3.1.- CLASES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS TEMA 3 TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 1.CIRCUITOS LINEALES: Son aquellos cuyo comportamiento puede caracterizarse mediante una ecuación diferencial lineal. Sus elementos han de ser lineales, o sea, las respuestas de estos circuitos son funciones lineales de las entradas. 2.CIRCUITOS CUASILINEALES: Son los que contienen uno o más elementos no lineales, pero que al menos en un margen de su funcionamiento pueden considerarse como lineales. Para este tipo de circuitos puede emplearse la teoría de análisis de los circuitos lineales. 3.CIRCUITOS NO LINEALES: No puede establecerse en ellos la hipótesis de linealidad, dentro de un margen de aproximación permisible. Requieren el empleo de técnicas especiales de análisis. Los elementos estudiados hasta ahora, son elementos lineales, por lo que los circuitos formados por la combinación de estos serán circuitos lineales TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.1.- Clases de circuitos eléctricos: Lineales, cuasilineales, no lineales. 3.2.- Propiedades de los circuitos lineales: Homogeneidad y aditividad. 3.2.1.- Proporcionalidad. 3.2.2.- Superposición. 3.3.- Resolución de circuitos. 3.3.1.- Método de las Mallas. 3.3.2.- Método de los Nudos. 3.3.3.- Teorema de Thevenin. 3.3.4.- Teorema de Norton. 3.4.- Teorema de la máxima transferencia de potencia. 3.5.- Métodos para transformar circuitos: Teorema de Kennelly. 3.2.- PROPIEDADES DE LOS C. LINEALES A) Homogeneidad: Si x(t) e y(t) son las funciones excitación y respuesta correspondientes a un sistema lineal (siendo y = Kx la función lineal, K = cte) se verificará que a la excitación Ax(t) responde el sistema con Ay(t), siendo A una cte. Entrada x(t) A x’(t) = A x(t) Salida y(t) = K x(t) K K A y’(t) = K x’(t) = K A x(t) = A y(t) Un circuito será lineal solo en las variables de I y U, pero no en la P. ESTA PROPIEDAD DE HOMOGENEIDAD EN ANÁLISIS DE CIRCUITOS SE LLAMA PROPORCIONALIDAD TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN RESISTENCIAS EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN BOBINAS Circuito Eléctrico u1 Circuito Eléctrico u1 u1 u1 i(t) i(t) R1 i(t) u(t) R2 u2 i(t) R1 u(t) u2 R2 Excitación u(t) R2 u = Ku R1 + R2 K= R2 = cte R1 + R2 TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS ENTRADA Circuito Eléctrico i(t) A i u1 R1 i(t) u(t) R2 u2 u2 u(t) 1 L1 + L2 u2 = u(t) K= SALIDA i2 C CIRCUITO CIRCUITO ELECTRICO ENTRADACircuito Eléctrico u1 i(t) A i u2 u2 L1 u(t) A u’ = u A i2 u1 L2 u u(t) u2 ELECTRICO u2= K u u2 = KL2 u C L1 u u2 2 K = Constante K= constante D RESPUESTA La respuesta será: u2 = K u A K TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS SALIDA CIRCUITO CIRCUITO ELECTRICO i(t) u2= K u u2 = KR2 u B EXCITACION K L2 = cte L1 + L 2 EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN BOBINAS KK= = Constante constante Ante una excitación u(t) Respuesta ∫ udt L2 u L1 + L2 u2 L2 Excitación R1 ELECTRICO u L1 TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN RESISTENCIAS u1 L2 Respuesta i= u2 = L1 u’2 = K A u = A u2 D RESPUESTA B EXCITACION Ante una excitación u(t) K A u’(t) = u(t) A La respuesta será: u2 = K u(t) A K TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS u’2(t) = K A u(t) = A u2(t) EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN CONDENSADORES Circuito Eléctrico u1 u1 i(t) MÉTODO DE LA RESPUESTA UNIDAD ¿Que tensión tengo que tener entre dos puntos para que me pase una intensidad determinada por un elemento o conseguir una tensión en bornes de este? ENTRADA SALIDA A C1 i(t) u(t) C2 u2 i2 i C CIRCUITO CIRCUITO ELECTRICO C1 u(t) ELECTRICO u2 C2 u2= K u u u2 u2 = K u K K= = Constante constante 1 u2 (t ) = C2 u2 (t ) = Excitación Respuesta ∫ i( t ) dt C1 u(t ) C1 + C2 K= C1 = cte C1 + C 2 TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS ENTRADA u1 A Circuito Eléctrico i C1 Ante una excitación u(t)=1 La respuesta será: u2(t) = K u(t)= K La excitación será: u’(t) = u(t) A Conocida la respuesta: u'2(t) = A u2(t)= A K SALIDA i2 u1 CIRCUITO CIRCUITO C Ejemplo: calcular que característica debe tener la fuente de tensión para que UCD, sea de 2 voltios. ELECTRICO i(t) u(t) D RESPUESTA TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN CONDENSADORES i(t) B EXCITACION C2 u2 u u(t) ELECTRICO C1 u2= K u u2 = K u u2 u2 C2 4Ω A KK= = Constante constante 2Ω C 4Ω A E SALIDA EC C 2Ω D RESPUESTA B EXCITACION C.E. ENTRADA U 4Ω 2V 2Ω - U E 4Ω 2V 2Ω Ante una excitación u(t) K A u’(t) = u(t) A La respuesta será: u2(t) = K u(t) A K TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS B D F B Excitación: UAB u’2(t) = K A u(t) = A u2(t) TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS F D Respuesta: UCD EJEMPLO : Resolver el circuito eléctrico de la figura siguiente suponiendo como incógnitas las intensidades de las ramas C I1 I3 Los pasos a seguir para resolver A E un circuito son: 4Ω 2Ω I2 1) Dar un sentido arbitrario a las EJEMPLO : Resolver el circuito eléctrico de la figura siguiente suponiendo como incógnitas las intensidades de las ramas C I1 I3 Los pasos a seguir para resolver A E un circuito son: 4Ω 2Ω I2 1) Dar un sentido arbitrario a las intensidades de las ramas. + 4Ω = 1V B 2Ω 2) Plantear tantas ecuaciones como incógnitas tengamos. 3) Resolver el sistema. Ecuaciones de Nudos = 2 - 1 = 1 I1 + I2 + I3 = 0 + B F D intensidades de las ramas. 4Ω = 6V 2Ω 2) Plantear tantas ecuaciones como incógnitas tengamos. 3) Resolver el sistema. F D Ecuaciones de Nudos = 2 - 1 = 1 ECUACIÓN NUDO C I1 = 0,17 A. Ecuaciones de Mallas = 3 - 2 + 1 = 2 I1 + I2 + I3 = 0 ECUACIÓN NUDO C I1 = 1A Ecuaciones de Mallas = 3 - 2 + 1 = 2 4 I1 – 4 I2 -1 = 0 ECUACIÓN MALLA “ACDBA” I2 = -1/12 A 4 I 1 – 4 I2 - 6 = 0 ECUACIÓN MALLA “ACDBA” I2 = - 0,5 A - 4 I3 + 4 I2 = 0 ECUACIÓN MALLA “CEFDC” I3 = -1/12 A - 4 I3 + 4 I2 = 0 ECUACIÓN MALLA “CEFDC” I3 = - 0,5A TENEMOS PLANTEADO 3 ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS UCD = 2 V TENEMOS PLANTEADO 3 ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS EJEMPLO : Resolver el circuito eléctrico de la figura siguiente suponiendo como incógnitas las intensidades de las ramas C I1 I3 UCD = 1/12 x 4 = 1/3 V A E UCD = K UAB 4Ω 3.2.- PROPIEDADES DE LOS C. LINEALES B) Aditividad: La salida debida a dos o más entradas se puede hallar sumando las salidas que se obtiene cuando se aplica por separado cada una de las entradas. 1 A 1 x1 1 1 A 1 y1 C. E. 1/12 A + 4Ω = 1V B 2Ω F D ENTRADA 1/3 = K · 1 K = 1/3 A 2 x2 A1 x 1 + A2 x 2 y2 = K 2 x2 A2 y2 C. E. C. E. A 1 y1 + A 2 y2 = = A1 K 1 x1 + A2 K 2 x2 SALIDA UAB = 1 V UCD = 1/3 V K = 1/3 A=6 O sea, toda combinación lineal de las señales de entrada o funciones de excitación, tiene por respuesta análoga combinación lineal de las correspondientes salidas o funciones respuestas. A=6 A LA PROPIEDAD DE ADITIVIDAD, EN ELECTROTECNIA, SE LE LLAMA SUPERPOSICIÓN UCD = 2 V UAB = 6 V K = 1/3 TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS SUPERPOSICIÓN: Cualquier salida se puede escribir en la forma SUPERPOSICIÓN: Ejemplo A + R1 US y = f1(x1) + f2(x2) + ... + f1(x1) = K1x1 + K2x2 + ... + Knxn IS R2 U0 B siendo: x1, x2, ..., xn las entradas al circuito K1, K2, ..., Kn constantes que dependen del circuito Resolución por conversión de fuentes del circuito de la figura: U0 = ( LA SALIDA ES UNA COMBINACIÓN R 1R 2 RR R2 US IS = K 1 x1 + K 2 x 2 US + + IS ) 1 2 = R1 + R2 R1 + R 2 R1 + R 2 R1 A LINEAL DE LAS ENTRADAS US + IS R1 R 1R 2 R1 + R2 K2 K1 U0 B TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS SUPERPOSICIÓN: SUPERPOSICIÓN: Ejemplo Una técnica de análisis de circuitos basada en la superposición procede de la manera siguiente: + 1. Desconectar todas las fuentes de señal de entrada menos una y hallar la salida debida a dicha señal solamente. 2. Repetir el paso 1 sucesivamente para cada una de las demás fuentes de señal. 3. La salida en el caso de que estén conectadas todas las fuentes se encuentra entonces sin más que sumar las respuestas correspondientes a cada fuente actuando sola. TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS A R1 US IS R2 K1 = R2 R1 + R2 K2 = R 1R 2 R1 + R 2 IS R2 U0 B Resolución por superposición: + R1 US Anulación f.d.i. R2 U'0 = R1 U’0 R2 US R1 + R2 Anulación f.d.t. U0 = U’0 + U’’0 = K1US + K2 IS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS U' '0 = U’’0 R 1R 2 IS R1 + R2 En el circuito de la figura se sabe que: Si US = 1 V e IS esta desconectada, UAB vale 0,25 V. Si US esta desconectada e IS = 1 A, UAB vale 1,875 V. Ejercicio: + A R1 100 V 10 A R2 UAB B A + R1 IS US R2 UAB UAB = K1US + K2 IS = K1 = 0,25 = 0,25 ×100 + 1,875 ×10 = K2 = 1,875 = 43,75 V B ¿Cuanto valdrá la tensión UAB si US vale 100 V e IS vale 10 A?. ¿Cual es la tensión máxima que podemos obtener del circuito? ¿Cual es la intensidad máxima que nos da el dipolo? TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS Ejercicio: + A R1 100 V 10 A R2 R1 1V R2 UAB(Us) = 0,25 V = K1US= K1 Anulación f.d.i. R1 Ejercicio: UAB B Datos: + TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS R2 UAB(Is) = 1,875 V = K2IS= K2 A R1 100 V 10 A + R1 1V R2 U0 B UAB(Us) = 0,25 V = K1US= K1 U AB (Us ) = 0 ,25 = R2 Us R1 + R2 R2 R1 + R2 Anulación f.d.t. TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS R2 Otro camino: Obtención de R1 y R2 Anulación f.d.i. 1A + TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS R1 = 3 R2 Ejercicio: + A R1 100 V 10 A R2 1A Anulación f.d.t. U0 = 3R 22 4R 2 R 1R 2 Is R1 + R2 R2= 2,5 Ω TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.1.- Clases de circuitos eléctricos: Lineales, cuasilineales, no lineales. UAB(Is) = 1,875 V = K2IS= K2 R2 U AB (Is ) = 1,875 = U0 B Otro camino: Obtención de R1 y R2 R1 R1 = 3 R2 R 1R 2 1,875 = R1 + R2 R1= 7,5 Ω 3.2.- Propiedades de los circuitos lineales: Homogeneidad y aditividad. 3.2.1.- Proporcionalidad. 3.2.2.- Superposición. 3.3.- Resolución de circuitos. 3.3.1.- Método de las Mallas. 3.3.2.- Método de los Nudos. 3.3.3.- Teorema de Thevenin. 3.3.4.- Teorema de Norton. 3.4.- Teorema de la máxima transferencia de potencia. 2 ,5 × 7 ,5 R 1R 2 R2 2 ,5 10 = 43 ,75 V 100 + IS = US + 7 ,7 + 2 ,5 7 ,5 + 2 ,5 R1 + R2 R1 + R 2 3.5.- Métodos para transformar circuitos: Teorema de Kennelly. TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS Ejercicio: + A 7,5 Ω 100 V 10 A 2,5 Ω U0 B Umax ? e IMax ?: A Por transformación 100 7,5 Ω 7,5 10 A 2,5 Ω 3.3.2.- Método de las Mallas: U0 B A 23,3 A 1,875 Ω U0 A 1,875 Ω 43,75 V B TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS U0 Umax =43,75 V IMax =23,33 A B TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.3.1.- Método de las Mallas: R1 3.3.1.- Método de las Mallas: R6 R2 R 1 I1 I3 E1 + + R5 R3 E2 E1 + IA R6 R2 I 2 I5 IB R3 R4 I6 R4 + IC R5 E2 I4 Método de mallas: Se consideran que existen unas corrientes en las mallas de la red IA, IB e IC Las corrientes de malla deben tener todas el mismo sentido (por conveniencia) Pueden identificarse con las corrientes de las ramas TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.3.1.- Método de las Mallas: 3.3.1.- Método de las Mallas: R 1 I1 E1 + R6 R2 I 2 I3 I5 R3 R5 R4 R 1 I1 I6 I3 + E2 E1 + Incógnitas: Corrientes de la ramas I1, I2, I3, I4, I5 e I6 6 ecuaciones 6 incógnitas TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS IB R4 Corrientes de rama: I6 I5 R3 I4 Lemas de kirchhoff: 3 ecuaciones nodales 3 ecuaciones de mallas IA R6 R2 I 2 R5 IC I4 I1 = IA I4 = IB I2 = - IB I5 = IB - IC I3 = IA - IB I6 = - IC TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS + E2 3.3.1.- Método de las Mallas: R 1 I1 3.3.1.- Método de las Mallas: R2 I 2 B A I3 E1 + IA R6 R 1 I1 I6 I3 I5 IB R3 R4 + IC R5 E1 E2 + IA IB R4 C R5 0 = R3(IA-IB) – E1+ IAR1 0 = R5I5 + R4I4 - R3I3 - R2I2 0 = R5(IB-IC) + R4IB - R3(IA-IB) -R2(-IB) 0 = - R6I6 + E2 - R5I5 0 = - R6(-IB) + E2 - R5(IB-IC) IC C = E1 Ec. Malla B - IAR3 =0 + IB (R2 + R3+ R4+ R5) – IC R5 - IB R 5 + IC (R5 + R6) = -E2 TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.3.1.- Método de las Mallas: 3.3.1.- Método de las Corrientes de Mallas: A R2 I B 2 I3 E1 + IA R3 IB R5 Ec. Malla B Ec. Malla C R AB R BB R CB IC + E2 C R AC I A E A R BC ⋅ IB = EB R CC I C EC TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS Rik: suma de todas las resistencias comunes a las mallas i y k cambiadas de signo Rii: suma de todas las resistencias de la malla i. I4 D R AA R BA R CA De forma matricial: I6 I5 R4 Ec. Malla A R6 E2 IA(R1 + R3) – IB R3 Ec. Malla C R 1 I1 + Ec. Malla A 3 incógnitas 3 ecuaciones I6 I4 D 0 = R3I3 – E1 + I1R1 R6 I5 R3 I4 D R2 I 2 B A εi: suma de todas las f.e.m. de la malla i. ε A R AA εB R BA . . = . . . . ε R m mA R AB R BB . . . R mB . . . R Am I A . . . R Bm IB . . . . . ⋅ . . . . . . . . . . . . . R mm Im • Calcular las intensidades de malla Ii. • Calcular las intensidades de cada rama. TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS Ii: corriente ficticia de la malla i. 3.3.1.- Método de las Corrientes de Mallas: Ejemplo 3.3.1.- Método de las Mallas: I3 A.- Planteamiento de las ecuaciones de malla: - Pasar todas las fuentes de intensidad a fuentes de tensión I1 IA IB I A = I1 IA I1 + IA 30 V 4Ω 2Ω I 2 5 Ω I1 Formalmente el método de las mallas tiene dos fases: I6 I1 = I A I2 = - IB I5 IB IC 6Ω 5Ω + 20 V I4 = IB I5 = IB - IC I4 IB I 3 = I A – IB I6 = - I C I A – I B = I1 - Identificar una intensidad de malla con cada malla. - Escribir las condiciones impuestas a las conexiones por la segunda ley de Kirchhoff en función de las intensidades de malla a lo largo de una malla. B.- Resolver el circuito - Hallar las intensidades de cada una de las ramas (que son las verdaderas incógnitas) TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS R AA R BA R CA R AB R BB R CB R AC I1 E A R BC ⋅ I2 = EB R CC I 3 EC 10 − 5 0 I A 30 − 5 13 − 6 ⋅ IB = 0 0 − 6 10 I − 20 C I1 = IA= 3,22 A I2 = - IB = - 0,435 A IA = 3,22 A I 3 = I A – IB = IB = 0,435 A I4 = IB = 0,435 A IC = -1,74 A I5 = IB - IC I6 = - IC = 1,74 A TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.3.1.- Método de las Corrientes de Mallas: Ejemplo 5Ω 2Ω 4Ω + + 30 V 5Ω 6Ω 20 V 3.3.2.- Método de los Nudos: TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.3.2.- Método de los Nudos: R1 E1 1 + R2 3.3.2.- Método de los Nudos: R6 2 + R5 R3 E2 R4 3 0 1 1.- Pasamos las fuentes de tensión a f.d. Intensidad R2 2 2.- Unimos un nudo a tierra 3.- Cambiamos las resistencias a conductancias R1 R5 R3 R4 4.- Aplicamos LKI a todos los nudos menos al de referencia 3 0 TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.3.2.- Método de los Nudos: 3.3.2.- Método de los Nudos: R1 E1 1 + R2 R6 2 1 2 + R5 R3 E2 R13 R20 R4 3 0 0 1 R1 R2 3 2 R5 R3 1 R6 R1 TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS R2 2 R5 R3 R4 3 R6 R4 0 3 TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 0 R6 3.3.2.- Método de los Nudos: 1 3.3.2.- Método de los Nudos: 2 R13 G12 1 I13 R20 2 G20 G13 G30 0 I20 0 3 3 1.- Pasamos las fuentes de tensión a f.d. Intensidad 1.- Pasamos las fuentes de tensión a f.d. Intensidad 2.- Unimos un nudo a tierra 2.- Unimos un nudo a tierra 3.- Cambiamos las resistencias a conductancias 3.- Cambiamos las resistencias a conductancias 4.- Aplicamos LKI a todos los nudos menos al de referencia 4.- Aplicamos LKI a todos los nudos menos al de referencia TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.3.2.- Método de los Nudos: 3.3.2.- Método de los Nudos: 1 R13 2 I13 R20 G13 G30 0 3 G12 1 Tierra 2 G20 I20 0 3 1.- Pasamos las fuentes de tensión a f.d. Intensidad 1.- Pasamos las fuentes de tensión a f.d. Intensidad 2.- Unimos un nudo a tierra 2.- Unimos un nudo a tierra 3.- Cambiamos las resistencias a conductancias 3.- Cambiamos las resistencias a conductancias 4.- Aplicamos LKI a todos los nudos menos al de referencia 4.- Aplicamos LKI a todos los nudos menos al de referencia TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.3.2.- Método de los Nudos: G12 1 3.3.2.- Método de los Nudos: 2 7 R 17 I 1 I13 G20 G13 I20 I 6 R 16 I12 - U13G13 - U14G14 - I15 - U16G16 - U17G17 = 0 15 5 12 R 14 G30 2 0 4 R 13 3 3 Nudo 1: 7 I13 - U12G12 - U13G13 = 0 R 17 6 R 16 I12 - U13G13 - U14G14 - I15 - U16G16 - U17G17 = 0 I13 - (U1 - U2) G12 - (U1 - U3) G13 = 0 I despejando: I13 = U1 (G12 + G13) - U2 G12 - U3 G13 5 I -I 12 13 R 14 R 13 2 - U14G14 - I15 - U16G16 - U17G17 = 0 4 3 3.3.2.- Método de los Nudos: G12 15 12 TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 1 I 1 3.3.2.- Método de los Nudos: 2 7 R 17 6 R 16 I12 - U13G13 - U14G14 - I15 - U16G16 - U17G17 = 0 I 1 I13 G13 G30 G20 I20 I 5 U1 = U10 No es una incógnita 12 + 0 15 R 14 U 2 4 3 nudo 1 nudo 2 nudo 3 I13 = U1 (G12 + G13) - U2 G12 - U3 G13 7 R 17 I12 - I13 - U14G14 - I15 - U16G16 - U17G17 = 0 I20 = U2 (G20 + G12) - U 1G12 3 incógnitas I 1 - I13 = U3 (G30 + G13) - U 1G13 3 ecuaciones I + 2 15 5 I13 es una incógnita 12 U13 3 TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 6 R 16 R 14 U1 - U3 = U13 es una ecuación mas 4 Métodos de Análisis de Circuitos en su totalidad RESUMEN Método Nº de ecuaciones 3.3.3.- Teorema de Thevenin: Cualquier red activa lineal con dos bornes (dipolo) es equivalente a una fuente de tensión de f.e.m. UT en serie con una resistencia RT ej Kirchhoff r = nº de ramas 6 Mallas e = nº de mallas 3 Operaciones simples en ramas Nudos N -1 = nº de nudos principales 3 Operaciones simples en nudos A IAB + • Dependiendo de la topología usaremos uno u otro método. • Mallas: si existen fuentes de intensidad en las ramas estas nos pueden servir de datos de partida. • Nudos: si existen fuentes de tensión en las ramas estas nos pueden servir de datos de partida. RT UAB UT R B Dipolo Activo TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.3.3.- Teorema de Thevenin: Como se determina los parámetros UT y RT : A 3.3.3.- Teorema de Thevenin: + A RT RT UAB=UT UT B Dipolo Activo TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS RAB=RT UT=0 B Dipolo Pasivo TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.3.3.- Teorema de Thevenin: Demostración IAB Dipolo Activo I’AB A (1) R Dipolo Activo R I’’AB Dipolo Activo I’AB A R (4) UAB UAB + B Dipolo Activo UAC=UAB + I’’AB= I1+ I2 +.. + IN+IN+1+IN+2 B I’AB= I1+ I2 +… + IN+ IN+1= 0 IAB A (1) R Dipolo Pasivo B I’’AB Dipolo Activo R UAB UAB + B + I’’AB= IN+2 B Dipolo Activo Dipolo Activo A R (5) UAB UAB + B I’’AB= I1+ I2 +.. + IN+IN+1+IN+2 I’’AB= IN+2 IAB A R I’’AB= IAB = IN+2 IAB A R I’’AB R (5) UAB UAB UAB + IAB= I1+ I2 + I3+… + IN A B Dipolo Activo I’’AB A R (4) UAB UAB + R (4) (1) B B A + RT UAB I’’AB= I1+ I2 +.. + IN+IN+1+IN+2 I’AB= 0 UAB UAB UAB I’’AB A (4) R B 3.3.3.- Teorema de Thevenin: Demostración (6) + IAB= I1+ I2 + I3+… + IN + I’’AB I’AB= 0 IAB R UAB A (4) + + 3.3.3.- Teorema de Thevenin: Demostración Dipolo Activo Dipolo Activo I’’AB= IN+2 I’AB= 0 R I’’AB A A (6) (1) IAB= I1+ I2 + I3+… + IN R (3) Dipolo Activo IAB A B B I’AB= 0 IAB C A (2) B IAB= I1+ I2 + I3+… + IN 3.3.3.- Teorema de Thevenin: Demostración B + Dipolo Activo B A R (5) UAB UAB B I’’AB= I1+ I2 +.. + IN+IN+1+IN+2 I’’AB= IAB = IN+2 I’AB= 0 I’’AB= IN+2 I’’AB= IAB = IN+2 3.3.4.- Teorema de Norton: Cualquier red activa lineal con dos bornes (dipolo) es equivalente a una fuente de INTENSIDAD de parámetro IN en paralelo con una resistencia RN 3.4.- Teorema de la Máxima A IAB IN UAB RN Transferencia de Potencia: R B Dipolo Activo TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.4.- Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia Generador A IAB Teorema de Thevenin Teorema de Norton + RT dual UAB A IAB Receptor UAB R A IAB B + IN UAB RN RT Dipolo Activo Dipolo Pasivo UAB UT dual B B Dipolo Activo Dipolo Activo TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.4.- Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia Generador Receptor 3.4.- Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia Generador A IAB + RT UAB Receptor A IAB + RT UAB UAB UT RC B RC B Dipolo Activo Dipolo Pasivo Dipolo Activo [ Dipolo Pasivo U AB = RC UT RT + RC I AB = U AB UT = RC RT + RC PAB = U AB I AB = ] U2T R C (R T + R C )2 (R C + R T )2 − 2R C (R C + R T ) U2T (R 2T − R 2C ) U2T ∂PAB = = =0 ∂R C (R C + R T )4 (R C + R T )4 Tendremos máxima potencia si RT=RC, o sea, si la resistencia de la carga es igual a la resistencia de la fuente, siendo la potencia máxima disponible: PMAX = TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS U2T U U I U = T T = MAX MAX 4R T 4R T 4 TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.4.- Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia Generador Receptor A IAB + RT UT UAB RC B Dipolo Activo Dipolo Pasivo U AB = RC UT RT + RC I AB = U AB UT = RC RT + RC PAB = U AB I AB U2T R C = (R T + R C )2 UMax ? Para RC =hΩ, U es máxima: UAB = UMax = UT IMax ? Para RC = 0 Ω , I es máxima: IAB = IMax = ICC= UT/RT PMax ? 3.5.- Métodos para transformar circuitos: ∂PAB =0 ∂R C TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.5.- Métodos para transformar circuitos 3.5.- Métodos para transformar circuitos Siempre que se pueda hay que simplificar el circuito lo máximo posible A Elementos pasivos en estrella: IA Resto del C.A. circuito A) Sustitución de elementos activos: IC • Conversión de fuentes de tensión en fuentes de corriente R3 R1 R2 N C B IB y viceversa. • Teorema de Millman A B) Sustitución de elementos pasivos: B C • SERIE • PARALELO R1 • Estrella Estrella • Triangulo R2 R3 Triangulo TEOREMA DE KENNELLY N TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.5.- Métodos para transformar circuitos 3.5.- Métodos para transformar circuitos Elementos pasivos en estrella: A Elementos pasivos en estrella: A C.A. IC IC R3 C R1 R2 N B IB IA Resto del circuito IA Resto del C.A. circuito R3 C IB N R1 R2 D R1 B A TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS D D R2 B D A R3 C TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS R1 C R2 B R3 3.5.- Métodos para transformar circuitos 3.5.- Métodos para transformar circuitos Elementos pasivos en triangulo: A Elementos pasivos en triangulo: A IA Resto del circuito C.A. IC C RA RC RB C RA B B RC RB IC IA Resto del C.A. circuito A B B C RC A B RA RC C RC A RA B RA B RB RB TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS 3.5.- Métodos para transformar circuitos 3.5.- Métodos para transformar circuitos Resto C.A. del circuito IA IC B A TEOREMA DE KENNELLY: A Elementos pasivos en triangulo: B RB C RA Estrella RC B IA IC R3 C N IB C Estrella RC RA TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS RB Triangulo A A Resto del C.A. circuito R1 R2 C RB Resto del C.A. circuito B IA IC RB C RA RC B B Triangulo R1 = R BR C R A + RB + R C R A = R 2R 3 ( 1 1 1 + + ) R1 R2 R 3 R2 = R CR A R A + RB + R C R B = R 3R 1 ( 1 1 1 ) + + R1 R 2 R 3 R3 = R AR B R A + RB + R C R C = R 1R 2 ( 1 1 1 ) + + R1 R2 R 3 3.5.- Métodos para transformar circuitos 3.5.- Métodos para transformar circuitos TEOREMA DE KENNELLY: Aplicación TEOREMA DE KENNELLY: Demostración E U R4 A + E RB RC R5 D B C RA R6 U R4 IA + C.A. IC R5 D A A A B C R3 N C C.A. IC B IB R6 IA R1 R2 IA, IB, IC G1G3 G2 G3 UB UA + G1 + G2 + G3 G1 + G2 + G3 Calculamos IC en la estrella: IC = Calculamos IC en el triangulo: IC = GB UA + GA UB G2 G3 G1 + G2 + G3 GA = Igualando y comparando: GB = 3.5.- Métodos para transformar circuitos 3.5.- Métodos para transformar circuitos TEOREMA DE KENNELLY: Aplicación TEOREMA DE KENNELLY: Demostración E U R4 A + RB RC R5 D C R6 E U E R4 B RA A A A IA + C.A. IC R5 D G1G3 G1 + G2 + G3 B C R3 C N IB R1 R2 IA C.A. IC B RB RC C RA B R6 A + D U R4 B C RA B IA, IB, IC Para cualquier d.d.p.: RC RB E R1 RDN N U R4 C R6 R A = R 2R 3 ( GB = G3 G1 G1 + G2 + G3 R B = R 3R 1 ( 1 1 1 + + ) R1 R 2 R 3 R C = R 1R 2 ( 1 1 1 ) + + R1 R2 R 3 R1 R5 D G2 G3 G1 + G2 + G3 A + R3 N B R2 1 1 1 + + ) R1 R2 R 3 GA = GC = G1G2 G1 + G2 + G3 Conductancias Resistencias B 3.5.- Métodos para transformar circuitos 3.5.- Métodos para transformar circuitos TEOREMA DE KENNELLY: Ejercicio TEOREMA DE KENNELLY: Ejercicio A A IA C.A. R3 R3=0,33Ω IC R1 =1Ω R2 =0,5Ω N C A R1 RC RB C C.A. IC B IB C.A. B C RA 3 R3= 1RΩ IC R1 =1Ω R2 =1Ω N C R A = R 2R 3 ( 1 1 1 + + ) = 1Ω R1 R2 R 3 R B = R 3R 1 ( 1 1 1 ) = 2Ω + + R1 R2 R 3 A R1 RC RB 1 1 1 ) = 3Ω + + R1 R2 R 3 C C.A. R B = R 3R 1 ( 1 1 1 ) = 3Ω + + R1 R2 R 3 A C.A. IC C IB Si R1 = R2 = R3 = RE N IA C.A. B R A = R 2R 3 ( 3 R E = RT C RA 1 1 1 ) + + R1 R2 R 3 1 1 1 ) + + R1 R2 R 3 Resistencias IA RC 1 1 1 + + ) R1 R2 R 3 R C = R 1R 2 ( A A B R B = R 3R 1 ( R A = RB = RC = R T IC RB 1 1 1 ) = 3Ω + + R1 R2 R 3 B RA TEOREMA DE KENNELLY: Demostración R1 R2 B C.A. IC B 1 1 1 + + ) = 3Ω R1 R2 R 3 TEOREMA DE KENNELLY: Demostración R3 C RA R A = R 2R 3 ( 3.5.- Métodos para transformar circuitos IA RC RB B 3.5.- Métodos para transformar circuitos A IC R C = R 1R 2 ( R2 R3 IA B IB B RA IA RC RB B R C = R 1R 2 ( R2 R3 IA A A R3 C N IB Estrella R1 R2 IA C.A. IC B RB C RA RC B B Triangulo 1 1 1 + + ) R1 R2 R 3 R1 = R BR C R A + RB + R C R A = R 2R 3 ( R2 = R CR A R A + RB + R C R B = R 3R 1 ( R3 = R AR B R A + RB + R C R C = R 1R 2 ( 1 1 1 ) + + R1 R 2 R 3 1 1 1 ) + + R1 R 2 R 3 3.5.- Métodos para transformar circuitos 3.5.- Métodos para transformar circuitos TEOREMA DE KENNELLY: Ejercicio TEOREMA DE KENNELLY: Ejercicio A A IA C.A. R3 IC R3 N C IA R1 R2 C.A. IC B IB C RA R BR C RA + RB + RC R2 = R CR A = 0,5Ω R A + RB + RC R3 = RA B = 1Ω R1 RB R AR B = 0,333Ω + RB + RC C RC R2 R3 C.A. B RA IC R3 C R3 N IA R1 R2 C.A. C.A. IC IB R1 = R BR C R A + RB + R C R2 = R CR A R A + RB + R C R3 = R AR B R A + RB + R C R3 C N R1 R2 R1 = R BR C RA + RB + RC R2 = R CR A =1Ω R A + RB + RC R3 = R AR B =1Ω + RB + RC RA R1 RB C B C.A. IC RB C RA B RA RC B FIN TEMA 3 Si RA=RB=RC=RT RE = RT / 3 3 R E = RT RC R2 R3 B RA= 3 Ω RB= 3 Ω RC= 3 Ω =1Ω A IA C RA A TEOREMA DE KENNELLY: Demostración IA RC RB B 3.5.- Métodos para transformar circuitos A IC B IB RA= 1Ω RB= 2Ω RC= 3Ω B A R1 = IA RC RB A A B Dado el circuito de la figura, determinar la intensidad de la corriente que atraviesa la resistencia R2. Resolverlo por Kirchoff, Mallas, Nudos, Superposición, Transformación del circuito, Thevenin y Norton. Si el parámetro característico de la fuente E2 tiene una variación de un ±10% determinar el valor máximo y mínimo de la intensidad pedida. Cual debe ser el valor de E2 para que la intensidad que circule por R2 sea nula. I1 Por mallas: 16 Ω I1 = IA I3 = - IB I2 = IA – IB = 27 V I3 A = 18 V I2 IA IB 12 Ω 4Ω 8Ω A B R 4 = 16 Ω 12 (IA – IB) - 27 +24 IA = 0 Ec. Malla A E2 = 18 V IA = 0,5 A IB = 0,75 A 18 + 4 IB -12 (IA – IB) = 0 Ec. Malla B E1 = 27 V R3 = 4 Ω R2 = 12 Ω IA = 0,5 A IB = - 0,75 A R1 = 8 Ω I1 = IA I3 = - IB I2 = IA – IB = 1,25 A I2 =1,25 A B I1 Por Kirchoff: A R 4 = 16 Ω I3 I2 E1 = 27 V E2 = 18 V R2 = 12 Ω I1 Por transformación del circuito A R 4 = 16 Ω R3 = 4 Ω I3 I2 E1 = 27 V E2 = 18 V R3 = 4 Ω R2 = 12 Ω R1 = 8 Ω R1 = 8 Ω B B Por Kirchoff: A I1 + I3 - I2 = 0 Nudo A E1 = I1 (R4 + R1) + I2 R2 Ec. Malla Izq. E2 = I3 R3 + I2R2 Ec. Malla Der. 24 I1 + 12 I2 = 27 12 I2 + 4 I3 = 18 4Ω 24 Ω 27 V + I2 27/24 A 24 Ω 16/4 A R2 = 12 Ω 4Ω 18 V B I2 =1,25 A 2 12 Ω + I1 - I 2 + I3 = 0 A I B I1 Por transformación del circuito A R 4 = 16 Ω I3 I2 E1 = 27 V A Por Nudos R 4 = 16 Ω E2 = 18 V R3 = 4 Ω R2 = 12 Ω E2 = 18 V E1 = 27 V R1 = 8 Ω R1 = 8 Ω B B A 1.- Pasamos todas las f.d.t. a f.d.i. A I2 R2 = 12 Ω 3,43 Ω 24 Ω 27/24 A 16/4 A R2 = 12 Ω 4Ω U AB 24 2.- Unimos un nudo a tierra A I2 5,62 A R3 = 4 Ω R2 = 12 Ω 3.- Aplicamos LKI a todos los nudos menos al de referencia 27/24 A U AB 12 U AB 4 R2 = 12 Ω 24 Ω 16/4 A 4.- Resolvemos el sistema B B B 4Ω 27 U AB U AB 16 U AB =0 − − − − 24 24 12 4 4 UB =0 UAB = 15 V I2 = UAB/R2 =15/12 = 1,25 A I1 Por transformación del circuito A R 4 = 16 Ω I3 I2 E1 = 27 V I1 Por Superposición R 4 = 16 Ω E2 = 18 V R2 = 12 Ω R3 = 4 Ω B I'1 I2 R2 = 12 Ω B A R 4 = 16 Ω A 3,43 Ω R3 = 4 Ω R2 = 12 Ω R1 = 8 Ω B 5,62 A E2 = 18 V I2 E1 = 27 V R1 = 8 Ω I3 A 3 ,43 = 1,25 A 3 , 43 + 12 (por división de intensidad) R2 = 12 Ω A R 4 = 16 Ω I'2 E1 = 27 V I 2 = 5 ,62 I''1 I'3 I'' 3 I''2 R3 = 4 Ω R2 = 12 Ω R1 = 8 Ω R1 = 8 Ω B I’2 = 0,25 A E2 = 18 V B I’’2 = 1 A I2 = I’2 + I’’2 = 1,25 A R3 = 4 Ω A Por Thevenin R 4 = 16 Ω Determinar IAB: E2 = 18 V E1 = 27 V R2 = 12 Ω Si U2 = 35 V –> IAB= Si U2 = 1,1× ×35 V –> IAB= R3 = 4 Ω ×35 V –> IAB= Si U2 = 1,2× R1 = 8 Ω B D A IAB RT RT = 3,43 Ω UAB UT R I AB 42 V (RAB del dipolo pasivo) 19 ,286 = I2 = = 1,25 A 3 ,43 + 12 A 12 Ω + UT = 19,2 6 V (UAB a circuito abierto) + I1 C I2 6Ω A U2 B + Dipolo Activo B I3 3Ω A 3.17 A Por Norton R 4 = 16 Ω Determinar IAB: E2 = 18 V E1 = 27 V R2 = 12 Ω Si U2 = 35 V Si U2 = 1,1× ×35 V –> IAB= R3 = 4 Ω Si U2 = 1,2× ×35 V –> IAB= R1 = 8 Ω D B IN UAB RN IT = 5,625 A (IAB a cortocircuito) RTN = 3,43 Ω (RAB del dipolo pasivo) R I AB = I 2 = 5 ,62 B A 12 Ω + A IAB –> IAB= U1 = 42 V 6Ω C 3 ,43 = 1,25 A 3 ,43 + 12 A U2 + B Dipolo Activo 3.17 3Ω A Determinar IAB: Si U2 = 35 V Hallar la resistencia equivalente entre A y B –> IAB= Si U2 = 1,1× ×35 V –> IAB= ×35 V –> IAB= Si U2 = 1,2× 3Ω A D A A A 12 Ω + C 1Ω 1Ω 3Ω U1 = 42 V C A 6Ω D + 3Ω D 3Ω IAB U2 3Ω 3Ω A C C + 3Ω 3Ω 3Ω 3Ω 3Ω E B E B 3Ω 3Ω 3Ω 42 V U2 1Ω 3Ω 12 Ω 6Ω + A C A B B 3.17 Hallar la resistencia equivalente entre A y B 3Ω A Hallar la resistencia equivalente entre A y B A C C 1Ω 1Ω D 3Ω D 3Ω 3Ω 3Ω 1Ω 1Ω 3Ω 3Ω 3Ω 1Ω B E 3Ω 3Ω 3Ω 1Ω 3Ω E C 1Ω 1Ω 3Ω 3Ω A 1Ω 3Ω B E B