Comparación de pruebas paramétricas y no paramétricas vía

XXV Simposio Internacional de Estadística 2015
Armenia, Colombia, 5, 6, 7 y 8 de Agosto de 2015
COMPARACIÓN DE PRUEBAS PARAMÉTRICAS Y NO
PARAMÉTRICAS VÍA SIMULACIÓN
Daniela Marín
1, a
, Estefanía Jiménez
1, b
, Freddy Hernández
1, c
1 Escuela de Estadística, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia
Resumen
Los métodos no paramétricos son una alternativa para realizar inferencia sobre las características
de una población cuando no se cumplen los supuestos que son necesarios para el uso de los métodos
paramétricos(Fagerland 2012). Sin embargo, cuando se tienen tamaños de muestra pequeños se diculta la elección de uno de estos. En esta investigación se realizó la comparación de ambos métodos
vía simulación Monte Carlo usando las pruebas de kruskal Wallis y ANOVA para diferencia de medias
y las pruebas binomial y prop.test para diferencia de proporciones . De los resultados de la simulación
se encontró que para el primer caso, el porcentaje de rechazo de la hipótesis nula es muy similar con
ambas pruebas, mientras que para el segundo caso la prueba no paramétrica tiende a no rechazar la
hipótesis nula. Además, en ambos casos, a medida que aumenta el tamaño de muestra, tanto con la
prueba paramétrica como con la no paramétrica los resultados tienden a ser más acertados.
Palabras clave : Pruebas paramétricas, Pruebas no paramétricas, Prueba binomial, prop.test, Prueba de Kruskal Wallis, ANOVA.
1. Introducción
En la elaboración de análisis estadísticos es común que se presente la necesidad de realizar comparaciones entre las características de dos o más poblaciones, para lograr esto existen diferentes tipos de
pruebas que permiten inferir sobre las características de las poblaciones mediante el análisis de datos
muestrales. Dichas pruebas pueden clasicarse en varios tipos, entre los que se encuentran las pruebas
paramétricas y no paramétricas, siendo estas últimas una alternativa para realizar inferencia sobre características poblacionales cuando no se cumplen los supuestos distribucionales necesarios para el uso de
las pruebas paramétricas (consideradas con mayor capacidad para rechazar la hipótesis nula cuando es
falsa) (Cliord 1980). Cada una de las pruebas se formula con base en diferentes supuestos, los cuales
cuando se tienen tamaños de muestra pequeños, pueden ser difíciles de vericar y al ser violados originan
errores en las pruebas que pueden llevar a obtener conclusiones equivocadas.
Un problema clásico en estadística corresponde al estudio de diferencia de medias de varias poblaciones,
y este problema puede ser abordado por medio de la prueba de Analysis of Variance (ANOVA), la cual
asume que las muestras de cada población son independientes y provienen de poblaciones con distribución
normal e igual varianza; una prueba de tipo no paramétrico que también está disponible para estudiar
este problema es la de Kruskal Wallis, la cual asume que las muestras de cada población son aleatorias,
independientes y que la escala de medida es al menos ordinal.
Otro problema clásico en estadística corresponde al de diferencias de proporciones de varias poblaciones, el cual puede ser estudiado usando la prueba paramétrica para comparar proporciones y la prueba no
paramétrica binomial, las cuales suponen que las muestras son aleatorias e independientes y que además,
a Estudiante de pregrado. E-mail: [email protected]
b Estudiante de pregrado. E-mail: [email protected]
c Profesor asistente. E-mail: [email protected]
1
2
Daniela Marín, Estefanía Jiménez & Freddy Hernández
en la prueba paramétrica, las poblaciones de donde provienen las muestras deben cumplir normalidad
cuando n <30.
En este estudio se analizaron estos dos problemas para comparar las pruebas, usando 3 diferencias
entre las proporciones y para el caso de las medias, considerando 3 diferencias entre las medias y muestras
provenientes de distribuciones normales, no normales simétricas y no normales asimétricas, brindando un
amplio panorama de qué tan acertadas son las pruebas y permitiendo obtener conclusiones sobre cuál es
más ecaz con respecto a la otra.
2. Estudio de Simulación
La comparación de las pruebas paramétricas con las pruebas no paramétricas en los dos problemas
clásicos, se llevó a cabo por medio de un estudio de simulación Monte Carlo (Ross 2013) realizado en
software estadístico R (R Core Team 2015).
En el primer caso se consideró un problema de diferencia de dos medias con 4 escenarios dados por
las distribuciones asumidas para las dos poblaciones: normal-normal, uniforme-uniforme, Laplace-Laplace
y gama-gama; la media µ1 de la primera población se mantuvo ja en 3, mientras que la media µ2 de
la segunda población tomó valores de 3, 3.5 y 4, la varianza en todos los casos estuvo ja en 1 y los
tamaños de muestra fueron iguales para ambas poblaciones, con valores de n = 5, 10, . . . , 100. Para cada
combinación de distribución, medias y tamaño muestral se generaron 10000 muestras, se aplicaron las
pruebas ANOVA y Kruskal Wallis (Kloke & McKean 2015) y usando el valor-P de las pruebas, con un
nivel de signicancia del 5 % se decidió sobre la hipótesis nula. A partir de estos resultados se obtuvo
el porcentaje de veces que la hipótesis nula (H0 : µ1 = µ2 ) fue rechazada para cada prueba y tamaño
muestral.
En el segundo caso se analizó un problema de diferencia de dos proporciones, en el cual se usaron
muestras aleatorias con valores de ceros y unos, que fueron generadas a partir de una distribución binomial.
La proporción de la primera población p1 se mantuvo ja en 0.5 y la proporción de la segunda población
p2 tomó valores de 0.5, 0.7 y 0.9, los tamaños muestrales fueron iguales para ambas poblaciones, tomando
valores de n = 10, 20, . . . , 500. De cada combinación de proporciones y tamaño de muestra se generaron
10000 muestras y se aplicaron la prueba de proporciones y la prueba binomial (Kloke & McKean 2015),
usando el valor-P de las pruebas con un nivel de signicancia del 5 % se concluyó sobre la hipótesis
nula(H0 : p1 = p2 ) y utilizando estos resultados se calculó el porcentaje de rechazos de la hipótesis nula
para cada prueba y cada tamaño de muestra
3. Resultados
En la Figura 1 se presenta la proporción de rechazo de la hipótesis nula para diferencia de medias en
dos casos donde la hipótesis es falsa y cuando las muestras provienen de una población con distribución
normal. Para estos casos, se observa que tanto la prueba paramétrica (ANOVA) como la no paramétrica
(Kruskal Wallis) la proporción de rechazos tiene un comportamiento muy similar, incluso cuando los
tamaños de muestra son pequeños. Además, se puede notar que cuando se considera una mayor diferencia
entre las medias, las pruebas tienen una mayor facilidad para identicar dicha diferencia, es por esto que
en el tamaño muestral más pequeño considerado (n = 5), la proporción de rechazos de las pruebas en la
segunda gráca (µ1 = 3 y µ2 = 4) es mayor que en la primera (30 % y 10 % aproximadamente).
La Figura 2 muestra la proporción de rechazo de la hipótesis nula para diferencia de medias en dos
casos donde la hipótesis es falsa y cuando las muestras provienen de una población con distribución
uniforme. En estos dos casos, tampoco se observa una diferencia importante en el comportamiento de las
pruebas, sin embargo, en la gráca donde se considera µ1 = 3 y µ2 = 3.5 la curva correspondiente a la
proporción de rechazo de la prueba ANOVA se encuentra por encima de la curva que corresponde a la
prueba de Kruskal Wallis. Al igual que en la gura 1 cuando la diferencia entre las medias es mayor, el
porcentaje de rechazos inicia en un valor más alto para el menor tamaño de muestra considerado.
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COMPARACIÓN DE PRUEBAS PARAMÉTRICAS Y NO PARAMÉTRICAS VÍA SIMULACIÓN
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Tanto para la distribución normal como para la uniforme, en el caso donde H0 es verdadero (no
presentado), ambas pruebas también mostraban un comportamiento muy similar y de acuerdo a lo esperado, es decir, la proporción de rechazos se mantiene estable en cero a medida que se aumenta el tamaño
muestral Además, en las grácas donde µ1 = 3 y µ2 = 4, se observó que se adquiere una estabilidad en
el porcentaje de rechazos de las pruebas a partir del tamaño de muestra n = 30 aproximadamente, es
decir, más rápido que para las grácas donde µ1 = 3 y µ2 = 3.5 (n = 110 aproximadamente), lo cual se
debe a que la diferencia entre las medias de éstas es mayor, por lo tanto para ambas pruebas se facilita la
detección de dichas diferencias y por consiguiente la proporción de rechazo de la hipótesis nula tiende a
uno más rápidamente. También se pudo identicar que a medida que aumentaba el tamaño de muestra,
los resultados de ambas pruebas mejoraban.
Las situaciones donde las muestras provenían de poblaciones con distribución gama y Laplace no fueron
mostradas, ya que el porcentaje de rechazo de las pruebas presentaba un comportamiento equivalente al
de la distribución normal, es decir, no se observó alguna diferencia relevante entre el desempeño de una
de las pruebas con respecto a la otra.
µ1 = 3, µ2 = 4
1.0
P roporción de rechazos de H 0
P roporción de rechazos de H 0
µ1 = 3, µ2 = 3.5
0.8
0.6
0.4
0.2
ANOVA
Kruskal Wallis
0.0
5
25
45
65
85
105
125
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
ANOVA
Kruskal Wallis
0.0
145
5
25
45
65
85
105
n
n
µ1 = 3, µ2 = 3.5
µ1 = 3, µ2 = 4
125
145
1.0
P roporción de rechazos de H 0
P roporción de rechazos de H 0
Figura 1: Proporción de rechazos de la hipótesis nula para igualdad de medias en función del tamaño de muestra
para poblaciones con distribución normal.
0.8
0.6
0.4
0.2
ANOVA
Kruskal Wallis
0.0
5
25
45
65
85
n
105
125
145
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
ANOVA
Kruskal Wallis
0.0
5
25
45
65
85
105
125
145
n
Figura 2: Proporción de rechazos de la hipótesis nula para igualdad de medias en función del tamaño de muestra
para poblaciones con distribución uniforme.
La Figura 3 muestra las grácas del porcentaje de rechazos de H0 de las pruebas binomial y de
comparación de proporciones en función del tamaño de muestra y a medida que se aumenta la diferencia
entre las verdaderas proporciones p1 y p2 . De la gura se observa que en las tres grácas la prueba no
paramétrica es más conservadora, ya que tiende a no rechazar la hipótesis nula, incluso en las situaciones
donde se debe rechazar. Cuando las proporciones son diferentes, a medida que aumenta el tamaño de
muestra, aumenta el porcentaje de rechazo y por lo tanto el desempeño de ambas pruebas mejora. En
la gráca donde p1 = 0.5 y p2 = 0.5 la proporción de rechazos de ambas pruebas se mantiene estable
desde el inicio, mientras que en las otras dos grácas el comportamiento de la proporción de rechazos es
creciente. Cuando p1 = 0.5 y p2 = 0.7 es claro que ésta adquiere estabilidad a partir de n = 180 para
la prueba paramétrica y de n = 280 para la no paramétrica, cuando p1 = 0.5 y p2 = 0.9 la curva de la
prueba paramétrica se estabiliza en n = 50 y la no paramétrica en n = 100 aproximadamente.
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Daniela Marín, Estefanía Jiménez & Freddy Hernández
p1 = 0.5 , p2 = 0.5
0.6
0.4
0.2
0.0
1.0
P roporción de rechazos de H 0
0.8
0.8
0.6
0.4
0.2
prop.test
prueba binomial
0.0
5
95
185
275
n
p1 = 0.5 , p2 = 0.9
1.0
prop.test
prueba binomial
P roporción de rechazos de H 0
P roporción de rechazos de H 0
1.0
p1 = 0.5 , p2 = 0.7
365
455
5
95
185
275
365
n
455
0.8
0.6
0.4
0.2
prop.test
prueba binomial
0.0
5
95
185
275
365
455
n
Figura 3: Proporción de rechazos de la hipótesis nula para igualdad de proporciones en función del tamaño de
muestra.
4. Conclusiones
• En este estudio se encontró que cuando se realiza comparación de medias con pruebas paramétricas
y no paramétricas, el porcentaje de rechazo de la hipótesis nula de ambas pruebas es similar en
todos los casos considerados, incluso cuando se usan tamaños de muestra pequeños. Sin embargo,
cuando las muestras provienen de poblaciones son normalmente distribuidas, se percibe una pequeña
diferencia entre las pruebas que favorece a las prueba de ANOVA (paramétrica).
• En los resultados del estudio de simulación no hay evidencia que garantice que la recomendación
de usar las pruebas paramétricas cuando se cumple el supuesto de normalidad sea acertada, ya que
cuando las muestras provienen de una distribución normal, el comportamiento de ambas pruebas
es muy semejante.
• En las distribuciones consideradas para el estudio (uniforme, Laplace, gama y normal), sin importar
la simetría, el comportamiento de las pruebas para comparación de medias no tuvo diferencias
signicativas. Sin embargo, únicamente se apreciaron pequeñas variaciones para la distribución
uniforme
• Entre los métodos usados para comparar proporciones, la prueba prop.test (paramétrica) resulta
ser más sensible para identicar diferencias entre las proporciones de las poblaciones, puesto que
requiere un tamaño de muestra mucho menor que la prueba no paramétrica para estabilizarse y
rechazar la hipótesis cuando se debe.
• Al observar el caso para proporciones iguales, los resultados obtenidos fueron los esperados, ya que
la proporción de rechazo de la hipótesis nula de ambas pruebas es muy cercana a cero, y por una
mínima diferencia el desempeño del método no paramétrico fue mejor que el del paramétrico.
Referencias
Fagerland, M. W. (2012), `t-tests, non-parametric tests, and large studies-a paradox of statistical practice',
BMC Medical Research Methodology 12(78).
Kloke, J. & McKean, J. W. (2015), Nonparametric Statistical Methods Using R, Taylor and Francis Group.
R Core Team (2015), R: A Language and Environment
Statistical Computing, Vienna, Austria.
, R Foundation for
for Statistical Computing
Ross, S. M. (2013), Simulation, fth edn, Academic Press.
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