ingleses Savery y Newcomen .
La máquina de vapor transformó la industria del mundo. Impulsó barcos y movió
máquinas de todo tipo, reemplazando a las velas, molinos, bueyes, caballos y....
... a la mano de obra humana. Inició así la revolución industrial, con sus ventajas
e inconvenientes. Un tema muy interesante, que seguramente estudiarán en los
cursos de Historia.
En Física nos ocuparemos de otra revolución paralela y no menos importante
causada también por la humeante máquina de Watt: El Segundo Principio
Descripción y principio de funcionamiento de una máquina de vapor
alternativa.
entrada de vapor
caja de válvulas
corredera de regulación
biela
salida
manivela o cigüeñal
pistón
vástago
cilindro
cruceta
volante
ESQUEMA DE UNA MÁQUINA DE VAPOR DE DOBLE EFECTO
10
La máquina de vapor alternativa de Watt consta de un cilindro en el que se desliza un
émbolo o pistón desde uno a
otro extremo. El pistón, en su
movimiento alternativo acciona
una rueda o volante mediante
un mecanismo de bielamanivela. El cilindro comunica
con la parte superior de un
recipiente con agua cerrado
En las primitivas máquinas de Savery y Newcomen el vapor llenaba un cilindro que
luego se enfriaba. Watt introdujo el concepto de mantener el cilindro a temperatura
constante, haciendo evolucionar al vapor fuera de éste, y eventualmente condensándolo en un recipiente aparte. Ello permitía un ciclo más rápido y ágil.
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
171
que se calienta con fuego: es la “caldera” que produce vapor de agua caliente a presión (por ejemplo 10 atm), que es el agente motriz. Cuando el pistón está en un extremo del cilindro, el vapor entra por allí a través de la válvula de admisión y desplaza
al pistón hacia el otro extremo. Antes de llegar a él se cierra la válvula de admisión y
se aprovecha la expansión del vapor que entró hasta ese momento. La expansión
continúa hasta que el pistón llega al fin del cilindro. Impulsado por la inercia del volante
el pistón vuelve en sentido contrario y barre a través de la válvula de escape al vapor
“usado”, el que escapa al aire o mejor va a un condensador. El ciclo recomienza cuando el pistón vuelve a encontrarse en el extremo primero, cerrándose la válvula de
escape y abriéndose la de admisión. La apertura y cierre cíclico de las válvulas o
lumbreras (orificios de entrada o salida de vapor) están comandadas por un mecanis11
mo de biela manivela secundario desfasable a voluntad con respecto al principal . En
las máquinas de doble efecto, el vapor entra alternativamente por uno y otro extremos
del cilindro, mejorando así su uniformidad de marcha.
Desde sus comienzos la máquina de vapor fue objeto de continuos perfeccionamientos en los materiales, forma, diseño y acabado de sus órganos (pistón, cilindro, biela,
cojinetes, doble efecto, avance de admisión y del escape, etc.), mejoras en el ciclo
térmico (agregado del condensador, aumento de la temperatura y calidad del vapor,
etc.) y mejoras en los generadores de vapor o calderas y accesorios (bombas, controles, etc.).
VÁLVULA
Los trabajos de James Watt en tal sentido
vapor
fueron tan importantes que a veces se lo
de la
vapor a la
caldera
máquina
toma como su verdadero inventor, eclipsando a Savery y Newcomen..
A Watt se debe un regulador centrífugo
que aún se usa en las turbinas para manREGULADOR DE WATT
tener la velocidad de giro independiente de
la carga mecánica de la máquina. Cuando
rueda de la máquina
ésta disminuye la máquina tiende a acelerarse, las bolas del regulador suben y a
través de un sistema de bielas tienden a
cerrar la válvula de entrada del vapor. El
fenómeno inverso ocurre cuando la máquina tiende a “quedarse” por el mayor esfuerzo exigido.
Volver a vivir
Hasta mediados de este siglo se usaban comúnmente
máquinas de vapor alternativas en locomotoras de ferrocarril, barcos, grúas y bombas de agua. Los perfeccionamientos del motor Diesel, de las turbinas de vapor y de
gas fueron desplazando a la máquina de pistón, más
rústica y confiable pero más pesada y menos rendidora.
Actualmente es muy raro ver alguna máquina de vapor
en servicio regular salvo algunas locomotoras en ferrocarriles turísticos, museos y otras curiosidades. Los que
tenemos algunos años recordamos las impresionantes
11
Este mecanismo se debe al ingeniero inglés George Stephenson (1781-1848),
quién aplicó la máquina de vapor a los ferrocarriles. Con él no solamente se regula la
velocidad, sino que hasta puede invertirse la marcha.
172
locomotoras del “Ferrocarril Central Argentino” que arrastraban al “Rayo de Sol” a más
de cien kilómetros por hora entre Buenos Aires y Córdoba.
Más historia:
En la época de Carnot y a pesar de los progresos introducidos por Watt, las máquinas
de vapor tenían dos defectos principales: eran mecánicamente imperfectas y aprovechaban mal el calor del combustible (leña, carbón). Lo primero tendió a mejorar con la
aparición de máquinas-herramienta más elaboradas para tornear los cilindros y pistones, obra de mecánicos y artesanos. Asimismo, se avanzó en el estudio y conocimiento de materiales, produciéndose piezas más resistentes y livianas. El mejor aprovechamiento del calor surgió de los estudios que realizó Carnot, como se dijo antes.
Fueron llevados a cabo tan magistralmente que trascendieron el área técnica, la termología y la física misma. Llegaron a tocar los límites del conocimiento humano y lo
conmovieron profundamente. La técnica abrió las puertas a la metafísica y detrás de la
Termodinámica apareció la refulgente firma del Creador. Ahora veremos cómo.
Las ideas de Carnot:
Desde la época de Carnot no se ha avanzado substancialmente en el estudio teórico sobre la transformación de calor en trabajo. El inolvidable Ingeniero Adolfo Cattáneo, nos decía, allá por los años cincuenta, que Carnot le
puso la tapa al tema del calor, tan perfecta y acabada fue su obra.
El ingenio de Carnot es una máquina térmica reversible que transforma calor
en trabajo mecánico (motor) o trabajo mecánico en flujo de calor (refrigerador), según el sentido de la evolución cíclica reversible de un gas ideal, limitado por dos isotérmicas y dos adiabáticas, como se muestra en el dibujo.
CICLO DE
CARNOT
adiabática
El cálculo nos enseña que en un diagrama p,v la curva representativa de una
1 ∆ Q1
evolución cualquiera p=f(v) entre dos
puntos a y b delimita un área con el eje de
los volúmenes dada por la integral ∫a,bp.dv .
2
Ya vimos que ella mide el trabajo del sisisotérmica a
4
tema contra el medio. Si el área queda a la
T1
derecha de la evolución (por ejemplo en el
caso de que el volumen aumente) el tra3
isotérmica a
bajo es positivo, o sea que se entrega al
T2<T1
∆ Q2
exterior. Por el contrario, si cuando recoV
rremos la curva vamos dejando el área a
la izquierda, el sistema recibe trabajo del exterior. Con este concepto de área
orientada positiva o negativa, resulta que el trabajo neto ejecutado por un
gas que recorre el ciclo cerrado en el sentido horario 1,2,3,4 será proporcional al área rayada, resultado de restar la evolución 4,3,1 de la 1,2,3. Por ser
reversible, el ciclo cumplido al revés (4,3,2,1) supone que el medio suministra ese mismo trabajo.
adiabática
P
Durante la evolución isotérmica reversible 1,2 el gas recibe una cantidad de
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
173
calor ∆Q1 de una fuente a temperatura T1. Esta cantidad de calor se transforma íntegramente en trabajo mecánico al expandirse entre v1 y v2. A partir
de v2 se suspende el suministro de calor a la masa gaseosa, que sigue expandiéndose adiabáticamente perdiendo así energía interna (y por ende
disminuyendo su temperatura) hasta llegar al volumen extremo v3 a la temperatura T2. El trabajo suministrado por el gas al medio externo durante la
evolución 2,3 es igual a la variación de energía interna entre T1 y T2. Desde
el punto 3 se inicia una compresión isotérmica hasta el punto 4 a costa de
trabajo exterior, cuyo equivalente pasa al sistema sin que aumente la temperatura T2 . El punto 4 donde termina esta compresión adiabática se elige de
manera que pertenezca a la adiabática 4,1 , es decir que pueda cerrase el
ciclo con una evolución en la que se entrega trabajo exterior sin permitir el
paso de calor del gas al medio. En esta evolución adiabática 4,1 se alcanzan
las condiciones iniciales p1,v1 con un trabajo igual y de signo contrario al que
el sistema suministrara al exterior en 3,4, ya que ambas son evoluciones
adiabáticas entre temperaturas iguales. Resulta así que el trabajo neto que
el gas entrega al exterior al recorrer el ciclo completo es la diferencia entre el
calor ∆Q1 que ingresa al sistema en 1,2 y el ∆Q2 que sale en 3,4
Una máquina que utilice este ciclo de evoluciones reversibles (sucesiones de estado
de equilibrio) se puede materializar con un gas dentro de un cilindro cerrado por un
pistón móvil. Éste entrega o recibe trabajo a través del clásico sistema biela manivela,
que acciona un volante, destinado a acumular energía durante las evoluciones activas
1,2 y 2,3 y devolverla al sistema en las compresiones 3,4 y 4,1 El calor entra y sale
del sistema a través de las paredes del cilindro, que está rodeado de una cámara o
camisa. Mientras el gas evoluciona entre v1 y v2 la camisa se mantiene llena de un
fluído a temperatura T1 que proviene de una caldera . Esta evolución 1,2 consiste en
una transmisión de calor desde el fluído al gas a través de las paredes del cilindro. La
velocidad de este pasaje depende de la diferencia de temperatura entre fluído
portador del calor y gas que evoluciona dentro del cilindro. Esa diferencia implica un
proceso irreversible, ya que no es una sucesión de estados de equilibrio, y que
como se verá, atenta contra el rendimiento del ciclo. Por eso Carnot imaginó una
evolución suficientemente lenta como para que se pueda considerar prácticamente
nula la diferencia de temperatura entre gas y fluído, ambos en equilibrio a T1. En 2 se
descarga la camisa del fluído portador del calor, el que vuelve a la caldera. El gas
sigue expandiéndose adiabáticamente, empujando el pistón hacia su punto muerto
inferior en 3, y enfriándose a costa de su energía interna hasta T2<T1. En ese momento, el volante de la máquina comienza a devolver parte de su energía acumulada,
iniciando una compresión isotérmica, ya que la misma está acompañada de la circulación por la camisa de un fluído a temperatura T2, que proviene de un depósito distinto
a la caldera. Dicho fluído extrae el calor Q2 desarrollado durante la compresión 3,4 ,
que se desarrolla con las mismas características de reversibilidad que la expansión
1,2, esto es a temperatura constante igual para gas y fluído. Por último, al llegar al
volumen v4 se vuelve a vaciar la camisa, quedando aislado el contenido gaseoso del
cilindro. A partir de entonces y hasta el punto muerto superior 1, el pistón recibe trabajo del volante en forma adiabática elevando por lo tanto su temperatura hasta la
inicial T1, estando entonces en condiciones de comenzar un nuevo ciclo.
El trabajo neto que entrega el motor de Carnot es la suma (diferencia de
174
valores absolutos) entre el calor ∆Q1>0 suministrado en la evolución 1-2 y el
calor ∆Q2<0 cedido en la 3-4, que de acuerdo a lo visto valen:
∆Q1 = R.T1.ln(v2/v1)
∆Q2 = R.T2.ln(v4/v3)
El refrigerador de Carnot en cambio utiliza este mismo trabajo tomado desde
el exterior para “bombear" ∆Q1+∆
∆Q2 desde la fuente fría a T2 hasta la fuente
caliente a T1
Se define como rendimiento termodinámico de una máquina térmica a la
relación entre el calor transformado en trabajo y el calor que se extrae de
la fuente caliente. En el caso del motor de Carnot su rendimiento es:
ν = (∆
∆Q1+ ∆Q2) / ∆Q1 = 1 + (∆
∆Q2 / ∆Q1 )
Aplicando las relaciones deducidas para las transformaciones adiabáticas se
demuestra que, en las fórmulas anteriores de ∆Q1 y ∆Q2 es v2/v1 = v3/v4 con
lo que el rendimiento anterior vale:
ν = (T1-T2)/T1 = 1 - T2/T1
Puede demostrarse que esta igualdad no sólo se cumple en el caso que el
medio que evoluciona sea un gas perfecto, sino también para cualquier otro
agente que pueda evolucionar en forma reversible.
Teorema de Carnot
Carnot demostró también que el valor del rendimiento de su ciclo es el máximo alcanzable para una máquina térmica que funcione entre temperaturas
extremas T1 y T2, y que ello ocurre solamente si las evoluciones que cumple
el agente son reversibles. En caso contrarío, si las evoluciones son irreversibles, el rendimiento será menor que el de la máquina de Carnot.
REFRIG
acoplamiento mecánico
MOTOR
FUENTE CALIENTE
A esta conclusión se llega imaginando dos máquinas
de Carnot Iguales, vinculadas mecánicamente a
través de un eje común, y térmicamente dependientes de las mismas fuentes fría y caliente. Sí una de
ellas funciona como motor y la otra como refrigerador, el balance entre los calores Intercambiados
entre máquinas y fuentes resulta nulo debido a ser
ambas idénticas y reversibles. Ahora bien, supongamos que reemplazamos el motor de Carnot por
otro que rinda más: un “súper-motor”
Como el trabajo mecánico transferido al refrigerador es el mismo de antes, el mayor rendiFUENTE FRÍA
miento del súper-motor que lo suministra representa una menor cantidad de calor tomado de la fuente caliente, o una
menor cantidad de calor entregada a la fuente fría, o ambas cosas a la vez.
En cualquiera de los casos, el balance calórico ya no cierra, y la fuente caliente recibe más calor del refrigerador del que entrega al motor. Asimismo la
fuente fría recibe menos calor del motor del que bombea el refrigerador. En
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
175
consecuencia la fuente caliente eleva su temperatura y la fría la disminuye
sin que se entregue al sistema trabajo mecánico neto. Ello constituye en
definitiva un pasaje espontáneo de calor de la fuente fría a la caliente, nunca
observado, lo que desacredita la hipótesis del “súper-motor” de mayor rendimiento que el de Carnot .
Si en vez de máquinas de Carnot se emplean otras que funcionen con ciclos
reversibles, se puede descomponer éstos en ciclos parciales de Carnot,
como se verá a continuación. Ello permite afirmar que sus rendimientos
serán equivalentes.
Ciclos reversibles – Función entropía
Sea un ciclo reversible de forma
arbitraria que por lo visto tiene rendimiento máximo. Cortemos su
∆ Q1
diagrama p,v con una familia de n
curvas adiabáticas, de manera de
cubrirlo totalmente con esta partiT1
ción. Luego formemos con dichas
T2
adiabáticas (n-1) ciclos de Carnot
con arcos de isotérmicas, compen∆ Q2
isotérmicas
sando debidamente las áreas encev
rradas entre las adiabáticas, las
isotérmicas y las porciones del ciclo original, de manera que el área de éste
sea igual a la suma de las de los (n-1) ciclos de Carnot., para cualquiera y
cada uno de los cuales vale la siguiente :
1 + ∆Q2/∆
∆Q1 = 1 - T2/T1
de donde
∆Q2/T2 + ∆Q1/T1 = 0
p
áreas iguales
adiabáticas
Podemos sumar las expresiones idénticamente nulas de los (n-1) ciclos,
caracterizando con exponente sup a la parte del ciclo perteneciente a la isotérmica superior y con inf la parte correspondiente a la isotérmica Inferior; con
el subíndice i caracterizando el número de ciclo correspondiente:
Para i=1 a (n-1)
Σ (∆∆Qi/Ti)sup + Σ (∆Qi/Ti)
(∆
inf = 0
Si hacemos tender a infinito la partición, las cantidades de calor ∆ Q pasarán
a cantidades elementales dQ y las sumatorlas pasarán a integrales a lo largo
de la parte superior e inferior del contorno del ciclo original, con lo cual será:
∫sup (dQ/T) + ∫inf (dQ/T) = 0
o sea que la integral a lo largo del contorno del ciclo cerrado será nula:
∫ (dQ/T)=0
A diferencia de la energía interna ∆ U, la cantidad de calor ∆ Q intercambiada en una
176
evolución depende del tipo de ésta, además de los estados inicial y final. Desde el
punto de vista matemático esto se compadece con el hecho de que Q no es una función potencial y por ende tampoco es susceptible de tener una diferencia exacta dQ.
Así entonces ∫ 1,2dQ ≠ Q2-Q1 y en cambio ∫ 1,2dU = U2-U1
La expresión ∫(dQ/T)=0 indica que en una evolución reversible la cantidad
subintegral es una diferencial exacta, o sea que existe una función S tal que
dS = dQ/T
Vimos ya que dicha función S se denomina entropía . Por ser una función
potencial su valor no depende de la evolución, sino del estado final e inicial
del sistema, es decir que se cumple: ∫1,2(dQ/T) = S2-S1
En matemáticas se usa el procedimiento de pasar de una función no potencial a otra
potencial, a través de la búsqueda de un factor (que a veces existe y otra no), que
multiplicado por el Incremento de la primera, la transforma en diferencial exacta. Se
conoce con el procedimiento del factor Integrante.
Así, la inversa de la temperatura absoluta es el factor integrante de la cantidad de
calor
Combinando primero y segundo principios queda la expresión (válida únicamente para evoluciones reversibles) :
T dS = dU + p.dv
Entropía e irreversibilidad
Para encontrar la relación macroscópica entre ambas, pensemos en un ciclo
formado por una transformación superior irreversible (de A a B) y cerrado por
otra transformación reversible (de B a A). Como vimos, en rigor no se puede
representar una transformación irreversible por una curva, así que la indicaremos con una línea gruesa difusa para significar estados no determinados
con precisión. Como el ciclo tiene una parte irreversible, en conjunto también lo es. Siguiendo un desarrollo similar al de antes y descomponiendo
este ciclo en ciclos parciales de Carnot, vale para cada uno y cualquiera de
ellos:
1 + ∆Q2/∆
∆Q1 < 1 - T2/T1
evolución reversible
Α
∆ Q1
adiabática irreversible
Β
∆ Q2
La anterior desigualdad responde a que
el primer miembro es el rendimiento de
un ciclo parcial que tiene una parte
irreversible (la isotérmica a T1), mientras que el segundo miembro es el
rendimiento de un ciclo de Carnot que
funciona entre las mismas temperaturas
y por lo tanto es mayor. De la anterior
sale que ∆Q2/T2 + ∆Q1/T1 < 0 , y tam-
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
177
bién, razonando como antes se deduce que para un ciclo irreversible es:
∫ dQ/T < 0
La integral en un ciclo cerrado se puede dividir en dos integrales:
∫ dQ/T = A∫B dQ/T + B∫A dQ/T < 0
y como la evolución de B hasta A es reversible, podemos poner que
A
dQ/T = SA-SB , y entonces
B∫
∫ dQ/T = A∫B dQ/T + SA-SB < 0
Ahora bien: supongamos que la primera evolución irreversible se realizara
sin intercambio de calor con el exterior (adiabática irreversible). Se podría
tratar por ejemplo, de una rápida compresión. Su rapidez cumpliría dos funciones: la de no dar tiempo al intercambio de calor con el exterior, y la de
generar inestabilidades e inhomogeneidades en el sistema, propias de las
evoluciones irreversibles.
Seria en tal caso dQ=0 y por lo tanto A∫ dQ/T = 0
Además, en la evolcuión reversible desde B hasta A resulta:
B
B
∫A dQ/T = SA-SB < 0
con lo que SB > SA
Esta desigualdad indica que la entropía en sistemas aislados que evolucionan en forma irreversible va en aumento. Este proceso de aumento es proporcional a la irreversibilidad de las evoluciones que se llevan a cabo en el
seno del sistema en cuestión.
Entropía. y metafísica
Si consideramos que el sistema aislado en cuestión puede ser el universo
mismo, la termodinámica está en condiciones de afirmar que la entropía del cosmos
debe ir en aumento, ya que las transformaciones espontáneas que en él ocurren son
pasos irreversibles hacia el equilibrio entre sus partes. Es imaginable que en un tiempo suficientemente largo se llegue al equilibrio térmico en todo el universo, si se admite que éste es realmente un sistema aislado. La entropía habrá llegado al máximo
posible.
En tal estado de temperatura uniforme, ninguna transformación será posible.
El hecho de que ahora se produzcan evoluciones indica que no estamos en equilibrio
y por lo tanto el universo no tiene edad infinita ni existió desde siempre, ya que de ser
así habría llegado al equilibrio.
Otra consideración que se deduce de este esquema termodinámico del universo es que el aumento de entropía actual permite remontarnos hacia atrás e imaginar el momento de la Creación, en la que Dios puso el reloj en S = 0.
Resulta así que el Segundo Principio de la Termodinámica, nacido de la
preocupación por mejorar el rendimiento de resoplantes máquinas, se transforma
sutilmente a través de los razonamIentos de Carnot y Clausius en la mágica función
Entropía, cuya evolución rige todo proceso espontáneo existente, y que como se ha
visto nos plantea cuestiones que trascienden a la ciencia y a la técnica.
178
Fluidodinámica
Primer principio para sistemas abiertos
Para prepararse para el conocimiento de la fluidodinámica, resulta oportuno
plantear el primer principio de la termodinámica en sistemas abiertos, esto es
en los que intercambian materia con el exterior.
Imaginemos un fluído que atraviesa
un tubo de sección geneQ
ralmente variable, de paredes
impermeables a la materia y al
calor, con un motor térmico en su
S1
interior que ejecuta un trabajo Lm
h2
V1
hacia el medio exterior a expenh1
Lm
sas de la energía del sistema.
Consideremos el funcionamiento
del sistema en estado de régimen, es decir en el cual todo el
fluído que entra por la sección 1 sale por la 2 (no hay acumulación ni enrarecimiento de materia en su interior).
Además sea Q el calor del exterior que el sistema recibe por cada Kg de
fluído que circula. Aplicando la fórmula del primer principio será
Q – L = U2 - U1
S2 V2
Debemos considerar que el trabajo total L desarrollado por el sistema está
compuesto por los siguientes términos:
•
El trabajo que entrega el motor Lm
•
La energía necesaria para acelerar la unidad de masa del fluído desde
la velocidad de entrada V1 hasta la de salida V2,
•
La energía necesaria para elevar cada Kg de fluído desde el nivel de
entrada h1 al de salida h2
•
El trabajo necesario para introducir un Kg de fluído de volumen específico v1 a la presión p1 y extraerlo a la presión p2 y volumen específico v2.
Como vimos este término es el trabajo de circulación Lc = p2v2 - p1v1
De tal manera es L = Lm + ½ (V
V22-V
V12) + g.(h2-h1) + p2v2 - p1v1 , lo que
reemplazado en la expresión del primer principio nos da:
Q + U1 +½ V12+ g. h1 + p1v1 = U2 + ½ V22+ g. h2 + p2v2 + Lm
Si de esta ecuación general eliminamos los términos calóricos, nos queda
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
179
una ecuación de conservación de energía mecánica:
½ V12+ g. h1 + p1v1 = ½ V22+ g. h2 + p2v2 + Lm
y si el sistema no ejecuta trabajo hacia el exterior, resulta
½ V2+ g. h + p.v = constante
ecuación que se atribuye al físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) del que
ya hemos hablado al tratar la teoría cinética de los gases.
La fórmula anterior para el caso de gases perfectos se transforma en
½ V2/g + h + R.T/g = constante.
Mecánica de los fluídos incompresibles (Hidrodinámica)
Para líquidos incompresibles el volumen específico v (de 1 Kg de fluído)
se mantiene constante en razón precisamente de su incompresibilidad, y es
la inversa de la densidad v=1/δ
δ . Así resulta la ecuación de Bernoulli de la
hidrodinámica:
½ V2/g + h + p/(δ
δ.g) = constante, o bien, para δ.g
δ. = ρ (peso específico)
V2/2/g + h + p/ρ
ρ = cte
Presiones dinámica y estática
2
Al primer término V /2/g se lo denomina usualmente “altura dinámica”, o “altura de
velocidad” . Multiplicado por el peso específico nos da la “presión dinámica” del fluído,
mientras que p es la “presión estática”, que ejerce el fluído sobre las paredes del tubo
por donde circula. En un chorro libre, o en un tubo de corriente es p=0
La ecuación anterior, es válida cuando la circulación del fluído incompresible
se realiza sin realizar trabajo hacia el medio exterior, sin que haya fenómenos calóricos (Q=0 , T=cte), y sin pérdida de energía (evolución reversible).
Esta condición de reversibilidad se cumple sólo si el movimiento del fluído se
lleva a cabo sin rozamientos dentro de la propia masa y contra las paredes
del tubo, y sin choques o remolinos en los que la energía cinética es irrecuperable en mérito al desorden que implican estos fenómenos típicamente
irreversibles.
Gasto – Ecuación de continuidad
Además de la ecuación de Bernoulli, que implica conservación de la energía,
siempre se cumple en el movimiento de los fluídos incompresibles el principio de conservación de la masa, es decir que la cantidad de fluído que ingresa por unidad de tiempo a una porción del sistema es la misma que la que
12
sale de ella . A esta cantidad se la llama gasto en la jerga técnica de los
12
Si los fluídos son compresibles (gases o vapores), la conservación del gasto puede
180
hidráulicos. El gasto G[Kg/s] se mide por el flujo de la velocidad V del
fluído de densidad δ a través de una sección cualquiera de área S por la que
pase todo el fluído. Matemáticamente hablando es G = S.V
V.δ
δ .cos (α
α) ,
siendo α el ángulo que forman entre sí la normal a la superficie considerada
y la dirección de la velocidad.
Noción de tubo de corriente
El tubo por donde circula el fluído objeto de nuestras deducciones anteriores,
puede no ser necesariamente un conducto con paredes materiales, baste
que sobre la superficie de ellas (de existencia física o virtual) no pueda entrar
ni salir fluído. Ello significa que de acuerdo al concepto de flujo de corriente,
éste debe ser nulo sobre las paredes del tubo y por lo tanto la velocidad del
fluído debe ser paralela a las paredes de este tubo, formando así lo que se
llama “tubo de corriente”. Sobre tubos de corriente se pueden aplicar los
conceptos de conservación de masa y energía que dan origen a las fórmulas
de continuidad y de Bernoulli.
Ejemplo: Estudiar el movimiento del fluído
en un vaso con un orificio en su pared.
h =h1-h2
Suponiendo que el agua del vaso de sección
S1 sale sin rozamientos por el orificio de
h2
V =Ö2.g.h
sección S2 , podemos aplicar la ecuación de
S2
Bernouilli entre la superficie, a nivel h1 que
está a la presión atmosférica p1=H , y el
punto de salida, a nivel h2 a la misma presión
exterior p2=H , resultando:
2
2
ρ , de
ρ = ½ V 2 /g + h2 + p2/ρ
½ V 1 /g + h1 + p1/ρ
2
2
donde, reemplazando valores : ½ V 1 /g + h1 + H/ρ
ρ = ½ V2 /g + h2 + H/ρ
ρ , o sea
2
2
2
2
V2 -V
V1 = 2.g (h1-h2)
de donde
V2 = 2.g (h1-h2) + V 1
[1]
Ahora bien, aplicando la ecuación de continuidad en las secciones de la superficie
libre S1 y en la del orificio de salida S2, en las que supondremos a las respectivas
velocidades del fluído V 1 y V 2 uniformes sobre las superficies y normales a las mismas (α
α =0) , resulta G1=G2=G, o sea S1.V
V 1=S2.V
V2 de donde V 1=G/S1 y de acuerdo a
2
2
2
[1] resulta V 2 = 2.g (h1-h2) + G /S1
2
2
2
Como también G=V
V 2.S2 resulta G = 2.g (h1-h2) / (1/S2 -1/S1 )
Si el orificio es muy pequeño con respecto a la superficie del vaso, es decir S2<<S1,
2
2
2
podremos poner que el denominador de la expresión anterior vale(1/S2 -1/S1 )» 1/S2 ,
2
2
con lo cual (GS2) = 2.g (h1-h2) = V 2 , de donde la velocidad de salida es la de caída
½
libre de un cuerpo desde h1 hasta h2, vale decir: V 2 = [2.g.(h2-h1)]
h1
S1
no cumplirse momentáneamente bajo regímenes no permanentes (no “estables” con el
tiempo).
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
181
En la figura se muestran en rojo las trayectorias que siguen las
partículas del fluído dentro del vaso del ejemplo. Son las líneas
de corriente, que delimitan los tubos de corriente en un movimiento sin torbellinos, dentro de los cuales son aplicables las
ecuaciones de continuidad y de Bernoulli. En azul se muestran
líneas que corresponden en tres dimensiones a superficies
cortadas perpendicularmente por los vectores velocidad, es
decir que son atravesadas por el mismo flujo. Desde el punto de
vista matemático, esta familia de curvas de igual flujo y de velocidad corresponden respectivamente a superficies de igual
potencial Φ cuyo gradiente es la velocidad, es decir V =ÑΦ
Φ
Campo de velocidades
en el vaso del ejemplo
Viscosidad de los fluídos
Vimos que entre las partículas de un fluído no hay vínculos que permitan,
como en los sólidos, transmitir esfuerzos estáticos de corte. En cambio,
cuando en un fluído hay dos capas con diferentes velocidades, se establece
una fuerza de arrastre entre ellas con una intensidad proporcional a la superficie de las capas, a la diferencia de velocidad, e inversamente proporcional a la distancia que las separa. Esta suerte de fuerza de corte interna entre
capas del fluído en movimiento se
13
llama fuerza viscosa .
F S
dy
V
V +dV
V
F = η.S.dV
V/dy
La constante η es la viscosidad del fluído , que de acuerdo a la fórmula anterior queda definida como la fuerza de arrastre en el sentido de la velocidad
relativa entre dos capas de superficie unitaria por unidad de distancia que las
separa y por unidad de velocidad relativa. La viscosidad se mide por lo tanto
2
2
en N/m /(m/s/m) = [Ns/m ]. El término dV
V/dy es el gradiente de la velocidad
en el sentido perpendicular a la misma.
La unidad de viscosidad que se emplea comúnmente es el centipoise, que
14
es la centésima parte del poise , unidad derivada del sistema cgs :
2
1 poise = 1 dina.s/cm2 = 0,001 Kg x 0,01 m/s2 x 1s /0,0001 m2 = 0,1 Ns/m
1 centipoise = 1 cp = 10-3 N.s/m 2 . El agua a 20ºc tiene aproximadamente
una viscosidad de 1 cp
La viscosidad de los fluídos depende de la temperatura. En los líquidos disminuye y en los gases aumenta, como se ve en la siguiente tabla:
13
Del latín viscosus que significa pegajoso.
En honor al físico y fisiólogo francés J. Poiseuille (1799-1869) quién estudió el
movimiento laminar de fluídos.
14
182
Tablas de viscosidades de diferentes fluídos y su dependencia con la temperatura (cp)
FLUÍDO¯ | temp®
agua
glicerina (100%)
querosén
mercurio
aire a pr.atmosf.
-10ºC
-1000
5
1,8
0,016
0ºc
1,7
900
4
1,7
0,017
10ºC
1,3
800
3
1,6
0,0175
20 ºC
1
700
2,5
1,55
0,018
15
30ºC
0,6
140
2,2
1,5
0,0185
50ºC
0,55
100
1,5
1,45
0,019
100ºC
0,28
15
0,6
1,3
0,022
Otros valores de viscosidad
Aceite mineral liviano a 15ºC
Aceite mineral pesado a 15ºC
Hielo (en glaciares)
Vidrio común a 580 ºC
10/12 cp
50/50 cp
9
10
cp
8
10
cp
Movimientos laminar y turbulento – Número de Reynolds
Cuando un fluído circula según el modelo que permitió deducir el teorema de
Bernoulli, es decir cuando las líneas de corriente corren ordenadamente sin
mezclarse, delimitando los famosos tubos de corriente, puede definirse una
función potencial Φ cuyo gradiente es la velocidad, como ya se vió. Este tipo
de movimiento se llama laminar, y en general está caracterizado por velocidades bajas y grandes viscosidades. Cuando el fluído corre superando cierta
velocidad promedio crítica, el movimiento deja de ser laminar. No se pueden
definir claramente líneas de corriente aplicables a todo el fluído porque las
trayectorias que siguen las partículas se cruzan y configuran una red de
trazos con vueltas o torbellinos, que varían continuamente de forma y posición. Se dice que en este caso el fluído está en régimen turbulento. Los
estudios realizados por el ingeniero irlandés O. Reynolds (1842-1912), permitieron relacionar el estado laminar o turbulento en la circulación de un
fluído con un parámetro sin dimensión llamado en su honor “Número de
Reynolds”, definido por Re = V.D.δ
δ/η
η , donde
V = velocidad media característica del movimiento en m/s
D = dimensión en m representativa del sistema en el que se realiza el fenómeno (diámetro del conducto para circulación en tubos, diámetro de la partícula en estudios
de arrastre de sedimentos, etc)
3
δ = densidad del fluído en Kg/m
2
η = viscosidad del fluído en N.s/m
Cuando el movimiento de un fluído tiene un número de Reynolds caracterísitico menor que 3000 puede considerarse laminar. Para Re=3000 se está en
un estado límite, entre laminar y turbulento. Con Re>3000 el movimiento
está caracterizado por líneas de corriente arremolinadas.
La determinación del estado de régimen (laminar o turbulento) es muy im15
El hielo en glaciares se funde por la presión de las capas superiores y el conjunto
funciona como un fluído de viscosidad elevada. El vidrio fluye aún a temperatura ambiente: los cristales en las ventanas añosas tienen mayor espesor en la parte inferior.
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
183
portante para determinar la resistencia a la circulación de fluídos por conductos o canales y el efecto de arrastre sobre objetos en la corriente.
Circulación por un tubo en régimen laminar
Sea un fluído que circula por un tubo de radio R en régimen laminar debido a
un gradiente de presión Π = ∆P/∆
∆x constante en el sentido del eje x del tubo.
Debido al efecto de la viscosidad, la capa de fluído pegada a las paredes
tiene velocidad nula. Las capas concéntricas hacia el centro poseen velocidades crecientes hasta llegar al eje del tubo, donde la velocidad del fluído es
máxima.
Para deducir la función de distribución de esas velocidades, consideremos,
recreando el razonamiento de M. Poiseuille, que cuando el régimen es estacionario, esto es sin aceleraciones, la
dx
fuerza viscosa F que se genera en cada
2
aro
(coloreado celeste en la figura) de
dF
ancho dx y radio r debe equilibrarse con
dr
la fuerza generada por la diferencia de
presión sobre la sección A=π
π.r2 (discos
r
x en verde). Así, en una superficie cilíndriR
ca dS a la distancia r del eje del tubo es
V
16
dF =η
η.dS.dV
V/dr para dS=2.π.
π.r.dx (aros
d 2F
en celeste) , resultando entonces:
dF = η.2.π.
π.r.dV
V/dr.dx = π.r2 Π .dx
De esta fórmula obtiene el gradiente de velocidades dV
V/dr , al que asignaremos signo negativo por que la velocidad disminuye con la distancia al eje
del tubo, según lo dicho. Así entonces es: dV
V/dr = - Π r / (2η)
η) , la que inte2
2
grada da V=- Π/(2η).r /2 + K . Para r=R es V=0 de donde K=Π/(2η).R /2 y
2 2
entonces V(r) = Π /(4η
η) (R -r ) (Fórmula de Poiseuille)
que es una parábola con un máximo en el centro del tubo.
Para calcular el flujo total, debemos integrar la velocidad por la sección desde r=0 hasta r=R , resultando así
F=o! R 2.π
π.V
V(r). r..dr = Ππ/(2η
Ππ η) o! R (R2-r2) r..dr = π.Π.R
π.Π. 4 /(8η
η) ,
Introduciendo V m como la velocidad media, resulta por definición F=π
π R2V m ,
2
de donde V m=Π.
Π.R /(8η
η) , y la caída de presión por unidad de longitud viene
dada por Π = ∆P/∆
∆x = (8η
η)/R2V m
Si se desea expresar la anterior en función del número de Reynolds
2
Re=V
V.D.δ
δ/η
η para D=2.R resulta Π = 32η
η/D2V m = ρ/D.(64/Re)..[V
V m /2/g]
16
Los vectores en rojo del dibujo corresponden a la fuerza viscosa sobre una fracción
2
del anillo, por lo cual se los ha definido como diferencial de segundo orden d F, siendo
2
dF=!d F
184
Los hidráulicos llaman a Π “pérdida de carga unitaria”, y es la diferencia de presión
que presenta un líquido por unidad de longitud al circular por un conducto. Multiplicada
por el flujo de fluído y por la longitud recorrida da la potencia perdida en el escurrimiento. La pérdida de presión entre los extremos del conducto o la canalización es por
otra parte la responsable de la circulación del mismo a la velocidad media Vm, en vez
de un movimiento acelerado, que sería el caso si no existiera la resistencia viscosa.
H
h3=+0,5m
∆x
h2=0
Ejemplo: Un tambor cilíndrico de eje vertical de
DT=1m de diámetro está lleno hasta una altura
h=(z3-z2)=0,5m de miel de abejas, de densidad
3
δ =1100 Kg/m y viscosidad η =300 cp (0,3
2
Ns/m ). La miel cae hacia los frascos por un tubo
vertical que sale hacia abajo desde el centro del
fondo del tanque de ∆ x=(h2-h1)=6 m de altura y
D=2 cm de diámetro. ¿Cuánto tiempo se tarda
en envasar toda la miel, suponiendo que no hay
que cortar el chorro entre frasco y frasco.? Considerar régimen laminar y verificar luego esto.
h1=-6m
Análisis preliminar: (hecho por Bzz, una abeja
obrera que está haciendo una maestría en fluídos viscosos): La miel circula sucesivamente por
H
dos conductos: el tanque y el tubo. Al paso por
ambos pierde energía por efecto viscoso. También pierde energía en el cambio de sección entre tanque y tubo de descarga (pérdida
por embocadura). Considerando que el recipiente es de mucho mayor diámetro que el
tubo, se puede despreciar en principio la pérdida de carga en aquél en mérito a su
escasa velocidad. En cuánto a la pérdida por embocadura, Bzz asegura que es sólo
considerable cuando el movimiento es turbulento. En tal caso la diferencia de presión
que impulsa el líquido a través del tubo, será la que hay en la base del recipiente más
la del extremo inferior de salida menos la atmosférica de salida. En la base del recipiente hay una presión, de acuerdo al teorema general de la hidrostática, igual a la
altura h del líquido en este por su peso específico ρ=δ.g,
ρ=δ. más la presión atmosférica H
que se ejerce sobre la superficie libre. Ahora bien, durante el proceso de vaciado, el
nivel h del líquido en el tanque disminuye, por lo que la presión de impulsión irá disminuyendo y consecuentemente lo mismo hará la velocidad de escurrimiento. Habrá que
deducir pues una expresión de la velocidad media V m con la altura h del fluído en el
recipiente.
Solución : Vimos que ∆ P//∆ x = 32.η
η /D2 Vm , por otra parte es ∆ x=6m, y además
∆ P = H + δ .g.(h+∆
∆ x)- H = δ .g.(h+∆
∆ x) de donde
2
Vm = ∆ P D2 /∆x
/∆ /(32.η)
η)= δ.g.(h+∆
δ
∆ x).0,02 /6/(32x0,2)=
3
2
2 2
2
[1100 Kg/m x9,8 m/s x0,02 m /6m/32/0,3 Ns/m ].[h+∆
∆ x] = 0,075 [h+∆
∆ x] (m) [m/s]
Es decir que en un primer momento la miel fluye por el caño de descarga a
0,075x6,5=0,49 m/s
El volumen total de miel a desagotar es π .1 /4x0,5 = 0,3927 m (432 Kg)
2
3
La ecuación de continuidad exige que las velocidades en el tubo y en el tanque estén
en razón inversa a la de sus respectivas secciones, así que llamando V T = -dh/dt a la
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
185
velocidad en el tanque de diámetro DT será V T/V
Vm=(D/DT) =0,0004 de donde
-5
d(h+∆
∆ x)/dt = -0,0004x0,075(h+∆
∆ x) = -3x10 (h+∆
∆ x). Integrando esta expresión y
-5
poniendo x=h+∆
∆ x nos queda ln(x) = -3x10 t +K
Cuando t=0 es h=+0,5 y x=6,5 de donde K=ln(6,5).
5
Así entonces es t = -1/3x10 .ln(x/6,5)
El tiempo que tarda en vaciarse el tanque corresponde a h=0, x=6 , o sea
5
t = -1/3x10 .ln(6/6,5) = 267 s = 4,45 minutos
2
Otro: En días cálidos la misma operación se hace en menor tiempo. Según Bzz se
debe a que la miel, como la mayoría de los líquidos, disminuye la viscosidad con la
temperatura. ¿Cuál será la viscosidad cuando el mismo tanque se vacía en 3 minutos
(180s)?.
Respuesta: el tiempo es inversamente proporcional a la velocidad de escurrimiento,
que de acuerdo a lo visto vale: V m = ∆ P D2 /∆x
/∆ /(32.η)
η) , o sea que el tiempo es directamente proporcional a la viscosidad. De tal manera si t1 y t2 son los tiempos que
tarda el envasamiento con viscosidades η 1 y η 2, resulta t1/t2=η
η 1/η
η 2 , de donde
η 2 = η 1.180/267 = 202 cp
Vicosimetros: Son aparatos que miden la viscosidad, muchos de ellos
(Ostwald, Saybolt) en base a la medida del tiempo de escurrimiento de líquidos en condiciones normalizadas, como se explica en el ejemplo anterior.
Otros aparatos se basan en la medición directa de la fuerza entre dos superficies que se desplazan a velocidad relativa constante separadas por una
distancia fija llena del líquido cuya viscosidad se desea medir.
∆ p/ρ
ρ
y1
0
2
VII /2/g
2
VI /2/g
pérdida por
embocadura
pérdida por ensanche
Escurrimiento con pérdida de carga
H
y2
2
1
∆x
VI
E
3
V II
En la figura se representa un dispositivo para estudiar el escurrimiento con
pérdida de carga. Un tanque se mantiene a un nivel H constante gracias a
una bomba y un rebalse. En su base tiene conectado un caño horizontal, de
diámetro variable con tubos verticales adosados en los que el líquido toma
una altura H mientras la salida está cerrada (principio de los vasos comunicantes). Cuando se abre la salida, el líquido escurre por el caño horizontal a
186
velocidad V y baja de nivel en los tubos hasta una altura y. Si no hubiera
rozamiento viscoso, se podría aplicar la ecuación de Bernoulli, y para los
puntos 0 en el recipiente y 1,2,3...en el caño, y se podría poner:
ρ
ρ = ½ V 3 /g + h3 + p3/ρ
ρ = ½ V2 /g + h2 + p2/ρ
ρ = ½ V1 /g + h1 + p1/ρ
½ V 0 /g + h0 + p0/ρ
2
2
2
2
Eliminando los términos h0 = h1 = h2 = h3 (el caño es horizontal) , considerando que en el recipiente es V0=0 y p0=H.ρ
ρ , y sabiendo que la presión
viene medida por la altura y en los tubos, o sea p = y.ρ
ρ , resulta:
H = V12/2/g + y1 = V22/2/g + y2 = V32/2/g + y3
De acuerdo a esto, ya que V1=V
V2 = VI debería ser y1=y2 , sin embargo, se
observa en la práctica que entre ambos puntos hay una diferencia de nivel
en los tubos que marcan la presión.
Si tenemos en cuenta que la ecuación de Bernoulli, por estar basada en el
principio de conservación de la energía, no contempla pérdidas por rozamiento, podemos asignar esa diferencia de presiones ∆p=ρ
=ρ(y1-y2) al rozamiento viscoso estudiado anteriormente.
Pérdida de carga en movimiento laminar
En efecto, para movimiento laminar (Re<3000) una medición en nuestro
aparato verificaría la ya deducida expresión de Poiseuille: ∆p// ∆ x =
32.η
η/D2V m , la que también puede ponerse en función del término de velocidad, o presión dinámica V2/2/g, de la siguiente manera (compruébese)
∆p/∆
∆x = (64/Re).. ρ/D
ρ [V
V2/2/g] = j. ρ/D
ρ [V
V2/2/g]
Puesta en esa forma, la pérdida de carga se relaciona directamente con la
2
presión de velocidad referida al diámetro, ρ/D
ρ/ [V
V /2/g] a través de un coeficiente sin dimensión que para movimiento laminar vale j = 64/Re , llamado
coeficiente de resistencia.
Así, entre dos puntos de un conducto que distan ∆x
∆ vale la ecuación:
V12/2/g + h1 + p1/ρ
ρ = V22/2/g + h2 + p2/ρ
ρ + Π .∆x
.∆
En particular, si la sección del conducto no varía en el tramo considerado, de
longitud ∆x, es (V
V1=V
V2=V
V) y la anterior queda:
ρ.(h
ρ. 1- h2) + (p1- p2) = j. ρ/D
ρ [V
V2/2/g].∆
∆x
Resistencias locales
Un conducto opone una resistencia al paso del fluído que está distribuída a
lo largo de todo el tramo. Los cambios de sección (ensanches o reducciones), los de dirección (codos y curvas), válvulas y en general todo elemento
que perturbe el flujo, oponen resistencia que se puede considerar concentra-
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
187
da en su lugar de ubicación. Resulta cómodo expresar la resistencia concentrada de un elemento a través de la longitud de caño de su mismo diámetro que produciría la misma caída de presión. Se la llama “longitud equivalente del elemento”. Por ejemplo, un codo a 90º equivale a dos o tres metros de caño. Una curva de radio largo, sólo un metro. Una válvula tiene una
longitud equivalente que va de infinito cuando está totalmente cerrada, hasta
dos o tres metros de caño, cuando está totalmente abierta, dependiendo del
tipo de cierre (esclusa, globo, aguja, mariposa, etc.).
Coeficiente de resistencia para movimiento turbulento
Los procesos en estado turbulento no pueden estudiarse con esquemas
simples como el de Poiseuille, ya que los filetes en el seno del líquido presentan formas cambiantes e impredecibles en un modelo determinista. Sin
embargo se pueden definir parámetros estadísticos como velocidades medias de las partículas al estilo de las de las moléculas de los gases.
La resistencia en régimen turbulento es sustancialmente mayor que en el
caso laminar, y la dependencia con el término de presión de velocidad no es
de proporcionalidad, y ni siquiera los une una expresión analítica sencilla.
Intervienen en la resistencia en régimen turbulento además del rozamiento
entre partículas, la interacción de éstas con las paredes del conducto, a
través mecanismos que se desarrollan en la capa de contacto, llamada “capa límite”. En base a experiencias y teorías sobre fenómenos en capa límite
se han elaborado relaciones para determinar el coeficiente de resistencia j
en función del número de Reynolds Re.
j
Zona de transición
La manera más corriente
es a través de gráficos,
Zona de régimen turbulento
64/Re
que requieren conocer el
0,05
0,04
tubos muy rugosos
tipo de superficie interior
del conducto a través de
0,03
la rugosidad de la patubos rugosos
Zona de
0,02
red. Ésta viene medida
régimen
por la profundidad de las
tubos
lisos
laminar
irregularidades que pre0,01
senta la superficie de
2
3
4
5
6
7
10
10
10
10
10
10 Re
contacto líquido/sólido. La
rugosidad inicial, dependiente del acabado interior del conducto o canalización, varía con el tiempo
debido a modificaciones físicas o químicas (suciedad, incrustaciones, corro17
sión, etc.)
0,1
17
Desgraciadamente el valor de este parámetro, absolutamente determinante en el
resultado de la resistencia, en general sólo puede estimarse groseramente.
188
Ejemplo: Se desean bombear F = 50 m /h de agua, de viscosidad η =0,001 Ns/m y
3
densidad δ =1000 Kg/m , desde el río a un tanque elevado. La cañería de hierro galvanizado nuevo (considerarla como tubo medianamente rugoso) tiene un tramo recto
horizontal de 100 m y luego sube hacia el tanque con otro tramo también recto hasta
40 m de altura, ambos de 4” de diámetro interno (d=0,102 m). ¿Qué potencia de
bombeo se necesita?
2
3
Solución: La velocidad en la cañería es V m tal que el flujo es F=π.d /4.Vm= 0,014 m /s
2
de donde V m= 4.F/π
π /d = 1,7 m/s . El número de Reynolds es Re = V m.d.δ/η
δ/η = 173371
(francamente turbulento). De gráfico sacamos j=0,024
3
2
La diferencia de presión entre la bomba y el tanque resulta de sumar la pérdida de
carga en la cañería y la diferencia de presión entre la parte más alta (h2=40 m) y el
nivel de la bomba, a nivel del río (h1=0):
2
(p1- p2) = j. ρ/D
ρ [V
V /2/g].∆
∆ x + ρ.(h
ρ. 2- h1) =
2
2
0,024.9800/0,102.[1,7 /2/9,8].(40+100) +9800.40 = 47600 + 392000 = 439600 N/m
La caída de presión en la cañería representa el 47600/439600x100=11% del total
18
La potencia necesaria es N = F. ∆ p = 50/3600x439600 = 6105 W
Movimiento relativo entre sólido y fluído
zona de presión
zona de arrastre
zona de succión
zona de remolinos
zona de arrastre
Cuando un sólido se desplaza en el interior de un fluído quieto, o cuando
19
está sumergido en una corriente, aparecen fuerzas que se oponen al movimiento
relativo debido a dos causas: la resistencia viscosa y la reacción de inercia del fluído
sobre el sólido, que lo desplaza en su movimiento relativo. La primera origina fuerzas
“de arrastre”, tangenciales a la superficie del sólido. La aceleración relativa entre fuído
y sólido, normal a la superficie de éste, genera fuerzas perpendiculares, “de presión”
en contra de la superficie, o “de succión” si la reacción es saliente.
Se comprende que las fuerzas de presión o succión dependen de la sección
del objeto en el plano perpendicular a la velocidad (sección de carena, según los
navales) y de cómo va variando esa sección a lo largo de las líneas de corriente. Las
formas suaves y alargadas del casco de un buque bien diseñado producen menos
18
Si la bomba fuera del tipo centrífugo, su rendimiento varía entre 0,6 y 0,7. Por lo
tanto el motor que la acciona debería entregar 6105/0,6 = 10 175 W = 13,82 CV
19
No es exactamente equivalente que un fluído esté quieto y en él se desplace el
sólido, a que sea el fluído el que se desplace y el sólido esté quieto. Sin embargo los
resultados pueden homologarse. En los túneles de viento se simula un avión en movimiento en aire quieto con un modelo quieto sumergido en una corriente de aire.
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
189
aceleración que una barcaza de proa plana. Las fuerzas
de arrastre dependen de la extensión y tipo de superficie
(rugosa o lisa), y de la velocidad relativa. Velocidad,
rugosidad y viscosidad determinan el tipo de movimiento
mayor succión
relativo sólido/fluído (laminar o turbulento). El régimen
laminar se caracteriza por menor relación entre fuerza
de arrastre y fuerza de presión que el turbulento, en el
que el efecto dominante es el de arrastre. En cuanto a la
capa límite turbulenta
resistencia total, suma de ambos efectos, es en general
menor a régimen turbulento y crece más que proporcionalmente con la velocidad. Si bien una superficie rugosa
menor succión
produce más fuerza de arrastre que una lisa en una
capa límite laminar, el efecto se invierte cuando una
irregularidad en la superficie genera una capa límite
turbulenta, en la que hay mucho intercambio de energía con el resto del fluído. Por esa
razón la misma se mantiene un mayor trecho pegada a la superficie y en consecuencia habrá menor succión en la parte trasera del cuerpo en movimiento. Los hoyuelos
en las pelotas del golf y la rugosidad en la piel de los tiburones crean una capa límite
turbulenta haciendo que las líneas de corriente rodeen al móvil en la parte trasera y
reduzcan la consabida succión. Detrás del cuerpo queda en general una estela de
remolinos que implica una pérdida adicional de energía. La magnitud de este efecto
depende de la forma de la cola del móvil.
La trayectoria de proyectiles en un medio fluído se aparte de la forma parabólica. Véase al respecto el análisis que se hace de este problema bajo el título “Tiro”,
en el que se usan las fórmulas de Stokes y Newton, tratadas a continuación.
capa límite laminar
Fórmulas de Stokes y de Newton
El físico y matemático irlandés G. Stokes (1819-1903), especialista en fluídos, formuló
la ley que gobierna la resistencia F de un fluído de viscosidad η sobre esferas de radio
r que se mueven a pequeñas velocidades relativas V
k=1,3
F = 6 π η r V (válida para régimen laminar).
Para velocidades grandes, se utiliza la fórmula de Newton, que expresa
2
la fuerza en función de la presión de velocidad ρ.V /2/g, la sección de
k=1
carena S y un coeficiente k que depende de la manera en que el cuerpo
desvía al fluído.
2
F=k.ρ
ρ.V
V /2/g.S
k=0,4
Para una placa plana, que transforma toda la presión de velocidad en
presión efectiva es k=1 . En cambio una semiesfera con la concavidad
hacia el frente “embolsa” el flujo, que sale con una componente en sentido contrario a
la dirección original. Esto multiplica la fuerza por un coeficiente 1 < k < 2
Una semiesfera con la concavidad hacia atrás desvía el flujo hacia los costados en
menor medida que una superficie plana, y en tal caso es k<1
Ejemplo: ¿Qué presión recibe una pared vertical sobre la que sopla un viento de 40
2
3
Km/h?. Respuesta: Aplicamos la fórmula F/S = k.ρ
ρ.V
V /2/g. con k=1, δ =1,25 Kg/m
2
2
resultando así F=1,25x(40000/3600) /2=77 N/m .
2
2
Con un viento de 100 Km/h la presión sube (100/40) = 6,25 veces, o sea 481 N/m
Se comprende que los edificios deban calcularse la presión sobre que sobre sus paredes puedan ejercer fuertes vientos.
190
Máquinas hidráulicas
(h2-h1)
Transforman en trabajo la energía
mecánica de un fluído. La más sencilla
es la rueda hidráulica, que hizo funcionar los molinos de trigo durante siglos.
Aprovecha la energía potencial de una
masa de agua embalsada a una altura
h2 que llena los espacios entre paletas
en su descenso hasta h1. El peso de
este volumen de agua genera un momento que hace girar la rueda. El
trabajo que ejecuta cada volumen v de líquido de densidad δ de peso δ .g.v
es igual a su energía potencial δ.g.v.(h2-h1). La potencia W en el eje de la
rueda vale, para N paletas por unidad de tiempo W=N.δ
δ.g.v.(h2-h1)=G(h2-h1)
siendo N.δ.
δ.g.v.= G[Kg/s] el gasto total de líquido que pasa por la máquina.
Actualmente se usa en centrales eléctricas una máquina diseñada en el
Turbina tipo
siglo XIX por el ingeniero hidráulico
FRANCIS
inglés J. B. Francis (1815-1892), que
consta de una caja espiral por donde
el agua entra tangencialmente, y un
rotor de paletas central. El agua ataca
las paletas del rotor con una dirección
controlada por una serie de paletas
Caja
paletas
fijas (álabes directores). El flujo de
espiral
del
agua describe trayectorias en espiral
rotor
rotor
hacia el centro, por donde abandona la
máquina. La reacción del cambio de
dirección del flujo sobre las paletas del
rotor genera la fuerza motora que se
transmite al eje. Con pequeñas modificaciones en la inclinación de álabes y
paletas, esta máquina trabaja como
impulsora de líquido, o sea como
bomba, cuando se le suministra trabajo en el eje mediante un motor que
la hace girar en sentido contrario al
indicado en la figura. En ese caso, las
Corona de álabes directores
paletas le confieren energía rotatoria al
líquido, que por fuerza centrífuga tiende a ir hacia la periferia recorriendo un flujo inverso al señalado, saliendo
tangencialmente por la caja espiral. Las bombas centrífugas producen una
presión en base a la energía cinética del líquido, o sea a la altura de presión
δ.V
V2/2. Por eso la altura de elevación del líquido crece con el cuadrado de la
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
191
velocidad de giro, que está en relación con la velocidad tangencial V con el
que el líquido abandona la caja espiral. El flujo, en cambio, es directamente
proporcional a la velocidad de salida. La potencia del chorro es el producto
del gasto (flujo por peso específico) y la altura de elevación, por lo cual depende de la tercera potencia de la velocidad. El rendimiento de estas máquinas es el cociente entre la potencia del chorro y la entregada en el eje por el
motor. La transferencia de energía del rotor al líquido se realiza a través del
impulso que éste recibe de las paletas. Como en cualquier canalización, en
una bomba centrífuga existen pérdidas importantes por rozamiento viscoso y
turbulento. Desde ese punto de vista el aparato puede considerarse que
produce una pérdida de carga localizada como cualquier accesorio, que se
debe restar al aumento de potencial que tomaría el fluído en una evolución
sin pérdidas, para obtener la verdadera presión de salida.
Ejemplo: Una bomba centrífuga ha sido probada con agua, arrojando un flujo de F=10
3
m /h cuando marcha a una velocidad angular de n=1450 rpm, con una altura de
elevación de h=20 m y un rendimiento η=0,6
η=
1) ¿Qué potencia debe tener el motor de accionamiento cuando bombea ácido sulfúrico concentrado (δ=1840 Kg/m3) en las condiciones apuntadas?
3
3
2
Respuesta: W=G.h/η= 10 m /h x1840 Kg/m / 3600 s/h x 9,8 m/s / 0,6 x 20 m=1670 W
2) ¿De qué orden será el diámetro del rotor y el diámetro de la boca de salida de la
bomba, suponiendo que la velocidad de salida del líquido debe ser 3 m/s? (considerar
que la velocidad del líquido es la mitad de la velocidad tangencial del rotor)
Respuesta: La velocidad V tangencial del rotor de radio R es tal que:
ω =2π
π n/60 = V /R = 151,84 rad/s, de donde R = V/ω
ω = 6 m/s /151,84 = 0,04 m (diámetro del rotor=0,08 m)
2
El diámetro de la boca de salida D debe cumplir la relación π .D /4.V
V =F , de donde
½
½
D=(4.F/π
π ) = (4.10/3600/3,14) = 0,06 m
3) ¿Qué se pude esperar si se hace funcionar la misma bomba a 1500 rpm?
a) La potencia de bombeo depende del cubo de la velocidad, así que la nueva
3
potencia será del orden de (1500/1450) x1670W=1,107x1670W=1849W. En realidad será superior a este valor en razón de que también los rozamientos crecen
con el cuadrado de la velocidad, afectando al rendimiento, que será inferior a 0,6.
b) La altura de elevación (presión a la salida de la bomba, expresada en altura de
líquido) está dada por el nivel de envío (h=20m, que es constante) más las pérdi2
das (j.V /2/g). La velocidad V depende directamente de la velocidad del rotor, así
que el gasto aumentará (1500/1450) = 1,034 veces. Las pérdidas aumentarán
2
aproximadamente (1500/1450) = 1,07 veces si se desprecia la variación del coeficiente de rozamiento j
192
Sustentación en alas
Las alas de aviones se diseñan para producir un empuje hacia arriba E que
sostenga el peso de la nave, y al mismo tiempo el menor efecto de arrastre F
E
en el sentido de avance. El flujo alrededor
S
de un ala típica se
A
F
presenta en la figura.
I
Si bien salta a la vista
B
borde de ataque
que el ala en su movimiento desplaza al aire
hacia abajo, y por
consiguiente recibirá una reacción hacia arriba, conviene hacer un análisis
más profundo para obtener resultados cuantitativos sobre la fuerza sustentadora E: Las líneas de corriente se dividen en el borde de ataque del ala y
recorren caminos diferentes para volverse a juntar en la salida en el mismo
tiempo. El camino lS por la parte superior del ala (o desarrollo superior) es
más largo que el lI de la parte inferior. Para que dos partículas de fluído que
están juntas en A se reúnan en B deben recorrer la superficie superior e
inferior del ala a velocidades VS y VI tal que VS=lls/t y VI=lli/t o sea V s/V
Vi =
ls/lli >1 de donde VS>VI. Ahora bien, la ecuación de Bernoulli aplicada entre
puntos I y S nos da la diferencia de presión entre las caras inferior y superior
:
pI + ρVI2/2/g + ρ.hI = pS + ρVS2/2/g + ρ.hS
Despreciando la pequeña diferencia de nivel (hI-hS) entre los puntos, resulta
que la diferencia de presiones entre las caras inferior y superior del ala vale:
(pI-pS) = δ/2[V
δ/2[VS2-V
VI2] , la que podemos expresar en función de la velocidad
inferior, que supondremos igual a la de avance del avión. Así entonces:
(pI-pS) = δ/2[V
δ/2[VS2-V
VI2] = δ/2.V
δ/ .VI2[(l
[(lS/llI) 2-1]
La anterior se puede poner en la siguiente forma:
∆p = δ/2/l
δ/ lI2.VI2[(l
[(lS+llI) (l
(lS-llI)] = δ/l
δ/l I2.VI2[(l
[(lS+llI)/2 (l
(lS-llI)] =
2
= δ/l
δ/l I (lS+llI)/2.V
.VI VI [ (l
(lS -llI)] .
Poniendo como longitud de desarrollo medio del ala a l=((lS+llI)/2 nos queda:
∆p/ll = δ/l
δ/lI2.VI.{V.
V. (l
(lS -llI)}
Un análisis más fino, como el que hicieron Kutta y Joukowsky a principios del
siglo XX, asimila el término entre llaves Γ={V.
V. (l
(lS -llI)} a la circulación de la
velocidad alrededor del ala. Recordemos que la circulación a lo largo de una
trayectoria es una generalización del concepto de trabajo para un vector
cualquiera. En este caso, siendo V la velocidad del fluído resulta Γ =! V .dll
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
193
Superposición de fenómenos
Los
fenómenos
de
corriente plana (en dos
dimensiones) que admiten un potencial cuyo
gradiente sea la velocidad, pueden superponerse, es decir que sus
efectos pueden sumarse punto a punto. Esto es así desde que el potencial es un escalar que depende sólamente de la posición del punto en el espacio. Cuando la superposición de efectos simples da un resultado conocido, se está en condiciones
de estudiarlo y modelizarlo a partir de sus componentes. Por ejemplo, el
resultado de sumar un torbellino o circulación más una corriente plana produce una fuerza de empuje como la de un ala, y sugiere que alrededor de la
misma deba haber una circulación de fluído. Un dipolo de corriente, que
consta de una fuente y un sumidero del mismo gasto, superpuesto a una
corriente de líneas paralelas, genera un flujo igual al que produce un sólido
ovalado dentro de la corriente. Así una forma aerodinámica (barco, dirgible,
etc.) puede simularse con un dipolo para estudiar el flujo a su alrededor. La
fluidodinámica tiene en el principio de superposición una poderosa herramienta en el planteo y solución de problemas.
Tubo de Pitot
Para medir la velocidad de la corriente en el seno del líquido sin perturbar el escurrimiento se usa el dispositivo inventado por el ingeniero hidráulico francés H. Pitot
(1695-1771), que consiste en dos tubos concéntricos de pequeño diámetro. El interior
tiene un extremo abierto de cara a
la corriente por donde recibe la
suma de la presión estática más la
2
dinámica p+δ
δ .V
V /2 . Envuelve al
primero en forma aerodinámica el
otro tubo, que está cerrado en su
extemo afilado y que posee agujeros laterales, por los que actúa
p
sólamente la componente estática
p de la presión. Ambos tubos se
conectan con el exterior por conδ .V
V 2/2
p+δ
ductos separados que llevan las
respectivas señales a los manóp
metros de medición por adentro de
un mango soporte de perfil aerodinámico. Conectado como indica la figura, el manó2
2
metro en U marca una diferencia de presión igual a p + δ .V
V /2 – p = δ.V
δ V /2
194
Tensión Superficial en los Líquidos
Introducción
Se pueden observar sobre porciones
muy pequeñas de sistemas líquidos
algunos fenómenos que no están de
acuerdo con lo visto para masas líquidas de magnitud importante:
•
La superficie libre no es un plano
Hg
horizontal muy cerca de las paredes del recipiente y en el interior
de tubos de pequeño diámetro.
Hay líquidos, como el agua, que
ascienden por tubos finos de un
material al que mojan, como vidrio
muy limpio. Otros, como el mercurio, descienden por tubos finos de
20
vidrio, al que no mojan .
•
Pequeñas porciones de líquido no
fluyen continuamente por un tubo, sino que se desprenden en forma de
gotas.
•
También se forman gotas cuando una pequeña cantidad de líquido yace
sobre un plano horizontal de un material al que no moja (agua sobre vidrio engrasado o mercurio sobre vidrio limpio)
En particular hay una gran similitud entre el llenado de una bombita de carnaval y la formación de una gota. Parecería que el líquido formara una membrana elástica en su superficie. Cuando alcanza un determinado tamaño, se
desprende el saco, formando una esfera que luego toma forma aerodinámica
con la velocidad del aire.
Resistencia de una membrana
elástica a la deformación
Una membrana elástica opone
e
2
dS1 e1
dS2
una resistencia proporcional a la
tensión. Tensión T es el cociente
dF1
entre fuerza y superficie en un
dF2
punto :T=dF/dS En general la
tensión toma diferentes valores según la dirección considerada y se define
con una función vectorial de la dirección. Los que estudian a fondo cuestiones de resistencia de materiales definen en cada punto esa función con una
20
Un líquido “moja” a un sólido cuando se extiende sobre su superficie plana sin
formar gotas. La “mojabilidad” está relacionada con las fuerzas superficiales que se
desarrollan en los líquidos, como veremos a continuación.
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
195
entidad llamada “tensor”. Nosotros consideraremos sólamente el caso de un
estiramiento igual en todas las direcciones (sin esfuerzos de corte). En ese
caso la tensión T es igual en cualquier dirección del plano de la lámina. Lo
mismo que la presión, la tensión se mide en N/m2. La superficie en la que se
reparte la fuerza que tensa una membrana depende del espesor e de la
misma, que es cada vez menor al fluir el material por el estiramiento.
Teoría de la membrana elástica
Considerando una porción de membrana elástica de radio R, la tensión siempre aumenta con el estiramiento relativo ∆ R/R0, de acuerdo a la ya vista “Ley de Hooke”
T=dF/dS=E.∆
∆ R/R0, donde E es el módulo de elasticidad del material y R0 es el radio
para T=0.
Para estirar la porción circular de membrana de radio R un incremento dR es necesario desarrollar un trabajo dL = F.dR =2.π.
π.R.e.dR.T , que está ejecutado por una fuerza
total que opone la membrana a un estiramiento en todas las direcciones. Dicha fuerza
21
vale F= 2.π.
π.R.e.T , y entonces dF/dR = 2.π
π .e..T . El espesor e varía con el radio que
R adopta la porción de membrana debido al estiramiento. Considerando que el volumen v del material se conserva, es decir que es incompresible (e inexpandible) valdrá
2
para cualquier R la expresión v=π
π R e=cte .
Esta condición se cumple a partir de un volumen inicial cuando la membrana sin esti2
2
rar tiene un radio R0 y un espesor e=. Entonces es π.R0 .e0=π.R .e , de donde
2
2
2
2
e=e0.R0 /R =K/R (para K=e0.R0 ), es decir que si el material de la membrana es
incompresible el espesor varía en forma inversamente proporcional al cuadrado del
radio de deformación que adopta por el estiramiento.
2
De acuerdo a lo visto es dF/dR = 2.π
π T.e y entonces dF=2.π
π .K.T.dR/R e integrando
esta última resulta F= -2.π
π .K.T /R + K’
La constante de integración K’ sale de considerar que es F=0 cuando R=R0 y e=e0 ,
de donde K’ = 2.π.
π.K.T/R0 y entonces F=2.π.
π.R0.e0.T..(1- R0/R)
Si se cumple la ley de Hooke (o sea si se está dentro de los límites de proporcionali2
dad) es T= E.(R-R0)/R0 , y así es F=2.π
π .e0.E.(R-R0) /R
Según esta fórmula, la fuerza necesaria para mantener una membrana tensa crece
con el radio de deformación a partir de cero para un radio R0 de la membrana sin
estirar . Cuando R es muy grande en comparación con R0, el crecimiento de F es casi
proporcional a aquél.
El cumpleaños: (comedia en un acto)
Eduardo, como buen padre, está encargado de inflar los globos de la fiesta de cumpleaños de su hijo Francisco. Elige uno de hermoso color azul intenso. Al principio la
goma es gruesa y cuesta inflarlo. Eduardo sopla con fuerza. El globo crece, y Francisco se deleita con ello. Llega un momento en que el azul se torna celeste transparente:
se nota que la goma se ha adelgazado ostensiblemente. Como en ese caso el aire
entra con menos resistencia, Eduardo, entusiasmado pensando en un récord mundial
de tamaño, sigue a pesar de las protestas del nene. Éste intuye el fatal desenlace y
grita: ¡Cuidado, Papá!..., pero ya es tarde. El espesor de la goma es tan delgado que
la fuerza se distribuye en una superficie muy pequeña. La tensión supera la cohesión
21
Para imaginar esta fuerza pensemos en la que ejerce el aro que sujeta el parche del
tambor.
196
entre partículas de la membrana. PUMM! Francisco llora, asustado por el ruido. – FIN -
Tensión superficial
A diferencia de una membrana de goma, la experiencia muestra que una membrana líquida, como la que
l
forma el agua jabonosa en
un armazón rígido, ejerce
sobre éste una fuerza proF = 2.f.ll
porcional al perímetro F=
k.2.π.
π.R. Si la comparamos
Tensión en una membrana
con la fórmula vista para una elástica
y símil de la tensión
membrana de material elássuperficial f
tico de espesor variable
e=K/R2, F= 2.π.
π.R.e.T , vemos que el mecanismo de membrana líquida funciona como si el espesor e de la capa resistente y la tensión T que soporta
fueran constantes. Una membrana así, que no conserva su volumen y que
opone siempre una misma tensión puede imaginarse formada por una capa
superficial que crece a costa del aporte de material del resto del sistema
líquido, como la capa de pintura seca que cubre los tarros abiertos, o como
la superficie de adelante de la cortina de rodillo. El asunto se relaciona con la
estructura de los fluídos, formados por moléculas que experimentan atracciones mutuas (fuerzas de Van der Waals, ya comentadas). Una molécula
del interior de la masa líquida experimentará atracciones hacia todas direcciones por igual mientras que las moléculas que están sobre la superficie
sólo serán atraídas hacia la masa de líquido, que está así cubierto de una
capa de moléculas superficiales ceñidas a su volumen en una trama inextensible. Esa capa monomolecular tiene siempre el mismo espesor, lo que explica que fuerza dependa sólo del perímetro de la región de membrana considerada. El producto f=e.T, que se mantiene constante, se llama “tensión
superficial” del líquido en cuestión, y sus unidades son fuerza por unidad de
longitud de membrana [N/m]
Medición directa de la tensión superficial
En la figura se ve un marco de alambre con un lado móvil de longitud l , que
está sostenido por la fuerza que ejerce la membrana líquida, que vale F=2.f.ll
puesto que la membrana sede de la tensión superficial se establece a ambos
lados de la lámina líquida que sostiene al alambre. En el equilibrio, cuando
el peso del alambre es igual a F su posición se mantiene y la lámina de líquido puede tener cualquier extensión, lo mismo que cualquiera puede ser la
posición de equilibrio de la cortina de rodillo si las fuerzas son iguales a ambos lados. Si el alambre es más liviano, la tensión superficial lo lleva hacia
arriba y la lámina desaparece. Si es más pesado, el alambre cae y cuando
todo el líquido ha pasado a formar parte de la membrana, ésta se rompe, si
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
197
es que antes el alambre no se desprende del resto del marco. Estas situaciones tienen su símil en el modelo de la cortina cuando las fuerzas a ambos
lados son desiguales.
La tensión superficial del agua a la temperatura ambiente vale f=0,08 N/m
3
Problema: ¿De qué diámetro debe ser un alambre de hierro (δ=7900 Kg/m ) para que
se sostenga pegado a una superficie mojada con agua?
Repuesta: Debe pesar 2xf=0,16 N por cada metro de longitud, y esto se cumple para
2
½
-3
un diámetro d tal que π .d /4.δ
δ .g = 0,16 de donde d = (0,16x4/π/δ
π/δ/g) = 1,62 x 10 m
Equilibrio de una membrana líquida. Fórmula de Laplace
También puede entenderse a la tensión superficial como energía potencial
por unidad de superficie, ya que para estirar la membrana circular de radio R
en una cantidad dR hay que efectuar un trabajo dL=F.dR=f.2.π
π .R.dR, pero
2.π
π.R.dR = dS (incremento de superficie) , y así resulta la tensión superficial
expresada como f=dL/ds [J/m2=N/m]
Se comprende que las láminas líquidas que se establecen sobre marcos de
diferentes formas adopten la configuración de energía mínima, es decir, de
acuerdo al concepto de energía superficial, la configuración de menor superficie compatible con el contorno impuesto. Por ejemplo, en el caso de un
marco plano. la forma será una membrana plana. Si el marco es alabeado, la
22
lámina líquida será una superficie con curvatura .
f.dy
α2
½ dα
f.dx.sen(dα
α 2/2)
Cuando una membrana
plana no está sujeta a la
misma
presión
sobre
dx
ambos lados se curvará
dy
para equilibrar dicha diferencia. Sea un elemento
f.dx de membrana de peso
f.dx
despreciable de dimensiodα 1 r
1
nes dx y dy, de un líquido
r2
cuya tensión superficial
vale f. La forma que
dα
α2
f.dy
adopta cuando está sometida a una presión p en
23
una de sus caras fué estudiada por el célebre Laplace , quién consideró
22
Las láminas líquidas por ser delgadas producen fenómenos de interferencia, apareciendo con colores irisados. (Véase el tema en los libros de óptica)
23
P.S. Laplace, (1749-1827)), matemático y físico francés, muy conocido por sus
198
que el elemento está en equilibrio cuando las componentes de las fuerzas
superficiales en el sentido perpendicular a la membrana equilibran la fuerza
F que produce la presión p sobre ésta, que vale F=p.dx.dy
Así resulta, según la figura, que:
2.f.dx.sen( ½ dα
α2) + 2.f.dy.sen( ½ dα
α1) = p.dx.dy
Como los senos de ángulos pequeños son equivalentes a los arcos, resulta
que la anterior fórmula puede ponerse f.dx.(dα
α2)+ f.dy.(dα
α1) = p.dx.dy
Llamando r1 y r2 a los radios de curvatura de la superficie cortada por dos
planos perpendiculares, es dα
α2=dy/r2 y también dα
α1=dx/r1 , y la anterior nos
queda f.dx.dy/r2 + f.dy.dx/r1 = p.dx.dy = f.(dx.dy).[1/r1+1/r2] , de donde
p = f .[1/r1+1/r2] ,
fórmula que nos dice que la presión deforma a la lámina según una superficie de doble curvatura. La suma de la inversa de los radios de curvatura es
proporcional a la presión de deformación e inversamente proporcional a la
tensión superficial del líquido.
r2
r1=-r2
Se deduce de la anterior que si no
hubiera diferencia de presión entre los
lados de la membrana líquida y ésta
tuviera curvatura no nula impuesta por
el marco (r1¹0 ,r2¹0), el corchete debe
anularse y consecuentemente debe ser
r1=-r2 , es decir que la superficie será
de doble curvatura, con radios de igual
valor y diferente signo.
Por ejemplo, la lámina que se forma entre dos aros dispuestos en planos paralelos es
una superficie llamada hiperboloide elíptico o de una hoja, que responde a la de área
mínima. Las secciones paralelas a los aros circulares que forman el marco son circunferencias y las secciones de planos verticales que pasan por el eje son hipérbolas
equiláteras. En un punto cualquiera de su superficie se verifica que las curvaturas son
iguales en valor absoluto y de signo contrario. En particular la circunferencia osculatriz
señalada es del mismo radio que el de la garganta del hiperboloide.
Ejemplos:
-5
1) Una pequeña gota de agua (f=0,08 N/m) tiene un diámetro de 10µm=10 m. ¿Cuál
es la presión interior?
Respuesta: la esfera es una superficie de simple curvatura, o sea r1=r2=r , así que para
2
la presión interior se cumple que p=2.f/r=2x0,08/10-5=16000 N/m
2) Una pompa de agua jabonosa (f=0,08 N/m) tiene 5 cm de radio exterior. ¿Qué
diferencia de presión la mantiene esférica?
Respuesta: En una esfera hueca la capa de líquido presenta dos superficies, que son
sede de tensión superficial: la capa externa de radio convexo re (negativo), y la capa
interna, de radio cóncavo r i (positivo). Considerando que el espesor de la pompa es
estudios sobre la estabilidad del sistema solar, aunque estudió infinidad de importantes temas. En esta obra se habla del operador de Laplace aplicado a una función
2
2
2
escalar Φ, llamado Laplaciano de Φ = Ñ Φ(x,y) = ¶2Φ/¶x + ¶2Φ/¶y
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
199
despreciable, podremos tomar re=-5cm , ri=5 cm. La presión exterior que genera una
superficie de radio re vale pe =-2.f/re . Análogamente, la presión interior que produce
una superficie de radio ri es pi =+2.f/ri. De tal manera pi-pe=2.f.(1/ri-1/re) = 4.f/r =
2
4x0,08/0,05=6,4 N/m
3) Se desea transformar 1 m·/h de agua en una niebla formada por gotas de 10µm de
radio. ¿Qué potencia se necesitará para hacer funcionar el nebulizador?
Respuesta: Podemos admitir que para formar una gota esférica de radio r se necesita
2
efectuar un trabajo igual a la energía potencial de su superficie, que vale ε =4π
π r .f
La cantidad N de gotas de radio r que salen de un volumen V de líquido de tensión
superficial f es tal que se cumple la fórmula : volumen de una gota por número de
gotas = volumen total.
3
Así entonces N.4/3.π.r = V . Entonces la energía total contenida en la superficie de la
niebla formada por N gotas valdrá
3
2
-5
E=N.ε =V.3/4/π/r .(4.π.r ).f =3.V.f/r = 3 x 1 m3.x 0,08N/m /10 m = 24000 J
La potencia necesaria (teórica, suponiendo un pulverizador perfecto) valdrá:
P = E/t = 24000 J / 3600 s = 6,7 W
Mojabilidad
Cuando un líquido moja una superficie sólida es debido a que entre sus
moléculas y las de la superficie del sólido existen fuerzas de Van der Waals,
que tienden a que el líquido se extienda sobre la superficie, venciendo a la
tensión superficial. El agua moja al vidrio limpio, y el aceite, que tiene poca
tensión superficial, moja a casi todos lo sólidos. En cambio, si esas fuerzas
sólido/líquido no superan a la tensión superficial, el líquido tiende a separarse de la pared, formándose gotas si la superficie es horizontal, o una depresión junto a una pared vertical. Se dice que en este caso el líquido no moja al
sólido. Por ejemplo, el mercurio, que tiene una gran tensión superficial, no
24
moja al vidrio ni a muchos materiales .
Capilaridad
Cerca de los bordes del recipiente que lo contiene, la superficie de un líquido
que moja a la pared asciende o trepa por la misma, ya que forma una capa
que se adhiere a la pared y arrastra por la fuerza de la membrana superficial
al porciones vecinas. Se forma al lado de la pared vertical una superficie
cóncava como la que se produciría al tratar de levantar por el borde a una
membrana adherida a una superficie plana. Si por el contrario, el líquido no
moja a las paredes del recipiente, la membrana se deprime junto a los bordes, porque el líquido no se adhiere a la paredes y las fuerzas sobre la capa
superficial están dirigidas hacia el interior de la masa líquida retenida por la
pared.
Dentro de tubos de pequeño diámetro, (llamados tubos capilares por la se24
Por afinidad química, el mercurio tiende a mojar a los metales, en especial el oro y
la plata, en un proceso parecido a la solubilización de un sólido en un líquido. Las
soluciones de metal en mercurio se llaman genéricamente “amalgamas”.
200
mejanza con un cabello, que también es un
d
tubo de pequeño diámetro), un líquido ascienh
de o desciende con respecto al nivel de la
h
superficie libre en el exterior debido a su tend
sión superficial. El ascenso o descenso capilar
se produce cuando el líquido moja o no moja
respectivamente al material del tubo, según lo
ASCENSO Y DESCENSO CAPILAR
explicado. La diferencia de nivel h es tal que
el peso de la porción del líquido por encima o
por debajo de la superficie se equilibra por la fuerza superficial, que como se
dijo vale la tensión propia de cada líquido multiplicado por la longitud a lo
largo de la cual se ejerce, en este caso el perímetro del tubo.
Así entonces es F = π.d.f = ρ.π.d
ρ.π. 2/4.h de donde f=ρ
ρ.d.h/4
Ejemplo: Dentro de un tubo de vidrio colocado en un vaso, el agua asciende 5 cm por
sobre la superficie. ¿Qué diámetro tiene el tubo?
Respuesta: d = 4.f/ρ/h = 4 x 0,08 N/m / 9800 N/m3 / 0,05 m = 0,00065 m (poco más de
medio milímetro).
Discútase la posibilidad de llenar un tanque elevado haciendo ascender el líquido por
capilaridad.
-o-o-o-
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
a
FISICA GENERAL
ÍNDICE TEMÁTICO DE LA CUARTA PARTE
CALOR Y TERMODINÁMICA – FLUIDODINÁMICA
CALOR Y TERMODINÁMICA .................................................................155
Calor y Primer principio de la Termodinámica.....................................155
Generalidades .................................................................................155
Cantidad de calor – calor específico .................................................155
Calorímetro de agua .....................................................................156
Termómetro y temperatura.....................................................156
Dilatación de los cuerpos por el calor................................................157
Dilatación de los sólidos ............................................................157
COEFICIENTES DE DILATACIÓN LINEAL
DE ALGUNOS SÓLIDOS..............................................................158
Dilatación de los líquidos ...........................................................158
Primer principio de la Termodinámica ...............................................159
Trabajo.........................................................................................160
Evolución isotérmica .................................................................161
Energía interna y temperatura:......................................................161
Evolución a presión constante ...................................................162
Evolución adiabática .................................................................162
Trabajo en una evolución adiabática.......................................163
Evoluciones generalizadas – politrópicas.......................................163
Función Entalpía – Trabajo de circulación – Calores de reacción ...164
Termoquímica - Calores de reacción ......................................164
Segundo Principio de la Termodinámica ...........................................166
Evoluciones:.................................................................................167
La máquina de Carnot ...............................................................170
Descripción y principio de funcionamiento de una
máquina de vapor alternativa. ................................................170
Teorema de Carnot.......................................................................174
Ciclos reversibles – Función entropía ...............................................175
Entropía e irreversibilidad ..........................................................176
Fluidodinámica ....................................................................................178
Primer principio para sistemas abiertos .........................................178
Mecánica de los fluídos incompresibles (Hidrodinámica) ...................179
Gasto – Ecuación de continuidad ..................................................179
Noción de tubo de corriente.......................................................180
Viscosidad de los fluídos...............................................................181
Movimientos laminar y turbulento – Número de Reynolds...........182
Escurrimiento con pérdida de carga..................................................185
Pérdida de carga en movimiento laminar .......................................186
Resistencias locales .....................................................................186
Coeficiente de resistencia para movimiento turbulento...................187
Movimiento relativo entre sólido y fluído ........................................188
b
Fórmulas de Stokes y de Newton........................................... 189
Máquinas hidráulicas ....................................................................... 190
Sustentación en alas........................................................................ 192
Tensión Superficial en los Líquidos .................................................. 194
Introducción .......................................................................... 194
Resistencia de una membrana elástica a la deformación ........ 194
Tensión superficial .................................................................... 196
Medición directa de la tensión superficial ...................................... 196
Equilibrio de una membrana líquida. Fórmula de Laplace .............. 197
Mojabilidad................................................................................... 199
Capilaridad................................................................................... 199
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
ÍNDICE ALFABÉTICO DE LA CUARTA PARTE
accesorios de la máquina de vapor171
aceite (tensión superficial) .............199
adiabática ......................................163
adiabática irreversible ....................177
adiabáticas......................................172
agua ................................................155
agua (tensión superficial) ...............197
agua (viscosidad) ...........................181
agua jabonosa (tensión superficial)196
agua y vidrio ...................................199
aguja (válvula) ................................187
aire (evolución) ...............................161
álabes directores ............................190
alas de aviones...............................192
alternativa.170. Véase Máquina de
vapor
altura de elevación (bomba) ..........191
altura dinámica ...............................179
amalgamas .....................................199
aprovechamiento del calor.............168
Aristóteles .....................................155
ascenso y depresión capilar ..........199
ascenso y descenso capilar ...........194
avance de admisión .......................171
azúcar .............................................167
Bacon, Roger ................................155
Bernoulli, Daniel .............................179
bolas de billar .................................169
bolillero (modelo de gases)............169
Boltzmann (entropía)......................169
bomba centrífuga............................191
bombas centrífugas ........................190
bombeo de agua.............................188
bombita de carnaval (gotas) ..........194
Bzz, una abeja obrera ..................184
caja espiral......................................190
caldera ............................................171
calor ................................................155
Calor ...............................................155
calor específico ............................155
calor específico a volumen constante
....................................................162
calor producido (reacción)..............166
calor y trabajo mecánico................155
calores de reacción ........................164
calores específicos de un gas........162
caloría .............................................155
caloría (unidad).............................155
calorímetro......................................156
cambio de volumen ........................160
cambios y evoluciones ................... 167
cantidad de calor............155, 156, 159
caos ................................................ 170
capa límite..................................... 187
capilaridad ...................................... 199
carbón (combustión) ...................... 165
carbono........................................... 165
Carnot.....................................166, 172
casco de un buque (forma)............ 188
categoría superior (Ciencia) .......... 167
Cattáneo (Ingeniero) ...................... 172
Celsius (escala).............................. 157
central Costanera........................... 166
ciclos reversibles ............................ 175
cilindro ....................................161, 170
circulación de la velocidad............. 192
circunferencia osculatriz ................ 198
Clausius.......................................... 169
coeficiente de dilatación ................ 158
coeficiente de resistencia ......186, 187
combustible .................................... 172
combustión del carbón................... 165
compresión..................................... 160
compresor a pistón......................... 164
concepto probabilísticoVéase entropía
condensador................................... 171
conservación de la masa (fluídos). 179
convección .............................159, 160
corriente arremolinada................... 182
Creador........................................... 167
Creador (la firma del) ..................... 172
cuerpo rígido .................................. 160
cumpleaños (ejemplo)................. 195
curva............................................... 187
curvatura (superficies) ................... 197
degradación de la información ...... 170
derrame por un orificio................... 180
Desorden ........................................ 169
desorden (medición del) ................ 169
diagrama p,v .................................. 172
diamante......................................... 165
diferencia de entalpía .................. 165
diferencia de temperatura.............. 166
diferencial exacta ........................... 176
dilatación cúbica............................. 158
dilatación de líquidos ..................... 158
dilatación linea................................ 157
dilatación superficial....................... 158
dilatación térmica........................... 157
Dios................................................. 167
c
d
dipolo de corriente..........................193
distribución de las velocidades ......169
ecuación calorimétrica ...................157
ecuación de Bernoulli.............179, 186
ecuación de continuidad ................179
efecto Joule-Thomson....................162
ejemplo con una bomba centrífuga191
émbolo............................................170
energía de deformación .................160
energía de vibración.......................160
energía interna......................159, 160
energía menor (evolución) .............166
energía mínima (membranas líquidas)
....................................................197
energía potencial............................159
entalpía...........................................164
entropía......................... 169, 175, 176
entropía del cosmos .......................177
entropía e irreversibilidad...............176
entropía. y metafísica.....................177
equilibrio .........................................167
equivalencia entre calor y energía.156
escala termodinámica....................157
escalas termométricas ...................157
esclusa (válvula).............................187
escurrimiento con pérdida de carga185
estado turbulento............................187
estela (remolinos)...........................189
evolución a presión constante .......162
evolución adiabática.......................162
evolución adiabática (ciclo de Carnot))
....................................................173
evolución en ciclo cerrado .............172
evolución espontánea ....................166
evolución isotérmica.......................161
evolución isotérmica (ciclo de Carnot)
....................................................172
evolución reversible................167, 169
evolución y desorden .....................167
Evoluciones ....................................167
evoluciones politrópicas .................163
evoluciones reversibles ..................168
evolucionespoco probables ...........167
exotérmica (reacción).....................165
expansión .......................................160
expansión del vapor .......................171
experiencia de Joule ......................161
factor Integrante .............................176
Fahrenheit (escala) ........................157
filetes de corriente..........................187
filosofía ...........................................167
fluidodinámica................................ 178
flujo de calor................................. 166
flujo de la velocidad .................... 180
fórmula de Laplace (tensión superficial)
................................................... 197
fórmula de Poiseuille ..................... 183
Francis, J. B. .................................. 190
frío y calor ...................................... 155
fuentes caliente y fría..................... 167
fuerza de arrastre........................... 181
fuerza impulsora de una evolución 168
fuerza ordenadora.......................... 167
fuerza viscosa .............................. 181
fuerzas de arrastre......................... 188
fuerzas de atracción (entre moléculas)
................................................... 162
fuerzas de presión ......................... 188
fuerzas de succión......................... 188
fuerzas de Van der Waals ..... 196, 199
función potencial ............................ 176
función potencial (entalpía) ........... 164
gases ...... Véase Maxwell y Boltzmann
gasto............................................... 180
globo (válvula)................................ 187
globos de cumpleaños................... 195
gota de agua (ejemplo).................. 198
gotas (formación) ........................... 194
grafito.............................................. 165
Hess, Germán E. .......................... 166
hidrodinámica................................. 179
hidrógeno ....................................... 165
hiperboloide elíptico....................... 198
hojas secas .................................... 167
ineficiencia...................................... 169
ingenio de Carnot........................... 172
interpretación fina o microscópica. 170
interpretación macroscópica ......... 170
irreversibilidad................................ 169
isobárica........................................ 163
isócora........................................... 163
isotérmica ..................................... 163
isotérmicas ..................................... 172
Joule (unidad) .............................. 156
Joule, James P. ............................ 156
Kutta y Joukowsky (alas)............... 192
la transformación de calor en trabajo
................................................... 172
lago (congelación).......................... 159
laminar (movimiento) .................. 182
laminar (régimen)........................... 183
Laplace .......................................... 155
FÍSICA – CALOR Y TERMODINÁMICA - FLUÍDODINÁMICA
Laplace, P. S. .................................197
Lavoisier..........................................164
ley de Hess .....................................166
líneas de corriente..........................181
líquidos incompresibles ..............179
locomotoras de ferrocarril ..............171
longitud equivalente .......................187
máquina de Carnot .........................167
máquina de vapor...........................170
máquina térmica.............................166
máquinas de doble efecto..............171
máquinas hidráulicas......................190
mariposa (válvula) ..........................187
Maxwell (entropía)..........................169
mecanismo biela-manivela.............170
medio ambiente..............................159
medio externo...............................159
membrana elástica (deformación) .194
membrana elástica (teoría de).......195
membrana líquida...........................196
membrana líquida (equilibrio) ........197
mercurio (tensión superficial).........199
metafísica .......................................167
método estadístico de Maxwell y
Boltzmann...................................169
microscópico (gases desde el punto de
vista) ...........................................169
miel de abejas ................................184
mojabilidad......................................199
moléculas de un gas ......................169
motor de Carnot..............................172
motor Diesel....................................171
motor inmóvil ..................................167
movimiento relativo entre sólido y fluído
....................................................188
movimientos laminar y turbulento..182
muerte y equilibrio..........................167
nebulizador .....................................199
Newcomen.Tomás........................170
Newton, fórmula de (resistencia en
fluídos) ........................................189
niebla (formación)...........................199
noticia..............................................170
número de Reynolds ......................182
número de Reynolds caracterísitico182
Ostwald (viscosímetro)...................185
pandeo ............................................158
pava y hornalla ...............................167
pelotas del golf ...............................189
pérdida de carga.............................184
pérdida de carga en movimiento
e
laminar........................................ 186
pérdida de carga localizada (bombas)
.................................................... 191
pérdidas por rozamiento (fluídos).. 186
pistón ......................................161, 170
Pitot, H............................................ 193
placa plana (resistencia en fluídos)189
Poiseuille (hipótesis) ...................... 183
Poiseuille (modelo)......................... 187
Poiseuille, J .................................... 181
pompa de agua jabonosa.............. 198
potencia de bombeo...............188, 191
potencia de una bomba ................. 191
potencial de velocidad ................... 181
presión dinámica....................179, 186
presión estática.............................. 179
presión estática más dinámica (Pitot)
.................................................... 193
presión sobre una pared................ 189
primer principio.......................159, 161
primer principio aplicado a la química
.................................................... 166
primer principio de la termodinámica
.................................................... 159
primer principio para sistemas abiertos
.................................................... 178
primero y segundo principios
(ecuación) .................................. 176
principio de conservación de la
energía....................................... 159
Principio Único ............................... 167
principios (de la Termodinámica) .. 167
probabilidad y entropía .................. 170
química como ciencia exacta......... 164
ráfaga de viento.............................. 167
reacción de inercia del fluído......... 188
reacción química............................ 165
reacciones químicas ...................... 165
reducción........................................ 165
refrigerador de Carnot....167, 172, 174
régimen laminar (resistencia de
desplazamiento)......................... 189
régimen turbulento (resistencia al
desplazamiento)......................... 189
regulador centrífugoVéase Watt, James
rendimiento de las bombas............ 191
rendimiento máximo....................... 174
rendimiento térmico........................ 167
rendimiento termodinámico ....... 174
representación de evoluciones ...... 168
resistencia a la circulación............. 182
f
resistencia concentrada .................187
resistencia distribuída ....................186
resistencia en régimen turbulento..187
resistencia viscosa.........................188
resistencias locales (fluídos)..........186
revolución industrial....................170
Reynolds, O...................................182
Río de la Plata................................166
rotor de paletas ..............................190
rozamiento viscoso.........................186
rueda hidráulica..............................190
rugosidad de la pared..................187
ruido................................................170
saltos entálpicos .............................165
Santo Tomás ..................................167
Savery, Tomás ..............................170
Saybolt (viscosímetro)....................185
sección de carena ..........................188
segundo principio de la termodinámica
....................................................166
Shannon, Claude B. .......................170
sistema............................................159
sistema aislado.............................159
sistema irreversible ........................168
sistemas abiertos.........................159
sistemas cerrados........................159
sólidos (dilatación)..........................157
Staricco, Profesor...........................168
Stokes, fórmula de .........................189
Stokes, G........................................189
succión............................................189
superficie de doble curvatura
(membrana) ................................198
súper-motor de Carnot ...................174
Superposición de fenómenos de
corriente......................................193
sustentación en alas ......................192
taza de café....................................167
temperatura ............................155, 161
tensión en una membrana .............194
tensión superficial...........................196
tensión superficial (medición de) ...196
tensión superficial en líquidos........194
tensor (tensión)............................ 195
teorema de Carnot......................... 174
teoría de la información y entropía 170
termómetro y temperatura............. 156
termoquímica ................................. 164
torbellino y corriente plana ............ 193
torbellinos ....................................... 181
trabajo..................................... 159, 160
trabajo de circulación..................... 164
trabajo de compresión ................... 164
trabajo de un gas ........................... 172
trabajo en una evolución adiabática163
trabajo neto que entrega el motor de
Carnot ........................................ 173
transformación de calor en trabajo166,
172
transmisión del calor...................... 160
tubo capilar (ejemplo) .................... 200
tubo de corriente............................ 180
tubo de Pitot ................................... 193
tubos capilares ............................... 199
turbina............................................. 164
turbina Francis ............................... 190
turbinas hidráulicas ........................ 166
turbulento (régimen).................... 182
válvula ............................................ 187
válvula de admisión ....................... 171
vapor de agua................................ 171
variación de energía interna
(adiabática) ................................ 163
velocidad en la cañería.................. 188
velocidades medias (partículas fluídas)
................................................... 187
vicosimetros................................. 185
viga (dilatación).............................. 158
viscosidad ...................................... 181
viscosidad (agua)........................... 188
viscosidad (tabla) ........................... 181
viscosidad de los fluídos................ 181
volante............................................ 171
Watt ................................................ 171
Watt, James .................................. 170